2.3.1 抛物线及其标准方程-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，通过课前自主预习落实基础概念，课堂以梯度进阶式题型（求方程、定义应用、实际应用）构建学习支架，衔接从概念理解到综合应用的知识脉络。 其亮点是采用梯度进阶教学，结合微点助解深化定义的“一动三定”理解，通过花车巡游等实际案例培养数学眼光，题型设计注重推理能力，帮助学生用数学思维解决问题，教师可借助结构化资源提升教学效率。

§3 抛物线 3.1 抛物线及其标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程.明确抛物线方程中参数p的几何意义. 2.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.抛物线的定义 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 ________叫作抛物线的焦点 准线 __________叫作抛物线的准线 相等 定点F 定直线l |微|点|助|解| 对抛物线定义的理解 (1)抛物线的定义可归结为“一动三定”:“一动”即一个动点，设为M; “三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1). (2)定义中的隐含条件:定点F不在准线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线. 2.抛物线的标准方程(p>0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ________ __________ ______ _________ x= x=- y2=2px y2=-2px ________ ________ ________ ________ y= x2=2py y=- x2=-2py 续表 |微|点|助|解| (1)只有抛物线与轴的交点为坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程只要确定其一，其余两者也就确定了. (2)标准方程的特征:等号的左边是某个变量的平方且系数为1，等号的右边是另一个变量的一次单项式. (3)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p>0)通常又可以写成y=ax2(a≠0)，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y=ax2(a≠0)求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化为标准形式. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x=-2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线. (　 ) (2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线. (　 ) (3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x=-2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线. (　 ) (4)抛物线准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. (　 ) √ × √ √ 2.抛物线y=x2的焦点坐标为(　　) A.(0，4)　　　B.　　　C.(4，0)　　　D. √ 解析:抛物线y=x2的标准形式为x2=16y，其焦点在y轴上，坐标为(0，4). 3.准线方程为y=2的抛物线的标准方程是 (　　) A.y2=-4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=-8y 解析:由抛物线的准线方程为y=2，可知抛物线的焦点在y轴负半轴上，设其方程为x2=-2py(p>0)，则其准线方程为y==2，得p=4.∴该抛物线的标准方程是x2=-8y. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　求抛物线的标准方程 [例1]　求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)顶点在原点，准线方程为y=4; 解:由题意顶点在原点，准线方程为y=4， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且=4，∴p=8， 故抛物线标准方程为x2=-16y. (2)顶点在原点，且过点(-3，2); 解:由题意顶点在原点，且过点(-3，2)，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线标准方程为x2=2py(p>0)或y2=-2p'x(p'>0)， 分别将(-3，2)代入，解得p=，p'=， 故抛物线标准方程为x2=y或y2=-x. (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上; 解:由于直线3x-4y-12=0与x轴的交点为(4，0)，由题意可知抛物线焦点为(4，0)，则=4，∴p=8，故抛物线标准方程为y2=16x. (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5. 解:由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5， 则设抛物线标准方程为y2=2px(p>0)，焦点为，准线方程为x=-，故3-=5， ∴p=4，故抛物线标准方程为y2=8x. |思|维|建|模| 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 [提醒]　当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数. 针对训练 1.求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点M(-6，6); 解:因为点M(-6，6)在第二象限， 所以过点M的抛物线开口向左或向上. 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2=-2px(p>0)，将点M(-6，6)的坐标代入，可得36=-2p×(-6)， 所以p=3，所以抛物线的标准方程为y2=-6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2=2p'y(p'>0)， 将点M(-6，6)的坐标代入，可得36=2p'×6， 所以p'=3，所以抛物线的标准方程为x2=6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y. (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. 解:①当焦点F在x轴上时，因为直线l与x轴的交点坐标为(2，0)，所以抛物线的焦点是F(2，0)，所以=2，所以p=4，所以抛物线的标准方程是y2=8x. ②当焦点F在y轴上时，因为直线l与y轴的交点坐标为(0，-3)，所以抛物线的焦点是F'(0，-3)，所以=3，所以p'=6，所以抛物线的标准方程是x2=-12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y. 题型(二)　抛物线的定义及应用 题点1　利用抛物线的定义求值 [例2]　(1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|=x0，则x0等于(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8 解析:由题意，知抛物线的准线方程为x=-.因为|AF|=x0，根据抛物线的定义，得x0+=|AF|=x0，所以x0=1，故选A. √ (2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为________________. (6，9)或(-6，9) 解析:设点P(x0，y0)，由抛物线方程x2=4y，知焦点坐标为F(0，1)， 准线方程为y=-1. 由抛物线的定义，得|PF|=y0+1=10，所以y0=9， 代入抛物线方程得x0=±6. ∴P点坐标为(±6，9). |思|维|建|模| (1)根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的 距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化， 从而简化某些问题. (2)抛物线的焦半径公式 抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段称为焦半径.根据抛物线的定义，焦半径公式如下:①y2=2px(p>0)，r=x0+;②y2=-2px(p>0)，r=-x0+; ③x2=2py(p>0)，r=y0+;④x2=-2py(p>0)，r=-y0+. 题点2　与抛物线有关的轨迹问题 [例3]　已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x2+(y+3)2=1 外切， 则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2=-12y　　　B.x2=12y　　　C.y2=12x　　　D.y2=-12x √ 解析:设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，所以=3，2p=12，其方程为x2=-12y. |思|维|建|模| 解决有关抛物线的轨迹问题的方法 　　求解有关抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于动点到定直线的距离这个条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件. 题点3　与抛物线有关的最值问题 [例4]　已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解:由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的 距离等于它到焦点的距离.由图可知， 当点P，点(0，2)和抛物线的焦点F 三点共线，即P在P'位置时所求距离之和最小， 所以距离之和的最小值为d==. 　　[变式拓展] 若将本例中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|+|PF| (F为抛物线的焦点)的最小值. 解:将x=3代入y2=2x，得y=±.所以点A在抛物线内部.设点P到准线(设为l)x=-的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d. 由图可知，当PA⊥l，即P在P'位置时，|PA|+d最小，最小值是. 即|PA|+|PF|的最小值是. |思|维|建|模| 最值问题的处理方法 　　解决与抛物线上的点到定点、定直线的距离有关的最值问题时，常利用抛物线定义，将抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到准线的距离相互转化.即化折线为直线解决问题. 针对训练 2.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，若点A(，2)在C上，则|AF|=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 解析:法一　因为点A(，2)在C上，所以()2=2p·2，解得p=，所以抛物线的准线方程为y=-.由抛物线的定义，|AF|等于A到准线的距离，即2+=. 法二　因为点A(，2)在C上，所以()2=2p·2，解得p=，所以F， 所以|AF|2=()2+=2+=，所以|AF|=，故选C. 3.已知动点P(x，y)满足5=|3x+4y-7|，则动点P的轨迹是(　　) A.直线　　　B.椭圆　　　C.双曲线　　　D.抛物线 解析:因为5=|3x+4y-7|，得 =，即动点P(x，y)到定点(2，1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等，且点(2，1)不在直线3x+4y-7=0上，则由抛物线定义知，动点P(x，y)的轨迹为抛物线. √ 4.已知点P是抛物线C:x2=12y上的一点，过点P作直线y=-1的垂线，垂足为M，若G(4，0)，则|PG|+|PM|的最小值为 (　　) A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6 解析:由抛物线C:x2=12y可知其焦点为(0，3)，准线方程为y=-3，记抛物线C的焦点为F(0，3)，所以|PG|+|PM|=|PG|+|PF|-2≥|FG|-2 = -2=3，当且仅当点P在线段FG上时等号成立，所以|PG|+|PM|的最小值为3. √ [例5]　2023年5月，在美丽的崇明岛举办第十届中国花卉博览会，主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，如图，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度. 题型(三)　抛物线的实际应用 解:如图所示，以 AB 中点为原点建立平面直角坐标系， 由题意得 A(-6，0)，B(6，0)，C(0，6)，设该抛物线的 解析式为 y=ax2+c，代入 A，C 点坐标得 解得故该抛物线解析式为 y=-x2+6，令 x=4， 解得 y=，又 -2=.故所搭舞台的最大高度为 米. |思|维|建|模| 　　解决与抛物线有关的实际应用问题时，一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而求出其他值. 5.如图，某大桥中央桥孔的跨度为20 m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10 m，桥墩高出水面4 m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18 m.目前吃水线上部分中央船体高16 m，宽16 m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔?试说明理由. 针对训练 解:建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程 为x2=-2py(p>0)，由题意可知A(10，-6)，把它代入方程中，得100=-2p·(-6)⇒p=，所以抛物线的方程为x2=-y， 而货轮宽16 m，把x=8代入x2=-y中，得y=-3.84， 点B离水面高度为10-3.84=6.16(m)，而吃水线上部分中央船体高16 m，所以该货轮不能通过桥孔. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列命题正确的是 (　　) A.抛物线C:y2=-4x的焦点坐标为(1，0) B.抛物线C:y2=-4x的准线方程为x=-1 C.抛物线C:y2=2px的图象关于x轴对称 D.抛物线C:y2=2px的图象关于y轴对称 解析:抛物线C:y2=-4x的焦点坐标为(-1，0)，准线方程为x=1，故A、B错误;抛物线C:y2=-4x的抛物线C:y2=2px的图象关于x轴对称，故C正确，D错误.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知抛物线y=2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为 (　　) A.(1，0)　　　B.　　　C.　　　D.(0，1) 解析:由抛物线y=2px2过点(1，4)，可得p=2， ∴抛物线的标准方程为x2=y，则焦点坐标为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.顶点在原点，且过点(-2，2)的抛物线的标准方程是 (　　) A.y2=-2x B.x2=2y C.y2=2x或x2=-2y D.y2=-2x或x2=2y 解析:点(-2，2)在第二象限.当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，把(-2，2)代入解得p=1，所以抛物线的标准方程为x2=2y.当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)，把(-2，2)代入解得p=1，所以抛物线的标准方程为y2=-2x. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x=-1的距离为3，则|MF|= (　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 解析:如图所示，根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2，若M到直线x=-1的 距离为|MM2|=3，则M到抛物线的 准线x=-2的距离为|MM1|=4， 利用抛物线定义可知|MF|=|MM1|=4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:如图，可得圆心M(0，1)也是抛物线的焦点， 直线PN与准线垂直，垂足为H，根据抛物线的定义， 可得|MN|=|NH|，故△PMN的周长为|NH|+|NP|+|MP| =|PH|+4，由可得B(2，3). ∴|PH|的取值范围为(4，6)，∴△PMN的周长的取值范围为(8，10)，故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|=|PF|，则△PMF的面积为(　　) A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　 D.32 解析:如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N.∵|PM|=|PF|，|PF|=|PN|，∴|PM|=|PN|.∴|MN|=|PN|.设P，则|t|=+2，解得t=±4，∴△PMF的面积为·|t|·|MF|=×4×4=8. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)已知点F(1，0)，直线l:x=-1，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是___________. y2=4x 解析:根据抛物线定义可知，点P在以F(1，0)为焦点，直线l:x=-1为准线的抛物线上，所以=1，p=2，抛物线方程为y2=4x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分.如图2，已知该卫星接收天线的口径|AB|=a米，深度|MO|=b米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系Oxy，则该抛物线的标准方程为___________. 解析:设抛物线标准方程为y2=2px(p>0)， 依题意A，代入y2=2px(p>0)得=2pb，2p=，所以抛物线标准方程为y2=x. y2=x 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知抛物线x2=4y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=5， 请写出满足题意的直线PF的一个方程:________________________. 3x-4y+4=0(或3x+4y-4=0) 解析:由题意知焦点为F(0，1).设P(x0，y0)，则|PF|=y0+1=5，y0=4，=4×4，x0=±4.若P(4，4)，则kPF==，直线PF的方程为y=x+1，即3x-4y+4=0.若P(-4，4)，则kPF==-，直线PF的方程为y=-x+1，即3x+4y-4=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)半立方抛物线是一种特殊曲线，其特点为以坐标原点为尖点，以x轴为对称轴，并且x轴是半立方抛物线在坐标原点处的切线.如图为移动后的半立方抛物线C:y2=8(x-1)3的图象，若直线l:y=2(x-1)与C交于A，B两点，则|AB|=_________. 解析:由题得C与直线l均过定点(1，0)，如图， 直线l:y=2(x-1)与C交于A，B两点，联立 消去y得8(x-1)3=8(x-1)2，即8(x-1)2(x-2)=0，解得x=1或x=2. 不妨设点B在第一象限，则A(1，0)，xB=2，代入l:y=2(x-1)， 可得yB=2，即B(2，2)，故|AB|==3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在坐标轴上，点P在抛物线C上，|PF|=，若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线C的方程为______________________. x2=2y(答案不唯一) 解析:由题意，若抛物线的焦点F在y轴正半轴上，则可设抛物线方程为x2=2py(p>0)，P(x0，y0)，F，由焦半径公式可知y0+=，圆的半径为，得y0=.并且线段PF中点的纵坐标是=.所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为(-1，0)或(1，0).所以x0=±2，即点P的坐标为.代入抛物线方程x2=2py(p>0)得4=2p·，解得p=1或p=4.即当点F在y轴正半轴上时，抛物线方程是x2=2y或x2=8y. 同理，当点F在y轴负半轴时，抛物线方程为x2=-2y或x2=-8y，当点F在x轴正半轴时，抛物线方程为y2=2x或y2=8x，当点F在x轴负半轴时，抛物线方程为y2=-2x或y2=-8x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y+4=0;(5分) 解:准线方程为2y+4=0，即y=-2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2=2py(p>0).∵=2，∴2p=8，故所求抛物线的标准方程为x2=8y. (2)焦点在直线x+3y+15=0上.(5分) 解:令x=0得y=-5;令y=0得x=-15. ∴抛物线的焦点为(0，-5)或(-15，0)， ∴所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5 m，点B到管柱OA所在直线的距离为4 m，且水流落在地面上以O为圆心，以9 m为半径的圆上，求管柱OA的高度. 解:建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2=-2py(p>0)， 把点C(5，-5)代入方程中，得25=-2p·(-5)⇒p=，所以抛物线方程为x2=-5y， 把A(-4，y)代入方程中，得16=-5y⇒y=-，所以|OA|=5-=， 所以管柱OA的高度为 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(-1，1)，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之和为. (1)求|AB|;(5分) 解:因为抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(-1，1)， 所以=1，即p=2，所以抛物线的方程为y2=4x. 根据抛物线的定义可知，|AF|=xA+，|BF|=xB+， 所以|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=+2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若P是抛物线上的一个动点，设C(3，2)，求|PC|+|PF|的最小值.(10分) 解:过点P向准线作垂线，垂足为D，过点C向准线作垂线，垂足为E，如图. 根据抛物线的定义可知，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PD|， 所以|PC|+|PF|=|PC|+|PD|. 由图可知，|PC|+|PD|的最小值为点C到抛物线准线的距离. 又|CE|=3+1=4，所以|PC|+|PF|的最小值为4. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 5.抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A，B两点，圆心M(0，1)，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交 抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是 (　　) A.(6，12)　　B.(8，10)　　C.(6，10)　　D.(8，12) $