第7章 统计案例真题演练-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

第七章真题演练 黑题 真题体验 限时：30min 考点1相关关系与回归分析的应用 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资 1.（2024·天津)下列图中，线性相关性系数最 额，建立了Y与时间变量T的两个线性回归模 大的是 ( 型.根据2000年至2016年的数据（时间变量T 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：Y=-30.4+ 13.5T;根据2010年至2016年的数据（时间变 量T的值依次为1,2，…，7)建立模型②：Y= B 99+17.5T. (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年 的环境基础设施投资额的预测值 (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？ C D 并说明理由. 2.（全国高考)某校一个课外学习小组为研究某 作物种子的发芽率Y和温度X(单位：℃)的关 系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽 实验，由实验数据(x,y:)(i=1,2,…,20)得到 下面的散点图： 100% 发芽率 80% ◆◆ 60 409 20% 10 20 30 40温度/℃ 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个 回归方程类型中最适宜作为发芽率Y和温度 X的回归方程类型的是 ( A.Y=a+6X B.Y=a+BX2 C.Y=a+bex D.Y=a+6ln X 3.（全国高考)如图是某地区2000年至2016年环 境基础设施投资额Y(单位：亿元)的折线图， 381 投资额/亿元 ,209220 8 160 122g12 1192535374242475356 呢3年份 选择性必修第一册：BS黑白题178 4.(2022·全国乙理)某地经过多年的环境治5.（全国高考）如图是我国2008年至2014年生 理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林 活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图。 区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这 年生活垃圾无害化处理量) 1.80 种树木，测量每棵树的根部横截面积（单 1.60 1.40 位：m)和材积量（单位：m3),得到下表数据： 1.20 1.00 样本 的 6 10 0.80 2 345 67 号i 年份代码L 根部 注：年份代码1~7分别对应年份2008-2014. 横截 (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合Y 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6 面积 和T的关系，请用样本相关系数加以 说明； 材积 (2)建立Y关于T的回归方程（系数精确到 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9 量y 0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化 处理量 并计算得2=0.038， y=1.6158,2 0.2474 附：参考数据：名=932，三=40.17， (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横 3xy2=0.5,72.646 截面积与平均一棵的材积量； 参考公式： (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材 积量的样本相关系数（精确到0.01）； 盒4-0(g列 相关系数r= (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横 含6-)2含 截面积，并得到所有这种树木的根部横截 回归方程Y=a+T中斜率和截距的最小二乘 面积总和为186m2.已知树木的材积量与 其根部横截面积近似成正比.利用以上数 估计公式分别为2名(-刀（卫 ,a=y-Bi 据给出该林区这种树木的总材积量的估 2(4-0) 计值， 含(x-0() 附：相关系数r 含(-)宫-2 √1.896≈1.377. 考点2独立性检验的应用 6.（2023·全国甲理)一项试验旨在研究臭氧效 应.试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将 其中20只分配到试验组，另外20只分配到对 照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环 境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时 间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g). 第七章黑白题179 (1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对7.(2024·全国甲理)某工厂进行生产线智能化 照组的只数，求X的分布列和数学期望； 升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车 (2)实验结果如下： 间的产品中随机抽取150件进行检验，数据 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大 如下： 排序为 优级品 合格品 不合格品 总计 15.218.820.2 21.322.523.2 甲车间 26 24 0 50 25.826.527.530.132.634.3 34.835.635.635.836.237.3 乙车间 70 28 2 100 40.543.2 总计 96 52 2 150 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大 (1)填写如下列联表： 排序为 优级品 非优级品 7.89.211.4 12.413.215.5 甲车间 16.518.018.819.219.820.2 21.622.823.623.925.128.2 乙车间 32.336.5 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品 (ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位 的优级品率存在差异？能否有99%的把 数m,再分别统计两样本中小于m与不小 握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在 于m的数据的个数，完成如下列联表： 差异？ <m ≥m (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p=0.5,设p为升级改造后抽取的n件产 对照组 试验组 品的优级品率如果p>p+1.65.p(1-D (iⅱ)根据(i)中的列联表，能否有95% 那么认为该工厂产品的优级品率提高了 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中 根据抽取的150件产品的数据，能否认为 与正常环境中体重的增加量有差异？ 生产线智能化升级改造后，该工厂产品的 附：X2 n(ad-bc)2 优级品率提高了？(150≈12.247) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 附：X2= n(ad-be)2 P(X2>k) 0.100 0.050 0.010 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 2.706 3.841 6.635 P(X2>k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 选择性必修第一册·BS黑白题18010000+51=8186(人)，估计应补贴8186×0.2=1637.2（万元）. 14.29.6解析：由已知可得lnx1+lnx2+lnx3+lnx4+lnx5+lnx6=24.6, 所以6山+血+血x+血+nx+血6)=4山，同理 6(n+ln2tlhy3+lhy4+lns+ln6)=3.05,代入nY=1+ lnX,得3.05=1+4.10，所以=0.5，所以Y=e,则Z=2e√风-0.5x, 1 令T=,则Z=-0.57+2eT=-2(T-2e)2+2e2,当T=2e时，2取 最大值，此时X=4e2≈29.6.故答案为29.6 15.解：(1)依题意建立2×2列联表如下： 性别看电视运动总计 衣 4327 70 男 21 33 54 总计64 60 124 (2)X2=124×(43×33-27x21）2 6.201. 70×54×64×60 16.解：（1z-10+20+040+50-30.762+6s+75n3 因为X2>5.024,所以有97.5%的把握判断性别与休闲方式有关 5 5 =75,5xy= 5×30×75=11250, 2=102+202+302+402+502=550. 则相关系数r= 含网 5 11920-11250 670 V5500-5×302×28575-5×752√1000×/450 ≈0.999 Y与X的相关系数近似为0.999，说明Y与X的线性相关程度相当 高，从而可用线性回归模型拟合Y与X的关系， 2)由(1)得2名x5x 盖-5g10m0-067,a-3x=75-0.67x30 670 54.9,所以Y关于X的线性回归方程为Y=0.67X+54.9. 将X=130代人Y=0.67X+54.9,得Y=0.67×130+54.9=142,所以预 测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量为142辆. 17.解：(1)由已知得X2=(a+b)(c+i)(a+e)(b+d n (ad-bc)2 200×(10×50-90×50)2800 10x100x60x140-2>6.635, 所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效： (2)由题意可得P(B)=10+50.3 7 20010 ,P(B)=1-P(B)= 10 20020P(AB)=90、9 P(AB)=10、1 20020 P(AIB)=P(AB)1 P(B)6P(AIB)=P(AB)9 P(B)14 18.解：(1)得分不低于90分的人数为40×(0.04+0.02)×5=12，所以填 表如下： 男女总计 优（得分不低于90分）84 12 良（得分低于90分）161228 总计 241640 所以x2=40×(8x12-4x16)2 ≈0.317<2.706， 12×28×24×16 因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别 有关 选择性必修第一册·BS (2)不低于85分的员工的人数为40×(0.06+0.04+0.02)×5=24， 直接定为一级的概率为0.02x5×40.1 24 6 岗位等级初定为二级的概率为0.04x5x40」 1 24 3 岗位等级初定为三级的概率为0.06×5×40_1 24 21 ①甲的最终岗位等级为一级的概率为 ②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为0.02×5+ 045x号0x5xg×06x5x- 5x5 9 19.解：(1)由散点图可以判断，Y=cex更适合作为平均产卵数Y(个) 关于平均温度X(℃)的回归方程类型. (2)将Y=cea两边同时取自然对数，可得lnY=lnc+ax,由题中的 数据可得，名-7=3.6，含(-2=含-7=12， 石 33.6 =0.3,则lnc=z-ax=3.6-0.3×27=-4.5, 盈好-限 112 所以Z关于X的线性回归方程为Z=0.3X-4.5,故Y关于X的回归 方程为Y=ea3-45 (3)用X1,X2和X3分别表示选择三种方案的收益 采用方案1，无论气温如何，产值不受影响，收益为200-18=182（万 元)，即X1=182; 采用方案2，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为200-10= 190(万元)，如果发生，那么收益为100-10=90（万元），即X2= (190,不发生28℃以上的红蜘蛛虫害 90,发生28℃以上的红蜘蛛虫害； 200,不发生虫害， 同样，采用方案3，则X3={160,只发生22℃至28℃虫害 100,发生28℃以上虫害， 所以EX1=182,EX2=190×P(X2=190)+90×P(X2=90)=190×0.9+ 90×0.1=171+9=180,EX3=200×P(X3=200)+160×P(X3=160)+ 100×P(X3=100)=200×0.6+160×0.3+100×0.1=178. 显然EX1最大，所以选择方案1最佳 第七章真题演练 黑题真题体验 1.A解析：观察4幅题图可知，A图散点分布比较集中，且大致接近某 一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|π值 相比于其他3幅题图更接近1.故选A. 2.D解析：根据散点图，用光滑的曲线把题图中各点依次连起来（图 略)，由题图并结合选项可排除ABC,故选D 3.解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值 为Y=-30.4+13.5×19=226.1(亿元). 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为Y= 99+17.5×9=256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下： (i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机 散布在直线Y=-30.4+13.5T上下，这说明利用2000年至2016年的 数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化 趋势，2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加. 2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明 从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利 用2010年至2016年的数据建立的线性模型Y=99+17.5T可以较好 地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模 型②得到的预测值更可靠 (i)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元， 由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型② 得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可 靠（合理即可) 黑白题102 4.解：(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x=0.6 10 0.06,样本中10棵这种树木的材积量的平均值=100.39， 3.9 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,平 均一棵的材积量为0.39m3. 19 () y:-10xy (2)r= 1 一三 (2-102)(2-10时2) 0.2474-10×0.06×0.39 0.0134 √/(0.038-10×0.062)×(1.6158-10×0.392) √0.0001896 0.0134 0.01377≈0.97，则r=0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3,又已知这种树 木的村积量与其根部横截面积近似成正比，可得8的5，解得Y: 1209,则该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3 5.解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得i=4,名(，-i)2=28 √含(：列2=0.55，(6-0(-)=名-24=4017-4× 2.89 932=289.r-0.5x2x26460.9, 因为Y与T的相关系数近似为0.99，说明Y与T的线性相关程度相 当高，从而可以用线性回归模型拟合Y与T的关系， (2)由r=932 331及)得6名G(29 ≈0.103. 7 三(-2 28 a=y-6i=1.331-0.103×4≈0.92， 所以Y关于T的回归方程为Y=0.92+0.10T. 将2016年对应的T=9代人回归方程得Y=0.92+0.10×9=1.82, 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨. c9c3819 6.解：(1)依题意，X的可能取值为0,1,2，则P(X=0)= C2078 P(X=1) C2C820 C3C3819 C20 39,P(X=2) C20781 所以X的分布列为 X 1 2 19 20 19 78 39 78 故Ex=0x19 ,20 19 +139 781 2 (2)()依题意，可知这40只小白鼠体重增加量的中位数是将两组 数据合在一起，从小到大排序后第20位与第21位数据的平均数，观 23.2+23.6 察数据可得第20位为23.2，第21位为23.6，所以m= 2 23.4,故列联表为 <m ≥m 对照组 14 试验组 14 6 (iⅱ)由(i)可得，x2= 40×(6×6-14×14)2 =6.400>3.841,所以能有 20×20×20×20 95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增 加量有差异 7.解：(1)根据题意可得列联表 优级品非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 参考答案 可得x2=150x(26×30-24×70)2_75 =4.6875. 50×100×96×54 16 因为3.841<4.6875<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 (2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的 颜率% =0.64,用题率估计概率可得p=0.64, 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5, 则p+1.65 印：a5+1.6×,5o可-a5+16× 150 0.5 12.247≈0.567， 可知>p+1.65 -P】,所以可以认为生产线智能化升级改造后， 该工厂产品的优级品率提高了 专题探究8数学文化与探究创新 黑题 专题强化 1.B解析：由题意可知号y=1的袋日圆方程为2：4，因为圆 (x-3)2+(y-入)2=9与圆x2+y2=4仅有一个公共点，所以两圆内切 或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值， 所以√(3-0)2+(A-0)7=3+2或√(3-0)2+（λ-0）2=3-2，由此解 得入=±4.故选B. 2,A解析：根据题意，横坐标在F1,F2之外的区域，不能出现与x轴垂 直的线段，否则该线段上的点与F1,F2的“距离”之和不会是定值； 横坐标在F1,F2之内的区域，必须与x轴平行，否则该线段上的点与 F1,F2的“距离”之和不会是定值故选A 3BCD解析：因为叶形线C:2+-a四经过点A(月，名），所以 a=3.联立{少=3解得x=y=0,所以直线y=-x与C只有1个 (y=-x, 公共点，A错误 x3+y3=3xy=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3y].因为点P在 第二象限，所以x00<0,(x0+yo)2-3xo0>0,所以0+y0= 3x0y0 <0，B正确. (x0+y0)2-3xoy0 若点P在第四象限，则xoyo<0,可推出o+yo<0.因为x3+y3=3xy= (x+y)(x2-xy+y2)=(x+y）)[(x+y)2-3xy]=(x+y）)3-3xy(x+y),所以 3y(x+y+1)=(x+y)3.当点P在第二、四象限时，x0+yo+1= (xo+yo) 3x0y0 >0,所以x0+yo>-1.当点P是原点或在第一象限时，易得 x0+y0>-1,所以x0+y0>-1,C正确 由3y(x+y+1)=(+y),可得3y=（x+)）° 2 *+1s3 x+y 2 ,解得x+y≤ 3,所以xo+o≤3，D正确故选BCD. 4.2422 9+16+361解析：设椭球面的方程为之+ .z2 916+2=1(c>0), 椭球面过点M(1,2,V23),,。+,4+3=1,解得c2=36,椭球 面的方程为号+石云1旅管奖为号石 =1. 5.ACD解析：对于A,4同时与AB,AD垂直，1ABxA⑦1=I店11AD1· sin(AB,AD)=2×2×sin90°=4=1AA11,且AB,AD,AA构成右手系，故 ABXAD=AA成立，故A正确. 对于B,ABXAD=AA,ADXAB=-AA,则ABXAD≠AdxA店，故B错误 对于C,1(AB+A⑦)×AM1=1A元×Ad1=22×4×sin90°=82，A元× AA与D共线，且方向相同，1AB×AA1=2×4×sin90°=8，AB×AA与 DA共线，且方向相同，1Ad×AA1=2×4×sin90°=8，Ad×AA与AB共 黑白题103