专题探究1 集合的综合问题-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

显然不符合2集的定义，A错误； B选项，由2集的定义及已知得，12=9x,或92=x,或x2=9, =3或x=81(合去x=-3,=)）,B错误： C选项，由A是D集，所以存在x,y,z∈A(x,y,z两两不等)， y=xz, 因为B中的元素个数不小于2，所以3w∈B且w≠0， 所以B中存在非零元素 使得0x,0y,1z∈C,且wx,wy,z两两不等， 由y2=xz,得(oy）2=(0x）·(z）, 所以C为Ω集，C正确； D选项，设C={p+1,2p+1,3p+1,…,9p+1}, 取x=p+1∈C,y=(p+1)2=(p+2)p+1∈C, z=(p+1)3=(p2+3p+3)p+1eC 满足y2=xz(x,y,z两两不等)， 所以存在q=p2+3p+3,使得 C={p+1,2p+1,3p+1,…,9卯+1}是2集，D正确. 专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强化 .C解析：因为0e{m,品，m0, 所以日=0，故n=0, 此时集合为{m,0,1}={m2,m,0, 根据集合相等，必有m2=1,解得m=1或m=-1. 当m=1时，不满足集合元素的互异性， 当m=-1时，集合为{-1,0,1}，符合条件 所以m25+n2025=(-1)25+0225=-1. 2.C解析：因为An(C.B)={2},2EA, 所以4+2p-6=0,得到p=1, 当p=1时，由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3, 所以-3e8,故9-3+2=0，得到g=, 所以p9=1g-号 3.{ala≤9解析：因为AC(AnB),所以A二B, 当2a+1>3a-5,即a<6时，A=☑，满足题意； 当2a+1≤3a-5,即a≥6时，则2a+1≥3，解得1≤a≤9，则 3a-5≤22， a≤9.综上，a≤9.所以A二(A∩B)的充要条件为a≤9 4.解：(1)当a=3时，B={xl4≤x≤5}，A={xl-2≤x≤5}，则A {x|4≤x≤5} 所以C.B={xIx<4或x>5,则AU(C.B)=R (2)因为B∩(C.A)=☑，则B二A, 当B=0时，a+1>2a-1, 解得a<2,符合题意； 当B≠时，即a≥2时，有81， 解得-3≤a≤3，即2≤a≤3.综上，a≤3. 5.C解析：由题意知C(A)=1,又A*B=1, 所以C(B)=0或C(B)=2. 又x(x2+ax+2)=0中，x=0显然是一个解，即0∈B, 因此C(B)≥1，所以C(B)=2, 所以x2+ax+2=0有两个相等的实根且不为0， 4=a2-8=0,a=±22， 经检验符合题意，所以S={-2√2,2√2}，所以C(S)=2. 6.D解析：对于A:因为2025=506×4+1，所以2025∈[1]，故A 得 错误； 对于B:因为-2=(-1)×4+2，所以-2∈「21，故B错误： 对于C:因为Z=「01U「11U「21U「31，所以0，「11=「01U[21U 吏得 [3],故C错误； 对于D:ae[2],b∈[3]，则a=4n+2,n∈Z,b=4m+3,m∈Z, a+b=4n+2+4m+3=4(n+m+1)+1,m∈Z,n∈Z, 因为m∈Z,n∈Z,所以n+m+1∈Z,所以a+b∈「11，故D正确 7.BCD解析：对于A,因为MUN={x∈QIx≠1}≠Q,故A错误； 对于B,MUN=Q,M∩N=☑，M中的每一个元素都小于N中的每 一个元素，故B正确； 对于C,设M={xlx≤1，xeQ},N={xlx>1,x∈Q},此时M有最 大元素1，N没有最小元素，满足(M,N)是一个戴德金分割，故C 正确； 对于D,如B选项，此时M没有最大元素，N没有最小元素，满足 (M,N)是一个戴德金分割，故D正确。 8(1黑：不合4={3，}此时3+ 3x子满足要求 (2)证明：假设命题不成立，即元素a1,a2均小于等于2，因为a1> 0,a2>0,故可设0<a1<a2≤2，a1+a2=a1a2,两边同时除以a1,得1+ 2=0,因为2>1，所以a,=1+2>2,与a,≤2矛盾，不合要求，故 a 假设不成立， 即元素a1,a2中至少有一个大于2. (3)解：存在，存在1个 理由：设正整数集A={a1,a2,a3}为“三元和谐集”，则a,a2a=a,+ a2+a3,不妨设a1<a2<a3,则a1a2a3=a1+a2+a3<3a3,解得a1a2<3. 因为a1,a2∈N·,故只有a1=1,a2=2满足要求 综上，A={1,2,3}满足要求，其他均不合要求， 即存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即A= {1,2,3} 9.(1)解：当n=5时，M={1,2,…,5},则集合A可以为{1,3,5}，{1， 2,5},{1,2,4},则所有的集合B为{2,4}，{3,4}，{3,5}. (2)证明：记“对任意不相等的a1,a2∈A,都有a,+a2壁A”为条件 ①，记“对任意不相等的b1,b2∈B,都有b1b2B”为条件② 由条件②得1∈A.由2∈B,3EB和条件②得2×3=6B,即6∈A. 由条件①得6-1=5A,即5∈B,由条件②得2×5=10B,即10∈ A. 由条件①得10-6=4使A,即4∈B. 由条件②得2×4=8年B,即8∈A. 由条件①得8+6=14年A,即14∈B. 由条件①得8-1=7A,即7∈B. 由条件②得2×7=14B,与14∈B矛盾，所以14M,即n<14. 10.①解析：根据题意，判断给出的集合对运算④是否满足条件 (1)(2)即可.其中，条件(1)的含义是集合G中任意两个元素关 于运算①的结果仍然是集合G的元素； 条件(2)的含义是集合G中存在元素e,它与G中任何一个元素a 关于运算①满足交换律，且运算结果等于a. ①中，G={非负整数}，①为整数的加法，满足对任意a,beG,都 有a①b∈G,且存在e=0,使得a①0=0①a=a,所以①中的G关于 运算①为“融洽集”； ②中，G={偶数}，①为整数的乘法，若存在e∈G,使a①e=e①a= a,则e=1,与eeG矛盾，所以②中的G关于运算①不是“融洽 集”； ③中，G={二次三项式}，①为多项式的加法，两个二次三项式相 加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G关于运算④不是 “融洽集”。 参考答案黑白题学霸11 综上，G关于运算①为“融洽集”的只有① 11.(1)解：因为M是正实数集的一个子集，{a,a2}≤M,所以a>0. 又因为a2⑧a>1,则a2>a,解得a>1, 所以a的取值集合为{ala>1}. (2)证明：充分性：若x=y,则y=x,则由①可知x⑧y=y⑧x=1, 故由x=y,可得x⑧y=y⑧x. 必要性：由x⑧y=y⑧x,设x⑧y=y⑧x=m, 若m>1,则由x⑧y=m,可得x>y,由y⑧x=m,可得y>x,矛盾. 若m=1,则由x⑧y=m,可得x=y,由y⑧x=m,可得y=x,符合题 意 若0<m<1,则由x⑧y=m,可得x<y,由y⑧x=m,可得y<x,矛盾. 故由x⑧y=y⑧x,可得x=y 综上可知，“x⑧y=y⑧x”的充要条件是“x=y” (3)证明：由④可知，对任意x,y,z∈M, 有(xy)⑧z=x·（y⑧z),以及(yx)⑧z=y·(x⑧z), 因为y=,所以x·(⑧)=y·(8),即*=8 yy⑧z 因为③>y8,所以之=1， yy⑧z 且x>0,y>0,可得x>y,所以x⑧y>1. 第一章章末检测 黑题 章末提升 1.A解析：当a=1,b=-2时，ab=-2,故充分性成立； 而当a=-1,b=2时也满足ab=-2,所以必要性不成立. 2.B解析：因为B={xeNI0≤x<2}={0,1},A={-1,0,1,2,所以 A∩B={0,1}. 3.C解析：A={1,9},B={x|x2∈A}, x2=1或x2=9,解得x=±1或x=±3， B={-3,-1,1,3},故B中共有4个元素. 4.B解析：因为集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A, 则a-2=-3或a2+4a=-3,所以a=-1或a=-3; 当a=-1时，a-2=a2+4a不符合题意舍去： 验证集合的互异性 当a=-3时，A={-5,-3,12}符合题意. 5.C解析：由图可以直接看出阴影部分是三个集合的交集 6.C解析：设集合A={x|-a≤x≤3a},a>0,集合B={xl-1<x<6}, 因为P是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集， (a>0, 则-a>-1,解得0<a<1. （3a<6, 7.D解析：因为An(B)={2,4}, 所以2∈A,4∈A,所以{2,4}CA,故A正确； 对于任意x∈CA,则x生A,又xeU=AUB,所以x∈B,所以 (CA)CB,故B正确； 若1B,则1∈wB,又U=AUB={1,2,3,4,5}, 则1∈A,则1∈An(CuB),与An(CuB)={2,4}矛盾， 所以1eB,同理3eB,5∈B,故{1,3,5}CB,故C正确； 若1∈A时，可得{1,3}二C,A不成立. 8.C解析：对于①，设集合A={0,显然0+0=0，符合性质一 同时也符合性质二，因此集合A={0}是一个群，但是它是有限集， 故本叙述不正确； 对于②，根据群的性质，由b∈A可得-b∈A,因此可得a-b∈A,故 本叙述正确； 对于③，设AnB=C, 若c∈C,一定有ceA,ceB, 因为A,B都是“群”，所以-ceA,-c∈B, 12学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 因此-c∈C,若d∈C,所以d∈A,d∈B,c+d∈C,故本叙述正确。 9.BCD解析：对于A,x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数，因为 x,y可以是奇数，不符合题意； 对于B,当方程x2-2x+a=0有实根时，则有(-2)2-4a≥0→a≤1， 显然能推出a<2,符合题意； 对于C,因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四 边形的对角线互相垂直，符合题意； 对于D,显然能由a=0推出ab=0,所以符合题意 10.AD解析：命题“了x∈R,x>1”的否定是“Hx∈R,x≤1”，A正确； “至少有一个x,使x2+2x+1=0成立”是特称量词命题，B错误： 当x=1时，x-2=-1,NE=1,x-2<,C错误； 当x=0时，x2=0,所以“Vx∈R,x2>0”是假命题，命题的否定是 真命题，D正确。 11.ABD解析：对于A,因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若 a∈A,则上∈A,那么ax=1EA,A正确 对于B,因为A为-个封闭集”，a,6EA,所以eA,所以号∈ A,B正确！ 对于c,不动取封阿巢4={1，分2日4，日8一}，8={1， 1 1 1 1 33,99,2727,… 则A∩B={1}也是“封闭集”，显然ACB或BCA不成立，C错误 对于D,充分性：A,B都是“封闭集”， 若ACB或BCA,则AUB=B或AUB=A,则AUB是“封闭集” 必要性：若AUB是“封闭集”，令AUB=C, 假设ACB或BCA不成立，则存在a∈A,a使B,b∈B,b庄A,同时 a∈C,beC, 因为AUB=C是“封闭集”，所以ab∈C, 'ab Ec, 分两类情况讨论， 若abeA,又当aeA时，】∈A,所以bx】=bEA,这与假设矛盾， 若A,又当6∈月时，∈R所以×aeR,这与很设矛盾。 故假设不成立，原结论AUB是“封闭集”，则A二B或B二A成立， 即必要性成立，D正确。 12.a≤4解析：若命题p为假命题，则命题p为真命题， 即a≤x2对H2≤x≤3恒成立，所以a≤(x2)mn=4,即a≤4. 13.4解析：如图所示： 动物园 2 5 植物园 、9 10八 8 6 黄金塔 因为有15人既去过动物园也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过动物园和植物园，且未去过黄金塔的有15-10= 5(人)； 同理可得，同时去过动物园和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过动物园的有6人： 则只去过动物园有25-5-10-8=2（人），只去过植物园有30-5- 10-6=9(人)，只去过黄金塔有30-8-10-6=6（人）， 可得至少去过一个地方的有2+5+10+8+6+9+6=46（人），学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 专题探究1复 黑题专题强化 题组1集合中的参数问题 1.*(2026·山西太原高一月考)已知m∈R, neR,若集合{m,”,1}=m2,m+n,0},则 m m2025+n2025= () A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 2.*(2025·福建福州高一月考)已知A= {x|x2+px-6=0},B={x|x2+gx+2=0},且A∩ (CRB)={2},则p+q的值为 （) A.4 B.3 C. D.5 3.*(2025·湖北武汉高一月考)设A={x2a+ 1≤x≤3a-5}(a为实数)，B={x|3≤x≤22}， 则A二(A∩B)的充要条件为 4.*★*(2026·浙江嘉兴高一月考)已知A={x -2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}. (1)若a=3时，求A∩B,AU(CRB); (2)若Bn(CRA)=☑，求a的取值范围. 题组2集合中的新定义问题 5.**(2025·江西抚州临川一中高一月考)用 C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义 A*B= C(A)-C(B),C(A)≥C(B),若A= C(B)-C(A),C(A)<C(B), {1},B={x|x(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设 实数a的所有可能取值构成集合S,则 C(S)= () A.4 B.3 C.2 D.9 14 集合的综合问题 限时60min1答案P11 6.*(2026·福建厦门高一月考)整数集合Z 中，被4所除余数为K的所有整数组成一个 “类”，记作[K],以下判断正确的是（) A.2025∈[0] B.-2年[2] C.[2]U[3]=Cz1] D.a∈[2]，b∈[3]，则a+be[1] 7.整多选(2026·广东茂名高一月考)由无 理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直 到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要 求出发，用有理数的“分割”来定义无理数 (史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严 格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无 理”的时代，也结束了持续2000多年的数学 史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为 两个非空的子集M与N,且满足MUN=Q, M∩N=②，M中的每一个元素都小于N中的 每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割则下 列结论正确的是 A.若M={x∈Q|x<1},N={x∈Q1x>1},则 (M,N)是一个戴德金分割 B.若M={x∈Qlx<T},N={x∈QIx>T},则 （M,N)是一个戴德金分割 C.若M中有最大元素，N中没有最小元素， 则(M,N)可能是一个戴德金分割 D.若M中没有最大元素，N中没有最小元 素，则(M,N)可能是一个戴德金分割 8.禁(2026·江苏南京高一月考)已知n元有 限集A={a1,a2,a3,…,an}(n≥2，neZ),若 a1+a2+a3+…+an=a1×a2×a3×…×an,则称集合 A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算 过程). (2)若正数集A={a1,a2}是“二元和谐集”， 试证明：元素a1,a2中至少有一个大于2. (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三 元和谐集”？如果存在，存在几个？请说 明理由. 题组3集合中的新性质问题 9.整(2025·广东东莞高一月考)已知集合 M={1,2,…,n}（n∈N*,且n≥4)，若集合 A,B同时满足下列两个条件，则称集合A,B 具有性质P. 条件(1)：A∩B=☑，AUB=M,且A,B都至少 含有两个元素； 条件(2)：对任意不相等的a1,a2∈A,都有 a1+a2A;对任意不相等的b1,b2∈B,都有 b1b2生B. (1)当n=5时，若集合A,B具有性质P,且集 合A中恰有三个元素，试写出所有的集 合B; (2)若集合A,B具有性质P,且2∈B,3∈B, 求证：n<14. 第一章集合与常用逻辑用语黑白题学霸 题组4集合中的新运算问题 10.集合G关于运算 (1)对任意的a,b∈ a④b∈G;(2)存在e∈L,一u. a∈G,都有a①e=e①a=a,则称G关于运 算④为“融洽集”.现给出下列集合和运算： ①G={非负整数}，①为整数的加法；②G= {偶数}，④为整数的乘法；③G={二次三项 式}，①为多项式的加法.其中G关于运算① 为“融洽集”的是 .(填序号) 11.熱(2026·河北邢台高一月考)已知M是 正实数集的一个子集，定义运算⑧，使其满 足下列4个条件：①Hx,y∈M,则“x=y”的 充要条件是“x⑧y=1”;②Hx,y∈M,则“x> y”的充要条件是“x⑧y>1”;③Hx,y∈M,则 “x<y”的充要条件是“0<x⑧y<1”;④Vx,y, z∈M,(xy)☒z=x·（y⑧z). (1)设集合{a,a2}CM,若a⑧a>1,求a的 取值集合； (2)设x,y∈M,证明：“x⑧y=y⑧x”的充要 条件是“x=y”; (3)设x,y,z∈M,且x⑧z>y⑧z,证明：x⑧y>1. 15