1.4 空间向量的应用 阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

1.4阶段综合 黑题 阶段强化 限时：60min 1.(2025·湖北荆州高二月考)在直三棱柱 PD=AD,M,N分别是棱DC,PB的中点，则 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC= ( A41=2,E为AC1的中点，则BA1与AE所成 A.MN=3 角的余弦值是 ( B.AB.BP=-2 酒 B.V15 C.平面PMN⊥平面PCD 15 10 2.(2025·河南平项山高二月考)两平行平面α， D.直线PB与平面PAD所成角的正弦值为6 B分别经过坐标原点0和点A(2,1,1),且两 平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间 的距离是 ( C.3 D.32 2 3.(2025·重庆九龙坡区高二月考)在棱长为2 (第6题) (第8题) 的正方体ABCD-AB1C1D1中，点E,F分别为 7.（2025·湖南衡阳高二期末)已知正方体 棱BC,DD,的中点，则点F到直线AE的距 ABCD-AB1C1D1的棱长为2，BC棱上一点P 离为 ( 436 满足IPA+PC1=2,则直线PA与平面AB,C所 C.15 D.105 5 5 5 成角的正弦值为 5 4.（2025·陕西西安高二期中)如 8.（2025·山东聊城高二月考)如图，四棱锥 图，已知AB是圆锥的底面直 P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD,底 径，C是底面圆周上的一点， 面ABCD是边长为2的正方形，△PBC是等边 ---B 三角形，M,N分别为AB和PC的中点，则平 ∠BAC=30°，AB=23,PA=2, 则PA与平面PBC所成角的正弦值为( 面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的 最小值为 B.3 c.213 3√13 D. 13 13 9.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是 5.(2025·广东佛山高二期中)已知菱形ABCD 指四个面都是直角三角形的四面体如图，在 中，∠ABC=60°，沿对角线AC折叠之后，使得 直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB= 平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的 √3，AC=√6，现将△ABD沿AD翻折到△AB'D 余弦值为 ( 的位置，使得四面体AB'CD为鳖臑，则二面角 B .3 B'-AC-D的余弦值为 A.2 6.(多选)(2025·河北石家庄高二月考)如图， 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,四边 形ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=120°， 第一章黑白题023 10.(2025·浙江杭州高二月考)如图，四边12.(2025·山西朔州高二月考)如图，三棱锥 形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平 P-ABC中，AB⊥AC,AB=AC=PA,∠PAB= 面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E ∠PAC=60°，O为BC中点，点Q满足 为BC的中点 BO=AP. (1)证明：MN∥平面ABCD. (1)证明：0P⊥平面ABC. (2)在线段AN上是否存在一点S,使得ESL (2)求二面角A-BC-Q的大小 平面AMN?若存在，求出线段AS的长 (3)在线段BQ上是否存在一点M,使得直 度；若不存在，请说明理由.。 线AM与平面BCQ所成角的正弦值为 若存在，请球出测的值；若不存在， 7 BO 请说明理由， 11.（2025·江苏南通高二月考)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥ BC,AP=AB=AD=1,BC=2. 压轴挑战∥ (1)求二面角B-PD-C的正弦值； (2025·浙江绍兴高二月考)如图，已知在四棱 (2)在棱PC上确定一点E,使异面直线PD 锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形， 与BE所成角的大小为60°，并求此时点 △PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB1 E到平面PBD的距离， 平面PAD,点E是线段PD上的动点（不含端 点)，若线段AB上存在点F(不含端，点)，使得 异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长 度的取值范围是 o,2) B.(0) c.(2 D.(5, 选择性必修第一册·RJA黑白题0241.4阶段综合 黑题阶段强化 1.B解析：以C1为原点，以C1A,CB,C1t的方向分别为x,y,z轴 的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.因为BC=AC=A41=2,所 以A(2,0,2),E(1,0,0),B(0,2,2),A1(2,0,0),所以A2=(-1, 0-2,威=(22，-2)，所以m(症，威)=藏 应.BA 后石放叫与帖所成焦的杂弦值为否枚法B -2+4√/15 zC B 四方法总结 利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标； 第二步：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标； 第三步：计算向量的夹角（或函数值），并转化为所求角。 2.B解析：，两平行平面α，B分别经过坐标原点0和点A(2,1,1), 0A=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴两平面间的 距离为n0-2+0+1山故选B. Inl √2 2 3.D解析：以D为原点，DA,DC,DD1分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则 D C A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,0,1),Ai=A (-1,2,0),则A方向的单位向量4= -1 5 ‘D---- 2 后(-201.那 5 所以F到直线AE的距离d=√2-(A市·u)2=√5 4√105 5 5 故选D. 4.D解析：依题意，圆锥的高P0=√22-(3)2= 1以0为坐标原点，建立空间直角坐标系，如 图所示.则A(0,-3,0),B(0,3,0), c(号)小P(0.,防0， A6-=3E-2 0成(25o）0a, -1).设平面P9c的法向量为m=(,,),则·0， (n·BC=0 V3y-z=0, 3√5 取x=1,得n=(1,3,3).设PA与平面PBC所成角 2x2y=0, 为8，则m0l(DD2x63S,即PA与平面P8c所 皮角的正装位故在n 5.D解析：因为平面BAC⊥平面DAC,设AC中点为O,BO⊥AC,则 B0⊥平面DAC,D0⊥AC,故以OC方向为x轴，OD方向为y轴，OB 方向为z轴，建立空间直角坐标系，设菱形边长为2，则C(1,0,0), D(0,3,0),B(0,0,3),Ci=(-1,3,0),C=(-1,0,3),0i= (0,0,N5),显然0=(0,0,3)是平面D4C的一个法向量，设平面 选择性必修第一册·RJA BCD的法向量为n=(x,y,z),则满足 n·C动=0即-+w3y=0令x=3,可得y=z n.Ci=0,-x+3z=0, 1,故n=(5,1,1),则cos(0,n〉= 35 即 3x5 5 二面角B-CD-A的余弦值为5故选D, 6.BCD解析：由题意过点D作DE⊥AB于点E, 因为PD⊥平面ABCD,DE,DCC平面ABCD,所 以PD⊥DE,PD⊥DC.因为四边形ABCD是边长 为2的菱形，所以AB∥CD,所以DE⊥DC,所以 DE,DC,DP两两互相垂直，故以D为原点，DE, DC,DP所在直线分别为x,y,:轴，建立如图所 示的空间直角坐标系.因为PD=AD=2,A B ∠ADC=120°，所以D(0,0,0),E(3,0,0),A(3,-1,0),B(3,1, 0,c0,2.0),r0,02,w0.1,0).w(停7l对于A,- (停子)，=√子1反，故错误对于B应 (0,2,0),B=(-√3，-1,2)，A.B=-2,故B正确；对于C,连接 PM,显然平面PCD的一个法向量为n1=(1,0,0),设平面PMN的一 个法向最为=（名4）.而成：(0.1，-2》，成=（停2 1PM·n2=y2-22=0, -1,从而 令22=1，解得x2=0,y2=2, “夙.m2=2+22=0, 所以n2=(0,2,1),所以n1·2=0,故C正确；对于D,Di=(5,-1, 0),D=(0,0,2),设平面PAD的一个法向量为n3=(x3,y3,3),则 Dm=34为=0，令有=3，解得为=3，马=0，所以平面APD D·n3=2z3=0, 的-个法向量为n3=(3,3,0),而=(-3，-1,2)，从而1cos(n3, 1= ,。2万，则直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 4,故D正确故选BCD. 7.5 解析：以D为原点，建立空间直角坐标 D 15 系如图所示，则D(0,0,0),A(2,0,0),A B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),得AB1= (0,2,2),A元=(-2,2,0).设P(,2,0),Pi= (2-入，-2,0)，P元=(-A,0,0),则Pi+P元= X (2-2A,-2,0).因为1PA+PC1=2,所以 (2-2入)2+(-2)2=4，解得A=1,所以PA=(1,-2,0).设平面AB1C的 n·AB=2y+2z=0, 法向量为n=(x,y,z),则 令x=1,得y=1,z n·AC=-2x+2y=0, -1,所以n=(1,l,-1),则1s(P,m)1=m_1-21-西 IPAIInl 5x/3 15 厅以直线PA与平面B,C所成角的正弦值为5，故答案为5 3 解析：连接AC,BD相交于点0,0点为底面ABCD的中，心，取BC 中点为E,连接EO,EP,则EP⊥BC.因为平面PBC⊥平面ABCD,则 EP1平面ABCD,以点E为原点，分别以Ei,E元，E的方向为x,y,之 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.因为底面ABCD是边长 为2的正方形，△PBC是等边三角形，所以D(2,1,0),M(1,-1,0), 黑白题16 co10.o0.w0.29）o1. 00所以=(，）成=(2 -},5）,0市-(1,10).设平面DMW的法向打 22 量为n=(x,y,z),则 i-ao, 解得任-2，取=7，则y=-5,x=25,所以n=(25,-5,7), 5z=-7y, 且平面DMW上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O 到平面pMN的距离.则d=6=怎=S放答案为3 Inl 81 ·解析：在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB=√3，AC= √6，则BC=3,AD=√2，BD=1,CD=2,即在四面体AB'CD中，AD= √2，B'D=1,CD=2,AB'=√3，AC=√6，则BD<CD.要使四面体 AB'CD为鳖瑞，根据三角形中大边对大角，可知需要B'C⊥平面 ADB',此时∠ADB',∠ADC,∠DB'C,∠AB'C为直角，满足四面体 AB'CD为鳖瞎，则B'C=√CD2-B'D=√3.如图，在长、宽、高分别为 3,1,√2的长方体中作出四面体AB'CD,以D为坐标原点建立空间 直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,0,√2)，C(1,3,0),B(1,0,0), AB=(1,0,-√2)，CB=(0,-3,0).设m=(x,y,z)为平面AB'C的 一个法向量，则m·2=0令=，则：=，y=0,所 (m.cB=-3y=0, 以m=(2,0,1).Di=(0,0,w2),D=(1,3,0),设n=(a,b,c)为平 面ACD的-个法向量，则a=2c=0,。令c=0.a=5,6=-, 气n.Dt=a+3b=0, 所以n=(3,-1,0),所以co(m,m)22?,所以二面 角B'-AC-D的余弦值为 2放答案为2 B (第9题) (第10题) 1O.(1)证明：连接BD.因为MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,所以 MD∥NB.因为MD=NB,所以四边形MDBN为平行四边形，所以 !! MN∥DB.又BDC平面ABCD,MNt平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. (2)解：由题意知，DM,DC,DA两两垂直.以D为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系，则 000,0,41,0.0,M0,0,)11,,B(分1.0）很设在 :! 线段AW上存在点S,使得ES⊥平面AMN,连接AE.易知A=(0,1, 1),(-1,00,威-（分1.0）设砖==(0AA.0≤ As1,则感=威+惑（行A-1,A）由51平面n得 1 感.A=0,(A-1)+入=0， ）,所以心1-竖放在线段上存在点5使得公上平 参考答案具 面AMN,此时线段AS的长度为？ 11.解：(1)以A店，A,A为单位正交基底，建 立空间直角坐标系如图所示.因为BC= 2,AP=AB=AD=1,所以B(1,0,0),P(0,0, 1),D(0,1,0),C(1,2,0),则P2=(1,0,-1), Pi=(0,1,-1),D元=(1,1,0).设平面PBD B 的一个法向量为n1=（1,y,1),则 n1·P形=x1名1=0 (m1·Pi=y11=0 取x1=1,得n1=(1,1,1). 设平面PCD的一个法向量为n2=（为2,2,2)，则 ·=0取=1，得=(1,1，-1).设二面角B-PD-C (n2·Pi=y2-=0, 的大小为0，则1cs01=(n,1d写了→所以咖日= 1-w0-32 (2)设P克=P元=(，2，-A)(0<A≤1)，则B成=P-Pi=(A 1,2入，-+1).因为异面直线PD与BE所成角的大小为60°，所 以c0s60°=1cos(P币，B》1=I2A+(A-1)1 2,解得A= 2×√2(A-1)2+42 子或A-0(会去)此时应（仔子子）所以点里到平面 4 PBD的距离d= Pi.n113_45 1n1l39 12.(1)证明：连接OA.·AB=PA,∠PAB=60°，∴.△PAB是正三角形， .PB=AB=PA,同理可得PC=AB,∴.PB=PC.O是BC的中点， OPCABACOACBCOA OB. .OP L BC,..PB2=OP2+0B2,..PA2 PB2 =OP2+0B2 =0P2+0A2, ∴.OP⊥OA.OA∩BC=0,OA,BCC平面ABC,∴.OP⊥平面ABC. (2)解：由(1)得OP⊥OA,OP⊥OB,OA⊥OB,以0为原点，OA,OB, OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， 艺 -Q M B 设AB=√2，则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),P(0,0,1) Bd=A,.Q(-1,1,1),显然0=(0,0,1)是平面ABC的一个法 m⊥B武， 向量，设m=(x,y,z)是平面BCQ的一个法向量，则 m⊥BQ, {:0取z,则x1y0,m(1,0,,cs(m,0论 m1O时万之由题可知二面角4-8C-Q为纯角，放二面角4 m.0.1-2 BC-Q的大小为135. (3)解：假设存在点M,设B=AB(0≤A≤1)，则B7=AB戒=(-入， 0,),.AM=A+BM=(-1-入，1，A).:直线AM与平面BCQ所成 角的正弦值为牙，1(，成)1=m及 Iml 际-方A=该A(合去) -1 。1 、BM1 小BQ2 白题17 压轴挑战 B解析：如图，取AD中点G,连接PG,因为AB⊥平面 PAD,ABC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD.因 为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以 PG⊥AD.又PGC平面PAD,且平面ABCD∩平面A PAD=AD,所以PG⊥平面ABCD.分别以GA,GP和过 点G与AB平行的直线为x,,y轴建立如图所示的空间直角坐标系则 G(0,0,0),A(1,0,0),D(-1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,1),设F(1,y, 0),0<y<2,设Di=xD币=x(1,0,1)=(x,0,x),0<x<1,故E(x-1,0,x), 得E=(2-x,y,-x),P应=(x-1,0,x-1).又因为Pi=(1,0,-1),且异面 直线PA与EF成30的角，故1PA.E1=1P1·1E1cos30°，即2= x2可×，即(-12=寸7，因为0y<2,所以 (-12e(o,写)，则12=2(-1)2e（0,号)放得应1e(o, )故选 专题探究1空间向量的综合应用 黑题专题强化 1.B解析：因为a∥b,则存在入∈R,使得b=入a,即(x+1)m+8n+2yp= (x+1=3入 3入m-2An-4p,则8=-2入，解得x=-13,y=8,所以x+y=-5.故 2y=-4λ， 选B. 2.C解析：由题设a+b=-c,则a2+2a·b+b2=c2,故5+2a·b=7,所 以cs(a,b)=号又(a,b)e[0,180],所以a,b)=60故选C 3.C解析：如图，分别以A店，A市，AA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系，可得B(23,3),F(4,子，0）.c(4,3 ),0(03,3),8(40,3,设Ma6,0),所以-(2， -）,元-(0，，2），D或=(a,63,3).设平面EG的法向量 2x- 23z=0 3 为n=(x,y,z),则 n…E亦=0， 得 n.Fc=0, 33 令x3 ,则y (22=0, 1=-1,即a=(子1，-1）由于直线D,M与平面EG平行，则 0m=0,得-}+6-3+3=0，即6=a,=(4-a,-6,3), MD=(-a,3-b,3).所以MB.MD=(4-a)·(-a)+(-b)·(3-b)+ 4a+9s (a-2)2+4由于ae(0,4),故当a=2时，M厉，·MD取得最小值， 最小值为？放选C B (第3题) (第4题) 4.[0,2]解析：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0),C(1,1,2).设P(m,n,0),0≤m≤1,0≤n≤1，则A=(m, 选择性必修第一册·RJA n,0),AC=(1,1,2),故A.AC=m+n∈[0,2].故答案为[0,2]. 5.(33)u(3,+0)解析：因为a与6的夹角为悦角，所以a: s0即(-2×（子）3>0，解号由aa,得兰 2-1 3,故t≠3，故t的取值范围为 -号)u(3+)故答案为 (3u3, 6.(-∞，-3)U(1,+∞)解析：因为a,b,c的模均为1，它们之间的夹 角均为60，所以2=62=心=1，a·b=e·b=a·c=子又 (ka+b+c)2=k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2c·b=k2+2k+3>6,所 以k2+2k-3>0=(k+3)(k-1)>0→k<-3或k>1.故答案为(-0， -3)U(1,+). 71解(2励-元励号成号成-=号(c-b),故励 破+励=6+写(e-b)=子+写c:g为4D的中点，故成= 2 1 9 (2)由题意得ac=2a·b=3,c…b=3,Ad=0心-0=c-a,故 o成.ad=(3a++c）】 1 2a+38 3a·c 1 1 13= 3 2 8.(1)解：因为PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正 方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2).因为P= }应，放(，子，），放11 4.162W6 V92+ 9 3 (2)证明：因为A(2,0,0),P(0,0,2),故E(1,0,1),故D2=(1,0,1), B=(-2,-2,2),所以D成.B成=-2+2=0，所以D1B (3)据：(12)可得8-（号号号）百c0,20.故d 24 （-220.故m成.恋酵.花了05 EA心6义 2 3×2w2 9.C解析：建立以D为坐标原点的空间直角坐 标系如图所示，则B(2,2,0),E(0,2,2), A1(2,0,22),C(0,2,0),A(2,0,0),可得 A B2=(-2,0,2),41t=(-2,2,-22),易知 cos a=I cos(BE,ACI= B成.At B·AC 0,且0°≤a≤90°，所以a=90°.易得平面 BDD1B1的一个法向量为A元=(-2,2,0)，因此可得simB=1cos(AC, At)1= A花.At 8=5又0°≤B≤90，可得B= AG1.1A,t12w2x42 45°，因此a+B=135°.故选C. 1O.BCD解析：根据题意可知AE,AB,AD两两垂 直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如 图所示，可得B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1, 0),B80.0,2)r12,9)则励=(-1,1， 0),E元=(1,2，-2)，B2=(-1,0,2),所以B励· 黑白题18