1.1&1.3 阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

1.1-1.3阶段综合 黑题 阶段强化 限时：50min 1.给出下列命题，其中正确的有 5.(多选)(2025·河北衡水中学高二月考)如 A.若a·b<0,则(a,b〉是钝角 图，在平行六面体ABCD-AB,C,D1中，以顶 B.若AB+C=0,则A正与CD一定共线 点A为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的 C.若AB=C,则AB与CD为同一线段 夹角都是60°，P为AD与AD1的交点，若 D.非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a A=a,AD=b,AA=c,则下列结论正确的是 都是共面向量，则a,b,c必共面 () 2.（2025·辽宁抚顺一中高二月考)如图，在圆 1 锥中，点A,B在底面圆周上，点C,D分别是母 A.C2=-a-2b+29 0 2 线PA,PB的中点，C2=2ED,记OA=a,0= B.AC;=a+b-c b,0P=c,则02= c..) D.BD1的长为23 1 1 A. aigbtc 1 1 2 B 6 3b+20 (第5题) (第6题) 1 2 11 1 C.3at3b+c 3 D. a+3b+2c 3 6.(2025·江苏无锡高二月考)如图，在棱长为3 3.（多选)(2025·陕西西安西工大附中高二月 的正方体ABCD-A,B,C,D1中，BC=3E元，点P 考)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2), 在底面正方形ABCD上移动（包含边界），且 则下列结论中正确的是 满足B,P⊥DE,则线段B,P的长度的最大 A.若1al=2,则m=±√2 值为 （) B.若a⊥b,则m=-1 A. √190 B.√22 C.不存在实数入，使得a=入b 10 D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,2) C.32 D.166 4.（2025·山东聊城高二期中)若{a,b,c}构成 3 空间的一个基底，则下列向量不共面的是 7.若空间向量a,b,c不共面，且4a-5b+zc=xa+ ( yb+c,其中x,y,z为实数，则x+y+z= A.b+c,b,b-c B.a+b,a,a-b 8.(2025·天津滨海新区高二期中)若a=(1,2, C.a+b,a-2b,c D.a+b,a+b+c,c 1),b=(2,-1,3),则(a-b)·(a+b)= 选择性必修第一册：RJA黑白题O12 9.（2025·四川遂宁高二月 (2)设直线PC与平面AFG的交点为Q,求 考)中国古代数学名著《九 PQ的长度. 章算术》中记载：“刍甍者， 下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋 盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只 有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶.”现有 一个刍甍如图所示，其中四边形ABCD为矩 形，EP∥AB,若；AB=AD=BR,△ADE和 △BCF都是正三角形，G为AD的中点，则GE 与CF的夹角余弦值为 10.(2025·四川达州高二期中)如图，棱长为2 压轴挑战 的正方体中，E,F分别是DD,DB的中点，G 如图，若P为平行四边形ABCD所在平面外一 在棱cD上，且cG=CD,H是CG的中点 点，点H为PC上的点，且-】 C2,点G在AH 建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：EF⊥B,C; 上，且AG AHm,若C,B,P,D四点共面，求m (2)求E与C,C的夹角余弦值： 的值 (3)求FH的长， D E B D人 11.（(2025·福建莆田高二月考)如图，四棱锥 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面是边长 为2的菱形，PA=2,∠DAB=60°，点E,F,G 分别为线段CD,PD,PB的中点 (1)证明：EG∥平面PAD; 第一章黑白题01325 16 解析：以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建 立如图所示的空间直角坐标系， D M C E B 设点M(2,1,m),N(2,2,n),其中m,n∈R,易知G(0,0,1), C1(0,2,2),则GC=(0,2,1),DM=(2,1,m),D=(2,2,n).因为 GC,DM,D成共面，则存在A,4∈R,使得CC=AD+uD,即 (2入+2μ=0， 公+2，解得公222n-2m=1,即a=m+分，D成. (4=2, 入m+n=1, am6=(+）6=m+分6=(+）瓷当 且仅当m=时，等号成立，散成.耐的最小值为瓷放答案 16 1.1-1.3阶段综合 黑题阶段强化 1.B解析：A.当(a,b〉=T时，a·b<0,但D C 〈a,b)不是钝角，故错误；B.当A应+Ci=0 B A 时，A店=-C,所以A店与C一定共线，故正 确；C.当A店=C⑦时，A店与Ci共线，线段ABD -ic 与CD可能平行或共线，故错误；D.如图所 A 示，设A店=a,Ai=b,M=c,满足a与b,b 与c,c与a都是共面向量，但a,b,c不共面，故错误故选B. 2D解折：由题可蜘0成-0成+成，由成-2动得成号动，动- O成因为点C,D分别是母线PA,PB的中点，所以O励=子（成+ o成=号(b+e),o成-(oi+aò=(a*e).则成-0成+a成- 子ae号励-nd=子ae+号[片e)-子aeo]小 3.ACD解析：对于A项，由|a1=2可得√12+(-1)2+m2=2,解得m= ±√2，故A项正确；对于B项，由a⊥b可得a·b=-2+1-m+2m=0, 解得m=1,故B项错误；对于C项，假设存在实数入，使得a=Ab,则 1=-2A, -1=入(m-1),→入∈，所以不存在实数入，使得a=Ab,故C项正 m=2入 确；对于D项，由a·b=-1可得-2+1-m+2m=-1,解得m=0,所以 a+b=(-1,-2,2),故D项正确.故选ACD. 4.C解析：A选项b=（(b+e)+(b-e),共面：B选项，a+b=2a (a-b),共面；C选项，若存在x,yeR,使得c=x(a+b)+y(a-2b)= (x+y)a+(x-2y)b,则a,b,c共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面。 D选项，a+b+c=(a+b)+c,共面.故选C. 5.4C解析市--花=子（动+）-(+动=-应-动+ A4=a+b+c,.B错误.a2=b2=c2=4,a·b=b·c=c·a=2×2× 参考答案 cos 600=2,DC=a,I DCI=2,AC]=a+b+c,IACI=(a+b+e)2= Va2+b2+e2+2a…b+2b·c+2a·c=√4+4+4+4+4+4=26，Dd. AC=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=4+2+2=8,.cos(D元，AC)= DC AC 86 D11aC2x263,C正确：BD-a+b+c,1B丽1= √(-a+b+e)-√a2+b2+e2-2a·b+2b·c-2c·a=√4+4+4-4+4-4= 22,D错误故选AC. 6.B解析：依据题意可以建立如图所示的空间 直角坐标系，则D1(0,0,3),E(1,3,0), B1(3,3,3),设P(x,y,0)(x,ye[0,3]),所A 以B1产=(x-3,y-3,-3),D1它=(1,3，-3)，则 B1市.D1E=x+3y-3=0→x=3-3y,所以 D 0≤3-3y≤3→y∈[0,1]，而1B11= P √(x-3)2+(y-3)2+9=√10y2-6y+18,由 3）2 二次函数的单调性可知=102-6y+18=10(0)厂+18-0，当 9 y=1时，tnmm=22,则B1Pms=√22.故选B. 7.0解析：因为空间向量a,b,c不共面，且4a-5b+zc=xa+yb+c,所以 4=x,-5=y,2=1,所以x+y+z=0. 8.-8解析：a-b=(-1,3,-2),a+b=(3,1,4),则(a-b)·(a+b)= (-1)×3+3×1+(-2)×4=-8,故答案为-8. g.方解析：如图，设EF=1,取BC中点M,连 6 接FM,GM,则GM∥AB,又：EF∥AB, .EF∥GM.:四边形ABCD为矩形，AD⊥ A在D GM.又：△ADE为正三角形，G为AD的中 B 点，∴.AD⊥EG.GM∩EG=G,且GM,EGC平面EFMG,.AD⊥平面 EFMG,易知△ADE≌△BCF,则EG=FM=√3，∴，四边形EFMG为等 腰梯形，高为W2,在平面EFMG内，过点G作GM的垂线，以点G为坐 标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则G(0,0,0),E(0,1,√2)， C(-1,3,0),F(0,2,2),即G2=(0,1,2),C=(1,-1,2),cosG2, 内=主.，与C的夹角余弦值为管故答案 1Gi11C市3x26 6 10.(1)证明：如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在 D. 直线分别为x,y,:轴，建立空间直角坐标系 B Dz,则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0), E 4 C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G0,3, B 0,所以E京=(1,1，-1)，B1亡=(-2,0，-2)，所 以E.B1C=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0,所以E京1B1乙，故 EF⊥B1C. (2)解：易知衣-(0，-子，-2），所以1G花1 √号)+(-222因为114(=5， 脉.=101（号）(-1x(-2)=2号台，所以 cos(E市，C1G= ,G令 E1G5×2而 3 角余弦值为V30 15 (3)解：因为H是C,G的中点，所以H(0,号，1又因为P1,1.0)。 黑白题07 所u=(1，号1）所以i=P+(子)+(-2= 知m 11.(1)证明：如图，取线段AB的中点M,连接ME,MG.在菱形ABCD 中，点E为线段CD的中点，∴.ME∥AD.又ME￠平面PAD,ADC平 面PAD,∴.ME∥平面PAD.又△PAB中，点G为线段PB的中点， 点M为线段AB的中点，∴.MG∥PA.又MGt平面PAD,APC平面 PAD,.MG∥平面PAD.又ME∩MG=M,且MG,MEC平面MEG, ∴.平面MEG∥平面PAD.又EGC平面MEG,∴.EG∥平面PAD. (2)解：连接BD和AC,交于点O,过点O作 直线OH垂直于平面ABCD,如图，以O为坐 标原点，以向量0i,0成，0i为x,y,z轴的正 H 方向建立空间直角坐标系，则A(5,0,0), A C(-3,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),x D M B w0,2.F(停小.c(停 1,设Cd=A.C=(23A,0,2),则Q(23x-3,0,2A),故Ad= (25入-23,0,2A),依题意可得向量A与A市，A花共面，A市= (宁)衣=（分小所以存在实数使得 衣n亦+n花=（咨(m+n).分(m-a),m+n）则 y(m+m)=23A-23 1 2(m-n)=0, 解得a=A=子，则Q(停0，号) m+n=2λ 且5，o,2,则0=√(2+0+(3-号 压轴挑战 解：连接BD,BG.A=Pi-Pi且A店=D元，.Dt=P-Pi:P元=Pi+ 成成=励成--成+i+成肥分市号成 子(-成+动)=子成+}成+号成又：应=成-成，应 号成兮成+号成船m衣=m:-成+号成 g成成应市成-(-智i(g-1成* g戒汉：B,CP.D因点共面1智-0，即a=子 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 白题基础过关 1.C解析：P=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为AP=(-2入， -A,入)（入≠0），逐项分析即可知只有C符合要求故选C 2.A解析：A店=(-1,1,0)，A元=(-1,0,1)，设平面ABC的法向量为 n=(,.则：店0则=y,只有A选项符合枚 气n.At=-x+z=0, 选A. 3.B解析：符合条件的P应满足A·n=0,对于A,A=(-1,3,-1), A币.n=-1+6-3=2≠0；对于B,A=(1,1,-1),A·n=1+2-3=0: 对于C,=(-1,2,-3),4应·n=-1+4-9=-6≠0；对于D,A2= (-1,0,-1),A.n=-1+0-3=-4≠0，故选B. 4.A解析：在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4), 选择性必修第一册·RJA D(4,1,3),A店=(-2，-2,2)，Ci=(1,1,-1),.A=-2C.又AB 与CD不在同一条直线上，.直线AB与CD平行.故选A 5.C解析：由题意直线1的一个方向向量与平面αx的一个法向量的数 量积为-2×3+1×3+(-1)×(-3)=0，所以l∥a或1Ca.故选C. 6A解折：若aa,则m所以号名-子解特a=2=号 2 故a+2b=2-3=-1.故选A. 7.(1)解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则A(3,0,0), C(0,4,0),D1(0,0,2),故Ad=(-3,4,0),AD=(-3,0,2),设平 面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则有 m·A花=-3x+4=0,令x= n·AD=-3x+2z=0, 4,则y=3,z=6,所以n=(4,3,6),所以平面ACD1的法向量为(4,3,6) (2)证明：易知A(3,02).8(34,2),则P(34,1）,放4方 (号4，-1），因为a…市-6+12-6=0，所以a14市又4Pt 平面ACD1,所以A,P∥平面ACD1· 8.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平 面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.因为四边 形ABCD为矩形，所以AB⊥AD,所以AB, AD,AP两两垂直，所以以A为原点，分别 以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，如图所示，则有B(2,0,0),B D(0,2,0),P(0,0,2),则C(2,2,0).因 为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点，所以M(1,1,1),N(1,0,0), Q(1,2,0),所以M=(0,-1,-1).因为平面P4D的一个法向量 为m=(1,0,0),所以M成.m=0,即M衣1m.又因为MW丈平面PAD, 所以MN∥平面PAD. (2)因为Q成=(0，-2,0)，所以Q.m=0,所以Q1m.又QN￠平面 PAD,所以QN∥平面PAD.又因为MN∩QN=N,MN,QNC平面MNQ, 所以平面MNQ∥平面PAD. 9.D解析：a⊥B,∴.a⊥b,∴.a·b=-2-8-2k=0,解得k=-5.故选D. 10.D解析：因为u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量，n= （,23)是平面a的法向量，且11a,则a则子-2-兮，所 2 15 以a+h=6解得 2 a-b=9. 因此a+26=+2×（子）=故 b= 选D. 11.1解析：建立如图空间直角坐标系，设正 方形ABCD的边长为1，PA=a,则B(1,0, 0),8(分1.0）P(0.0,a,设F0, 因为BF1PE,所以成.p店- 2+y=0, 所以y=子，即F(o,,0）,是D的中点，故0 12.证明：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),故AB=(0,1,-1), A1C1=(-1,1,0),DB,=(1,1,1).设平面ABC的法向量n=(x, y,z),则A⊥n,A1C⊥n.故A1B·n=0,A1C·n=0,即y-z=0, 黑白题08