1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系甲1.3.2空间向量运算的坐标表示 白题 基础过关 限时：50min 题组1空间直角坐标系 题组2空间向量的坐标表示 1.（多选)有下列叙述，其中正确的是 6.(2025·河北邯郸高二月考)已知A(-2,1, A.在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标 3),B(1,-1,4),则AB= 定是(0，b,c) A.(3,0,1) B.（-1,-2,1) C.(-1,0,7) D.(3,-2,1) B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点 7.(2025·河南商丘高二月考)设{ij,k}是单 的坐标一定可写成(0，b,c) 位正交基底，已知向量p在基底{a,b,c}下的 C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐 坐标为(8,6,4)，其中a=i+j,b=j+k,c=k+i, 标可记作(0,0，c) 则向量p在基底{iJ,k}下的坐标是（)》 D.在空间直角坐标系中，在Oxz平面上的点 A.(12,14,10) B.(10,12,14) 的坐标是(a,0,c) C.(14,12,10) D.(4,3,2) 2.(2025·河北衡水高二期中)在空间直角坐标 题组3空间向量的线性运算的坐标表示 系Oxyz中，点A的坐标为(1,2,3)，则A到平 8.人教A版教材变式(2025·湖南长沙高二期 面Oxy的距离为 ( 中)若a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1),则a-b= () A.1 B.2 C.3 D.√/14 A.（2,-4,2) B.(-2,4,-2)》 3.(2025·四川成都高二期末)在空间直角坐标 C.(2,0,2) D.（-2,-1,-3) 系中，点A(-2,1,5)关于x轴的对称点的坐 9.(2025·黑龙江鸡西高二期中)已知向量a= 标为 ( (3,-2,1),b=(-2,4,0),则4+3b等于() A.(2,1,5) B.(2,-1,-5) A.(14,4,4) B.(6,-12,4) C.(-2,-1,-5) D.(-2,-1,5) C.(6,20,4) D.(6,4,4) 4.(2025·浙江杭州高二月考)在空间直角坐标 题组4空间向量数量积运算的坐标表示 10.(2025·辽宁大连高二期中)已知向量a= 系0xyz中，点A(1,-2,3)关于0xy平面对称 (x,1,-1),b=（2,1,x),若a·b=2,则实数x 的点为 ( 等于 () A.（1,2,-3) B.(-1,2,3) A.-2 B.-1 C.0 D.1 C.(-1,2,-3) D.(1,-2,-3) 11.(2025·四川成都高二期中)若a=(-1,2,1), 5.若点P(a,b,c)既在平面Oy内，又在平面Oyz b=(1,3,2),则(a+b)·(2a-b)=（) 内，则a+c= A.2 B.5 C.21 D.26 选择性必修第一册·RJA黑白题O08 题组5空间向量的平行与垂直 19.（2025·福建厦门高二期中)已知向量a= 12.(2025·安徽合肥高二月考)已知向量a= (-2,1,4),b=(-4,2,t),且向量a,b的夹角 (x,2,-1),b=(6,-4,y),若a∥b,则x+y= 为锐角，则t的取值范围是 ( )20.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是底面 A.1 B.-1 C.5 D.-5 A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1= 13.(2025·湖南永州高二月考)已知向量a= (2,-1,3),b=(-4,2,x),且a1b,则x= 3B,C1,求BE,与C0,所成角的余弦值 3 号 C.4 D.6 题组6空间向量的模与两点间的距离 14.已知向量a=(1,-1,0),则与a共线的一个 单位向量e= ) A.(1,1,0) c竖叫 D.(0,0,1) 15.(2025·福建福州高二月考)在空间直角坐 标系中，已知点A(1,-2,11),B(4,2,3), C(6,-1,4),则△ABC一定是 ( 21.(2025·天津南开区高二期中)如图，三棱 A.等腰三角形 B.等边三角形 柱ABC-A,B1C1,AA1⊥底面ABC,底面△ABC C.直角三角形 D.等腰直角三角形 中，CA=CB=1,∠BCA=90°，棱AA1=2,M,N 16.(2025·山东菏泽高二月考)已知向量a= 分别是AB1,A1A的中点 (0,-1,1),b=(4,1,0),1入a+b1=√29，且 (1)求B的模； 入>0，则入= (2)求cos(BA,CB)的值； 题组7空间向量的夹角 (3)求证：A,B⊥C,M. 17.(2025·湖北武汉高二月考)在空间直角坐 标系中，已知点A(1,2,-1),B(2,0,0), C(0,1,3),则cos(CA,C)= ( A137B27 c. D.137 42 7 3 40 18.(2025·福建福州高二月考)若向量a=(1, A,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦 值为氵，则X A.2 B.-2 c2成号 D.2或2 5 第一章黑白题009 黑题 应用提优 限时：60min 1.（2025·福建莆田高二期中)在空间直角坐标 6.（多选)已知向量a=(1,2,3),b=（3,0, 系0yz中，点A(0,1,-1),B(1,1,2),点A关 -1),c=(-1,5,-3),下列式子中正确的是 于y轴对称的点为C,点B关于平面Oxz对称 的点为D,则向量CD的坐标为 ( A.(a·b)·c=b·c A.(-1,2,-1) B.(1,-2,1) B.(a+b)·c=a·(b+c) C.(-1,0,1) D.(1,0,-1) C.(a+b+c)2=a2+b2+c2 2.(2025·重庆沙坪坝区高二期中)已知点 D.la+b+cl=la-b-cl A(a,-3,4),B(0,b,1),C(5,9,-2),若A,B, 7.如图，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AB=BC= C三点共线，则a,b的值是 ( BB'=2,AB⊥BC,D为AB的中点，点E在线段 A.-2,3 B.-5,3 C'D上，点F在线段BB'上，则线段EF长的最 C.1,3 D.-2,2 小值为 () 3.(2025·湖北黄冈高二期中)已知A(2,1,3), B(1,3,4),C(4,-1,3),则AB在AC方向上的 B. 25 C.1 D.√2 5 5 投影向量的坐标为 ( A.（2,-2,0) B. (3 3 ,20 C.（-1,2,1) n.(0) 4.(2025·山东青岛高二月考)向量a=（1,2, 3),b=(-2,-4,-6),1cl=√14，若(a+b)·c= (第7题) (第10题) -7,则a与c的夹角为 8.已知点M1(2,5,-3),M2(3,-2,-5),设在线 A.30° B.60° 段M1M2上的一点M满足M,M?=4MM2,则 C.120° D.150° 5.(2025·湖南永州高二月考)已知空间向量 点M的坐标为 B=(1,2,4),BC=(0,-2,1),则下列选项 9.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2， 中错误的是 1,-1),则p在基底{2a,b,-c}下的坐标 A.AB⊥CB 为 ;在基底{a+b,a-b,c}下的坐 B.AB.AC=20 标为 C.若向量B配=(1,0,5)，则点E在平面 10.已知棱长为a的正四面体ABCD,如图，建立 ABC内 空间直角坐标系，点0为点A在底面上的射 影，M,N分别为线段AB,AD的中点，则点M D向最0,25)是与威平行的-个单 的坐标是 异面直线CN与DM所 位向量 成角的余弦值为 选择性必修第一册·RJA黑白题O10 11.(2025·辽宁辽阳高二月考) 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C,D1 如图，正三棱柱ABC-AB,C, 中，Q是棱BB1的中点，点P在侧面BCC,B1 的各棱长均为1，点0为棱 (包含边界)上 BC上的中点，点E为棱A,B, B (1)若点P与点Q重合，求点P到平面 上的动点，则O在B,C上的投影向量的模的 ACC1A1的距离； 取值范围为 (2)若AP⊥DQ,求线段CP长度的取值 范围. 12.(2025·福建南平高二期中)已知a=(x,1, D 1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),x,y∈R,且 a⊥b,b∥c. (1)求1a+b1; (2)求向量a+b与2a+b-c夹角的大小 压轴挑战几 1.（2025·辽宁锦州高二期末)记空 间中的一些点构成的集合为A,O 为原点，且对任意P,P2,P3∈A,都存在不全 为零的实数x,y,a,使得x0P+yOP2+z0P= 13.(2025·浙江金华高二月考)已知向量a= 0.若(1,1,1)eA,则下列结论可能成立的是 (1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4), B(-2,-2,2) A.(1,0,1)∈A,且(1,0，-1)∈A (1)求12a+3b1的值； B.(0,0,1)∈A,且(2,2,3)∈A (2)在直线AB上存在一点E,使得0E⊥b(O C.(1,2,1)∈A,且(2,2,3)∈A 为坐标原点)，求点E的坐标 D.（3,2,1)∈A,且(1,0,1 2.（2025·江西赣州高二月身 长为2的正方体ABCD-A 中，E,F,G分别为AB 点，M,N分别为直线EF,BB1上的动点，若 GC,DM,D共面，则DM·DN的最小值 为 进阶突破拔高练P02 第一章黑白题0116x60=18因为P=4d-市=号(A花+动)-子应：-子店+ 花+号诚所以2（子破+市)°=号+ 子+}-子破.花号破.而花.办169+9 12-12+9=19.所以1P1=√19故选D. . D 0 8.证明：设A店=a,4=b,Ai=c,有a·b=0,a·c=0,c·b=0,则 应，，动为一个正交蒸底，则成=屈+市=子（丽+ B,D)=子(ad+动=子(+市-)=子(b+e-a),丽-+ 照=d-=ab成.ad=2(bca）(a+b)-(b Ia2)=0,EF⊥AB1.同理可得EF⊥B1C.AB1nB1C=B1,.EF1 平面B1AC. 黑题应用提优 1.A解析：由空间向量基本定理可知若向量a,b与任何向量都不能构 成空间的一个基底，则一定有a与b共线.故选A. 2.AC解析：对于选项ACD,由O成i=xOi+yO店+zO(x+y+z=1),可 得M,A,B,C四点共面，即M,M市，M元共面，所以选项A中，MA,M, M心不共面，可以构成基底；选项C中，M,M,M心不共面，可以构成 基底：选项D中，因为60成=可+2成+30心，所以O成=。可+ 号应0心，可得M,AB,C四点共面，即d,应，成心共面，无法构 成基底，故选项D错误；对于选项B,根据平面向量基本定理，因为 M=M+M心，得Mi,M店，M心共面，无法构成基底，故选项B错误故 选AC. 3.B解析：因为B戒=2C成，所以B成=3花，所以D,龙=A花-AD=A店+ 成-（动+）=+成-（市+）=+市-（市+）= +市-故选B, 4.ACD解析：对于A,由空间向量基本定理，可知只有当ij,k不共面 时，ij,k才能作为基底，才能得到m=xi+y+k,故A错误；对于B,若 {ij,k}是空间的一个基底，则i,j,k不共面，设i-3j=入(U+k)+ (A=-3, u(k-2i)=j-24i+(A+)k,则-2μ=1，因为A,u无解，所以i-3j, A+u=0. j+k,k-2i也不共面，所以{-3j,j+k,k-2}也是空间的一个基底，故 B正确；对于C,若i⊥j,k⊥j,则i,k不一定平行，故C错误；对于D, 若i,Jj,k所在直线两两共面，则i,j,k不一定共面，故D错误故 选ACD. 5.解：存在.假设存在实数入，，v使a4=入a1+ua2+va3成立，则有3i+2j+ 5k=入(2i-jtk)+u(i+3j-2k)+v(-2i+j-3k)=(2λ+u-2u)i+(-入+ 3u+w)j+(A-2μ-3u)k.:{ij,k是一个基底，ij,k不共面. (2入+u-2u=3,(入=-2， -A+3+v=2,解得u=1, （(λ-2-3u=5, (v=-3. 故存在A=-2,4=1,=-3使结论成立. 压轴挑战 1.D解析：满足条件的点P在三棱柱ACD-A,C,D1内.如图，设0为 BB1的中点，连接AC1,A1C相交于点E,连接OE,OD1,A1C1,B1D1, 选择性必修第一册·RJA 因为B1D1⊥A1C1,B1D1⊥A1A,且A1A∩ D A1C1=A1,A1A,A1C1C平面A1C1CA,所以 B1D1⊥平面A1C1CA,又OE∥B,D1,所以 A 0B1平面A1C,CM因为0B=B,D,= 。,13 2,0D,=VB,D+0B=√2+4=2， 所以e[停名]所以成，网 (Pi+0)·(P%+0呢)=P2-10前2=1Pd2-}因为1Pdie [受，]所以店，P丽的取值范围为[2]，故选D 2.1解析：因为P成=成成i+子×子(+d)=成(+P成 p戒=}pi+i+成，所以p成=成=。(+Pi+心) 因为励-A成，成=u店，成：，所以成市+店+ 6入 6u 床因为双D,BF图点共面所太女了1，所以女 4图为A子a)(）号(：货+)=1，当且仅 当入=u=之时等号成立，所以Au的最小值为1，故答案为1 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系+ 1.3.2空间向量运算的坐标表示 白题 基础过关 1.BCD解析：A.在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是(a, 0,0),∴.A错误；B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标 一定可写成(0，b,c),∴.B正确；C.在空间直角坐标系中，在z轴上 的点的坐标可记作(0,0，c),∴.C正确；D.在空间直角坐标系中，在 Oxz平面上的点的坐标是(a,0,c),.D正确.故选BCD. 2.C解析：由题意可知：点A(1,2,3)到平面0y的距离为该点竖坐标 的绝对值，即为3.故选C. 3.C解析：点A(-2,1,5)关于x轴的对称点的坐标为(-2，-1，-5)， 故选C. 4.D解析：空间直角坐标系0z中，点关于Oxy平面对称的点的横、 纵坐标不变，竖坐标变为相反数，所以点A(1,-2,3)关于Oy平面对 称的点的坐标为(1，-2，-3).故选D. 5.0解析：由条件可知点P在平面0y与平面0z的交线y轴上，由 y轴上的点的特征知a=0,c=0,b∈R,故a+c=0.故答案为0. 6.D解析：由题意可得AB=(1,-1,4)-(-2,1,3)=(3,-2,1).故选D. 7.A解析：因为向量p在基底{a,b,c下的坐标为(8,6,4)，即p=8a+ 6b+4c,又因为a=i+j,b=j+k,c=k+i,则p=8a+6b+4c=8(i+j)+ 6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,因此，向量p在基底{i,j,k}下的坐 标是(12,14,10).故选A 8.A解析：因为a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1),所以a-b=(2,-4,2), 故选A. 9.D解析：由a=(3,-2,1),b=（-2,4,0),可得4a=(12,-8,4),3b= (-6,12,0),所以4a+3b=(6,4,4).故选D. 10.D解析：a·b=2x+1-x=2,解得x=1.故选D. 11.B解析：因为a=(-1,2,1),b=(1,3,2),所以a+b=(0,5,3),2a b=(-3,1,0),则(a+b)·(2a-b)=0x(-3)+5×1+3×0=5.故选B. 12B解折：由已知得后号子所以=-3，y=2,散y-1,故 选B. 13.A解析：因为a⊥b,所以a·b=0,所以2×(-4)-2+3x=0,整理，得 3红=10，解得：9故选入 黑白题04 14.B解析：设e=Aa=(,-入，0)（入eR),由已知可得1e1= V4(-=反以=1，解得A=士放选B 15.C解析：点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则AB= √32+42+(-8)7=W89,BC=√22+(-3)2+12=√14，AC= √J52+12+(-7)2=√7万，因为AC2+BC2=AB2,所以△ABC一定为 直角三角形.故选C. 16.3解析：因为a=(0,-1,1),b=(4,1,0),1入a+b1=√29，所以入a+ b=(4,1-入，入)，可得16+(1-A)2+A2=29,因为A>0,解得A=3,故 答案为3. 17.A解析：依题意，C=(1,1,-4),C=(2,-1,-3),故C.C成=2 1+12=13,1C1=√1+1+16=32,1C31=√4+1+9=√14， 本高离警人 18.C解析：由题意，向量a=(1,A,2),b=(2,-1,2),得cos(a,b)= 。号得A2度-品做蓝C a·b 19(名8u(8,+)解折：若a6=(-21,4)(-4,20 820,则三当a时，则子子-子架科=8此时 6=20,a6方向相同，放a,6的夹角为锐角时，三且1≠8，放答 案为（，8u(8,+m). 20.解：设AB=1,以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A41所 在直线为：轴建立空间直角坐标系，则B(1,00,B,（1,?,1,C(1, 1.0(合2m(0g@=( …照网-(og）小·（分分名：c 可i5m<品，= 6 10G=6,即BE,与 31 2 C0,所成角的余弦值为 6 21.(1)解：以C为坐标原点，以C,C,CC的方向为x,y,z轴的正方 向，建立空间直角坐标系Cxy,如图，由题意得N(1,0,1),B(0,1, 0),则B成=(1，-1,1)，故1B1=√2+(-1)2+1平=3. (2)解：依题意，得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), C,(0,0,2),故BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2),则BA.CB=0-1+ 4=3,1BA1=V1+1+4=6,1CB1=V0+1+4=5,.cos(BA, c)=m·g.3.0 IBAIICBI 30 10 （3)证明：易知M(分72），威=(1，-1,2.G=(分7 0）,由于G立.赋-号+0=0，放GL赋，即4，B1Cu 上x 黑题应用提优 1.B解析：点A(0,1,-1)关于y轴对称的点为C(0,1,1),点B(1, 参考答案 1,2)关于平面0z对称的点为D(1,-1,2),则C=(1,-2,1).故 选B. 2.B解析：依题意，AB=(-a,b+3,-3),AC=(5-a,12,-6),由A,B,C 三点类线得应/花则兴-管名所以。=一5,6=3放法 3.D解析：由题设，A店=(-1,2,1)，Ad=(2,-2,0),A在AC方向上的 子a0(会2小t 选D. 4.B解析：由已知可得a+b=(-1,-2,-3)=-a,且1a1= √2+22+3=-√/14.又(a+b)·c=-7,故-a·c=-7,即1al·1cl· cos(a,e)=7,故14ems(a,e)=7,cos(a,e)=7又0≤(a,e)≤ 180°，故(a,c〉=60°.故选B. 5.B解析：由已知可得B=(1,2,4),BC=(0,-2,1)B.B元=0- 4+4=0,AB1CB,A正确；A店=(-1，-2，-4)，A花=A+B武=(-1， -4,-3),所以A店·Ad=21,B错误；若B配在平面ABC内，则存在实数 A,4,使得B配=AB+uB武，而B成=(1,0,5)，B=(1,2,4),B武 11=入， (0,-2,1),AB=(A,2A,4λ)，HBC=(0,-2μ，)，所以{0=2入-2μ， 5=4入+μ， 解得1，故点E在平面ABC内，C正确；因为B心=(0，-2,1)，所以 (o25）-成又-(2）+（写T=1,所以 D正确.故选B. 6.BCD解析：A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确.B.左 边=(4,2,2)·（-1,5，-3)=-4+10-6=0，右边=(1,2,3)·（2,5， -4)=2+10-12=0,∴.左边=右边，因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左 边=32+7+(-1)2=59，右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+ (-3)2=59,.左边=右边，因此正确.D.由C可得左边=√59，：a- b-c=(-1,-3,7),∴.Ia-b-c1=√59，.左边=右边，因此正确.故 选BCD. 7.B解析：由题意可知BA,BC,BB两两垂 直，因此建立如图所示的空间直角坐标 C 系，则B(0,0,0),D(0,1,0),B'(0, 0,2),C(2,0,2),则DC=(2,-1,2), BB=(0,0,2).设D2=ADC,Ae[0,1], 则E(2入，1-入，2A),设F(0,0,z),有E= (-2A,A-1,z-2A),线段EF长最短，必xC 满足EF⊥BB',则有E京·BB=0,解 得z=2A,即E7=(-2入，A-1,0),因此 =2+(-=5-2=5(a-写）+号≥ 25,当且仅当A=时取等号，所以线段F长的最小值为2放 选B. 解析：设M(x,y,z),则M1M2=(1,-7,-2), MM2=(3-x,-2-y,-5-z).又M1M2=4MM2, 11 x=4 (1=4(3-x), 1 -7=4(-2-y),解得y=- -2=4(-5-z), 9 9.(1,1,1) (?分银新：由耀意知=2a,测响量p在 基底{2a,b,-c下的坐标为(1,1,1) 黑白题05 设向量p在基底a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z), p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc. 3 x+y=2, x22' 又：p=2a+h-c,{x-y=1,解得 1 (z=-1, y2’ z=-1, 向量p在基底a0a-6c下的坐标为（月，弓，】 故答案为1,10：(3日1 1√36)1 10.4a,12,646 ,解析：由正四面体棱长为a,知△BCD 的外接国半径为（，。0又王因图休的离为 总)同理可得（宁学治）…成与陕角的余弦 6 值为cos(D成，成-D成.成、1 11C6,异面直线cw与DM所成 角的余该位为合放答案为（口一侣气）日 ,] 解析：如图，连接OA,则A0⊥BC,又三棱柱ABC- A1B1C,为正三棱柱，则CC1⊥平面ABC,OAC平面ABC,所以CC1⊥ 0A.又BC n CC1=C,BC,CC1C平面BCC,B1,所以OA⊥平面 BC,B,建立如图所示的空间直角坐标系，则0(00,0)，A,(宁 o1)4(0,1c(0,1）所以C=(1,0.o。 -(号0），丽=（分0,1）小因为点E为棱AA上 的动点，设B,它=ABA,A∈[0,1]，则O=0B+B,立=0B+ -(分1小（分0小（日之A)小所 以国C1,成BG-(日）名号则底在BC 上的投影向量的模为 .因为入∈[0,1]， IB:CI 所以之子e[0,号]即0应在℃上的投影向量的模的 取值范图为[0，子]故答案为[0,2] z个 0k----- B 12.解：1)b/c2=4心y=-2,b=（1,-2,1).a1ba b=x-2+1=0,x=1,a=(1,1,1),.a+b=(2,-1,2),1a+b1= /4+1+4=3. (2)由(1)可得2a+b-c=(1,4,1),.(a+b)·(2a+b-c)=2×1+ (-1)×4+2×1=0,∴.向量a+b与2a+b-c垂直，即向量a+b与2a+ 选择性必修第一册·RJA B-e夹角的大小为受 13.解：(1)因为向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),所以向量2a=(2, -6,4),36=(-6,3,3),因此2a+3b=(-4,-3,7),所以12a+3b1= √/（-4)2+(-3)2+72=√74. (2)因为A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),所以AB=(1,-1,-2).因为点 E在直线AB上，所以设A应=入A→A应=（入，-A,-2A).因为Ad=(3, 1,-4),所以0成=A-Ad=(-3,--1,-2入+4).因为0成1b,所 以-2A-3)-A1-21+4=0A=号，所以0成-（号-3，号 _6142 5，-5,5 ,因此点E的坐标为（号。 142 5’5 14.解：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AC,A1C1,如图， 因为BB1∥CC1,BB1￠平面ACC,A1,CC1C平面ACC1A1, 所以BB1∥平面ACC,A. 连接B1D1交A1C1于点E,所以B1D1⊥A1C1· 又CC11平面A1B,C,D1,B,EC平面AB1CD1,所以CC1⊥EB1, 因为CC1∩A1C1=C1,所以B1E1平面ACC1A1. 因为正方体的棱长为2，所以B1E=√互，即点B,到平面ACC1A1的 距离为2. 若点P与点Q重合，则点P到平面ACCA1的距离即为点B,到平 面ACC1A1的距离，为√2. (2)如图，建立空间直角坐标系，则 C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0), Q(2,2,1). 设P(x,2,z),则A1户=(x-2,2,2-2), D=(2,2,1),C=(x,0,z). 因为A1P1DQ,所以A市.D=0, 所以2(x-2)+4+z-2=0,即z=2-2x 所以0=vF7vF*2-2=√5（专）+号 因为8子22所以01， 所以25≤1s2,即cPe[252] 5 压轴挑战 1.B解析：对于A选项，设P1(1,1,1),P2(1,0,1),P3(1,0,-1),设存 在实数x,y,z使得x0P+y0P+z0P=0,即x(1,1,1)+y(1,0,1)+ （x+y+z=0,（x=0, z(1,0,-1)=(0,0,0),则x=0,解得y=0,不满足条件，故A错 (x+y-z=0,（z=0, 误；对于B选项，设P1(1,1,1),P2(0,0,1),P3(2,2,3),设存在实数 x,y,z使得x0p+y0P2+z0P=0,即x(1,1,1)+y(0,0,1)+z(2,2, (x+2z=0, 3)=(0,0,0),则x+2z=0,令z=-1,则x=2,y=1,满足条件，故 x+y+3z=0, B正确；对于C选项，设P1(1,1,1),P2(1,2,1),P3(2,2,3),设存在 实数x,y,z使得x0p+y0P2+z0P=0,即x(1,1,1)+y(1,2,1)+ (x+y+2z=0, (x=0, z(2,2,3)=（0,0,0),则x+2y+2z=0,解得{y=0,不满足条件，故 x+y+3z=0, (z=0, C错误；对于D选项，设P1(1,1,1),P2(3,2,1),P3(1,0,1),设存在 实数x,y,z使得x0P+y0P+z0P=0,即x(1,1,1)+y(3,2,1)+ (x+3y+z=0, （x=0, z(1,0,1)=(0,0,0),则x+2y=0,解得{y=0,不满足条件，故D错 (x+y+z=0, （z=0, 误故选B 黑白题06 25 16 解析：以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建 立如图所示的空间直角坐标系， D M C E B 设点M(2,1,m),N(2,2,n),其中m,n∈R,易知G(0,0,1), C1(0,2,2),则GC=(0,2,1),DM=(2,1,m),D=(2,2,n).因为 GC,DM,D成共面，则存在A,4∈R,使得CC=AD+uD,即 (2入+2μ=0， 公+2，解得公222n-2m=1,即a=m+分，D成. (4=2, 入m+n=1, am6=(+）6=m+分6=(+）瓷当 且仅当m=时，等号成立，散成.耐的最小值为瓷放答案 16 1.1-1.3阶段综合 黑题阶段强化 1.B解析：A.当(a,b〉=T时，a·b<0,但D C 〈a,b)不是钝角，故错误；B.当A应+Ci=0 B A 时，A店=-C,所以A店与C一定共线，故正 确；C.当A店=C⑦时，A店与Ci共线，线段ABD -ic 与CD可能平行或共线，故错误；D.如图所 A 示，设A店=a,Ai=b,M=c,满足a与b,b 与c,c与a都是共面向量，但a,b,c不共面，故错误故选B. 2D解折：由题可蜘0成-0成+成，由成-2动得成号动，动- O成因为点C,D分别是母线PA,PB的中点，所以O励=子（成+ o成=号(b+e),o成-(oi+aò=(a*e).则成-0成+a成- 子ae号励-nd=子ae+号[片e)-子aeo]小 3.ACD解析：对于A项，由|a1=2可得√12+(-1)2+m2=2,解得m= ±√2，故A项正确；对于B项，由a⊥b可得a·b=-2+1-m+2m=0, 解得m=1,故B项错误；对于C项，假设存在实数入，使得a=Ab,则 1=-2A, -1=入(m-1),→入∈，所以不存在实数入，使得a=Ab,故C项正 m=2入 确；对于D项，由a·b=-1可得-2+1-m+2m=-1,解得m=0,所以 a+b=(-1,-2,2),故D项正确.故选ACD. 4.C解析：A选项b=（(b+e)+(b-e),共面：B选项，a+b=2a (a-b),共面；C选项，若存在x,yeR,使得c=x(a+b)+y(a-2b)= (x+y)a+(x-2y)b,则a,b,c共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面。 D选项，a+b+c=(a+b)+c,共面.故选C. 5.4C解析市--花=子（动+）-(+动=-应-动+ A4=a+b+c,.B错误.a2=b2=c2=4,a·b=b·c=c·a=2×2× 参考答案 cos 600=2,DC=a,I DCI=2,AC]=a+b+c,IACI=(a+b+e)2= Va2+b2+e2+2a…b+2b·c+2a·c=√4+4+4+4+4+4=26，Dd. AC=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=4+2+2=8,.cos(D元，AC)= DC AC 86 D11aC2x263,C正确：BD-a+b+c,1B丽1= √(-a+b+e)-√a2+b2+e2-2a·b+2b·c-2c·a=√4+4+4-4+4-4= 22,D错误故选AC. 6.B解析：依据题意可以建立如图所示的空间 直角坐标系，则D1(0,0,3),E(1,3,0), B1(3,3,3),设P(x,y,0)(x,ye[0,3]),所A 以B1产=(x-3,y-3,-3),D1它=(1,3，-3)，则 B1市.D1E=x+3y-3=0→x=3-3y,所以 D 0≤3-3y≤3→y∈[0,1]，而1B11= P √(x-3)2+(y-3)2+9=√10y2-6y+18,由 3）2 二次函数的单调性可知=102-6y+18=10(0)厂+18-0，当 9 y=1时，tnmm=22,则B1Pms=√22.故选B. 7.0解析：因为空间向量a,b,c不共面，且4a-5b+zc=xa+yb+c,所以 4=x,-5=y,2=1,所以x+y+z=0. 8.-8解析：a-b=(-1,3,-2),a+b=(3,1,4),则(a-b)·(a+b)= (-1)×3+3×1+(-2)×4=-8,故答案为-8. g.方解析：如图，设EF=1,取BC中点M,连 6 接FM,GM,则GM∥AB,又：EF∥AB, .EF∥GM.:四边形ABCD为矩形，AD⊥ A在D GM.又：△ADE为正三角形，G为AD的中 B 点，∴.AD⊥EG.GM∩EG=G,且GM,EGC平面EFMG,.AD⊥平面 EFMG,易知△ADE≌△BCF,则EG=FM=√3，∴，四边形EFMG为等 腰梯形，高为W2,在平面EFMG内，过点G作GM的垂线，以点G为坐 标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则G(0,0,0),E(0,1,√2)， C(-1,3,0),F(0,2,2),即G2=(0,1,2),C=(1,-1,2),cosG2, 内=主.，与C的夹角余弦值为管故答案 1Gi11C市3x26 6 10.(1)证明：如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在 D. 直线分别为x,y,:轴，建立空间直角坐标系 B Dz,则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0), E 4 C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G0,3, B 0,所以E京=(1,1，-1)，B1亡=(-2,0，-2)，所 以E.B1C=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0,所以E京1B1乙，故 EF⊥B1C. (2)解：易知衣-(0，-子，-2），所以1G花1 √号)+(-222因为114(=5， 脉.=101（号）(-1x(-2)=2号台，所以 cos(E市，C1G= ,G令 E1G5×2而 3 角余弦值为V30 15 (3)解：因为H是C,G的中点，所以H(0,号，1又因为P1,1.0)。 黑白题07