专题2.2.2 双曲线的简单几何性质（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质这一核心知识点，系统梳理范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等基础性质，结合等轴双曲线、共轭双曲线等特殊类型，并通过与椭圆性质对比构建知识网络，形成从基础到综合应用的学习支架。 资料含思维导图辅助知识梳理，通过表格对比、即学即练及8类分层题型（如渐近线高频题、离心率重难点），引导学生用数学眼光观察几何特征，用数学思维推理性质关系，课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升解析几何应用能力。

专题2. 2.2双曲线的简单几何性质 教学目标 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等几何性质。 会根据双曲线标准方程写出几何性质；能利用几何性质求双曲线方程。 理解离心率e对双曲线开口大小的影响，掌握渐近线方程的求法。 了解等轴双曲线、共轭双曲线的概念与性质。 教学重难点 1.重点 双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。 渐近线方程的书写；离心率的计算。 2.难点 渐近线概念的理解与记忆，区分焦点在x轴、y轴的渐近线。 由双曲线方程求离心率；已知渐近线求双曲线方程。 离心率范围、渐近线、a,b,c之间的综合转化。 以标准方程：（焦点在x轴）为例；。 知识点 1：双曲线的几何性质 表格 性质 焦点在x轴 焦点在y轴 范围 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 实轴 实轴长2a，实半轴长a 实轴长2a，实半轴长a 虚轴 虚轴长2b，虚半轴长b 虚轴长2b，虚半轴长b 渐近线 离心率 离心率补充： ；e越大，越大，双曲线开口越开阔；e越接近1，开口越扁窄。 。 【即学即练】 双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点 2：渐近线常用小结论 求渐近线快速方法：将标准方程右边的1改为0，因式分解直接得到渐近线。 共渐近线双曲线系：与有相同渐近线的双曲线方程可设为： 焦点在x轴；焦点在y轴。 【即学即练】 双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点 3：特殊双曲线 等轴双曲线 定义：实轴长等于虚轴长，即； 方程：； 渐近线：；离心率。 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线； 特点：①有共同渐近线；②各自离心率满足。 【即学即练】 已知等轴双曲线过点，且对称轴都在坐标轴上，则它的标准方程为______． 知识点 4：椭圆与双曲线性质对比 表格 椭圆 双曲线 关系式 ，a最大 ，c最大 离心率 0<e<1 e>1 渐近线 无渐近线 有渐近线 题型 01由双曲线标准方程求几何性质 【典例1】 【变式1】双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】若双曲线C：的实轴长与虚轴长相等，则____． 【变式3】已知双曲线的离心率是2，则（    ） A． B．3 C．2 D． 题型 02由几何性质求双曲线标准方程 【典例1】与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________ 【变式1】根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)双曲线经过点，，焦点在x轴上； (2)经过点，且与双曲线有相同的焦点． 【变式2】  求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【变式3】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 题型 03：渐近线相关问题（高频） 【典例1】已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【变式1】若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】  已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 题型 04：离心率求值、求离心率的范围（重难点） 【典例1】已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（）与轴交于点，若A为右支上的一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【变式3】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于点M，若，则离心率e的取值范围为__________. 题型 05：等轴双曲线、共轭双曲线问题 【典例1】经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是_____________. 【变式3】 题型 06：双曲线焦点三角形综合 【典例1】已知和分别为双曲线的左顶点和左焦点，B，C两点在上，，若，则__________． 【变式1】在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交于两点．若，则的值为_____． 【变式2】  已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 【变式3】已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是__________ 题型 07：直线与双曲线简单位置关系 【典例1】设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【变式1】已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 题型 08：双曲线中点问题 【典例1】设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 1．设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 2．已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．函数与的图象在第一象限的公共点为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．4 D． 10．实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 1．已知两定点和，双曲线以，为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 2．双曲线的焦距为2c，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线离心率e的取值范围为______． 3．曲线的离心率为，则______. 4．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为______． 5．两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 6．已知双曲线焦点在x轴上，且焦距为6，，则 (1)求双曲线标准方程； (2)判断点在不在双曲线上，并说明理由. 7．已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 8．已知双曲线的实半轴长为2，半焦距为4． 求双曲线C的方程； 判断点是否在双曲线C上． 9．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为. （1）求的值； （2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程. 10．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．求C的方程. 11．若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 12．根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2. 2.2双曲线的简单几何性质 教学目标 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等几何性质。 会根据双曲线标准方程写出几何性质；能利用几何性质求双曲线方程。 理解离心率e对双曲线开口大小的影响，掌握渐近线方程的求法。 了解等轴双曲线、共轭双曲线的概念与性质。 教学重难点 1.重点 双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。 渐近线方程的书写；离心率的计算。 2.难点 渐近线概念的理解与记忆，区分焦点在x轴、y轴的渐近线。 由双曲线方程求离心率；已知渐近线求双曲线方程。 离心率范围、渐近线、a,b,c之间的综合转化。 以标准方程：（焦点在x轴）为例；。 知识点 1：双曲线的几何性质 表格 性质 焦点在x轴 焦点在y轴 范围 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 实轴 实轴长2a，实半轴长a 实轴长2a，实半轴长a 虚轴 虚轴长2b，虚半轴长b 虚轴长2b，虚半轴长b 渐近线 离心率 离心率补充： ；e越大，越大，双曲线开口越开阔；e越接近1，开口越扁窄。 。 【即学即练】 双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用双曲线方程直接求解即可. 【详解】由双曲线方程可知顶点在y轴上，且， ∴则顶点坐标为，. 故选：D. 知识点 2：渐近线常用小结论 求渐近线快速方法：将标准方程右边的1改为0，因式分解直接得到渐近线。 共渐近线双曲线系：与有相同渐近线的双曲线方程可设为： 焦点在x轴；焦点在y轴。 【即学即练】 双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化双曲线方程为标准方程即可求解. 【详解】由题意得双曲线标准方程为， 即得， 所以双曲线的渐近线方程为. 知识点 3：特殊双曲线 等轴双曲线 定义：实轴长等于虚轴长，即； 方程：； 渐近线：；离心率。 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线； 特点：①有共同渐近线；②各自离心率满足。 【即学即练】 已知等轴双曲线过点，且对称轴都在坐标轴上，则它的标准方程为______． 【答案】 【分析】依题意设双曲线方程为，代入点的坐标求出的值，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 因为等轴双曲线经过点，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 知识点 4：椭圆与双曲线性质对比 表格 椭圆 双曲线 关系式 ，a最大 ，c最大 离心率 0<e<1 e>1 渐近线 无渐近线 有渐近线 题型 01由双曲线标准方程求几何性质 【变式1】双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，进而求得实轴长. 【详解】双曲线，对应， 所以，所以实轴长为. 【变式2】若双曲线C：的实轴长与虚轴长相等，则____． 【答案】1 【分析】根据双曲线知识并结合实轴长与虚轴长相等，从而求解. 【详解】由题可知：， 解之得：或（舍去）． 故答案为：1. 【变式3】已知双曲线的离心率是2，则（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【详解】已知双曲线方程为，则， ， ，解得． 题型 02由几何性质求双曲线标准方程 【典例1】与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点坐标代入求值即可. 【详解】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. 故答案为： 【变式1】根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)双曲线经过点，，焦点在x轴上； (2)经过点，且与双曲线有相同的焦点． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，将点代入双曲线的方程，计算作答. （2）由已知设所求双曲线的方程为，再将点代入求解作答. 【详解】（1）因双曲线的焦点在轴上，且，则设所求双曲线的方程为， 而双曲线过点，则有，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）所求双曲线与双曲线有相同的焦点，则设所求双曲线的方程为， 而此双曲线过点，于是有，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的标准方程为. 【变式2】  求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解； （2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 【变式3】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据双曲线焦距、离心率，结合双曲线的性质即可求的双曲线方程； （2）根据双曲线的顶点或焦点位置、结合双曲线的性质即可求双曲线方程. 【详解】（1）依题意，可设双曲线的标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的方程为； （2）依题意，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的标准方程为． 题型 03：渐近线相关问题（高频） 【典例1】已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 【变式1】若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心坐标和双曲线渐近线方程，可以得到圆与相切，然后利用圆心到渐近线的距离等于半径列出的一个方程，求解间的关系，最后求离心率. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 因为圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即， 整理得，. ，. 【变式2】  已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将双曲线方程化为标准形式，确定双曲线中的，然后利用确定，进而根据双曲线标准方程得到双曲线的渐近线方程. 【详解】将转化为标准形式， 显然，由，所以，解得. 所以双曲线标准方程为. 所以该双曲线的渐近线方程为. 【变式3】已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 【答案】（答案不唯一） 【详解】可知双曲线的渐近线为， 可知双曲线的渐近线为， 当渐近线相同时，可得或，即， 所以数对可以为. 题型 04：离心率求值、求离心率的范围（重难点） 【典例1】已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点在的右支上，,则，由，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②即可得与的关系，再根据离心率公式求解即可. 【详解】不妨设点在的右支上，, 则， 又因为为中点， 所以， 平方得， 即， 整理得，① 在中，由余弦定理可得：, 即， 整理得，② 由①②可得：，即， 所以双曲线的离心率， 又因为， 所以. 【变式1】已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用角平分线定理得出，再结合双曲线定义得出，最后应用离心率公式求值即可. 【详解】因为的平分线与轴交于点，所以， 因为，A在双曲线右支上，设， 因为，所以 ， 又因为，所以， 所以. 【变式2】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（）与轴交于点，若A为右支上的一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用定义化简条件可得，根据建立不等关系，化简可得a，c关系，由此可求离心率范围. 【详解】设双曲线的半焦距为， 对于直线，令，解得，即， ∵A为右支上的一点，则，即， 则，整理得， 注意到，可得，整理得， 由双曲线可知，所以的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于点M，若，则离心率e的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，渐近线的性质以及余弦定理求出，，在代入到不等式中即可求解. 【详解】如图，双曲线C的焦点为，，渐近线方程为， 因为直线l的斜率，则直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且过点， 设直线l与双曲线C的另一条渐近线相交于点N， 可知，，，， 因为，即， 且，即， 解得，，若， 即，解得，所以，又，所以. 故答案为： 题型 05：等轴双曲线、共轭双曲线问题 【典例1】经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等轴双曲线的标准方程，结合代入法进行求解即可. 【详解】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 【变式1】等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合等轴双曲线可得双曲线C：，圆O：，联立方程求，进而可得，，即可得结果. 【详解】因为双曲线C为等轴双曲线，则，， 则双曲线C：，圆O：， 联立方程，解得， 则四边形的面积为，圆O的面积为， 所以. 【变式2】经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是_____________. 【答案】 【分析】根据题意，得双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，所求双曲线为等轴双曲线，可得双曲线的方程为， 因为所求双曲线过点，可得，解得， 所以，所求双曲线的方程为. 故答案为：. 【变式3】 题型 06：双曲线焦点三角形综合 【典例1】已知和分别为双曲线的左顶点和左焦点，B，C两点在上，，若，则__________． 【答案】/8.5 【分析】由斜率关系推出B，C两点关于轴对称，再结合双曲线的定义即可求解. 【详解】由题意得即， ，所以在的左支上，设， 所以有， 且根据题设条件知，所以， 由双曲线的对称性可知B，C两点关于轴对称， 所以， 即，解得， 【变式1】在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交于两点．若，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】设，利用可求出，结合对称性可取，继而利用直线的方程联立双曲线方程，可得之积，再利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由条件知．设， 由得， 即，故，进而． 由双曲线的对称性，不妨设，即，则直线l的斜率为， 则直线的方程为，即，代入的方程， 消去并化简可得的二次方程，其两根，． 因此． 故答案为： 【变式2】  已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义和对称性，可列式求值. 【详解】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6 【变式3】已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可. 【详解】由题意可知， 代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以双曲线方程为：， 设， 则， 同理， 因为，则， 故答案为：. 题型 07：直线与双曲线简单位置关系 【典例1】设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得解； （2）利用“点差法”求出直线的斜率即可得解. 【详解】（1）设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 （2）设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即 【变式1】已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 题型 08：双曲线中点问题 【典例1】设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设两点坐标，利用点差法获得直线的斜率与线段的中点横纵坐标间的关系，逐项判断即可. 【详解】设，记AB的中点为. 则，两式相减得，. 当直线的斜率不存在时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率为零时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率存在且不为零，即时，设斜率为. 所以，即，即. 对于A，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为， 所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以A正确； 对于B，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为，所以方程组无解，直线与双曲线没有交点， 即不可以作为线段中点，所以B不正确； 对于C，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 恰为双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点， 即不可以作为线段中点，所以C不正确； 对于D，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得， 因为， 所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以D正确. 故选：AD. 【变式1】过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 【答案】 【分析】设为上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转到，根据旋转关系，可得点的轨迹为等轴双曲线，从而得到曲线也是等轴双曲线，由双曲线的性质结合几何关系即可求解. 【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 1．设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 【答案】A 【分析】由数量积的定义可得，结合点在双曲线上可得，且，由此可求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为点是双曲线上的动点， 所以或，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为， 故选：A. 2．已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 3．若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想，将等式两边平方后可看作曲线的方程，最后将看作是曲线上的点到原点距离的平方，结合图形求其最小值. 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. 4．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式，结合三者关系，求解即可. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 则，即，又 且,由基本不等式得 ,当且仅当 时等号成立，又，所以, 化简得,解得或（舍去） 因为在双曲线中，（可构成三角形），即, 解得,综上所述，. 5．双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用双曲线的几何性质求解即得. 【详解】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为. 故选：B 6．已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先通过题干求出和两点的坐标，再设出点的坐标，写出两条直线的斜率，最后利用均值不等式即可求出. 【详解】由题意，双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，，， 设，则直线的斜率；直线的斜率，， 又因为点P在C上，，即，，又P在第一象限，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为2. 故选：. 7．函数与的图象在第一象限的公共点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数分别是双曲线和椭圆的上半部分，结合双曲线和椭圆的定义可得. 【详解】由函数，得，函数是双曲线的上半部分， 双曲线的焦点为，实半轴长为. 由函数，得，函数是椭圆的上半部分， 椭圆的焦点为，长半轴为. 因为公共点在第一象限， 由双曲线的定义得，由椭圆的定义得， 联立两式解得，所以. 因此. 8．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设双曲线方程为，代入点求解可得方程，然后可得实轴长. 【详解】因为曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线， 所以可设其方程为， 因为点在上，所以，即， 所以曲线的方程为，则， 所以的实轴长为. 10．实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A 1．已知两定点和，双曲线以，为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【分析】设出双曲线方程，联立直线方程，可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合双曲线定义与一元二次方程根的判别式可计算出的范围，再利用离心率定义计算即可得解. 【详解】设双曲线的方程为，， 联立，消去可得， 则， 化简得，又，解得， 故. 2．双曲线的焦距为2c，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线离心率e的取值范围为______． 【答案】 【分析】通过截距式设出直线方程，并求出两点到直线的距离之和，进而建立不等式，最后求出答案. 【详解】设直线l的方程为，即． 由点到直线的距离公式，且，得点到直线l的距离， 点到直线l的距离． 所以． 由，得，即． 因为，所以，所以， 即，所以，所以， 即e的取值范围为． 故答案为：. 3．曲线的离心率为，则______. 【答案】或 【分析】根据离心率确定方程为双曲线的方程，然后按照焦点位置分类讨论，进而利用离心率公式得到关于的方程，即可得答案； 【详解】因为可化为， 因为曲线的离心率为，所以曲线必然为双曲线， 所以当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则； 当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则，所以； 综上，或. 4．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为______． 【答案】 【分析】与双曲线共离心率的双曲线方程可设为或，代入点的坐标求解. 【详解】设与双曲线共离心率的双曲线方程为或， 因为双曲线过点，所以，（舍去）， 所以双曲线的方程为，即． 故答案为：． 5．两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 【答案】 【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程，与直线方程联立，结合弦长公式及韦达定理求解即可. 【详解】已知两条渐近线为，，即. 可设双曲线的方程为. 联立，整理得. ，则. 设方程的两根为，，则，， 代入弦长公式得， 即，，解得. 故双曲线方程为，即. 6．已知双曲线焦点在x轴上，且焦距为6，，则 (1)求双曲线标准方程； (2)判断点在不在双曲线上，并说明理由. 【答案】(1) (2)点在双曲线上 【分析】（1）求得，由此求得双曲线的标准方程. （2）根据点的坐标满足方程，由此得点在双曲线上. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为6，所以，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为； （2）因为，所以点的坐标满足双曲线的方程， 所以点在双曲线上. 7．已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 【答案】 【分析】首先根据双曲线焦点在轴上设出标准方程，再利用已知条件列出方程组，解之可得. 【详解】依题意可设双曲线方程为， 则有解得 故所求双曲线的标准方程为． 8．已知双曲线的实半轴长为2，半焦距为4． 求双曲线C的方程； 判断点是否在双曲线C上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】由题意可得a，c，由a，b，c的关系可得b，进而得到所求双曲线的方程； 将代入双曲线的方程，检验是否成立，即可得到结论． 【详解】由题意可得，， 即有， 可得双曲线的方程为； 将代入双曲线方程， 可得， 则点在双曲线C上． 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用基本量的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 9．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为. （1）求的值； （2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程. 【答案】（1）；（2）顶点坐标；渐近线方程 【分析】（1）根据焦距可得，由可知，求得； （2）由（1）知双曲线方程，可得顶点坐标为，渐近线为. 【详解】（1）焦距为         （2）由（1）知，双曲线方程为：，即， 双曲线顶点坐标为，渐近线方程为： 【点睛】本题考查双曲线方程、渐近线方程的求解等知识，考查双曲线部分的基础定义和几何性质，属于基础题. 10．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．求C的方程. 【答案】 【分析】根据双曲线定义及离心率性质可得. 【详解】设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. 11．若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为离心率，故， 因为，得，即，所以， 双曲线过点，将其代入方程， 因为，所以，解得，则， 因此，双曲线的标准方程为； （2）由轴，可知的横坐标为， 代入双曲线方程，得， 因为在第一象限，故，即， 直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 12．根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线有公共焦点得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. （2）根据双曲线有公共渐近线得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解法1：设双曲线方程为. 由题意易求. 又双曲线过点， ， ， ， 故所求双曲线方程为， 解法2：设双曲线方程为， 将点代入得， ∴双曲线方程为. （2）解法1：设双曲线方程为. 由题意得，解得. 故双曲线方程为. 解法2：设所求双曲线方程为， 将点代入得. 所以双曲线方程为，即. 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $