专题探究7 概率与统计的综合应用-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

专题探究7概率与 黑题 专题强化 1.(2024·广东广州高三期中)某职称晋级评定 机构对参加某次专业技术考试的100人的成 绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分 布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成 功，否则晋级失败 频率 组距 0.040-- 0.030 0.020 a 05060708090100成绩/分 (1)求图中a的值； (2)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判 断能否有90%的把握认为能否晋级成功 与性别有关； 晋级成功 晋级失败 总计 男 16 女 50 总计 (3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员 中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中 晋级失败的人数为X,求X的分布列与数 学期望， n(ad-be)2 参考公式：X2= (a+b)(c+d)(a+e)(6+d,其 中n=a+b+c+d. P(X2>k) 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.879 选择性必修第一册BS黑 统计的综合应用 限时：30min (2025·黑龙江哈尔滨三中高二期末)2024年 初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火 出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底， 第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲 同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之 约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项 目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体 验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情， 让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验， 园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量现有开 放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据 如下： 滑道数量X 11 12 13 14 15 平均等待时间 88 81 75 70 66 Y(分钟) (1)通过回归分析，可以利用模型Y=lnX+a 对Y与X的关系进行拟合.利用表中数据， 求出Y关于X的回归方程，并依据该模型 预测，为了让游客的平均等待时间不超过 40分钟，至少应开放多少条滑道？ (2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项 目每个项目的平均排队时间为60分钟， 冰雪世界等4个VR体验项目每个项目的 平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等 3个演出活动每个项目的平均排队时间为 30分钟.由于天气原因，小红决定选择其 中的3个项目进行游玩，求小红排队时间 总和恰为120分钟的概率 (3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一 家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式 可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每 白题170 人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第 次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中， 那么下一次中奖的概率会增加10%，若已 中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20% 为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪 种抽奖方式？ 附：对于一组数据(x1,y1),(x2,2),…, (xyn),其回归直线Y=x+a的斜率和截 距的最小二乘估计分别为： 6-高0( -,a=y-Bx. 含(x-)2 参考数据：设t:=lnx,x=13,t≈2.56， y=76,高x=485,含：≈968， 含(x-)2=10,含(-)2=006，e21- 18.4,e3.01≈20.3，e311≈22.4. 3.(2025·江西宜春高二期末) 电动车的电池有石墨烯电池 酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费 者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了 500名电动车用户，其中男性用户300名，在 被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的 占了，得到以下的2x2列联表： 第七章具 对两种电池电动车的偏好 性 别 偏好石墨烯电 偏好铅酸电池 总计 池电动车 电动车 男 200 300 女 总 500 计 (1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小 概率值k=0.005的独立性检验，是否有 99.5%的把握认为该市电动车用户对这两 种电池的电动车的偏好与性别有关； (2)从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性 别比例用分层随机抽样的方法随机抽取 7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽 取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈 的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈 的概率； (3)用样本的频率估计概率，在该市所有女性 电动车用户中随机抽取3名进行新车试 驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石 墨烯电池电动车的人数为X,求X的分 布列. 附： P(X2>k) 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 白题171方差：0×(0+400+400+400+0+2500+900+0+100+10)=480 套餐二：均值：80 0+10+10-20-30+10-10+0+10+20=80, 10 方差：10×(0+100+100+400+90+100+100+0+10+400)=20 因为220<480，所以套餐二销量相对稳定 (2)补全列联表如下： 性别 套餐一 套餐二 总计 男顾客 400 300 700 女顾客 800 500 1300 总计 1200 800 2000 因为X2= 2000×(400×500-300×800)2 ≈3.663<3.841 1200x800×700×1300 所以没有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关， 8.解：(1)根据题意可得2×2列联表如下： 网上购物情况 年龄段 喜欢网上 不喜欢网 总计 购物 上购物 青年人 400 100 500 中老年人 200 100 300 总计 600 200 800 x2_800×(400×100-200x100)2 ≈17.778>10.828， 500×300×600×200 所以有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄 有关 (2)根据题意可得从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取的6人中， 4人是青年人，2人是中老年人， 再从这6人中随机抽取4人，则X的可能取值为2,3,4. CiC3 2 P(X=2)= P(K=3)= c2C2 C 5 C哈 15,P(X=4)= C41 C哈15 所以X的分布列为 2 3 4 2 8 1 P 51515 8 18 8 则EX=2× 2 +3x5+4x153,即随机变量X的期望为？ 专题探究7概率与统计的综合应用 黑题 专题强化 1.解：(1)由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知(2a+ 0.020+0.030+0.040)×10=1,解得a=0.005. (2)由频率分布直方图，知晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，所以 晋级成功的人数为100×0.25=25，填表如下： 晋级成功晋级失败总计 男 16 34 50 女 9 41 50 总计 75 100 所以X2=100x(16x41-34×9)2 =≈2.613<2.706，所以没有90%的把握 25×75×50x50 认为能否晋级成功与性别有关 选择性必修第一册·BS (3)由(2)知晋级失败的频率为1-025=075=，将频率视为概 率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级 失败的概率为 3 易知8(4，） 则P(X=0)= ()°(4)2 P(X=1)=C4 )'()广a P(X=2)=C ((4器 P(X=3)=C4 P(X=4)= ()广()” 所以X的分布列如表： 0 1 2 34 1 3 272781 2566412864256 3 则EX=4× 4 =3 (6-i(y:y) Etyi-nty 2.解：(1)设t=lnX,b= 则名= 含4-02 含(4-2 968-5×2.56×76 0.06 =-80,a=y-6t=280.8.Y=280.8-80lnX 令Y≤40，得hX≥3.01，X≥e301≈20.3，.至少应开放21条滑道. (2)设事件A=“小红排队时间总和恰为120分钟”， 则4个VR体验项目选取3个，或超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目 选取1个，梦想大舞台等3个演出活动选取2个，则P(A)= C4+C2C35 C3421 (3)方式①：中奖次数X~B(3,0.3),EX=0.9 方式②：设中奖次数为Y,Y=0,1,2,3. P(Y=0)=0.8×0.7×0.6=0.336,P(Y=1)=0.2×0.8×0.7+0.8×0.3× 0.8+0.8×0.7×0.4=0.528,P(Y=2)=0.2×0.2×0.8+0.2×0.8×0.3+0.8× 0.3×0.2=0.128,P(Y=3)=0.2×0.2×0.2=0.008, EY=0×0.336+1×0.528+2×0.128+3×0.008=0.808. EX>EY,所以选方式①. 3.解：(1)被调查的女性用户人数为500-300=200， 其中偏好铅酸电池电动车的女性用户人数为20x；-120, 偏好石墨烯电池电动车的女性用户人数为200-120=80， 所以2×2列联表为： 对两种电池电动车的偏好 性别 偏好石墨烯电 偏好铅酸电池 总计 池电动车 电动车 男 200 100 300 女 80 120 200 总计 280 220 500 根据列联表中的数据可以求得X2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 500×(200×120-80×100)2 300×200×280×220 ≈34.632 由于X2=34.632>7.879,所以有99.5%的把握认为该市电动车用户对 这两种电池的电动车的偏好与性别有关 黑白题100 (2)因为偏好石墨烯电池电动车的用户中，男性用户与女性用户的比 为200.5 802,所以采用分层抽样的方法抽取的7人中，男性用户有 5人，女性用户有2人.设“有女性用户参加座谈”为事件A,“恰有两 C21 名女性用户参加座谈”为事件B,则P(AB)= 92,P(A)= 1 C5C+c5-,所以P(B1A-P42I1 c21 P(A)1111 个 (3)根据频率估计概率知，女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率 0三，馆好细酸电造电动车的概率为需子，套加试驾的女性 为802 用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X,X可能取值为0,1,2,3， Px=o)=cg(号）(3'P(x=1=c() 27 (g）广-法P(x=2=g(}(）八-瓷px=3 c3(侣)厂(：)）”品点x的分布列下： 1 2 3 27 54 36 8 125 125 125125 第七章章末检测 1.B解析：正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系，故A正确： 人的身高与视力之间不具有相关关系，故B错误：汽车的质量与汽车 每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关，故C正确：体重与学习 成绩之间不具有相关关系，故D正确.故选B. 2.D解析：由散点图可知，x与y负相关，v与u正相关，则b1<0,b2>0 故A,B错误；且图形中点(x,y)比(U,u)更加集中在一条直线附近， 则1r11>1r2l,又r1<0,2>0,得r1+r2<0.故C错误，D正确.故选D. 3.B解析：回归分析是指将具有相关关系的两个变量之间的数量关系 进行测定，通过建立数学表达式进行统计估计和预测的统计研究方 法独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可 以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，根据以上定义，可知 ①②均错误，③正确，故选B. 4.A解析：因为有不少于95%的把握认为X和Y有关，所以X2> 3.841,只有A不满足要求.故选A 1 5.D解析：由表中数据可得，x=4×(4+6+8+10)=7,= 4×(3+5+ 5.5,又线性回归方程为Y5X+a,则5.5三×7 à=-Q1,故Y=号x0若小明同学的记忆能力为15，则可预测其识 图能力为与×15 0=1.9故选D 1 6.D解析：对于A:因为>0，所以W=X+a在定义域内单调递增，即 W随着X的增大而增大，不符合题意，故A错误；对于B:因为b>0, 所以W=-lX+a在定义域内单调递减，即W随着X的增大而减小， 当解释变量X→+∞，W→-0，不符合题意，故B错误：对于C:因为 3>0,所以W=-i√风+à在定义域内单调递减，即W随着X的增大而 减小，当解释变量X→+∞，W→-0，不符合题意，故C错误；对于 D:因为>0，所以W=beX+a在定义域内单调递减，即W随着X的 增大而减小，当解释变量X→+∞，W→a,故D正确.故选D. 7.D解析：统计量ly-(x+a)1和[-(bx:+a)]2可以刻画数据 点与直线y=bx+a的竖直距离，进而可以刻画数据与直线y=bx+a的 “整体接近程度”，AC选项不符合题意 计0 -可以刻画数据点与直线y=bx+a的距离，也可以 参考答案 刻画数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”，B选项不符合题意 统计量-(t,+a) 的计算会出现直线两侧的数据点在代数上正负 =1 2 抵消的情况，因此不能刻画数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”， D选项符合题意故选D. 8.B解析：设x=（x1,x2,…,xn),y=（1,y2,…,yn),z=（1, 2,…,2n),并规定x'=(x1-元，x2-元…，xn-x),y'=(1-y,y2-y,…, yn-y),2=(a1-2,2-2,…,2n-2), (x:-x)(:-） 由样本相关系数公式r= =1 可知，r=cos〈x', √含(22 12 y),设x'与y的夹角为a,y'与z'的夹角为B,所以cosa= 13,C0s B= 5,由这两个夹角均为锐角且B>a,所以x与z夹角的可能性是B a,a+B,则x'与z'夹角余弦值的最大值为cos(B-a),此时X与Z样 本相关系数最大，即cs(B-a)=coBcos+sin Bsin a=子×+了× 昌一智故选日 9.AB解析：由表中数据，计算得x=5×(1+2+3+4+5)=3,所以了 0.5×3+1.3=2.8,则2+2+3+m+4=2.8×5,解得m=3,A说法正确； 由线性回归方程中X的系数为正可知，Y与X正相关，B说法正确； 当月份编号X增加1时，销量不一定增加0.5万部，C说法错误； 2025年2月份对应的月份编号X=8,所以预测2025年2月份该手机 商城的销量约为0.5×8+1.3=5.3（万部），D说法错误故选AB. 10.AC解析：经计算，得x2=100x(64×10-16×10)2 ≈7.4844. 80×20×74×26 对于A,该市一天空气中PM25浓度不超过75g/m3,且$02浓度不 超过150w的新率估计值是%-Q64,故A正确 n (ad-bc)2 对于B,2=(a+b)(cd)(a+o)(6+d _1000x(640x100-160x100)2 800×200x740x260 74844≠7.4844，故B错误 对于C,7.4844>6.635,∴.有超过99%的把握认为该市一天空气 中PM25浓度与S02浓度有关，故C正确. 对于D,在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中 PM2s浓度与S02浓度有关，故D错误故选AC. 11.ACD解析：对于A,当r>0时，变量X和变量Y正相关，则> 0,A正确； 对于B,当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强，如T1= -0.98,2=0.9时，r1对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误； 对于C,当x+1=元，y+1=y时，x,y不变且x+1-x=yn+1-y=0,.r= x)(可 1 (x-)(0:） =1 =T, √列 n+I √含属√列2 C正确； 对于D,当xn1=元，y1=y时，x,y不变且xn41-元=yn41y=0,= 盏4国6，习 -=b,D正确.故选ACD (x-)2 (x-)2 =1 =1 12.11解析：若a=8,b=7,d=9,n=35,则c=n-a-b-d=11,故答案 为11. 13.1637.2解析：由已知=500+400+350+300+2500-3600， 5 5000x0.8+4000×0.9+3500×0.8+3000x0.8+2500×0.84 Y= 5 2980,所以2980=0.8135×3600+a,则a≈51，即Y=0.8135X+51,有 10000名外来务工人员时，估计F区留在当地过年的人员有0.8135× 黑白题101