1.5 全称量词与存在量词-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语黑白题学霸 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 白题 基础过关 限时15mim 题组1全称量词命题与存在量词命题的理解 7.*用符号语言表示下列含有量词的命题， 1.·(2025·安徽毫州高一月考)下列命题中 并判断真假： 是存在量词命题的是 (1)任意实数的平方大于0； A.所有能被3整除的整数都是奇数 (2)有的实数的平方等于它本身； B.每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 (3)两个有理数的乘积仍为有理数， C.有的三角形是等边三角形 D.任意两个等边三角形都相似 2.*多选(2025·广东广州高一月考)下列 命题中是全称量词命题的是 A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.3x∈R,x2+1=0 3.(2026·安徽六安高一月考)下列命题与 “x∈R,x2+1≥1”的表述意义一致的是 () A.有且只有一个实数x,使得x2+1<1成立 B.有些实数x,使得x2+1≥1成立 C.不存在实数x,使得x2+1<1成立 D.有无数个实数x,使得x2+1≥1成立 题组3 根据命题的真假求参数的值或取值 4.*将“方程x2+1=0无实根”改写成含有一 范围 个量词的命题的形式，可以写成 8.*★（2026·江苏南通高一月考)若“3x∈ 题组2全称量词命题与存在量词命题的真假 {x11≤x≤4}，使得2x+a+1≥0”是真命题，则 5.*★易错题多选(2026·广东江门高一月 实数a的取值范围是 () 考)下列各命题中的假命题是 () A.{ala<-9} B.{ala<-3} A.Hx∈R,1-x2<0B.Hx∈R,lxl≥x C.{ala≥-9} D.{ala>-3} C.3x∈Z,x3<1 D.3x∈Q,x2=2 9.*★(2026·江西南昌高一月考)若命题 6.给出下列命题： “3x∈R,x2-2x+m=0”是真命题，则实数m ①HxeN,x3>x2; 的取值范围是 () ②所有可以被2整除的整数，末位数字都是2； A.m>1B.m≥1C.m<1 D.m≤1 ③3x∈R,x2-x+1<0; 10.*(2026·安徽安庆高一月考)已知集合M= ④存在一个四边形，它的对角线互相平分， {xla≤x≤a+1},且“Vx∈M,x+2026>0”是真 上述命题中，真命题的序号为 命题，则实数a的取值范围为 11 学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 白题基础过关 限时15min1答案P10 题组1含有量词命题的否定 8.*多选下列命题的否定中，是全称量词命 1.*(2026·陕西汉中高一期中)命题“存在 题且为真命题的有 () x∈R,使得2x≤0”的否定是 ( A.月xeR,x-x+4<0 A.不存在x∈R,使得2x>0 B.存在x∈R,使得2x≥0 B.所有的正方形都是矩形 C.对任意的x∈R,都有2x≤0 C.3x∈R,x2+2x+2=0 D.对任意的x∈R,都有2x>0 D.至少有一个实数x,使x3+1=0 2.*(2026·重庆两江新区高一期中)命题 9.写出下列命题p的否定，判断真假并说 “Hn∈Z,n∈Q”的否定是 ( 明理由 A.3n∈Z,n哇QB.Hn∈Z,nQ (1)p:3x∈R,x2=-1; C.3nZ,n哇QD.HnZ,nQ (2)p:不论m取何实数，关于x的方程mx+ 3.*(2026·河北唐山高一期中)已知命题p: x-1=0必有实数根； 自然数都是整数，则命题p的否定为() (3):有的平行四边形的对角线相等 A.自然数都不是整数 B.存在一个自然数不是整数 C.整数都不是自然数 D.存在一个自然数是整数 4.*易错题(2026·福建厦门高一期中)命题p: 2 Hx>0,x+二>1，它的否定p为 () Ax20,+2≤1B.30,+2<1 重难聚焦川 C.<0,x+2≤1D.V≤0，x+≤1 重难点含有量词命题的否定的应用 5.*命题：“a,b,c中至少有一个负数”的否定 10.*(2026·四川成都高一月考)命题 形式是 “存在x>1,使得2x+a<3”是假命题，则 6.*(2026·安徽合肥高一期中)命题p: 实数a的取值范围为 () “3x∈{x11<x<2},x2-x-2≥0”，则p A.a≥1B.a>1 C.a<1 D.a≤1 为 11.*已知命题p:Hx∈R,x2+2x-a>0.若 题组2含有量词命题的否定的真假判断 p为假命题，则实数a的取值范围是 7.*多选已知命题p:Hx∈R,2x+3≤0，则下 ( 列说法正确的是 A.p是真命题 A.a>-1 B.a<-1 B.7p:Hx∈R,2x+3>0 C.一p是真命题 C.a≥-1 D.a≤-1 D.7p:3x∈R,2x+3>0 12 第一章集合与常用逻辑用语黑白题学霸 1.5 阶段综合 黑题阶段强化 限时30minL答案P10 1.*(2026·山东青岛高一期中)命题p: 6.*已知集合A={xI0≤x≤a},集合B= 3x∈R,n≥x2,neN“,则命题p的否定p {xlm2+3≤x≤m2+4},命题p:“3m∈R,使 是 得A∩B≠☑”，则命题p的否定为 A.HxeR,都有n<x2,n∈N* 若p为假命题，则实数a的取值范围 B.Hx∈R,都有n≠x2,n∈N 是 C.3x∈R,n<x2,n∈N 7.整易错题(2026·山东枣庄高一月考)已知 D.]xeR,n≥x2,neN 集合A={x-3≤x≤10}，B={x|2m+1≤x≤ 3m-2},且B≠☑. 2.多选(2026·江西南昌高一期末)下列命 (1)若命题p:“Hx∈B,x∈A”是真命题，求实 题是全称量词命题，且是真命题的为()》 数m的取值范围； A.矩形有四条边 (2)若命题g:“3x∈A,x∈B”是真命题，求实 B.Hx∈R,x2-x+99>0 数m的取值范围. C.3x,y∈R,x2+y<0 D.“Hx∈N,x2+4=0”的否定 3.*多选(2026·山东聊城高一期末)已知 非空集合M,N满足M≠N,且M∩N=M,则 A.Hx∈M,x∈N B.Hx∈N,x∈M 压轴挑战心 C.]x∈N,x∈M D.3xM,x∈N 4.*(2026·湖北襄阳高一期中)若命题“任 8.禁新定义多选(2026 意x∈R,x2-2x-m≠0”是假命题，则实数m 考)设集合M={x:∈NI1≤i≤n,i∈N*, 的取值范围是 n≥3}，若3x,y,z∈M,使得y2=xz(x,y,z A.m≤-1 B.m≥-1 两两不等)，则称M为2集，下列结论错 C.-1≤m≤1 D.m>-1 误的是 5.*(2025·浙江温州高一月考)根据下述事 A.若集合A是D集，集合B是非空数集， 实，写出一个含有量词的命题是 则AUB是2集 B.若{1,9，x}是2集，则x=81 13=12, C.若集合A是2集，集合B={y∈NI1≤ 13+22=(1+2)2, j≤m,j∈N*,m≥2}，则C={abla∈A, 13+23+33=(1+2+3)2, b∈B}为D集 13+23+33+43=(1+2+3+4)2 D.Hp∈N*,3g∈N*且g≥3，使得{p+ 1,2p+1,3p+1,…,9p+1}是2集 13易错提醒处理逻辑语句时，可将日常语言转化为“若p则q”的形 式，再根据箭头方向判断充分必要性。 黑题 能力提升 1.A解析：当x为整数时，2x+1必为整数； 当2x+1为整数时，x不一定为整数， 1 例如当2x+1=2时，x=2 所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件 2.AD解析：由“-5<x<2”是“x<k或x>k+4”的充分不必要条件， 则{x-5<x<2}是{x|x<k或x>k+4的真子集， 所以有k≥2或k+4≤-5，即k≥2或k≤-9. 即A,D正确，B,C错误 3.D解析：由A∩B=B台BCA白AUB=A, 4.B解析：由已知有p→r,rP,9→r,→s,→9， 由此得r→g且q→r,故A,C不正确； p→q,9P,故B正确； r→s且s→r,故D不正确， 5.A解析：由题可知1∈A且2年A 3a-2≤0，解得} 2 6a-2>0, 3<a≤3 所以使得“1∈A且2使A”成立的一个充分不必要条件是集合 {行a≤号}的-个真子巢， .1 只有透项A中的口号a<号}是{口日a≤号}的k了集 6.B解析：必要性：在锐角三角形ABC中，作AD⊥BC,D为垂足」 如图， DR AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2=AC2+CB2-2CB.CD< AC2+CB2,所以必要性成立；充分性：在△ABC中， 取三角形边长a=4,b=5,c=3, 要证明不成立，只要找出一组反例 则根据a2+c2=b2可知△ABC为直角三角形，且满足a2+b2>c2,但 此时△ABC不为锐角三角形，充分性不成立； 所以“a2+b2>c2”是“△ABC是锐角三角形”必要不充分条件. 7.必要不充分解析：充分性：地月连线和日地连线正好成直角时， 我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立： 必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要 性成立，故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要 不充分条件. 8.(1)④(2)①解析：由题意有：①ab=0台a=0或b=0,即a,b 至少有一个为0；②a+b=0曰a,b互为相反数，则a,b可能均为0， 也可能为一正数一负数； ③a(a2+b2)=0台a=0,b为任意实数； ④a>u-8o0或c8即a6都不为0 综上可知，(1)使a,b都不为0的充分条件是④： (2)使a,b至少有一个为0的充要条件是①. 9.充分不必要解析：对于实数a,b,依题意，a≥[a],〈b)≥b,而 [a]=〈b〉，因此a≥b, 若a≥6，如取a=2,b=2,有[a]=0,(b）=1, 显然[a]<(b〉，所以“[a]=〈b〉”是“a≥b”的充分不必要条件 ©压轴挑战 10.0<a<3解析：由“y∈B”是“yeA”的必要条件，得A二B, 由A中元素为整数，故A只可能为{1}，{2}，{1,2}， 由点不在第-、三象限得化0安0 即①或： x≤1，②， x≤a 当a<1时，①无解，由②得a≤x≤1， 此时A={xeZla≤x≤1}，故A=1},有0<a<1: 当a≥1时，由①②得1≤x≤a, 此时A={x∈Z11≤x≤a,因为1∈A,只须3A,有1≤a<3; 综上，实数a的取值范围是{al0<a<3}. 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 白题 基础过关 1.C解析：对于A,含有量词所有，为全称量词命题，故A不符合题意； 对于B,含有量词每一个，为全称量词命题，故B不符合题意： 对于C,含有量词有的，为存在量词命题，故C符合题意： 对于D,含有量词任意，为全称量词命题，故D不符合题意 2.AC解析：根据全称量词命题和存在量词命题的定义可以判断选 项A,C是全称量词命题，B,D是存在量词命题. 3.C解析：与“Hx∈R,x2+1≥1”表述一致的是“不存在实数x,使 得x2+1<1成立” 4./x∈R,x2+1≠0解析：由已知，“方程x2+1=0无实根”是全称量 词命题，故可改写为Vx∈R,x2+1≠0. 5.AD解析：对于A选项，取x=0,则1-x2=1-0>0,A中的命题为假 命题； 对于B选项，当x≥0时，Ix|=x;当x<0时，|x|=-x>x 综上所述，Hx∈R,Ix|≥x,B中的命题为真命题； 对于C选项，取x=-1,则x=(-1)3=-1<1,C中的命题为真 命题； 对于D选项，若x2=2,则x=±√2Q,D中的命题为假命题. 易错提醒判断全称量词命题为假只需举一个反例，判断存在量词 命题为真只需找一个实例. 6.④解析：若x=0,则x3=0,x2=0,此时x3=x2,所以命题①为假 命题； 可以被2整除的整数，末位数字还可以是0,4等，命题②为假 命题； 12,3、3 对于VxeR,y=-*+1=(2)+4≥4，所以命题③为假 命题； 平行四边形是四边形且对角线互相平分，所以命题④是真命题. 7.解：(1)“任意实数的平方大于0”用符号语言表示为Hx∈R,x2>0. 当x=0时，02=0，不合题意，所以HxER,x2>0为假命题. (2)“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为3x∈R, x2=x. 当x=1时，12=1，所以3x∈R,x2=x为真命题 (3)“两个有理数的乘积仍为有理数”用符号语言表示为Hx,y∈ Q,x∈Q.当x,y∈Q时，根据有理数的性质知y∈Q,所以Hx, y∈Q,xy∈Q为真命题. 8.C解析：由于“3x∈{x{1≤x≤4}，使得2x+a+1≥0”是真命题， 可得]x∈{x1≤x≤4}，使得a≥-2x-1成立， 因为1≤x≤4，所以-2x-1≥-9，所以a≥-9. 9.D解析：由题意可知方程x2-2x+m=0有实数解，即△=4-4m≥ 0,解得m≤1. 10.{ala>-2026}解析：若“Hx∈M,x+2026>0”是真命题，则x+ 2026的最小值大于0， 又a≤x≤a+1,可知x+2026的最小值是a+2026, 所以a+2026>0,解得a>-2026 参考答案黑白题学霸9○ 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 白题 基础过关 1.D解析：由存在量词命题的否定规则得原命题的否定为：对任意 的x∈R,都有2x>0,故D正确. 2.A解析：由题意可知，命题“HneZ,neQ”的否定是“3n∈Z, n哇Q”. 重难点拔1.否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量 词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要 否定结论. 2.判定全称量词命题“Hx∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中 的每一个元素x,证明p(x)成立：要判断存在量词命题是真命题，只 要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立即可. 3.B解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p 的否定为存在一个自然数不是整数 4.A解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题： V>0,x+2>1,则它的否定p为]>0，x+2≤1，故选A 2 注意本题中x≠0 易错提醒写命题的否定时，容易忽略原命题中隐含的条件（如分 数的分母不为0) 5.a,b,c都是非负数解析：命题：“a,b,c中至少有一个负数”为存 在量词命题，所以其否定形式是“a,b,c都是非负数”. 6.Vx∈{x1<x<2},x2-x-2<0解析：由题意知命题p为存在量词 命题，则命题p的否定为全称量词命题，所以一p:Hx∈{x|1<x< 2},x2-x-2<0. 7.CD解析：当x=0时，2x+3≤0不成立，故p是假命题，故A错误； 由全称量词命题的否定可知，p:Hx∈R,2x+3≤0的否定为一p: 了x∈R,2x+3>0,故D正确，B错误；一p是真命题，故C正确. 8.AC解析：对于A选项，原命题的否定为VxeR,2-x+}≥0，是 全称量词命题2-+}-(x子）广≥0原命愿的否定为直 1）2 命题，A正确. 对于B选项，原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题， B错误 对于C选项，原命题的否定为Hx∈R,x2+2x+2≠0；.'x2+2x+2= （x+1)2+1≥1，∴.x2+2x+2≠0恒成立，则原命题的否定为真命题， C正确， 对于D选项，原命题的否定为对于任意实数x,都有x3+1≠0；当 x=-1时，x+1=0,∴.原命题的否定为假命题，D错误 9.解：(1)因为p:3x∈R,x2=-1,所以命题p的否定为：Hx∈R, x2≠-1， 显然当x∈R时，x2≥0，x2≠-1，命题p的否定为真命题. (2)因为P:不论m取何实数，关于x的方程mx2+x-1=0必有实 数根，所以命题p的否定为：存在实数m,使关于x的方程mx+x 1=0没有实数根 当m=0时，方程x-1=0有实根，当m≠0时，方程m2x2+x-1=0的 根的判别式4=1+4m2>0,故命题p为真命题，命题p的否定为假 命题 (3)P:有的平行四边形的对角线相等，命题p的否定：所有的平行 四边形的对角线都不相等，则命题p是真命题，命题p的否定是假 命题 ⊙重难聚焦 10.A解析：因为“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题， 10学霸黑白题数学·必修第一册·RJ 故“任意x>1,使得2x+a≥3”是真命题，故a≥3-2x在x>1上恒 成立，因为3-2x<1,所以a≥1. 11.B解析：因为p为假命题，所以p为真命题，则不等式x2+2x a>0在R上恒成立，即a<x2+2x在R上恒成立. 令y=x2+2x,则y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1，所以a<-1. 1.5阶段综合 黑题】 阶段强化 1.A解析：命题p:3xeR,n≥x2,n∈N的否定是HxeR,都有n< x2,n∈N". 2.AB解析：A选项中的命题是全称量词命题，且为真命题，A符合 题意. B选项中的命题是全称量词命题，由于2-x+99=(x2)+4 112.395 0恒成立，则原命题为真命题，B符合题意 C选项中的命题是存在量词命题，C不符合题意， “Vx∈N,x2+4=0”的否定为“3x∈N,x2+4≠0”，是存在量词命 题，D不符合题意. 3.ACD解析：.M∩N=M,∴.M二N.又M≠N,:.集合M是集合N 的真子集， 故若元素在集合M里就一定在集合N里，A正确； 若元素在集合N里，则不一定在集合M里，B错误： 所以3x∈N,x∈M,3x庄M,x∈N,C,D正确 4.B解析：因为“任意xeR,x2-2x-m≠0”为假命题， 所以“3xeR,x2-2x-m=0”是真命题， 即方程x2-2x-m=0有实数根，则△=(-2)2+4m≥0，解得m≥-1， 即实数m的取值范围是m≥-1. 重难点拨1.由命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围： (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。 2.全称量词命题可转化为恒成立问题： 含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的 最值解决」 5.Vn∈N”,13+23+…+n3=(1+2+…+n)2解析：观察题中式子可 知，一个含有量词的命题是Hn∈N,13+2+…+n3= (1+2+…+n)2. 6.Hm∈R,A∩B=☑aa<3解析：若p为假命题，则其否定命 题“Hm∈R,AnB=⑦”为真命题.当a<0时，集合A={xl0≤x≤ a}=⑦，符合A∩B=0;当a≥0时，因为m2+3>0,所以由meR, A∩B=☑，得a<m2+3对于任意m∈R恒成立，所以a< (m2+3)n=3,则0≤a<3.综上，当p为假命题时，a<3. 7.解：(1)由命题p:“Hx∈B,x∈A”是真命题，可知BCA, 12m+1≤3m-2, 又B≠☑，所以{2m+1≥-3，解得3≤m≤4 3m-2≤10， (2)因为B≠☑，所以2m+1≤3m-2,得m≥3. 因为命题q:“3x∈A,x∈B”是真命题，所以A∩B≠0， 所以-3≤2m+1≤10，或-3≤3m-2≤10，得-2≤m≤号 综上，3≤m≤2 易错提醒处理含参数集合问题时，需要先验证集合是否非空 专压轴挑战 8A解新析A选奥，若取B={分}，则片e(4U Ω集中的每个元素都是自然数 显然不符合2集的定义，A错误； B选项，由2集的定义及已知得，12=9x,或92=x,或x2=9, =3或x=81(合去x=-3,=)）,B错误： C选项，由A是D集，所以存在x,y,z∈A(x,y,z两两不等)， y=xz, 因为B中的元素个数不小于2，所以3w∈B且w≠0， 所以B中存在非零元素 使得0x,0y,1z∈C,且wx,wy,z两两不等， 由y2=xz,得(oy）2=(0x）·(z）, 所以C为Ω集，C正确； D选项，设C={p+1,2p+1,3p+1,…,9p+1}, 取x=p+1∈C,y=(p+1)2=(p+2)p+1∈C, z=(p+1)3=(p2+3p+3)p+1eC 满足y2=xz(x,y,z两两不等)， 所以存在q=p2+3p+3,使得 C={p+1,2p+1,3p+1,…,9卯+1}是2集，D正确. 专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强化 .C解析：因为0e{m,品，m0, 所以日=0，故n=0, 此时集合为{m,0,1}={m2,m,0, 根据集合相等，必有m2=1,解得m=1或m=-1. 当m=1时，不满足集合元素的互异性， 当m=-1时，集合为{-1,0,1}，符合条件 所以m25+n2025=(-1)25+0225=-1. 2.C解析：因为An(C.B)={2},2EA, 所以4+2p-6=0,得到p=1, 当p=1时，由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3, 所以-3e8,故9-3+2=0，得到g=, 所以p9=1g-号 3.{ala≤9解析：因为AC(AnB),所以A二B, 当2a+1>3a-5,即a<6时，A=☑，满足题意； 当2a+1≤3a-5,即a≥6时，则2a+1≥3，解得1≤a≤9，则 3a-5≤22， a≤9.综上，a≤9.所以A二(A∩B)的充要条件为a≤9 4.解：(1)当a=3时，B={xl4≤x≤5}，A={xl-2≤x≤5}，则A {x|4≤x≤5} 所以C.B={xIx<4或x>5,则AU(C.B)=R (2)因为B∩(C.A)=☑，则B二A, 当B=0时，a+1>2a-1, 解得a<2,符合题意； 当B≠时，即a≥2时，有81， 解得-3≤a≤3，即2≤a≤3.综上，a≤3. 5.C解析：由题意知C(A)=1,又A*B=1, 所以C(B)=0或C(B)=2. 又x(x2+ax+2)=0中，x=0显然是一个解，即0∈B, 因此C(B)≥1，所以C(B)=2, 所以x2+ax+2=0有两个相等的实根且不为0， 4=a2-8=0,a=±22， 经检验符合题意，所以S={-2√2,2√2}，所以C(S)=2. 6.D解析：对于A:因为2025=506×4+1，所以2025∈[1]，故A 得 错误； 对于B:因为-2=(-1)×4+2，所以-2∈「21，故B错误： 对于C:因为Z=「01U「11U「21U「31，所以0，「11=「01U[21U 吏得 [3],故C错误； 对于D:ae[2],b∈[3]，则a=4n+2,n∈Z,b=4m+3,m∈Z, a+b=4n+2+4m+3=4(n+m+1)+1,m∈Z,n∈Z, 因为m∈Z,n∈Z,所以n+m+1∈Z,所以a+b∈「11，故D正确 7.BCD解析：对于A,因为MUN={x∈QIx≠1}≠Q,故A错误； 对于B,MUN=Q,M∩N=☑，M中的每一个元素都小于N中的每 一个元素，故B正确； 对于C,设M={xlx≤1，xeQ},N={xlx>1,x∈Q},此时M有最 大元素1，N没有最小元素，满足(M,N)是一个戴德金分割，故C 正确； 对于D,如B选项，此时M没有最大元素，N没有最小元素，满足 (M,N)是一个戴德金分割，故D正确。 8(1黑：不合4={3，}此时3+ 3x子满足要求 (2)证明：假设命题不成立，即元素a1,a2均小于等于2，因为a1> 0,a2>0,故可设0<a1<a2≤2，a1+a2=a1a2,两边同时除以a1,得1+ 2=0,因为2>1，所以a,=1+2>2,与a,≤2矛盾，不合要求，故 a 假设不成立， 即元素a1,a2中至少有一个大于2. (3)解：存在，存在1个 理由：设正整数集A={a1,a2,a3}为“三元和谐集”，则a,a2a=a,+ a2+a3,不妨设a1<a2<a3,则a1a2a3=a1+a2+a3<3a3,解得a1a2<3. 因为a1,a2∈N·,故只有a1=1,a2=2满足要求 综上，A={1,2,3}满足要求，其他均不合要求， 即存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即A= {1,2,3} 9.(1)解：当n=5时，M={1,2,…,5},则集合A可以为{1,3,5}，{1， 2,5},{1,2,4},则所有的集合B为{2,4}，{3,4}，{3,5}. (2)证明：记“对任意不相等的a1,a2∈A,都有a,+a2壁A”为条件 ①，记“对任意不相等的b1,b2∈B,都有b1b2B”为条件② 由条件②得1∈A.由2∈B,3EB和条件②得2×3=6B,即6∈A. 由条件①得6-1=5A,即5∈B,由条件②得2×5=10B,即10∈ A. 由条件①得10-6=4使A,即4∈B. 由条件②得2×4=8年B,即8∈A. 由条件①得8+6=14年A,即14∈B. 由条件①得8-1=7A,即7∈B. 由条件②得2×7=14B,与14∈B矛盾，所以14M,即n<14. 10.①解析：根据题意，判断给出的集合对运算④是否满足条件 (1)(2)即可.其中，条件(1)的含义是集合G中任意两个元素关 于运算①的结果仍然是集合G的元素； 条件(2)的含义是集合G中存在元素e,它与G中任何一个元素a 关于运算①满足交换律，且运算结果等于a. ①中，G={非负整数}，①为整数的加法，满足对任意a,beG,都 有a①b∈G,且存在e=0,使得a①0=0①a=a,所以①中的G关于 运算①为“融洽集”； ②中，G={偶数}，①为整数的乘法，若存在e∈G,使a①e=e①a= a,则e=1,与eeG矛盾，所以②中的G关于运算①不是“融洽 集”； ③中，G={二次三项式}，①为多项式的加法，两个二次三项式相 加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G关于运算④不是 “融洽集”。 参考答案黑白题学霸11