第二章 圆锥曲线（单元分层自测·培优冲刺卷）数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高二圆锥曲线，以科技情境与分层设计为特色，通过冷却塔、电视塔等工程实例融合双曲线应用，适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|双曲线方程、抛物线性质、椭圆焦点三角形|单选基础巩固（如抛物线焦点距离），多选综合辨析（如双曲线离心率）| |填空题|3/15|抛物线距离、双曲线最值、椭圆光学性质|第14题结合古希腊椭圆光学性质，培养数学思维与创新意识| |解答题|5/77|双曲线方程求解、实际应用（冷却塔）|第18题以冷却塔轴截面为情境，考查双曲线建模与直母线计算，体现数学眼光与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第二章 圆锥曲线·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（    ） A． B． C．1 D．4 3．直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（    ） A．5 B． C．4 D． 5．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 10．已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（    ） A．的周长为4 B．当时，的面积为 C．若直线经过点，则的最小值是3 D．若线段中点为，则直线的方程为 11．已知双曲线：，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．直线，的斜率之积为2 D．存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．填空：（1）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为___________； （2）设抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为___________. 13．在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为________. 14．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知斜率为且不经过坐标原点的直线与交于两点，若的中点在直线上，求的值. 16．（15分）求适合下列条件的双曲线的标准方程，并画出草图． (1)一个焦点为，渐近线方程为； (2)焦距为20，离心率为，顶点在x轴上； (3)与双曲线共渐近线，且经过点． 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 18．（17分）如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米. (1)求最小直径圆面的面积； (2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）. 19．（17分）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第二章 圆锥曲线·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，所以，所以双曲线的方程为. 2．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】抛物线方程化为，所以焦点到准线的距离. 3．直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题知，双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线的一条渐近线平行，由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点.    4．已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】设直线为，代入抛物线得，则，，∴，直线为，线段的中点记为，则，.又中点在上，∴. 5．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】设点，依题意得，而，所以，又=1，所以，所以. 6．已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为椭圆的焦点为，，所以设椭圆的方程为：,设，，，则，因为，所以，所以， 所以，又因为，所以，所以，所以，所以或，因为在上，所以，即，解得：或，因为,故舍去，所以.故的方程为.    7．已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，    即，且，所以，解得，所以在△中，由余弦定理可得，即，即，解得. 8．已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设,，设的中点为，由于，故,因此为直角三角形，故，由于，所以，进而可得，故或，由在双曲线渐近线上，所以，进而，当时，,，所以，当时，,，所以不符合题意，舍去，综上：故离心率为.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 【答案】BC 【解析】根据题意不妨设，根据双曲线的定义知，即，解得或 10．已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（    ） A．的周长为4 B．当时，的面积为 C．若直线经过点，则的最小值是3 D．若线段中点为，则直线的方程为 【答案】BCD 【解析】A，假设直线经过点，由题意可知椭圆的长轴长，左焦点，由椭圆的定义可知，故A错误； B，设，由椭圆定义可得，在中由余弦定理可得，把代入上式并整理可得，解得，所以，故B正确；C，若的斜率存在，不妨设其方程为：，联立椭圆方程可得，，则， 所以，若的斜率不存在，则其方程为，与椭圆联立易得，显然当的斜率不存在时，，故C正确； 设，易知，可得，，若中点为，则，所以直线方程为，即，故D正确 11．已知双曲线：，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．直线，的斜率之积为2 D．存在点，使得 【答案】AB 【解析】对于A，由双曲线：，得，故，A正确；对于B，双曲线：的渐近线为，则四边形为矩形，又双曲线右顶点为，到直线的距离均为，故矩形为正方形，即存在点，即M为双曲线右顶点时，使得四边形为正方形，B正确；对于C，设，不妨设A在第一象限，B在第四象限， 由于，故可得的方程为，联立，可得，则， 同理，可得的方程为，联立，可得，则， 故，而，故，C错误；对于D，由以上分析可知，同理,故，根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则，故，令，将代入，即有，显然不可能，即双曲线上不存在点，使得，D错误， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．填空：（1）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为___________； （2）设抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为___________. 【答案】 6 或 【解析】（1）抛物线的焦点为,准线方程为，点P到y轴的距离是4，故点P到准线的距离是，结合抛物线定义可知点P到该抛物线焦点的距离为6 （2）抛物线即，其焦点为，准线方程为，由于抛物线上一点M到焦点的距离为1，设，则，将代入中，得， 则M点坐标为或 13．在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为________. 【答案】 【解析】双曲线中，，则，设，，由双曲线的定义可得，则 ，当且仅当，即，即，时取等号，所以的最大值为． 14．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为_______ 【答案】/ 【解析】 由可得：，由角平分线的性质可得：，所以，设，由题意，因为，所以，由余弦定理可得：，解得：，又，所以，得： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知斜率为且不经过坐标原点的直线与交于两点，若的中点在直线上，求的值. 15.解：（1）由题意得，即，所以， 因为双曲线经过点，所以代入可得， 解得，， 所以的方程为.......................6分 （2）设直线的方程为，，，的中点为. 联立，消去整理得：，.....................8分 所以，， 则，，所以......................11分 因为在直线上，所以，又，所以......................13分 16．（15分）求适合下列条件的双曲线的标准方程，并画出草图． (1)一个焦点为，渐近线方程为； (2)焦距为20，离心率为，顶点在x轴上； (3)与双曲线共渐近线，且经过点． 16.解：（1）因为焦点为，渐近线方程为， 所以，， 解得，， 所以所求双曲线方程为......................3分 草图如下：   .....................5分 （2）因为焦距为20，离心率为， 所以，故， 又顶点在x轴上， 所以所求双曲线方程为：......................8分 草图如下：   .....................10分 （3）设所求双曲线方程为， 又双曲线经过点， 所以，解得， 所以所求双曲线方程为......................13分 草图如下：   .....................15分 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. （1）根据题意，设双曲线的方程为， 由题知，，可得； 所以双曲线方程为...................4分 (2)易知为双曲线的右焦点，如下图所示：    由题知直线l斜率存在， 根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为，..................7分 代入双曲线方程得， 设，， 由韦达定理有，， 且，，..................10分 设，点E在线段上，所以 由可得 化简得，..................13分 代入和并化简可得， 即存在点E满足条件，并且在定直线上...................15分 18．（17分）如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米. (1)求最小直径圆面的面积； (2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）. 18.解：（1） 由题设，则有在双曲线上， 所以，解得，.................5分 因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面， 此时圆面的面积为（平方米）；.................8分 （2）由（1）可知的一条渐近线方程为， 如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行， 所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为，..................11分 ， 由，解得，则，..................14分 由，解得，则， 所以（米）...................17分 19．（17分）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 19.解：（1）由实轴长为，得. 离心率，故. 由，得. 因此双曲线的方程为...................6分 （2）直线与轴交于， 联立与双曲线方程得，..................8分 设、，双曲线渐近线方程为， 由直线与右支相交于两点，得. ， 由韦达定理，...................10分 ，同理，..................13分 故：， 解得（）. 将代入联立方程，得， 解得、，对应、. 即，..................16分 因此的面积为：...................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第二章 圆锥曲线·培优冲刺（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B B B D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC BCD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 6 或 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）由题意得，即，所以， 因为双曲线经过点，所以代入可得， 解得，， 所以的方程为.......................6分 （2）设直线的方程为，，，的中点为. 联立，消去整理得：，.....................8分 所以，， 则，，所以......................11分 因为在直线上，所以，又，所以......................13分 16.解：（1）因为焦点为，渐近线方程为， 所以，， 解得，， 所以所求双曲线方程为......................3分 草图如下：   .....................5分 （2）因为焦距为20，离心率为， 所以，故， 又顶点在x轴上， 所以所求双曲线方程为：......................8分 草图如下：   .....................10分 （3）设所求双曲线方程为， 又双曲线经过点， 所以，解得， 所以所求双曲线方程为......................13分 草图如下：   .....................15分 （1）根据题意，设双曲线的方程为， 由题知，，可得； 所以双曲线方程为...................4分 (2)易知为双曲线的右焦点，如下图所示：    由题知直线l斜率存在， 根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为，..................7分 代入双曲线方程得， 设，， 由韦达定理有，， 且，，..................10分 设，点E在线段上，所以 由可得 化简得，..................13分 代入和并化简可得， 即存在点E满足条件，并且在定直线上...................15分 18.解：（1） 由题设，则有在双曲线上， 所以，解得，.................5分 因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面， 此时圆面的面积为（平方米）；.................8分 （2）由（1）可知的一条渐近线方程为， 如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行， 所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为，..................11分 ， 由，解得，则，..................14分 由，解得，则， 所以（米）...................17分 19.解：（1）由实轴长为，得. 离心率，故. 由，得. 因此双曲线的方程为...................6分 （2）直线与轴交于， 联立与双曲线方程得，..................8分 设、，双曲线渐近线方程为， 由直线与右支相交于两点，得. ， 由韦达定理，...................10分 ，同理，..................13分 故：， 解得（）. 将代入联立方程，得， 解得、，对应、. 即，..................16分 因此的面积为：...................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第二章 圆锥曲线·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（    ） A． B． C．1 D．4 3．直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（    ） A．5 B． C．4 D． 5．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 10．已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（    ） A．的周长为4 B．当时，的面积为 C．若直线经过点，则的最小值是3 D．若线段中点为，则直线的方程为 11．已知双曲线：，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．直线，的斜率之积为2 D．存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．填空：（1）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为___________； （2）设抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为___________. 13．在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为________. 14．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知斜率为且不经过坐标原点的直线与交于两点，若的中点在直线上，求的值. 16．（15分）求适合下列条件的双曲线的标准方程，并画出草图． (1)一个焦点为，渐近线方程为； (2)焦距为20，离心率为，顶点在x轴上； (3)与双曲线共渐近线，且经过点． 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 18．（17分）如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米. (1)求最小直径圆面的面积； (2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）. 19．（17分）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $