3.2&3.3 阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§2-§3阶段综合 黑题 阶段强化 限时：60min 1.给出下列命题，其中正确的有 5.(多选)(2025·河北衡水中学高二月考)如 A.若a·b<0,则(a,b〉是钝角 图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，以顶 B.若AB+C=0,则A正与CD一定共线 点A为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的 C.若AB=CD,则AB与CD为同一线段 夹角都是60°，P为A,D与AD1的交点，若 D.非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a A=a,AD=b,AA=c,则下列结论正确的是 都是共面向量，则a,b,c必共面 2.(2025·辽宁抚顺一中高二月考)如图，在圆 1 1 锥中，点A,B在底面圆周上，点C,D分别是母 A.C=-a-2b+29 0 2 线PA,PB的中点，C正=2ED,记0A=a,0= B.AC;=a+b-c b,0P=c,则02= C.cos(D元，AC=￥6 D.BD1的长为23 1 1 atgbic 11 1 A. B 2 60-3b+2 (第5题) (第6题) 1 2 atbic 11 1 C. 3 D 6a+3b+2c 3 6.(2025·江苏无锡高二月考)如图，在棱长为3 3.(多选)(2025·陕西西安西工大附中高二月 的正方体ABCD-A1B,C,D1中，B元=3E元，点P 考)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2), 在底面正方形ABCD上移动（包含边界），且 则下列结论中正确的是 满足B,P⊥D,E,则线段B,P的长度的最大 A.若|a|=2,则m=±√2 值为 B.若a⊥b,则m=-1 √190 A. B.√22 C.不存在实数入，使得a=λb 10 D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,2) C.32 D.166 4.(2025·山东聊城高二期中)若{a,b,c}构成 3 空间的一个基底，则下列向量不共面的是 7.若空间向量a,b,c不共面，且4a-5b+zc=xa+ ( b+c,其中x,y,z为实数，则x+y+z= A.b+c,b,b-c B.a+b,a,a-b 8.(2025·天津滨海新区高二期中)若a=(1,2, C.a+b,a-2b,c D.a+b,a+b+c,c 1),b=(2,-1,3),则(a-b)·(a+b)= 选择性必修第一册·BS黑白题084 9.(2025·四川遂宁高二月 11.（2025·福建莆田高二月考)如图，四棱锥 考)中国古代数学名著《九 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面是边长 章算术》中记载：“刍甍者， 为2的菱形，PA=2,∠DAB=60°，点E,F,G 下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋 分别为线段CD,PD,PB的中点. 盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只 (1)证明：EG∥平面PAD; 有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶”现有 (2)设直线PC与平面AFG的交点为Q,求 一个刍甍如图所示，其中四边形ABCD为矩 PQ的长度. 形，BP∥AB,若写B=方AD=r,△1E和 △BCF都是正三角形，G为AD的中点，则CE 与CF的夹角余弦值为 10.（2025·四川达州高二期中)如图，棱长为2 的正方体中，E,F分别是DD,DB的中点，G 在棱CD上，且CG=CD,H是Cc的中点 建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：EF⊥B,C; 压轴挑战Ⅱ (2)求E与C,C的夹角余弦值； 如图，若P为平行四边形ABCD所在平面外 (3)求FH的长 D 点，点H为PC上的点，且P%{ C2,点G在AH E 上，且 AHm,若C,B,P,D四点共面，求m 的值 第三章黑白题085(2)如图，建立空间直角坐标系，则 C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0), D Q(2,2,1). 设P(x,2,z),则A1市=(x-2,2,z-2), D0=(2,2,1),C2=(x,0,z). .3 因为A1P1D0,所以41·D=0, 所以2(x-2)+4+z-2=0,即z=2-2x 所以1=v4(2-25(专)+号 因为/0≤x≤2， 所以0≤x≤1， 0≤z=2-2x≤2， 所2≤id2,即me[5 5 压轴挑战 1.B解析：对于A选项，设P1(1,1,1),P2(1,0,1),P3(1,0,-1),设存 在实数x,y,z使得x0P+y0P2+z0P3=0,即x(1,1,1)+y(1,0,1)+ x+y+z=0, x=0, z(1,0,-1)=(0,0,0),则x=0,解得{y=0,不满足条件，故A错 x+y-z=0, （z=0, 误；对于B选项，设P1(1,1,1),P2(0,0,1),P3(2,2,3),设存在实数 x,y,z使得x0P+y0P2+z0P3=0,即x(1,1,1)+y(0,0,1)+z(2,2, x+2z=0, 3)=(0,0,0),则x+2z=0,令z=-1,则x=2,y=1,满足条件，故 x+y+3z=0, B正确；对于C选项，设P1(1,1,1),P2(1,2,1),P3(2,2,3),设存在 实数x,y,z使得x0P+y0P+z0P=0,即x(1,1,1)+y(1,2,1)+ (x+y+22=0, (x=0, z(2,2,3)=(0,0,0),则{x+2y+2z=0,解得y=0,不满足条件，故 (x+y+3z=0, z=0, C错误；对于D选项，设P1(1,1,1),P2(3,2,1),P3(1,0,1),设存在 实数x,y,z使得x0P+y0P+z0P=0,即x(1,1,1)+y(3,2,1)+ (x+3y+z=0, (x=0, z(1,0,1)=(0,0,0),则x+2y=0,解得{y=0,不满足条件，故D错 (x+y+z=0, （z=0, 误故选B。 3. 16 解析：以点D为原点，DA,DC,DD1 D 所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示 的空间直角坐标系，设点M(2,1,m),N (2,2,n),其中m,n∈R,易知G(0,0,1), G C1(0,2,2),则GC=(0,2,1),D=(2, D 1,m),D=(2,2,n).因为cC,DM,D共 面，则存在A,A∈R,使得CC=入Di+ 2入+24=0， uD尿，即 A+2=2,解得1=-2， μ=2， 入m+n=1, 2-2m=l,即a=m+分成：=nmt6=m(m+）6=m+ 1 4 时，等号成立，故 成.瓜的是小值为瓷故答案为瓷 §2-§3阶段综合 黑题阶段强化 1.B解析：A.当〈a,b〉=T时，a·b<0,但D 〈a,b)不是钝角，故错误；B.当AB+C⑦=0 时，A=-Ci,所以A店与Ci一定共线，故正 确；C.当AB=Ci时，AB与Ci共线，线段ABD 与CD可能平行或共线，故错误；D.如图所 示，设A店=a,Ai=b,AA=c,满足a与b,b 选择性必修第一册·BS 与c,c与a都是共面向量，但a,b,c不共面，故错误故选B. 2.D解析：由题可知o成=0心+成，由c成=2市得C成=子市，市-0市 O成因为点C,D分别是母线PA,PB的中点，所以励-了（⑦成+ 耐=子(b+e),0成-子(oi+0ò=分(a*e),则o成-0d+a ae)+号励-d=2ae)+号[2ore)2(a*e)] 1 1 3.ACD解析：对于A项，由1a=2可得√2+(-1)2+m2=2,解得m= ±√2，故A项正确；对于B项，由a⊥b可得a·b=-2+1-m+2m=0, 解得m=1,故B项错误；对于C项，假设存在实数入，使得a=Ab,则 1=-2入， -1=入(m-1),→入∈⑦，所以不存在实数入，使得a=入b,故C项正 (m=2λ 确；对于D项，由a·b=-1可得-2+1-m+2m=-1,解得m=0,所以 a+b=(-1,-2,2),故D项正确.故选ACD. 4.C解析：A选项，b=)(b+c)+)(b-c),共面；B选项，a+b=2a- (a-b),共面；C选项，若存在x,y∈R,使得c=x(a+b)+y(a-2b)= (x+y)a+(x-2y)b,则a,b,c共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面. D选项，a+b+c=(a+b)+c,共面.故选C. 5.c解折：成市-花-之（动+-(+动）=-店-2动+ =。+cA正确G-店+成+-+动 1 AM=a+b+c,.B错误a2=b2=c2=4,a·b=b·c=c·a=2×2× cos60°=2，D元=a,1D元1=2，AC=a+b+c,lAC1=√(a+b+c)2= √a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=√4+4+4+4+4+4=26，D元， AC=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=4+2+2=8,.cos(Dd,AC)= DC.AC 8 6 1Dd11C2x263C正确丽=-a+b+c,1m1 √/（-a+b+c)2=/a2+b2+c2-2a·b+2b·c-2c·a=W√4+4+4-4+4-4= 22,.D错误故选AC. 6.B解析：依据题意可以建立如图所示的空间 直角坐标系，则D1(0,0,3),E(1,3,0), B1(3,3,3),设P(x,y,0)(x,y∈[0,3])，所 以B1币=(x-3,y-3,-3),D1E=(1,3,-3),则 B1P·D1E=x+3y-3=0曰x=3-3y,所以 0≤3-3y≤3→y∈[0,1]，而|B1D1=A D √(x-3)2+(y-3)2+9=√/10y2-6y+18,由 次函数的单调性可知=102-6y+18=10+18三 9,当 1 y=1时，tna=22,则B1Pa=√22.故选B. 7.0解析：因为空间向量a,b,c不共面，且4a-5b+zc=xa+yb+c,所以 4=x,-5=y,z=1,所以x+y+z=0. 8.-8解析：a-b=(-1,3,-2),a+b=(3,1,4),则(a-b)·(a+b)= (-1)×3+3×1+(-2)×4=-8,故答案为-8. 93 解析：如图，设EF=1,取BC中点M,连 6 接FM,GM,则GM∥AB,又.EF∥AB, ∴.EF∥GM.四边形ABCD为矩形，.AD⊥A行 M Y GM.又：△ADE为正三角形，G为AD的中 B 点，.AD⊥EG.GM∩EG=G,且GM,EGC平面EFMG,.AD⊥平面 EFMG,易知△ADE≌△BCF,则EG=FM=√3，∴.四边形EFMG为等 腰梯形，高为√2，在平面EFMG内，过点G作GM的垂线，以点G为坐 标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则G(0,0,0),E(0,1,√2) C(-1,3,0),F(0,2,w2),即G=(0,1,2),C=(1,-1,2),c0s(G2, 动正·=，即的夹角余弦值为6，放答案 黑白题054 10.(1)证明：如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在 直线分别为x,y,:轴，建立空间直角坐标系 Dz,则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0), 4 C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G0,3, 0,所以E=(1,1,-1),B1=(-2,0,-2),所 以E.B1t=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0,所以E录1B1t,故 EF⊥B1C. 2)解：易知C在=(0，-子-2)，所以1Gd1 号22酒因为感(， 成.G衣-0*1×（号）+(-1）x(-2)=2-子=，所以 cos(EF,C1G)=- 成.c衣手 g2而g,所u与G的夹 √30 角余弦值为v3知 15 (3)解：因为H是CG的中点，所以H0,子，1)又因为F(1,10), 所以脉=(，子，1），所以=+（子）+(-2- 区即 11.(1)证明：如图，取线段AB的中点M,连接ME,MG.在菱形ABCD 中，点E为线段CD的中点，.ME∥AD.又MEd平面PAD,ADC平 面PAD,.ME∥平面PAD.又△PAB中，点G为线段PB的中点， 点M为线段AB的中点，'，MG∥PA.又MG￠平面PAD,APC平面 PAD,∴.MG∥平面PAD.又ME∩MG=M,且MG,MEC平面MEG, ∴.平面MEG∥平面PAD.又EGC平面MEG,∴.EG∥平面PAD (2)解：连接BD和AC,交于点O,过点O作 直线OH垂直于平面ABCD,如图，以O为坐 标原点，以向量Oi,0店，0为x,y,z轴的正 方向建立空间直角坐标系，则A(5,0,0), F- C(-√3,0,0)，B(0,1,0),D(0,-1,0), B 02.r(停c停 1,设Cd=A.C=(23x,0,2),则Q(23-3,0,2),故Ad= (25A-25,0,2入)，依题意可得向量Ad与A,A花共面，A市= (月子)衣-(-)，所以存在实数使得 成=a亦+花-((t.子(m-)m+小则 「an)=5A-2 2(m-)=0, 1 解得m=aA=子，则Q(停0，号）】 m+n=2入， 且a,0.2则0-√)+（居）-号 压轴挑 解：连接BD,BG.A店=P店-Pi且A店=D心，Dt=P-Pi:P元=Pi+ 成成励成成成成肥成号成 号(-ii励=号+}成+号成又：=i-成 参考答案 成兮成+号成侣m,衣=m:-智i+g成+ 公成：成di-成成成=(1)pi+(骨1成 牙戒汉：B,6P,D风点共面，10，即m=子 §4向量在立体几何中的应用 4.1直线的方向向量与平面的法向量+ 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 白题基础过关 1.C解析：P可=(-2，-1,1)，则直线PQ的方向向量为P0=(-2x, -入，入)（入≠0），逐项分析即可知只有C符合要求故选C. 2.A解析：AB=(-1,1,0),A元=(-1,0,1)，设平面ABC的法向量为 n=(云，，则：店=0，则，只有人运顶符合故 (n·AC=-x+z=0, 选A 3.B解析：符合条件的P应满足A·n=0,对于A,A=(-1,3,-1), A币.n=-1+6-3=2≠0：对于B,A币=(1,1，-1)，A币.n=1+2-3=0; 对于C,A=(-1,2,-3),A·n=-1+4-9=-6≠0；对于D,A= (-1,0,-1),AP·n=-1+0-3=-4≠0，故选B. 4.A解析：在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4), D(4,1,3),.AB=(-2,-2,2),Ci=(1,1,-1),.AB=-2C.又AB 与CD不在同一条直线上，直线AB与CD平行故选A. 5.C解析：由题意直线1的一个方向向量与平面α的一个法向量的数 量积为-2×3+1×3+(-1)×(-3)=0，所以l∥a或lCa.故选C. 3 ,A解析：若a∥B,则m/n,所以2=号=，解得a=2,b三 2 故a+2b=2-3=-1.故选A. 7.(1)解：如图，以点D为原点建立空间直角 坐标系，则A(3,0,0),C(0,4,0),D1(0, D 0,2),故A元=(-3,4,0)，AD=(-3,0,2), 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则 mA花-3+4y=0,令x=4,则y= 有 A-- （n·AD1=-3x+2z=0, 3,z=6,所以n=(4,3,6),所以平面ACD1的法向量为(4,3,6) （2)证明：易知4(3.0,2)，(34,2，则P(34,1）,放产 (4,1）,因为m…方-6+12-6=0，所以n1A方又4Pe 平面ACD1,所以AP∥平面ACD1. 8.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平 面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.因为四边 形ABCD为矩形，所以AB⊥AD,所以AB, AD,AP两两垂直，所以以A为原点，分别 以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、：轴建立 空间直角坐标系，如图所示，则有B(2,0,0),B。 D(0,2,0),P(0,0,2),则C(2,2,0).因 为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点，所以M(1,1,1),N(1,0,0), Q(1,2,0),所以MN=(0,-1,-1).因为平面PAD的一个法向量 为m=(1,0,0),所以M·m=0,即M⊥m.又因为MWd平面PAD, 所以MN∥平面PAD. (2)因为Q=(0,-2,0),所以Q成·m=0,所以Q⊥m.又QNt平面 PAD,所以QN∥平面PAD.又因为MN∩QN=N,MN,QNC平面MNQ, 所以平面MNQ∥平面PAD. 9.D解析：a⊥B,∴.a⊥b,∴.a·b=-2-8-2k=0,解得k=-5.故选D. 10.D解析：因为u=(3,a+b,a-b)(a,beR)是直线l的方向向量，n= （1,23)是平面e的法向量，且11a,则ua,则子-2-宁，所 黑白题055