第10单元 空间直角坐标系，空间向量与向量运算，空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 B卷能力提升-【金试卷】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

第十单元空间直角坐标系、空间向量与向量运算 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 B卷能力提升 曲 测试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.在空间直角坐标系O-xy之中，点A(2,1,3,)关于平面xOz的对 密 称点为B,则OA·OB= ( 识 A.-10 B.10 C.-12 D.12 封 2.若点P(一4，一2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别 是(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为 () 线 A.7 B.-7 C.-1 D.1 3.在△ABC中，若AB=(2,一2,0)，AC=(4,2,-1),则△ABC是 () 内 A.顶角为锐角的等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形 4.已知点A(1,一2,11)，B(4,2,3),C(6,一1,4)，△ABC的形状是 不 A.等腰三角形 B.等边三角形 如 准 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.金刚石是天然存在的最硬的物质，图1是组成金刚石的碳原子在空 间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4 答 个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为 4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原 子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2示，AE=BE= CE=DE.若正四面体A一BCD的棱长为2，则|EA+EB+EC= 邻 D 图1 图2 A. 6 B. 2 C. 3 D.√6 6.已知空间四边形0AC中.M在A0上，满足兴N是议C的中 点，且AO=a,AB=b,AC=c,用a,b,c表示向量MN为() A.gatgb+ge B.ga+zb-ze 1 C.-ja-jo-ge D.ja-2o+2e 1 7.如图，已知平面ABCD⊥平面ABEF,四边形 ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若点G是 EF的中点，AF=1,AC·BG=-2,则三棱锥 C一ABG的外接球的表面积是 ( ) A.6π B.10π C.8π D.12π 8.(思维创新)如图所示，在棱长为1的正方体 D ABCD-ABC1D1中，点P是AA1的中 A 点，点M,N是矩形BB,DD内（包括边界） 的任意两点，则PM·PN的取值范围是 D () A[到 B[-] c[3别 n专别 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分. 9.下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3 的是 () A.(1,1,1) B.（1,2,2) C.(2,-3,5) D.(3,0,4) 10.如图，在四棱锥S一ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方 形，S到A,B,C,D的距离等于2.以下选项正确的是（) A.SA+SB+SC+SD-0 B.(SA-SC)·(SB-SD)=0 C.SA-SB+SC-SD-0 A D.SA·SB=SC·SD 11.在下列条件中，不能使M与A,B,C一定共面的是 A.OM=2 OA-OB-OC Bo0i=号Oi+oi+Od C.MA+MB+MC=0 D.OM+OA+OB+OC=0 12.(思维创新)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构 成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的 坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条 数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“空间斜60°坐标 系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向 量的斜60°坐标：i,j,k分别为“空间斜60°坐标系”下三条数轴 (x轴、y轴、之轴)正方向的单位向量，若向量n=xi十yj十水， 则n与有序实数组(x,y,z)相对应，称向量n的斜60°坐标为 [xy,之]，记作n=[x,y,之].在平行六面体ABCD-AB,C1D 中，AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°， 如图，以{AB,AD,AA}为基底建立“空间斜60°坐标系”，则下 列说法正确的是 A.AC1的斜60°坐标为[2,2，-3] D B.若BE=EB,则向量ED,的斜60°坐标为 [-221 C.若AM=[2,t,0],且AM⊥AC,则t=1 D.若AM=[2,t,0],且AM⊥AC1,则|AM=2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM= 2xOA+号Oi+号0元，A,B.C,M四点共面，则X= 14.如图，在空间直角坐标系中，|BC=2,原点O 是BC的中点，点A(停，名o小，点D在平面 yOx上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则三 棱锥DABC的体积为 15.已知长方体ABCD-AB,CD1中，AA1=AB=2,若棱AB上 存在点P(不含端点)，使得D,P⊥PC,则AD的取值范围是 16.已知c1e,是空间单位向量e,·6,=?,若空间向量b满足6l =22.be=2,be=号，且对于任意x,y∈Rf(x,)= |b-(xe1十ye2),则f(x,y)的最小值为 ,此时x十y .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤， 17.(10分)从①(DA+DC)⊥(DA-DC),②AC·DB=0, ③c0s(A,D,AG)-号这三个条件中任选一个，补充在下面的 横线中，并求解 第一部分单元检测卷31 如图，在长方体ABCD一AB,C,D1中，以点D D,12 为坐标原点建立空间直角坐标系D一xyz,已知A: D1(0,0,4),C(0,2,0), ,求DB与CB 夹角的余弦值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18.(12分)如图，在四面体OABC中，2BD= DC,点E为AD的中点，设OA=a,OB=b, OC=c. AE (1)试用向量a,b,c表示向量OE; (2)若OA=OC=4,OB=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求 OE·AC的值. 32第一部分单元检测卷 19.(12分)已知正方形ABCD,ABEF的边长都是1，且平面 ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动，点N在BF上移动， 若|CM=|BN=a(0<a<W2). (1)用a表示出MN|的长； (2)当a为何值时，|MN的长最小. 20.(12分)已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的面积S; (2)是否存在点D,使四边形ABDC为等腰梯形，且AB∥CD? 若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 21.(12分)棱长为1的正方体ABCD一ABC1D1中，E,F,G分别 是DD1,BD,BB1的中点. (1)求证：EF⊥CF; (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长. 22.(12分)如图所示，在四棱锥P一ABCD D 中，△PBC为等腰直角三角形，且∠CPB =90°，四边形ABCD为直角梯形，满足 AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD= M 4,PD=2√6，点F为DC的中点. (1)求cos(AP,BF); (2)若点E为PB的中点，点M为AB 上一点，当EM1BF时，求AM的值 ABB卷能力提升 1.D由题意知，在空间直角坐标系O-xyz中，点A(2,1,3)关于平面xO2的对称点 为B(2,-1,3),所以OA=(2,1,3),OB=(2,-1,3),则OA·OB=2X2+1×(-1) 十3×3=12，故选D. 2.D·点P(一4，一2,3)关于xOy平面及y轴对称的，点的坐标分别为（一4， 一2，一3)，(4，-2，-3)，…c=-3,e=4,则c十e=1.故选D. 3.ABC=AC-AB=(4,2,-1)-(2,-2,0)=(2,4,1),AB|=√4+4+0=2√2， |AC=√/16+4+I=√2I,|BC1=√4+16+1=√2I,所以|AC|=|BC|=√/2I, 即△ABC是以C为顶角的等腰三角形.因为CA=一AC=(-4,一2,1)，CB=-BC =(-2,-4,1),CA·CB=(-4)×(-2)+(一2)×(-4)+1×1=17>0，所以C为 锐角，所以△ABC是顶角为锐角的等腰三角形，故选A. 4.C由距离公式得：AB=√(1-4)2+(-2-2)2+(11-3)2=√89， |AC=/(1-6)2+(-2+1)2+(11-4)2=√75， 1BC1=√/(4-6)2+(2+1)2+(3-4)2=√14， AC2+|BC2=|AB2,∴△ABC为直角三角形.故选C. 5.B由题意知E是正四面体A一BCD外接球的球心，设O是顶点A在下底面的射 影，连接A0.则A0是四面体的高，OB是△BCD的外接国半径，则OB=2.A0= 25,在△B0E中，BB=(A0-AE2+OB,解得AE-.:E+E店=-(+ ED),∴EA+E+EC+ED=0,∴EA+E诺+EC=ED1-A-5故选B. 6,C国为室问四边移OABC中，M在A0上，满足N是BC的中点，且心 -a,A成=b,AC-c,所以M=-A0+Ai+2BC=-号Ad+AB+(AC A)=-a0+号A话+号AC=-3a+2b+c故逸C 7.C:AC-A店+Ai,B底-B酝+}BA-A-}A成AC.G=(A+AD· (-A由题意，易知AB,AF,AD两两垂直AC.BG=-A序=-2. ..AB=2,..AG2=AF2+FG2=2.GC2=BC2+BE2+EG2=6,AC2=AB2+BC2= 8,则AC2=AG2+GC2,△AGC为直角三角形，又△ABC为直角三角形，.AC为 三棱锥C一ABG的外接球的直径，则三棱锥C-ABG的外接球的表面积S=4πX (49)=8x故选C 8.B设正方体ABCD-A1B1CD1的中点为O,连接OP,OM,ON.由正方体的性质 可知，OP⊥OM,OP⊥ON,那么PM·PV=(PO+OM0·(PO+ON)=PO+PO: ON+OM.P0+Oi.ON,又PO=2,所以PM.PN=}+O.ON,当Oi与 O示反向，且O=O示=2BD-时.0M.O示有最小值，此时Pi.P元 号-=-：多Oi5O贰问向，且0=1O=号1B01=时.ai:0有最大 依此时成爪=+骨-是中成爪的取位花用为子引，成这取 9.CD由√/12+12+12=3<5， W/12+22+22=3<5W√22+(-3)2+52=√38>5W32+02+42=5, 可得，到原点的距离不小于5的为C,D, 且满足到x轴的距离大于3.故选CD. 10.CD如图，分别取AB,CD的中点E,F,EF的中点O. 对于A,SA+SB+SC+SD=2SE+2SF=2(SE+SF) =4SO≠0，故A错误； 对于B,(SA-SC)·(SB-SD)=CA.DB=0,而不是向 量0，故B错误； 对于C,SA-SB+SC-SD=BA+DC=0,故C正确； 对于D,:SA·SB=2X2Xcos∠ASB=4cos∠ASB. SC·SD=2X2Xcos∠CSD=4cos∠CSD,又∠ASB= ∠CSD,所以SA·SB=SC·SD,故D正确.故选CD. 102参考答案 11.ABDM与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA十yOB十xOC,x十y十z= 1.对于A选项，由于2一1一1=0≠1，所以不能得出M,A,B,C共面； 对于B选项，由于号+号+号≠1，所以不能得出MA,B,C共面：对于C逸项，由 于MA=一MB-MC,则MA,MB,MC为共面向量，所以M,A,B,C共面；对于D选 项，由OM+OA+OB+OC=0得OM=-OA-OB-OC,而-1-1-1=-3≠1，所 以不能得出M,A,B,C共面，故选ABD. 12.BD AB=2i.AD=2j.AA]=3k,AC]=AB+AD+AA=2i+2j+3k=[2,2.3] A错误；因为BE=EB1,所以E为棱BB1的中点，ED1=AD1-AE=(AD十AA1) -成A)=-店+i+A=-++=[-22],B正： 由A选项知AC1=2i+2j十3k,因为AM=[2,t,0],所以AM=2i十j,由AM⊥AC 知AM·AC1=(2i+2j+3k)·(2i+j)=0→4i2+2j2+(4+2t)i·j+6k·i+3tk ·j=04十21十(4+20)·号十3+号=0P1=-2,C错误：由C选项可知A= |2i-2j引=√(2i-2j)2=√4i+4j2+8i·j=√4+4-4=2，D正确.故选BD. 13.答案 13 60 解析若A,B,C,M四点共面，则设AM=xBM+yCM,即OM-OA=x(OM- OB)+y(OM-OC),整理可得OM xOB一1-x一y 1-10i-1--0 yOC,由 =2入 1-x-y 0成=2以0i+号0店+名0元.得 13 1一xV5,解得λ=60 y 1 -1-x-y6 14.答案 1 4 解析因为∠BDC=90°，∠DCB=30°，|BC=2,所以BD=1,CD=|BCcos S0-所以San=×BD×cD-复日为A(停日)小.即点A到BC 的距高为受即为点A到年面BCD的距离，所以三梭维D-ABC的体款为V=司 x3×31 2大 24 15.答案(0,1] 解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=a(a>0), 地 AP=x(0<x<2),则P(a,x,2),C(0,2,2).D1(0,0,0), P .D1P=(a,x,2),CP=(a,x-2,0),D1P⊥PC,∴D1P· B CP=a2+x(x-2)=0,∴.a=√/-x2+2x=√/-(x-1)2+1, 当0x<2时，-(x-1)2+1∈(0,1]，∴.a∈(0,1]. D 16.答案13 B 解折e·6=e1)=cos(e16)= 06)=否不坊设61=（号o）g=1.00).b=(m南题意可知b 。-266m吾m号m号6-（层号小.16-2E. 5 2=1.b-1+e(停--9-9小[r=b-(e +e12=（x+2-52+1-z)2+2=(x+2-52+1-2)+1. .当x=1,y=2时，[f(x,y)]2取得最小值1，即f(x,y)的最小值为1，此时x十y= 3 17.解选①. (DA+DC)⊥(DA-DC),.(DA+DC)·DA-DC)=0. ∴.DA2-DC2=0,即DA=DC=2. B(2,2,0),B1(2,2,4),D1B=(2,2,-4),CB1=(2,0,4). cos(D1B,CB)=DB·CB -12 =30 ID1B·|CB1126×2V5 101 即DB与CB夹角的余弦值为-30 10 选②. 设A(a,0,0),其中a>0,从而B(a,2,0),B1(a,2,4), ∴AC=(-a,2,0),D1B=(a,2,-4). AC·D1B=0,.-a2+4=0,a>0,a=2. ∴D1B=(2,2,-4),CB1=(2,0,4), ∴cosD1B,CB1)= D·265-e. 、DB·CB -12 即D5G6夫房的参欲位为-需 选③. 连接AC.oA DiAC)=60si.Ad-号∠DAC=45DA=DC=2. 以下解法同①： 18.解(1)连接OD,因为点E为AD的中点， 所以02=20A+0D)=20A+20D. 因为2BD=DC,所以BD=号BC. 所以0D-O店+BC-O店+(0元-OB)=2OB+1O元. @自4o正-0+b+名， 因为OA=OC=4,OB=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，AC=OC-OA=c-a, 所以0.ad-(2++日)c-a) 1 1 1 1 1 1 号×4Xcos60-×4+甘X8X4eas60-吉×8X4os60+吉× = 、8 19.解：平面ABCD⊥平面ABEF, 平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE, .BE⊥平面ABCD, ∴AB,BC,BE两两垂直. H 过点M作MG⊥AB,MH⊥BC. 垂足分别为G,H, 连接NG,易证NG⊥AB. CM=BNI=a,..ICH=MHI=BG=GNI A ,∴.以B为原，点，以BA,BE,BC所在的直线为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间 直角坐标系B一xy之， 则Ma01-号a)N号，号o (2)由(1)得，当a=号时，MN最小，最小为号，这时M,N恰好为AC,BF的 2 中点. 20.解(1)由于A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), 因此AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2), wd-话-am-亭 所以S=AB|ACIsin<AB,AC)=7√3. 即以线段AB,AC为邻边的平行四边形的面积为7√3. (2)假设存在，点D(x,y,z)满足条件，则CD=(x-1y十1,2-5)，BD=(x+2,y- 1,2-6). 因为四边形ABDC是等腰梯形，且AB∥CD,所以AC=|BD. 又AC=(1,-3,2),AB=(-2,-1,3), 所以出号 (x=-1x=1 解得y=一2或y=-1. (x+2)2+(y-1)2+(x-6)2=14 =8 之=5 当x=-1,y=-2,之=8时，|AB|=|CD|=√I4,故此时四边形ABDC为平行四 边形，不合题意； 当x=1,y=-1,z=5时，点D与点C重合，不合题意. 故假设不成立，即不存在满足条件的点D. 21.解建立如图所示的空间直角坐标系D一xy2, 则D00.0.E(00,2）.c(01.0).F(}号0）： B c11,2） E 所以求=（分-），市=（分-20）. (10.2).c2=(0-1,2） 1证明国为示.乎=专×名+合×(-)+（号）×0=0，所以E萨1 即EF⊥CF. (2)因为示.忘-号×1+2x0+(-名)×号= =/(》+(合）+(y-,1++()- 所以cos(E成，CG=E京.CG EFCGI35 15 2×2 所以异面直线E即与CG片成角的余滨值为 (81=02+(-1)+(合}- 22.解(1)因为△PBC为等腰直角三角 形，∠CPB=90°，BC=CD=4,所以PC =PB=2√2， D 又PD2=(2√6)2=24，PC2+CD2= A (2√2)2+42=24，所以DC⊥PC. F 以，点C为原点，CP,CD所在直线分别为 x,z轴，过点C作PB的平行线为y轴 建立空间直角坐标系C一xyz,如图 M 所示， 则P(2√2,0,0)，B(2√2,2√2,0)，F(0, 0,2),A(√2，√2,4). 则AP=(W2,-√2，-4)，BF=(-2√2， -22,2), x 所以c0s(A户，BF)=AP·B庄 IAP|·IBF 2X(-22)+(-2)×(-22)+(-4)X2=-2 2√5×2√5 （2由1D知E2EwE,0,设M22-,22-21), 则B=(-2E.-2E.2).i=(-2-2)小： 由BF.EM=√2t-4+21+2V2t=0, 南得1-号北时M(2.7,) 尉a-(3y,39-)d=元，-4所以-是 第十一单元向量在立体几何中的应用 A卷基础达标 1.AA(0y,3)和B(-1,22),∴.AB=(-1,2-y,2-3),直线l的一个方向向量为m 1 k=一2 (-1=2k, 3 =(2,-1,3),故设AB=2y,解得y=2，y=0.故选A x-3=3k, 3 z-21 2.C由题意可得MN=(4,1,0),因为平面a的一个法向量n=(6,a,6),所以n⊥ MN,所以n·MN=(6,a,6)·(4,1,0)=6×4+a×1+6×0=0,解得a=一24.故选 C. 3.C由题意知a∥b.因为b=(4,2一2m,2一2m)≠0，所以“a∥b的充要条件是a= /4-2m=4入， b”,即{m-1=入(2-2m),显然m=1符合题意，当m≠1时，由m一1=入(2-2m), m-1=入(2-2m), 得入=-号，代入4-2m=4以，得m=3.综上，m的值为1或3.故选C 4A设平面ABC的法向童为m=(,尉m:5=0,时 0,即/x2=0 m·AC=0 x+y+=0今x=2, 可得y三一3，之=1，所以m=(2,一3,1)，因为n=m,所以平面a∥平面ABC.故选A. 5.D AC=AA+AB+AD.BC=AD=AD+AA1. 所以A衣a++ /A1A2+AB2+AD2+2·A1A·AB+2·A1A·AD+2·AD·AB =W16+16+16+2×4×4×cos120°+2X4×4×cos120°+2×4×X4×c0s90 /48+64×(-2)=4.ci=/ BC√(AD+AA)2VAD+AM2士2·AD·AA =√/16+16+2X4X4Xcos60°=4V3,A1C·BC1=(A1A+AB+AD)·(AD+ AA1)=A1A·AD+A1A·AA1+AB·AD+AB·AA1+AD·AD+AD·AA1=4 ×4×c0s120°-4×4+0+4×4×cos60°+4×4+4×4×cos60°=8，所以cos(A1C BC)=AC·C=8-故送D |A1C1·|BC14X4√36 6.B建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0),C D (0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),所以DA1=(1,0,-1), DC1=(0,1,-1),AD=(-1,0,0),设平面A1C1D的- B A 个法向量为m=(x,y,1), 则m·D0即0解得二数m=,11 m·DC1=0, (y-1=0,1 (y=1, D C y 显然平面AB1C∥平面A1C1D, 所以平面AB1C与平面A1CD之间的距离 d=AD:m=1=5故选B. m 33 7.C设正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，以点D为 D,12 坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,2轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2,0,2),E(2,2,1),C(0,2,0),所以EA1=(0, A -2,1),CE=(2,0,1),设平面A1EC的法向量为m= (xy),则m·E4=-2y十=0 p.C 取x=1,可得m ww y m·CE=2x+z=0 A (1,一1，-2)，易知平面ABCD的一个法向量为n=(0, x 01》.所以osmw=m:司一后5知子 m·n 面A,BC与平面ABCD所成锐二面商的余孩值为5故选C 8.A在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=√2，AA1=2,三棱锥A1-ABC 体积最大等价于△ABC的面积最大，：AC+BC-2,AC·BC≤ACBC-1, 2 当且仅当AC=BC=1时等号成立，∴.AC=BC=1时△ABC的面积最大.以C为原 点，CA,CB,CC的方向分别为x,y,2轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B1(0,1,2), C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),BC=(0,-1,-2),BA=(1,-1,0),BB1=(0,0,2), 使个a的会台主-康=1-0 B1C·n 0),设直线B1C与平面ABB1A1所成角为0，则sin0= 1 |B1Cl|nlw5X√2 1 二，.cos0=310,.直线BC与平面ABB1A1所成用的杀孩值为00.故 选A. 9.ABCAB·AP=0,AD·AP=0,.AB⊥AP,AD⊥AP,则A,B正确；又AB与 AD不平行，∴AP是平面ABCD的一个法向量，则C正确；由于BD=AD-AB=(2, 3,4),AP=(-1,2,-1),.BD与AP不平行，故D错误.故选ABC. 10.BCD由题意可知，D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(1,0,2),所以 A1C=(-2,2,2),所以|AC1|=√/4十4十4=2N3,故AC1=2√3，A错误；AE=(0, 2,1).AF=(-1,0,2),则cosA正，A)=AE·AF=(02,1)·(-1.0,2) |AE1·|AF w5·W5 号B正确；设m=(4,-1,2),则m·AE=(4,1,2)·(0,21)=-2十2=0，m AF=(4,-1,2)·(-1,0,2)=-4十4=0，而AE∩AF=A,所以平面AEF的一个 法向量是(4，-1,2)，C正确；EF=(一1，-2,1)，DF=(1,0,2),则cos(EF,DF>= 2贵=所以m成.)=-(0 1+4+1·1+4 30 √80，故点D到直线EF的距离为D·in(E求，D)=5·80=7,D 30 30 6 正确.故选BCD. 11.AD对选项A,由图知：A1D与B1D1是异面直线，故A 2 正确；以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,之轴，建立 空间直角坐标系，设正方体边长为2，对选项B,D(0,0,A16 0),A1(2,0,2),E(1,2,0),F(0,1,0),所以A1D1=(一2， 0,一2)，EF=(一1，一1,0)，设A1D与EF所成角为0， 则cos0=AD·EF=21 D AD1·1E可8,22，又因为0<0A ≤90°，所以0=60°，故B错误；对选项C,由题知：平面 BEB1的法向量为DC,因为DC=(0,2,0),A1F=(-2, A F.DCI 1,一2)，设A1F与平面B1EB所成角为a,sina= 21 |A1F|·IDC2W 3 cos a =2,巨，故C错误：对选项DD1B=(2,2.0),BB=(0,0,2),设平面D1B,B的法 3 m·D1B1=2x1+2y1=0 向量m=(x1y1之1)，则{ m·BB1=2x1=0, 令x1=1得m=(1,-1,0),设平面D1BC的法向量n=(x2y2,z2),B1C=(-2, n·D1B1=2x2十2y2=0 0,一2)，则 ,令x2=1,得n=(1,-1,-1),设二面角C n·B1C=-2x2-2x2=0 m·n 2=6 DB-B的手面角为B,则c0sBmn2·后号，由图可知B为锐角，所 以cosg=故D正确，故选AD 12.ACD如图所示，在正方体中，以D为原点建立空间直角 D'M 坐标系， C' 则D(0,0,0),Q(2,0,1),C(0,2,0),设M(0,m,2),V(0,, A M 0),m,n∈[0,2]，分别作MM⊥A'B′于点M',NN'⊥AB 于点N',连接M'Q,N'Q,则∠MQM=a,∠NQN'=B,M (2,m,2),N'(2,n,0),所以MM=NN'=2,QM= MM'2,tan B= √m2+1,QN'=√m2+1.则ana=Q7-/m2+ 参考答案103