第3章 再练一课(范围：§1～§3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦空间向量与坐标系，以基础概念辨析、坐标运算及几何体应用为主线，覆盖§1~§3核心考点，注重知识逻辑链与解题能力培养，体现数学眼光、思维与语言素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4|选择/多选题|从点对称到向量基本性质，构建空间向量概念体系| |向量运算|5|选择/填空/解答|垂直平行判定到模与夹角计算，强化坐标运算能力| |几何体应用|6|选择/解答|正方体/三棱柱/四面体中向量工具应用，深化空间观念|

再练一课(范围：§1~§3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.在空间直角坐标系中，点(4，－1，2)关于x轴对称的点的坐标是(　　) A.(－4，－1，2) B.(－4，1，－2) C.(4，1，－2) D.(4，－1，－2) 答案　C 2.下列关于空间向量的说法错误的是(　　) A.零向量与任意向量平行 B.任意两个空间向量一定共面 C.任意三个向量是不共面的 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 答案　C 解析　选项A，零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行，该选项正确；选项B，向量可在空间中移动，所以任意两个向量一定共面，该选项正确；选项C，任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的，该选项错误；选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 3.在四面体OABC中，空间的一点M满足＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为M，A，B，C四点共面， 所以＋λ＝1， 解得λ＝. 4.设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于(　　) A.2 B. C.3 D.4 答案　C 解析　 ∵b∥c， ∴2y＝－4×1， ∴y＝－2，∴b＝(1，－2，1)， ∵a⊥b， ∴a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0， ∴x＝1， ∴a＝(1，1，1)， ∴a＋b＝(2，－1，2)， ∴|a＋b|＝＝3. 5.已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，点M为BC的中点，则△AMD是(　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能 答案　C 解析　∵点M为BC的中点， ∴)， ∴·)···＝0， ∴AM⊥AD，∴△AMD为直角三角形. 6.在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，|cos〈，〉|＝，则该四面体的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以B为原点，BC，BA，BD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a， 则B(0，0，0)，A(0，1，0)，E，D(0，0，a)， ＝(0，－1，a)， ， 则|cos〈，〉|＝ ＝， 解得a＝2， 所以该四面体的体积为××1×1×2＝. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，2，－2)，B(0，1，1)，下列结论正确的有(　　) A.＝(－1，－1，3) B.若m＝(2，1，1)，则m⊥ C.点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，－2，2) D.||＝ 答案　AB 解析　∵A(1，2，－2)，B(0，1，1)，∴＝(－1，－1，3)，故A正确；||＝，故D错误；若m＝(2，1，1)，则m·＝2×(－1)＋1×(－1)＋1×3＝0，则m⊥，故B正确；点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，2)，故C错误. 8.设{a，b，c}是空间向量的一组基，则下列选项中正确的是(　　) A.{a－b，b－c，c}一定能构成空间向量的一组基 B.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C.对空间中的任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc D.存在有序实数对，使得c＝xa＋yb 答案　AC 解析　设a－b＝x(b－c)＋yc＝xb＋(y－x)c，无解， 即a－b，b－c，c不共面，所以一定能构成空间向量的一组基，故A正确； 若a⊥b，b⊥c，不能推出a⊥c，a，c的夹角可以为任意角，故B错误； 由空间向量基本定理知，空间中的任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故C正确； 若c＝xa＋yb，则a，b，c共面，不能构成空间向量的一组基，故D错误. 9.如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则(　　) A.·()＝0 B.()2＝6 C.向量与向量的夹角是60° D.向量与向量的夹角是45° 答案　ABD 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，D1(0，2，2)， 所以＝(2，2，－2)，＝(2，0，2)， 因此·()＝·＝4－4＝0，故A正确； 又＝(－2，0，－2)＋(0，2，－2)＝(－2，2，－4)，＝(－2，0，0)， 所以()2＝4＋4＋16＝24，6＝24， 因此()2＝6，故B正确； 因为＝(2，0，－2)，＝(0，2，2)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝－， 因此向量与向量的夹角是120°，故C错误； 因为E，F分别是BC，A1C的中点， 所以E(2，1，0)，F(1，1，1)， 则＝(－1，0，1)， 又＝(0，0，2)， 所以cos〈，〉＝， 所以向量与向量的夹角为45°，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为　　　　. 答案　e1 解析　(e1＋e2)·e1＝|e1|2＋e2·e1＝1＋1×1×，向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为e1＝e1. 11.在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，BC的中点为M，＝a，＝b，＝c，则 可用a，b，c表示为　　　　　　　　. 答案　－a＋b＋c 解析　 ＝) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 12.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则cos〈，〉＝　　　　. 答案　－ 解析　由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直.以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形边长为2，则A(0，0，0)，E(1，0，0)，M(0，1，2)， F(2，1，0)， ＝(－1，1，2)，＝(2，1，0)， 则cos〈，〉＝＝－. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知向量a＝(1，1，3)，b＝(－2，1，1)，c＝(－1，x，3). (1)当|c|＝时，若向量ka－b与c垂直，求实数k的值；(6分) (2)若向量c与向量a，b共面，求实数x的值.(6分) 解　(1)因为|c|＝，所以， 解得x＝0，即c＝(－1，0，3). 由ka－b＝(k＋2，k－1，3k－1)，且(ka－b)⊥c， 得(ka－b)·c＝－(k＋2)＋3(3k－1)＝8k－5＝0， 解得k＝. (2)因为向量c与向量a，b共面， 所以设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 因此(－1，x，3)＝λ(1，1，3)＋μ(－2，1，1)＝(λ－2μ，λ＋μ，3λ＋μ)， 即解得 故x的值为. 14.(12分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，E为BM的中点.求证：A1，E，N三点共线. 证明　由题意作出如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1， 由题可得，＝－ ＝－)＝－ ＝－， ＝－ ＝－)＝－， 所以，所以A1，E，N三点共线. 15.(13分)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5). (1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标；(6分) (2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积.(7分) 解　(1)由题意知，＝(1，－3，2)，点D在直线AC上， 设＝λ＝λ(1，－3，2)＝(λ，－3λ，2λ)， ∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)， ＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2，1，6)＝(λ＋2，1－3λ，2λ－3)， ∵⊥， ∴·＝(1，－3，2)·(λ＋2，1－3λ，2λ－3) ＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0， ∴λ＝，∴D. (2)∵＝(2，1，－3)，＝(3，－2，－1)， ∴||＝， ||＝， ∴·＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7， ∴cos〈，〉＝， ∴sin〈，〉＝，设以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为S，则S＝××＝7， ∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7. 学科网（北京）股份有限公司 $