1.3 集合的基本运算-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语黑白题学霸 1.3集合的基本运算 白题基础过关 限时20min1答案P5 题组1并集的运算 8.*(2026·山东烟台高一月考)如图，全集 1.·(2026·江苏无锡高一月考)设集合A= U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,4, {xx<2},B={xl-2<x<3},则AUB=( 5},则图中阴影部分所表示的集合为()》 A.xlx<3 B.{x|x<2} C.{xlx>-2} D.{xl-2<x<2} 2.*多选(2026·江苏南京高一月考)满足{1， 2,3}UA={1,2,3,4}的集合A可能是（) A.{1,2,4} B.{4,5} A.4} B.{2,4} C.{1,5} D.{3,4,5} C.1,3} D.{1,2,4} 9.*(2026·山东潍坊高一月考)已知集合 3.*(2026·河北石家庄高一月考)定义A-B U={x∈Z11≤x≤4}，CuA={1,2},则集合A= ={xx∈A且x度B},若A={x∈NI1≤x<6}, () B={x∈NI2<x<8},则(A-B)U(B-A) A.{3,4} B.{1,2} C.{x13≤x≤4} D.{x|1≤x≤2} 题组2交集的运算 10.*(2025·江苏苏州高一月考)已知全集 4.*(2026·福建厦门高一期末)已知集合A 0={1,2,3,4,5},A={1,2},AU(CB)=U, ={xlx2=2x},B={-1,0,1,2},则A∩B= 试写出一个符合要求的集合B: A.{2} B.{0} C.{0,2} D.{1,2} 重难聚焦山 5.*已知集合A={x1|x|≤2，x∈R},B={x 重难点 根据集合间的运算结果求参数 x≤4，xeZ},则A∩B= 11.*(2026·陕西宝鸡高三期中)已知集 A.{xI0<x<2} B.{xI0≤x≤2} 合A={1,m},B={2,m-3,4},AUB= C.{0,2} D.{0,1,2} {1,2,4},则m= 6.*(2026·江苏盐城高一月考)已知集合A A.1 B.2 ={1,3,4,7},B={xlx=2k-1,k∈Z},则集合 C.7 D.4 A∩B的真子集个数为 ( 12.*(2026·江苏徐州高一期末)已知A A.16 B.15 C.8 D.7 ={xla≤x≤a+3},B={xlx<-1或x> 题组3补集的运算 5},若AUB=B,则实数a的取值范围 7.*(全国高考)设全集={0,1,2,4,6,8}， 是 集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUCN= 13.*(2026·福建龙岩高一月考)已知集 ( 合A={0,a+1,a2},B={a-3,1-a,4},且 A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} 4∈(A∩B),则a= C.{1,2,4,6,8} D.U 5 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 黑题能力提升 限时35min|答案P6 1.*(2026·辽宁盘锦高一月考)已知数集 7.*(2026·江西赣州高一月考)为了增强凝 A,B满足：A∩B={1,2,3},AUB={1,2,3,4, 聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项 5},若4A,则一定有 () 比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球 A.5EA B.5A C.4∈BD.4B 比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名， 2.*多选(2026·江苏无锡高一月考)已知集合 参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、 A,B均为R的子集，若A∩B=,则 ( 乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网 A.ACCRB B.CRACB 球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比 C.AUB=R D.(CgA)U(CgB)=R 赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人 3.多选(2026·福建莆田高一期中)图中 数是 阴影部分用集合符号可以表示为 ( 8.禁(2026·福建厦门高一月考)已知全集 A.B∩(AUC) U={x|x为不大于20的质数}，A,B是U的 B.C B(AUC) 两个子集，且An(CB)={3,5},Bn(CA)= C.Bnt(AUC) {7,19},(CA)∩(CB)={2,17},则集合 D.(A∩B)U(B∩C) A= ,B= 4.*易错题(2026·广东中山高一月考)集合 9.整已知集合A={xl1<x<8},B={xla-1<x< A={x-1<x<4},B={xl-1≤x≤3}，集合C= 2a+5}. {xlm≤x≤m+2},若CnCR(AUB)=☑，则以 (1)若a=1,求AnB,(CRA)UB. 下m的取值不满足题意的是 () (2)是否存在实数a,使得A∩B=AUB?若 A.m=-1B.m=0C.m=1D.m=2 存在，求a的值；若不存在，说明理由. 5.*多选(2026·广东深圳高一期中)已知 全集U={x1x|<4,x∈Z},集合M={-1,2, a2},N={-1,1,2,a,P={-3,-1,2,3},若 MCN,则 () A.a的取值有3个 B.M∩P={-1,2} 压轴挑战山 C.PUW={-3,-1,0,1,2,3} D.(C,M)∩(C,P)所有子集的个数为4 10.#(2026·湖北十堰高一月 6.装新定义(2026·浙江嘉兴高一期中)定义 集合运第：A©B=(x)∈4，子cB若 ={m≤≤m+}，N={xn≤≤ n},且M,N都是集合{xI0≤x≤1}的子 集合A=B={x∈NI1<x<4},C={(x,y)y= 集，若把b-a叫做集合{xla≤x≤b}的长 合+号}则4enc 度，那么集合M∩N的长度的最小值为 A.0 B.{(4,1)} 2 1 5 c.{1,号》 D.{(4,),6号} A. D 3 B C. 12 12 6 第一章集合与常用逻辑用语黑白题学霸 1.1-1.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时30min1答案P7 1.*多选(2026·四川达州高一月考)给出6：*(2026·云南丽江高一期中)已知集合 下列说法，其中不正确的是 () A={x1Ix-21≤5}，B={xl3-4a≤x≤4a-5}. A.集合{x∈NIx3=x}用列举法表示为{0,1} B.实数集可以表示为{xIx为所有实数}或 (1)若a=求AUB和An(C,: R (2)若A∩B=B,求a的取值范围， C.方程组+y=0, x-y=-1 的解组成的集合为{x= D.{yly=x2}与{(x,y)ly=x2}是同一个集合 2.*(2026·天津和平区高一月考)下列六个 写法：①11}∈{1,2,3}；②0.3Q;③{a,b}≤ {b,a};④0e☑；⑤A∩☑=A;⑥☑{0}.其中 7.整(2026·浙江宁波高一期中)设集合A= 正确写法的个数为 ( ) {xlx2-8x+12=0},B={xlx2+2(a+1)x+a2- A.4 B.3 13=0}, C.2 D.1 (1)若A∩B={2},求a的值及集合A,B; 3.*多选(2026·河南平顶山高一月考)设 (2)若R为实数集，且(CRA)∩B=☑，求实数 全集为U,非空真子集A,B,C满足：A∩B=A, a的取值范围。 BUC=B,则 ( A.A∩C≠☑ B.CBCCA C.C(AUC)≠☑ D.CBEC(AnC) 视 4.接(2026·四川巴中高一月考)已知全集 压轴挑战山 解 U=N,集合A={xIx=2k,k∈N},B={x|x= 4k,k∈N},则 ( 8.禁已知集合A1,A2,A3满足：A1UA2UA3 A.A∩B=A B.AnCB=☑ {x∈N*11≤x≤9}，且每个集合恰有3个 C.AUC,B=U D.C AUC,B=U 元素，记A:(i=1,2,3)中元素的最大值与 5.**易错题（2026·湖北鄂北六校高一期中 最小值之和为M(i=1,2,3),则M+M2+ 联考)已知集合B={x|mx2+4x+1=0,x∈R} M3的最小值为 的所有子集只有两个，则实数m的值 A.21 B.24 C.27 D.30 为当a0时，A= 因为BCA,所以 1=3或=5，得a=3 a 或a5’ 综上，实数a取值的集合为{0,3,5}， 11） 所以实数a取值集合的真子集的个数为23-1=7. 易错提醒解决含参数集合的子集问题时，需要优先考虑参数使集 合为空集的情形 11.C解析：当B=O时，满足B为A的真子集， 此时m+1>2m-1,解得m<2. /m+1≤2m-1,(m+1≤2m-1, 当B≠0时，则{m+1≥-2，或{m+1>-2,解得2≤m≤3. 2m-1<5 2m-1≤5， 综上，m≤3，即m的取值范围是{mlm≤3}. 易错提醒对于含端，点的连续型集合，讨论包含关系时容易忽略端 点能否取等.本题需特别注意：当B≠☑且m=3时，B={m|4≤m≤ 5},是A的真子集，端，点可取 黑题 能力提升 1.AD解析：由题得A={0,1,2,3},则1∈A,故A正确； A有2-1=15（个）真子集，故B错误. A中有4个元素，故C错误； {2,3}CA,故D正确. 2.B解析：对于A,ZCQ,A错误； 对于B,N二Q,B正确； 对于C,⑦中不含任何元素，C错误； 对于D,O不是R的元素，因此{⑦}不是R的子集，D错误 3.D解析：因为A={x|x2-3x+2=0}={1,2}.由题图可知AB,所 以a>2. 4.D解析：当a+2=3时，即a=1,此时a2=1,集合A中元素不满足 互异性，舍去； 当a+2=a2时，即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1, 若a=-1,此时a2=1,集合A中元素不满足互异性，舍去； 若a=2,可得a2=4,此时A={1,3,4},B={1,4},符合题意 综上，可得实数a的取值集合为{2. 5.C解析：任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3,k1∈Z, 所以a∈P,所以M二P, 任取b∈P,则b=5n1+3=5(n1+1)-2,n1∈Z, 所以b∈M,所以P二M, 所以M=P; 任取ceS,则c=10m1+3=5·(2m1)+3,m1∈Z, 所以c∈P,所以SCP. 又8∈P,8库S, 所以S≠P,所以SCP=M. 6.72解析：.A二BCC,∴.{1,2}二BC{1,2,3,4,5}, .集合B可以为{1,2}，11,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}， {1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}, 所有元素之和为3+6+7+8+10+11+12+15=72. 1 7.{ala<0或a=1} 4 解析：由B={xlx2=a可知，当a<0 时，B=O,此时BCA; 当a=0时，B={0},此时A和B没有公共元素； 当a>0时，B={-√a,va}; 又A={-1,21},若A与B构成“全食”，则BCA, 1 当a<0时，满足题意；当a=0时，不合题意； 当a>0时，要使BCA,则B={-1,1},即a=1,解得a=1. 综上，A与B构成“全食”时，a的取值范围是{ala<0或a=1}； 若A与B构成“偏食”，显然a≤0时，不满足题意； 当a>0时，由A和B有公共元素且B不是A的子集， 所以a={安}， 解得a=子此时a的取值范固是{行} 1 即a= 8.解：(1)因为AC☑，所以A=☑， 当a=0时则4={}，与题查牙盾： 当a≠0时，则4=36-12a<0,解得a>3. 综上所述，实数a的取值集合为{ala>3}. (2)因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个元素， 当a=0时，则A={分}作合愿查： 当a≠0时，则4=36-12a=0,解得a=3. 综上所述，实数a的取值集合为{0,3}. (3)因为1∈A,所以a+6+3=0,解得a=-9, 所以4=-9r+6+3=0时={3} 当b=0时，B=0CA; 当60时，8{-} 1 因为B≤A,所以-6=-3或-6=1，解得6=3或6=-1. 综上所述，实数b的取值集合为{0，-1,3}. 易错提醒若BCA,应分B=0和B≠⑦两种情况讨论 念压轴挑战 9.{3,5,6,7,8,9,10解析：因为2"=2048>2024， 20=1024<2024,减去得2024-1024=1000，包含元素10； 2°=512<1000，减去得1000-512=488，包含元素9； 2=256<488,减去得488-256=232，包含元素8； 2=128<232,减去得232-128=104，包含元素7； 26=64<104,减去得104-64=40，包含元素6： 2=32<40,减去得40-32=8，包含元素5； 2=8,减去得8-8=0，包含元素3. 所以2024=23+2+2+27+23+2°+20，所以E的第2024个子集是 {3,5,6,7,8,9,10 故答案为{3,5,6,7,8,9,10}. 1.3集合的基本运算 白题 基础过关 1.A解析：因为A={x|x<2},B={x|-2<x<3}, 所以AUB={xx<3}. 2.ABD解析：因为{1,2,3}UA=1,2,3,4}, 所以4∈A,1,2,3是否属于A,不影响{1,2,3引UA={1,2,3,4}, 所以ABD符合 3.{1,2,6,7}解析：A={x∈N11≤x<6}={1,2,3,4,5},B= {x∈NI2<x<8}={3,4,5,6,7, A-B={1,2},B-A={6,7}, 所以(A-B)U(B-A)={1,2,6,7. 4.C解析：已知集合A={xx2=2x,则A={0,2},则AnB={0,2} 5.D解析：.Ix|≤2，.-2≤x≤2，即A={x|-2≤x≤2}. Vx≤4，.0≤x≤16. 又x∈Z,.B={0,1,2,3,…,16}, ∴.A∩B={0,1,2}. 参考答案黑白题学霸5○ 6.D解析：因为A={1,3,4,7},B={x|x=2k-1,keZ}, 所以A∩B={1,3,7}，, 所以集合A∩B的真子集个数为2-1=7. 7.A解析：由题意可得N={2,4,8},则MUCN={0,2,4,6,8}. 8.B解析：根据已知条件知，题图中阴影部分表示(CA)∩B, (CmA)={4,5,6,所以(CA)nB={4,5}, 所以图中阴影部分所表示的集合为：{4,5}. 9.A解析：集合U={x∈Z11≤x≤4}={1,2,3,4}， 又CA={1,2,则集合A={3,4}. 10.{2(答案不唯一)解析：U={1,2,3,4,5},A={1,2},AU (CB)=U,则{3,4,5 CUBCU,.B={1}或{2}或{1,2}或⑦ 故答案可以为{2}（答案不唯一）. ⊙重难聚焦 11.D解析：由AUB={1,2,4},B={2,m-3,4},A={1,m}, 所以m-3=1,即m=4,此时A={1,4},B={1,2,4},满足题设. 12.{a|a<-4或a>5}解析：已知集合A={xla≤x≤a+3},B= {xlx<-1或x>5}. 若AUB=B,则ACB, .a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5. 13.3或-2解析：.4e(A∩B),B={a-3,1-a,4}, .a-3≠4,1-a≠4，∴.a≠7，a≠-3. 又A={0,a+1,a2},若a+1=4,则a=3,若a2=4,则a=±2； 当a=3时，A={0,4,9},B={0,-2,4},符合题意； 当a=2时，A={0,3,4},B={-1,-1,4},不合题意； 当a=-2时，A={0,-1,4},B={-5,3,4},符合题意 故a=3或a=-2. 方法总结1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集 合元素的互异性能顺利找到解题的切入点：另一方面，在解答完毕 之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化：对已知连 续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意等号能否取到. 黑题 能力提升 1.C解析：由A∩B={1,2,3},AUB={1,2,3,4,5}, 故4∈A,4EB或4∈B,4年A, 由4A,得4∈B,故C正确，D错误； 同理，5eA,5B或5eB,5A,故A,B错误 2.AD解析：因为集合A,B均为R的子集，且A∩B=O, 画出Venn图，如图所示： 公 B 结合图象，由ACCRB,所以A正确； 由BCC.A,所以B错误： 由AUBCR,所以C错误； 由(CRA)U(CRB)=CR(AnB)=R,所以D正确 3.AD解析：在阴影部分区域内任取一个元素x,则x∈A∩B或x∈ B∩C,所以阴影部分所表示的集合为(A∩B)U(B∩C),再根据集 合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为B∩(AUC), 所以选项A,D正确，选项B,C不正确， 4.D解析：由集合A={x|-1<x<4},B={x-1≤x≤3}， 可得AUB={x|-1≤x<4},则R(AUB)={x|x<-1或x≥4. 因为Cn,(4UB)=,则清足2C解得-1≤m<2, 结合选项，可得选项D不满足题意. 易错提醒处理连续数集包含关系时，要特别注意端点能否取等。 5.BCD解析：对于A选项，因为M={-1,2,a2},N={-1,1,2,a}, 6学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 且McN, 则a2=1或a2=a,且a≠±1，a≠2，解得a=0,故a的取值只有1个， 故A错误； 对于B选项，M={-1,2,0},P={-3,-1,2,3},所以M∩P={-1, 2},故B正确； 对于C选项，N={-1,1,2,0,PUN=-3,-1,0,1,2,3},故C正确； 对于D选项，U={x1lxl<4,x∈Z}={xl-4<x<4,xeZ}={-3,-2, -1,0,1,2,3}, 所以CuM={-3,-2,1,3},CP={-2,0,1},则(CxM)n(CP)= {-2,1}, 其(CuM)∩(C,P)的所有子集的个数为22=4，故D正确。 6D解析：由题设可得A=B=2,3引，A©B={(4,1),(4,子）， (6,0.(6,号)} 因为1=- 6 3’37 6 6 +故4©nc={4.6,号)} 6x 7.10解析：设三项比赛都参加的员工为x人，结合已知条件可知， 只同时参加乒乓球、网球比赛的员工为(15-x)人， 只同时参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为(20-x)人，只同时参加 羽毛球、网球比赛的员工为(10-x)人， 只参加乒乓球比赛的员工为45-(15-x)-x-(20-x)=(10+x)人， 只参加网球比赛的员工为30-(15-x)-x-(10-x)=(5+x)人，只参 加羽毛球比赛的员工为40-(20-x)-x-(10-x)=(10+x)人， 如图所示： 球 年乓球 f55+ 10+x 10+x 羽毛球 故(10+x)+(10+x)+(5+x)+(15-x)+(10-x)+(20-x)+x=80,解 得x=10, 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 8.{3,5,11,13{7,11,13,19解析：将已知条件An(CuB)={3 5,Bn(CA)={7,19},(CA)n(CB)=C(AUB)={2,17填入 如图所示的Venn图， 由图可知A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}. 一题多解也可直接进行分析.由题可知U={2,3,5,7,11,13,17, 19, 由An(CuB)={3,5},得3∈A,5∈A,且3B,5B, 由Bn(CA)={7,19},得7∈B,19∈B,且7EA,19EA, 由(CA)∩(C,B)=C(AUB)={2,17},得2EA,17EA,且2B, 17eB. 下面讨论集合U中剩余元素11和13. 情形一：11∈A,但11B,与An(CB)={3,5}矛盾； 情形二：11EA,但11eB,与Bn(CA)={7,19}矛盾； 情形三：11生A,且11B,与(C,4)∩(C,B)={2,17矛盾； 情形四：11eA,且11∈B,经检验符合题意. 同理可得13eA,且13eB. 综上可得，A={3,5,11,13},B={7,19,11,13}. 9.解：(1)因为a=1,所以B={x10<x<7},则A∩B={xI1<x<7}, 由A={xl1<x<8},得RA={x|x≤1或x≥8}， 则(CRA)UB={xlx<7或x≥8}. (2)假设存在实数a,使得A∩B=AUB,由A∩B=AUB,得A=B, 则：-1=1，方程组无解，从而假设不成立， (2a+5=8, 故不存在实数a,使得A∩B=AUB. 专压轴挑战 10,B解析：根据新定义可知架合M的长度为}，集合N的长度为 3,当集合MnN的长度最小时，M与N应分别在x0≤x≤1 1 左右两端，故MnN的长度的最小值是}兮1=立 1.1-1.3阶段综合 黑题 阶段强化 1.BCD解析：对于A,集合{x∈NIx3=x}中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为0,1}，故A正确： 对于B,R就表示实数集，故B错误； 对打c解来应为{（分）}原表示信误故c结误： 对于D,集合{yly=x2}为y的取值集合，集合{(x,y)ly=x2}表示y= x2的图象上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误 2.C解析：①两个集合之间的关系是包含、被包含关系，不能是属 于、不属于关系，故错误； ②0.3是有理数，即0.3∈Q,故错误； ③a,b},{b,a所含元素相同，所以{a,b}C{b,a}正确； ④空集没有任何元素，故错误； ⑤任意集合与空集的交集为空集，故错误； ⑥空集是任意非空集合的真子集，故正确， 所以正确的有③⑥， 3.BCD解析：由AnB=A,可知ASB;由BUC=B,得CSB 先判断出集合之间的关系 A选项，由题意可知，集合A,C都是集合B的子集，但是它们两个 的关系无法确定： B选项，由ACB,得C,BCA; C选项，由ACB和CCB,知(AUC)CB,又因为集合B是全集U 的非空真子集，C(AUC)≠O; D选项，由ACB和CCB,知(AnC)CB,所以心，BCC(AnC). 一题多解A选项，根据题意，可画出如下符合题意的Vem图，由 图可知，可能A∩C=O. U B B,C,D选项，由题可知ACB,且CCB.集合A,C间的关系不确定， 可分A∩C=☑和AnC≠☑两种情况，但不论哪种情况，结合Vem 图均可得CoBCCA,C(AUC)≠O,CB CCu(AnC) 4.C解析：对于A,因为A={xlx=2k,k∈N}, 当k是偶数时，令k=2n,neN,此时A={xx=4n,neN}, 当k是奇数时，令k=2n-l,neN',此时A={xlx=4n-2,neN}, 所以B军A,所以A∩B=B,故A错误； 对于B,因为集合A表示非负偶数的集合，集合B表示能被4整除 的非负整数，B表示自然数中除去被4整除的数，所以A∩CB≠ ⑦，故B错误； 对于C,因为B手A,所以AUCB=U,故C正确： 对于D,因为A不含偶数，CnB不含被4整除的数，所以CAUCB 不含被4整除的数，故D错误 5.0或4解析：已知集合B的所有子集只有两个， 所以集合B中的元素只有1个， 当m=0时，解方程r+4红+1=0可得=，符合题意； 当m≠0时，要想该集合的元素只有一个，只需一元二次方程mx2+ 4x+1=0的判别式4=0， 即42-4m=0→m=4,显然m≠0，符合题意. 综上所述，实数m的值为0或4. 易错提醒含参方程首先要讨论二次项系数是否为零，再考虑判 别式 6.解：(1)当a=5时，B=x1-7≤≤5引，而A=x1-3≤≤71， 2 所以AUB={xl-7≤x≤7}，B={xlx<-7或x>5, An(B)={x5<x≤7}. (2)由AnB=B,得BCA, 当B=0时，3-4a>4a-5,即a<1; a≥1， 当B≠⑦时，4a-5≤7，解得1≤a≤2， 3 3-4a≥-3 所以实数a的取值范围是a≤2 3 7.解：(1)A={xlx2-8x+12=0}={2,6},B={x1x2+2(a+1)x+a2- 13=0. 因为A∩B={2},所以2∈B,则22+2(a+1)×2+a2-13=0, 即a2+4a-5=0,解得a=1或a=-5. 验证：当a=1时，B={xlx2+4x-12=0}={-6,2}, 则A∩B={2},满足题意： 当a=-5时，B={xlx2-8x+12=0}=A, 则A∩B={2,6},不满足题意. 综上可知，若AnB={2},则a=1,此时A={2,6},B={-6,2}. (2)若(RA)∩B=☑，则BCA,又A={2,6}, ①当B=O时， 空集是任何集合的子集，先验证B是否为空集 则关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-13=0没有实数根，则4= 4(a+1)2-4(a2-13)=8(a+7)<0,解得a<-7, 故当a<-7时，B=☑CA满足题意： ②当B≠0，即a≥-7时， 若集合B中只有一个元素，则△=8(a+7)=0,解得a=-7, 即当a=-7时，B={xx2-12x+36=0}={6}≤{2,6}，BCA,满足 题意； 若集合B中有两个元素，则△=8(a+7)>0,解得a>-7, 即当a>-7时，要使BCA,则B=A={2,6, 所以2和6是方程x2+2(a+1)x+a2-13=0的两个根， 则由韦达定理得+6-2a+),解得a=-5,满足条件02-。 (2×6=a2-13, 综上所述，a≤-7或a=-5. 方法总结解决含参集合的包含关系时，需分步进行： ①将已知元素代入求出参数的可能值： ②验证互异性及集合相等条件； ③讨论子集关系时，注意空集是任何集合的子集，需单独考虑. ◆压轴挑战 8.C解析：由题意可知，A1UA2UA3={x∈NI1≤x≤9}={1,2,3， 参考答案黑白题学霸7○ 4,5,6,7,8,9},A1,A2,A3各有3个元素且不重复， 先考虑最小值为1,2,3，不妨设1∈A1,2∈A2,3∈A3,9∈A3,则剩 余数中最大为8， 所以可以令8eA3,所以A1={1,4,5},A2={2,6,7}或者A,={1, 6,7},A2={2,4,5},此时M+M2+M3取得最小值，此时最小值为 1+2+3+5+7+9=27. 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件+1.4.2充要条件 白题 基础过关 1.C解析：由x=5,得=√5；由E=5,得x=5;所以“x=5”是 “=5”的充要条件 2.D解析：充分性：取x=e,y=。符合“x,y为无理数”，但是y=2 不符合“xy为无理数”，故充分性不满足； 必要性：当“y为无理数”时，可以取x=e,y=2,但是不符合“x,y 为无理数”，故必要性不满足 故“x,y为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 3.B解析：“卧龙凤雏，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏 中的任意一个，就可以安天下， 则“得到卧龙或凤风雏”是“安天下”的充分条件： 可将日常语言转化为“若p则g”的形式，即若得卧龙凤雏之一， 则可安天下 但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤风雏”，即安天下可能 通过其他途径实现， 则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件； 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分不必要条件 4.A解析：若[x]=9,则9≤x<10,所以“9<x<10”是“[x]=9”的充 分不必要条件. 5.B解析：首先，判断q对p的推出关系：若A,B至少一个是空集， 则A∩B必为空集，即q→p; 若A∩B为空集，未必有A,B至少一个是空集（如A={1},B= {2),即pPg 所以p是g的必要不充分条件 6.证明：必要性：若ax2+bx+C=0有一个根为2，则x=2满足方程，即 4a+2b+c=0; 充分性：若4a+2b+c=0,则a×22+b×2+c=0,即x=2满足方程ax2+ bx+c=0,则关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2. 综上，命题得证 7.证明：充分性： 因为a=b=c,且a,b,c均为正实数， 所以a+b+c=3a,√ab+√ac+√bc=3a, 所以a+b+c=√ab+√ac+√bc,充分性得证 必要性：因为a,b,c均为正实数，且a+b+c=√ab+√ac+√bc, 所以a+b+c-√ab-√ac-√bc=0, 即2a-6)+(6-)+c-6)]=0, 所以√a-√b=0,√a-√c=0,Nc-√b=0, 所以a=b=c,必要性得证. 综上，a+b+c=√ab+√ac+√bc的充要条件是a=b=c. 8.D解析：对于A,.a=2→a∈A,a∈APa=2,.a=2是a∈A的 充分不必要条件； 对于B,a>l→a∈A,aeA羚a>1,a>1是a∈A的充分不必要 条件； 对于C,0<a<l→aeA,aeAP0<a<1,.0<a<1是aeA的充分 8学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 不必要条件； 对于D,a=0Ra∈A,aeA→a≥0， ∴a≥0是a∈A的必要不充分条件. 9.BD解析：对于A,开关S与另一个开关是并联电路，灯泡L亮，S 不一定闭合，故A不符合题意： 对于B,开关S与灯泡L是串联电路，当灯泡L亮时，S一定闭合， 当开关S闭合时，灯泡L亮，故B符合题意； 对于C,开关S与灯泡L以及另一个开关三者串联，当开关S闭合 时，灯泡L不一定亮，故C不符合题意； 对于D,开关S与灯泡L是串联，当开关$闭合时，灯泡L亮，当灯 泡L亮时，开关S闭合，故D符合题意 10.B解析：方程x2+mx+4=0有两个不相等的正实数根，当且仅当 △=m2-16>0, 且两根之和-m心0时取得，解得m<-4. 易忽略正实数根的验证 故其一个充分不必要条件是m<-5. 1山.m=-2解析：由于二次函数的对称轴为直线=一公，所以函数 y=+m+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是-分1，即 m=-2. 12.A解析：x∈A是xeB成立的一个必要不充分条件， .B是A的真子集： 当B=☑，即m+1≤-1时，m≤-2，满足题意： 当B≠0时，需满足-1<m+1<2,解得-2<m<1; 综上所述，实数m的取值范围为{mlm<1}. 方法总结充分、必要条件与集合的关系： P,q成立的对象构成的集合分别为A和B. (1)若ACB,则p是g的充分条件，9是p的必要条件. (2)若AB,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分 条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件. 13.D解析：.x∈A是xeB的充分条件，.ACB, 则：①x2=4,解得x=±2； ②x2=x,解得x=0或x=1(舍去). 综上，x=0或x=±2. 14.解：(1)M∩P={x15<x≤8的充要条件是-3≤a≤5，所以实数a 的取值范围是{al-3≤a≤5}. (2)显然，满足-3≤a≤5的任意一个a的值都是M∩P={xI5< x≤8}的充分不必要条件 如：a=-3.(答案不唯一） (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={xI5<x≤8的一个必 要不充分条件就是另求一个集合，故{al-3≤a≤5}是它的一个 真子集 当a≤5时，未必有MnP={x5<x≤8}，但是MnP={xl5<x≤8 时，必有a≤5，故{ala≤5}是所求的实数a的一个取值范围.（答 案不唯一) 重难点拨充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求 解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解. (2)要注意端，点的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数 的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点的取舍，处理不当 容易出现漏解或多解的现象 令易错聚焦 15.B解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必 须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件。