章末检测（一） 集合与常用逻辑用语（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

综合质量检测部分 章末检测（一）　集合与常用逻辑用语 1.B　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为“∀x∈Z，x2＋1不是4的倍数”. 2.C　当x＝0时，x2＝0，所以选项A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以不存在x∈R，x2＜0，因此选项B是假命题；由x2－2＝0⇒x＝±，而±是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题.故选C. 3.C　易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，共4个. 4.B　∵｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，∴两边同时平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2｜ab｜＋b2，即｜ab｜＝－ab，∴ab≤0.故“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的必要不充分条件. 5.D　A项为全称量词命题，所有能被6整除的正数一定能被2整除，都是偶数，且为真命题，故A不符合题意；B、C项为存在量词命题，故B、C不符合题意；D项，当x＝0时，x3＞x2不成立，为假命题，故D符合题意. 6.D　图中阴影部分表示的集合是∁A∪B（A∩B）.由题可得A∩B＝{x｜0＜x≤2}，A∪B＝{x｜x≥0}，则∁A∪B（A∩B）＝{x｜x＝0或x＞2}. 7.B　关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数，则需满足a＝0或解得－≤a≤0，因此“关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数”为真命题的充要条件为a∈{a｜－≤a≤0}，结合选项可知a≤0是“关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件.故选B. 8.A　因为A∩B≠⌀，所以当集合A∩B中仅有1个元素时，A∪B中有15个元素，所以集合（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）中有3个元素；当A∩B中有6个元素时，A∪B中有10个元素，所以集合（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）中有8个元素，所以3≤x≤8且x为正整数.故选A. 9.CD　因为集合A＝{1，3，4}，所以A的真子集个数为23－1＝7，故A错误；由B＝{x∈N｜∈N}＝{1，2，4，8}，A＝{1，3，4}，得U＝A∪B＝{1，2，3，4，8}，所以{1}⊆U，U中的元素个数为5，故B错误，C正确；∁UA＝{2，8}，所以（∁UA）⊆B，故D正确. 10.AC　对于选项A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x2＞0的否定为􀱑p：∃x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a＞b＞0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a＞b”并不能推出“a2＞b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误. 11.BCD　选项A中，∵1∈B，－1∈B，1－（－1）＝2∉B，不满足性质②，∴A中说法不正确；选项B中，∵0∈Q，1∈Q，若x，y∈Q，则x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，∴有理数集Q是“完美集”，∴B中说法正确；选项C中，∵0∈A，x，y∈A，0－y＝－y∈A，∴x＋y＝x－（－y）∈A，∴C中说法正确；选项D中，任取x，y∈A，当x，y中有0或1时，xy∈A；当x，y中均不含0和1时，由性质②可知，∈A，∴－＝∈A，即x（x－1）＝x2－x∈A，即x2∈A，同理，y2∈A.由选项C知x＋y∈A，则（x＋y）2∈A，∵2xy＝（x＋y）2－（x2＋y2），∴2xy∈A，∴∈A，∴＋＝∈A，∴xy∈A，故D中说法正确. 12.有的同位角不相等　解析：全称量词命题的否定是存在量词命题. 13.－1　解析：∵A＝{0，｜a｜}，B＝{1，a}，A∩B＝{1}，∴｜a｜＝1，a≠1，解得a＝－1. 14.{m｜m＞1}　解析：由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A⫋B，即即m＞1. 15.解：（1）是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题. （2）是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题. （3）是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题. （4）是存在量词命题，否定为：任意一个实数x，都满足≤2，假命题. 16.解：（1）因为A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}＝{x｜－1＜x≤3}，P＝{x｜x≤0或x≥5}，将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示. 所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}， ∁UB＝{x｜x≤－1或x＞3}. （2）（A∩B）∪（∁UP）＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜0＜x＜5}＝{x｜－1＜x＜5}. 17.解：（1）要使p：∀x∈{x｜1＜x＜2}，a≤x为真命题，只需a≤1，即a的最大值为1. （2）若使q：∃x∈R，使得x2＋2x－（a－1）＝0为真命题，则Δ＝4＋4（a－1）≥0，解得a≥0. ①p真q假时，只需所以a＜0； ②p假q真时，只需所以a＞1， 所以a＜0或a＞1. 综上，a的取值范围为{a｜a＜0或a＞1}. 18.解：（1）∵B≠⌀，∴2m＜1，解得m＜， 又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， ∴B⫋A， 则需满足2m≥－1，即m≥－， 综上所述，实数m的取值范围是{m｜－≤m＜}. （2）∵A＝{x｜－1≤x≤2}， ∴∁RA＝{x｜x＜－1或x＞2}. ①当B≠⌀时，此时m＜， 若B∩（∁RA）中只有一个整数，则－3≤2m＜－2， 解得－≤m＜－1； ②当B＝⌀时，此时m≥，不符合题意. 综上所述，实数m的取值范围是{m｜－≤m＜－1}. 19.解：（1）C×D＝{（a，1），（a，2），（a，3）}. （2）因为A×B＝{（1，2），（2，2）}，所以A＝{1，2}，B＝{2}. （3）从以上解题过程可以看出，A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与集合B中的每一个元素对应结合，得到集合A×B中的一个新元素，若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A×B中的元素应为（m×n）个，所以若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则集合A×B中有3×4＝12（个）元素. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末检测（一）　集合与常用逻辑用语 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.命题“∃x∈Z，x2＋1是4的倍数”的否定为（　　） A.∀x∈Z，x2＋1是4的倍数 B.∀x∈Z，x2＋1不是4的倍数 C.∃x∈Z，x2＋1不是4的倍数 D.∀x∉Z，x2＋1不是4的倍数 2.下列命题为真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2＞0 B.∃x∈R，x2＜0 C.∀x∈Q，x2－2≠0 D.∃x∈Q，x2－2＝0 3.设集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是（　　） A.1 B.3 C.4 D.6 4.“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（　　） A.所有能被6整除的正数都是偶数 B.存在三角形的一个内角，其余弦值为 C.∃m∈N，x2＋mx＋2＝0无解 D.∀x∈N，x3＞x2 6.如图所示，若A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜x＞0}，则阴影部分表示的集合为（　　） A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜1＜x≤2} C.{x｜0≤x≤1或x≥2} D.{x｜x＝0或x＞2} 7.命题：“关于x的方程ax2＋x－1＝0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（　　） A.a＝0 B.a≤0 C.－≤a≤0 D.－≤a＜0 8.已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，A∩B≠⌀.设集合（∁UA）∩（∁UB）中有x个元素，则x的取值范围是（　　） A.{x｜3≤x≤8，且x∈N} B.{x｜2≤x≤8，且x∈N} C.{x｜8≤x≤12，且x∈N} D.{x｜10≤x≤15，且x∈N} 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，B＝{x∈N｜∈N}，则（　　） A.集合A的真子集有8个 B.{1}∈U C.U中的元素个数为5 D.（∁UA）⊆B 10.下列说法中正确的是（　　） A.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B.命题p：∀x∈R，x2＞0，则􀱑p：∃x∈R，x2＜0　 C.命题“若a＞b＞0则＜”的否定是假命题 D.“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件 11.若集合A具有性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“完美集”.下列说法正确的有（　　） A.集合B＝{－1，0，1}是“完美集” B.有理数集Q是“完美集” C.设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A D.设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.命题“同位角相等”的否定为　　　　　　　　. 13.已知集合A＝{0，｜a｜}，集合B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝　　　　. 14.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假： （1）有一个奇数不能被3整除； （2）∀x∈Z，x2与3的和不等于0； （3）三角形的三个内角都为60°； （4）存在一个实数x，使＞2. 16.（本小题满分15分）已知全集U＝R，A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}，P＝{x｜x≤0或x≥5}.求： （1）A∩B，∁UB； （2）（A∩B）∪（∁UP）. 17.（本小题满分15分）已知a∈R，p：∀x∈{x｜1＜x＜2}，a≤x；q：∃x∈R，使得x2＋2x－（a－1）＝0. （1）若p是真命题，求a的最大值； （2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围. 18.（本小题满分17分）设集合A＝{x｜－1≤x≤2}，集合B＝{x｜2m＜x＜1}. （1）若B≠⌀，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； （2）若B∩（∁RA）中只有一个整数，求实数m的取值范围. 19.（本小题满分17分）对于集合A，B，我们把集合{（a，b）｜a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，B×A＝{（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}，A×A＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，B×B＝{（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}.据此，试回答下列问题： （1）已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D； （2）已知A×B＝{（1，2），（2，2）}，求集合A，B； （3）已知A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $