1.1.2 空间向量的数量积运算-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

1.1.2空间向量的数量积运算 白题 基础过关 限时：30min 题组1空间向量数量积的概念及运算 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C,D中，E,F分别 1.(2025·河北唐山高二期中)关于空间向量a, 是CD,D,D的中点，正方体的棱长为1. b,c,下列运算错误的是 ( (1)求<C正，AF)的余弦值； A.a·b=b·a (2)求证：BD1E京 B.(a+b)·c=a·c+b·c C.(λa)·b=λ(a·b) D.(a·b)c=a(b·c) 2.(多选)(2025·陕西西安高二月考)已知空间 四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E, F,G分别是AB,AD,DC的中点，则下列向量 的数量积等于a2的是 A.2AB.AC B.2AD.DB C.2F元.AC D.2EF CB 题组2空间向量的夹角 3.(2025·山西大同高二期中)已知a,b是空间 2则 两个向量，若1a1=2,1b1=2,a·b= cosa,b〉= 题组4空间向量的模 4.（2025·广东深圳高二月考)在四棱锥 8.（2025·广东湛江高二期中)如图，在平行六 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底 面体ABCD-AB,C,D1中，底面是边长为1 面ABCD,PA=AB=2,AD=4,E为PC的中点， 的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1= 3,则AC,的长为 () 则PD与BE的夹角余弦值为 题组3空间向量垂直的应用 R. 5.(2025·山东临沂高二期中)已知空间向量4， b,|al=1,1b1=√2，且a-b与a垂直，则a与 b的夹角为 A.60° B.30° C.135° D.45° A.3 B.√/13C.4 D.√17 6.如图，三棱锥0-ABC中， 9.（2025·安徽蚌埠高二月考)已知空间向量a, ∠A0B=LB0C=LA0C=T b,c两两夹角均为60°，其模均为1，则1a+ ,0 b-2c1= OA=20B=2,若CB⊥OA,则 10.在空间四边形OABC中，OA,OB,OC两两成 0C= () 60°角，且OA=OB=OC=2,E为OA的中点，F A.1 B.2 C.√2 D.3 为BC的中点，则E,F间的距离为 第一章黑白题003 黑题 应用提优 限时：50min 1.(2025·浙江绍兴高二期中)已知动点Q在 2P龙，BC=2B,下列说法中正确的是() △ABC所在平面内运动，若对于空间中任意 A.P,A,B,C四点可以共面 一点P,都有P0=-2Pi+4PB+mC,则实数m 的值为 ( BPi(BdaC=月 A.2 B.0 C.-1 D.1 2.(2025·山东潍坊高二期中)A,B,C,D是空间 C.1E=2 不共面的四点，且满足AB·AC=0,AC·AD= 0,AB·AD=0,M为BC的中点，则△AMD是 D.cos(Ai,c中= 6 6.已知空间向量a,b,|al=2,1b|=1,〈a,b〉= A.钝角三角形 B.锐角三角形 60°，则使向量a+入b与入a-2b的夹角为钝角 C.直角三角形 D.不确定 的实数入的取值范围是 3.(2025·江西赣州高二期中)如图，在三棱 7.(2025·河北秦皇岛高二期中)如图，已知PA1 锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC=CD=4, 平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6,则 ∠B0D-点E为4C的中点，则配，面- 向量PC在BC上的投影向量等于 (第7题) (第10题) A.8 B.4 C.-8 D.-4 8.(2025·河南洛阳高二月考)在长方体 4.(多选)(2025·山东枣庄高二月考)在四面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=√3，AD=22, P-ABC中，下列说法正确的是 ( P为C,D,的中点，M为BC的中点，则AM与 A.若AD=AC+名B,则BC=2BD PM所成的角为 9.在三棱锥0-ABC中，OA⊥OB,OA⊥OC, B.若Q为△ABC的重心，则3P0=PA+ ∠B0C=60°，OA=OB=0C=2,若E为OA的 PB+P元 中点，F为BC的中点，则EF= C.若PA.BC=0,P元.AB=0,则AC.PB=0 10.(2025·四川成都高二期中)如图，已知二面 D.若四面体P-ABC的棱长都为a,点M,N分 角a-l-B的大小为60°，A,B两点在棱1上， 别为PA,BC的中点，则1M=号 线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平 5.(多选)(2025·江苏无锡高二月考)已知空间 面内，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=BD= 单位向量PA,P店，P元两两夹角均为60°，PA= 6,则CD的长度为 选择性必修第-册：RJA黑白题004 11.(2025·山东泰安高二月考)如图，在长方13.如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA1 体ABCD-AB1C,D1中，AB=AA1=2,AD=4, PC,PB⊥PC,PA⊥PB,求证：P在平面ABC E,F分别为AB1,A1D1的中点.计算： 上的射影H是△ABC的垂心. (1)BC.ED1; (2)B.AB; (3)EF.FCT. 12.人教A版教材变式(2025·广东深圳高二期 中)如图，在平行六面体ABCD-A,B1C1D1 中，底面ABCD是边长为1的正方形， ∠BMA,=∠DAM,=,AM=4 (1)求AC1的长； 压轴挑战Ⅱ (2)若M,N分别为DC1,CB1的中点，求 AC与M的夹角余弦值. 1.(2025·四川南充高二月考)已知 EF是棱长为8的正方体的一条体 对角线，点M在正方体表面上运动 M下的最小值为 A.-48B.-32 C.- 2.已知空间向量0A,0B,0 角均为7，且10A1=10i 若存在非零实数入，4，使得0=入(0A+0B), B0=u(0C-0),且0p.P0=Bd.P=0, 则入= %= ■进阶突破拔高练P0 第一章黑白题005正文参 第一章 空间 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 白题 基础过关 1.A解析：选项A:因为空间向量A与B互为相反向量，所以空间向 量A与B的长度相等，所以A正确；选项B:将空间中所有的单位向 量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C:空间非零向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间非 零向量不是有向线段，所以C错误；选项D:两个空间向量不相等，它 们的模可能相等，也可能不相等，如向量AB与BA的模相等，所以D错 误故选A. 2.BD解析：对于A:零向量的方向是任意的，A错误：对于B:空间向 量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确；对于C,D:模 相等且方向相同的两个向量为相等向量（即同一向量），所以C中向 量的长度可以相等，只要方向不同即为不同向量，C错误：D符合定 义，正确故选BD. 3.B解析：在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，BD=B+B元+B,=-A店+ Ai+AA=-a+b+c.故选B. 4.C解析：在空间四边形ABCD中，对于A,A花+C=Ad≠A,A错误； 对于B,Ad+BC≠A,B错误；对于C,D心+C-D=D成-DA=A店，C正 确；对于D,A心+B-B武=A心+C=A市≠A应，D错误故选C 5.解：(1)A1F-E-BA+FF+Ci+F1A=A市+F克+(A店+BB)+(C市+ D心)=A龙+AB+0=A应+ED=AD.AD在图中表示略 (2)D成+E1F+Fi+BB+A1E=D成+E+F⑦+(BB+B1D)=D市+F+ BD=0+BD=BD或D成+E,F+F+BB+A1E=D成+E+F币+(Ad+ A1E)=0+AE=AEBD或AE在图中表示略. 6.C解析：M,G分别是BC,CD的中点B庇=B威，励= M店：.店+】B戒+1B励=成+B城+成=A+店=A花故选C 7.D解析：点M,N分别为线段AB,0C的中点，则M=M+Ad+O成= }厨-oi+成号a耐-)-ai+}成.-o-诚+ 2 0成c-ab,散选D 8.A解析：因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的 交点，又=a,市=b,=c,所以MB=+丽=号成+= 子（庙-动+d-应-}市+d-子子be放选A 四方法总结 用已知向量表示指定向量的方法： (1)结合已知向量和所求向量观察图形 (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示 出来。 9.ABC解析：A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误；B.在 空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；C在平面内 共线的向量在空间一定共线，故错误；D.在空间共线的向量，平移到 同一平面内一定共线，故正确.故选ABC. 10.D解析：对A:若非零向量a,b平行，则a,b所在直线可能平行，也 可能重合，若其中一个向量为零向量，则a,b所在直线位置关系不 确定，故错误；对B:若向量a,b所在直线是异面直线，则α，b可以 参考答案 考答秦 向量与立体几何 通过平移从而共面，故错误：对C:若A,B,C,D四点不共面，则AB CD可以通过平移从而共面，故错误：对D:若A,B,C,D四点不共面」 则AB,AC,A⑦可以两两共面，但是三个向量无法共面，故正确.故 选D. 11.C解析：对于A,由于0M=0i-0-0心不满足右边式子的系数和为 1,所以四点不一定共面，故A错误；对于B,由于O成=号成+ 号0+成，不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共 2 面，故B错误；对于C,由M+M+M心=0可得M=-M-M元，根据 向量共面定理，结合三向量有公共点，可知四点一定共面，故C正 确：对于D,由0i+0i+0成+0元=0可得0成=-0i-0成-0元，不满足 右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故D错误故选C. 12.B解析：由0i=2xBd+3yCd+4zDi,得Oi=-2x0i-3y0元 4z0,而0是空间任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点均不共 线，但四点共面，因此-2x+(-3y)+(-4z)=1,即2x+3y+4z=-1,所 以4x+6y+8z=-2.故选B. 13.号解折：=20，ea,成=3+3市-e+花- B成=5C1+2e2.又：A,C,D三点共线，…A花∥c成.e1,e2不共线， 花-52-张=04=号放故答案为号 14.证明：连接AM并延长，交BC于点H,M是△ABC的重心，，H为 BC的中点，=号（破+a衣），矿=子府=号（店+衣） }toi-oi+(0成-1=号ai+成-号do成-+ 成=}(oi+oi+od.又0i=0++成=0+0i+0,0成： 号成点M在直线0B上 1.1.2空间向量的数量积运算 白题基础过关 1.D解析：根据空间向量数量积的运算律可知a·b=b·a,(a+ b)·c=a·c+b·c,(Aa)·b=A(a·b)均成立，即A,B,C正确； (a·b)c为与c共线的向量，a(b·c)为与a共线的向量，所以(a· b)c与a(b·c)不一定相等，故D错误故选D. 2.AC解析：由题意易知在空间四边形ABCD中，A,A心夹角为60°，所 以2AB·AC=2×IAB1×|AC1cos60°=a2,故A正确：AD,DB夹角为 120°，所以2Ad.D2=2×1A1×1D1cos120°=-a2,故B错误；因为 点P,G分别是AD,DC的中点，所以FG/AC且F成=2Ad,所以 A心，F夹角为0°，所以2F戒.A心=2×1F心1×A心1cos0°=a2,故C正 确；因为点E,F分别是AB,AD的中点，所以EF∥BD且IE1= 分励1，所以成，本夹角为120，所以2成.本=2x11× a1e120r=之2放D错误放选AC 3日得所ab:子故mab)-日8-令做答案为写 4得 解析：由于PA⊥底面ABCD,AD,ABC平面ABCD,所以 PA⊥AB,PA⊥AD,而底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD,Pi=A市-A 励=√d-=164=25,成=（成+）=之(- 黑白题01 店+动)，所以硫=-+动2=24+4+6=6，市. 成=子（动·(-恋+动=之x(16-4)=6所以市占破的 夹角整大。6答案为 10 5.D解析：因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0,即a2-a·b= 1al2-1al1b1om(a,by=1-2om(a,b）-0,所t以oma,)-号又 0°≤(a,b)≤180°，所以(a,b》=45°.故选D. 6.A解析：由题意可知C=O成-O元，而CB⊥0A,故C店⊥Oi,.C· 0i=0,即(0i-0元)·0i=0,所以0i.0i-0元.0=0，则1×2× 号-2101cm子=0，解得101=1，即0=1，故选 7.()解-动4动+，感=d+G花=+号市=材 :店市-0，店，d=0,市，d-0正.本=（国 应）(d）士--感号 (2)证明：丽=励+m-市-应+，亦-丽+}(+ AM),…BD·E=0,.BD1E成 8.D解析：因为A花，=A应+B武+CC=A+A市+A1,所以1AC2= (A+A市+AM)2=A+A亦++2A市.A市+2A店.AM+2A市. =11+9+2x0+2x1x3×+2x1×3x=17,即1aC1=,故 选D. 9.5解析：la+b-2c1=√/(a+b-2c)2= √/a2+b2+4c2+2a·b-4a·c-4b·c= w√1a2+|b12+4Icl2+2l1al·Iblcos60°-4|al·lelcos60°-4Ib·lelcos60° =√1+14+2x1x1x41x1x741x1x=.放答案为5 10.解折：球-威o成+（应=i+[0应- 2 i)+(成-1-号ai+号i+号成：4+ 4+心+2x(）×成.成*2x(）xoi. 成+2x宁×.成=21=2，即E,F间的距离为2 黑题应用提优 1.D解析：由题意可知Q,A,B,C四点共面，且P=-2Pi+4P店- mP元，则-2+4+(-m)=1,所以实数m的值为1.故选D. 2.C解析：因为M为BC的中点，所以矿=之(+A),可得成· 砧=子（破+·市=}破.动+】花.市=0，所以成1市， 即AM⊥AD,可得△AMD是直角三角形.故选C. 3.B解折成=（威+武）应.市=威，市+成。 石动-0+×4x4Xam号-4故选民. 4BC解析对于A市}花+号应3励=花+2应2动- 2A店=A花-A市，2B励=D元，.3B励=B励+D元，即B武=3B成，故A错 误；对于B:若Q为△ABC的重心，则Qi+Q+Q心=0,3P=3P+ Qi+Q+Q=pi+P+P元，故B正确；对于C:p·B花=0，P元· A=0,Pi.BC+Pt.A应=P.B武+P元.(At-B武)=Pi.B武+ 选择性必修第一册·RJA PC.AC-PC.BC=(PA-PC).BC+PC.AC=CA.BC+PC.AC= A花.C成+P元.A花=A花.(C成+P)=A花.P市=0，故C正确；对于D: m成-成：(i)号成之店成-m1= 2成成-， 又Pi+P元-pi =√P42+PB2+PC-2Pi.PB-2Pi.Pt+2Pi.P元 =/a2+a2+a2-2:aax22:aax2+2a…ax2=2a, 1=,放D错误赦选C 5.BC解析：由于单位向量Pi,P,P心两两夹角均为60°，所以P· i=成.p元=p元.市=1x1xs60=2假设P,A,B,G四点可以 共面，则Pi,P,P心供面，所以存在x,y,使得P=xP+yP心，分别用 2, P,P,P元与pi=xP+yP元点乘，则 1 1 立=+2，由于该方程组无 11 22y, 解，所以不存在x,y,使得PA,P,P元共面，故P,A,B,C四点不共面， 故A错误；对于B,P·(B武+A衣)=P·(P元-P+P心-P)=P: (2成-成-=1子1-分，故B正确：对于c,由减2成 子成-应，由成=2醉得成-店=2成-2店成.心+所以 =p肺-p店P心P-p,则1.n心+p-√n 2 子+2屁.i-2屁.-2.i 1可受，故c正确：对于D,办=成-成 1 心-2减市..底成2列氏1“分2 1 2 2 2 子，故s(亦.动)<0，故D错误故选BC 6.(-1-3,-1+3)解析：由题意知a+Ab):(Aa-2b)<0, cos(a+Ab,Aa-2b〉≠-1， 明8）：0iaa,-154-1厚 7成解折：PA1平面ABC,PA C,庇.成=(++ B)·Bt-=Pi.B驼+.B心+B花.Bd=0+6x6x2+6=54,向量 应券是达微为 8.90°解析：在长方体ABCD-A1B1C,D1中，P为C,D1的中点，M为 BC的中点，且AB⊥AD,AB上AM1,AD⊥AM1,则AM=A店+BM=A店+ 2动，减=矿-市=+}市-（不+=+市-(+ 40+0=+?材-(+动+2)=2市- 所以成.成(+2市）·（合迹2市-d）瓜 黑白题02 分应.动-破d+市.店}亦-动耐=7×4 子×8=0，即1成，则AM与PN所成的角为90故答案为90 9.2解析成=0-0应=(0成+0)-0i112=(0i+ o成-02-(40心+0+20i.0成-2i.0i-20成.0) 又由已知得10i=101=10心1=2,0i10成，0i10元，0成.0元=2× 2x-2,2=}×(4+4+4+4)=41=2,即EF=2故答 案为2. 10.2√13解析：因为线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直于AB,又二面角a--B的大小为60°，所以C,B)= 180°-60°=120.因为C=C+AB+B,所以C=C+A2+B+ 2Ci.A+2Bi.Ci+2A店·Bi=62+42+62+2×0+2×6×6× ()+2x0=52,所以1a动1=2vB,所以c0的长度为2v压放 答案为2√3. 11.解：(1)设A店=a,A⑦=b,AA=c,则1al=1cl=2,1b1=4,a·b= 6c=ca=0,欧-c-a),成.m-成.（武+i=b: [2ca)+6]2bcab42=16 (2)成.瓜=(m+·(+)=（c-a+2b）·(a+ c)=c2-a2=22-22=0. (3)成.元=(+a)·(而+D,C)=[片(-应)+ }](}市应)[片e-a)+](*a） 6a)+2++-2 2 422 12.解：(1)1A1=1A1=1,1A41=4,且A店.A市=0，A店.A4=A市. AA=1×4×co860°=2.因为AC=A店+Ad+AA,所以1AC2= (AB+AD+AA)2=1AB12+1AD12+1AA12+(AB-AD+AB.AA+ Ad.AA)=1+1+16+2×(0+2+2)=26.所以AC1=√26. (2)因为=成-成=（应++2市）-（市++2应） 名感-动，耐·G分（应-动）·（破+市+瓜） 子（前2+破.市+.武-店.动-2-市. 子(1+02-01-2)=0，所以14C故C与的夹角余弦值 为0. 13.证明：PA1PC,PB⊥PC,PA⊥PB, .P.P心=0，P市.P心=0，Pi.Pi=0,PA1平面PBC :.P.BC=0.由题意可知，PH1平面ABC, .Pi.B武=0，Pi.AB=0,Pi.A心=0. .A应.B武=(Pi-pi·B武=Pi.B戒-pi.B武=0. :.Ai⊥B武，AH⊥BC. 同理可证BH⊥AC,CH⊥AB..H是△ABC的垂心. 四方法总结 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以通过向量共线 确定点在线段上的位置. (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. (3)可以通过lal=√a2,将向量的长度问题转化为向量数量积的问 题求解， 参考答案 压轴挑战 1.B解析：如图，EF是棱长为8的正方体的一条体 对角线，其长度为√82+82+82=83.设EF中点为 0,则0市=-0成，且101=101=43，则M市. M亦=(Md+0)·(Md+o)=(Md+oi)·(Md 0i)=1Md12-10i12=1Md12-(43)2=10M12- 48.由于点M在正方体表面上运动，故1OM12的最 小值为O点与正方体一个面的中心连线的长，即为正方体棱长的一 半，为=4，所以店·的最小值为4-48=-32故选B 引解折：设d0=成=1，则可成=店，元： 2. 0.0d-7,由或-d-0i=u(o成-0，可得od=u0d+(1 μ)0i,0.P=0币.(0-0)=0币.0-0应=λ(0i+0成) 0成(1y0-(成7-0，化简得}-子-31=00 B戒.P=B戒.(0d-O)=u(0元-0)·[u0d+(1-u)0i A(d0]=-0,化简可得-子+号u=02,联立02得 「31 224-3升=0， 5 3 解得 λ11’ 故答案为入= 5 3 1.2空间向量基本定理 白题 基础过关 1.C解析：对于A,因为B1D∥Bi,所以{AB,Ai,B1D}中三个向量 共面，不能作为空间向量的基底，A错误；对于B,因为在四棱台中， A∥CD,所以{A,AA,CD}中三个向量共面，不能作为空间向 量的基底，B错误：对于C,A1D∥AD,且AB,A1A,A不共面，所以 {A,AA,AD}中三个向量不共面，能作为一个基底，C正确；对于 D,因为AM,A花，CC三个向量均在平面ACCA1内，所以{AA,A花， CC}不能作为空间向量的基底，D错误故选C. 2.C解析：单位正交基底中的三个向量必须是模等于1，且两两互相 垂直的一组向量故选C. 3.0解析：{e1,e2,e3}是空间的一个基底，.e1,e2,e3为不共面的向 量.又e1+ue2+e3=0,.A=u=u=0,.X2+u2+2=0. 4D解折：由E,G分别是cD,BE的中点，则成=成，应=动， 花=+感-+成=+子（成+）=+子（花-破+ 动)-亦花好市-破+}动+花故 选D. 5.0解析：在四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD是平行四边形， 点E为D的中点，所以A在=+成+眩=++子励=A+ 应+2威动=+动，又立dy:动所 以=-l,y=分=弓，即：=0故答案为0 1 6.A解析：因为C壶=C+A应，所以BA.C市=B.(C+A)=B.C+ 威·应，又威=d=1,=子，(，=牙，威，应》= 所回.正-1o号1宁a行女放选 7.D解析：如图，以{A店，A亡，A为基底，则1A1=1A心1=1A1=6, ∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，所以A.AC=A.AD=A元.AD=6× 黑白题03