2.2 双曲线阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§2阶段综合 黑题 阶段强化 限时：60min 1.(2025·重庆南开中学高二期中)已知P为双 在双曲线右支上一点P,经点P反射后，反射 曲线1上一动点，过原点的直线1交双 光线的反向延长线过F；当P异于双曲线顶 612 点时，双曲线在点P处的切线平分∠F,PF2,若 曲线于A,B两点，其中4(3,6)，则PA·P的 最小值为 双曲线C的方程为士=1，则下列结论不正 ( 916 A.-6 B.-9 确的是 C.-12 D.-15 2设双曲线C3a>0,6>0)的左焦点为】 F,O为坐标原点，P为双曲线C右支上的 点，P.O+P.O=0,Fd在F上的投影向 量的模为101，则双曲线C的离心率为 A射线n所在直线的斜率为k,则k=(子号】 B.当m⊥n时，IPFI·IPF2I=32 A.√3 B.√3-1 C.如图②，当n过点Q(7,5)时，光由F2到P C.√3+1 D.√2 再到Q所经过的路程为13 D.如图③，若T(1,0),直线PT与C相切，则 3.(2025·江西南昌高二期中)函数f(x)=x+ 1PF2I=12 被称为“对勾函数”，它可以由双曲线C:。 5.(多选)(2025·江西南昌二中高二月考)已 是1(a>0,b>0)旋转得到，已知直线x=0和 知4为双血线c后号1上检于第-象限内 的一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M,点B 直线y=x是函数f(x)的渐近线，则双曲线C 与点A关于原点对称，F为双曲线C的左焦 的渐近线方程为 点，则下列结论正确的有 √3 A.y=±3x A.若1AB1=10,则AF⊥BF B.若AF⊥BF,则△ABF的面积为9 B.y=±(V2-1)x IAFI C.y=±(2-√3)x C.LANI>2 D.y=±x D.IAFI-IAMI的最小值为8 4.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图 6.已知向量a=xi+(y+3)j,b=xi+(y-3)j,且 ①②③，利用了双曲线的光学性质：F1,F2是 Ia-1bI=4,则点M(x,y)的轨迹方程 双曲线的左、右焦点，从F2发出的光线m射 是 选择性必修第一册·BS黑白题048 7.(2025·陕西渭南高二期中)已知F1,F2分别是 双线C号三-1(o0,o0y的左，右点.过 10.(2025·江西上饶高二月考)双曲线C: -1(>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F, 点F,且斜率为2的直线与C的一条渐近线在 第四象限相交于点M,四边形MF,NF2为平行 动点B在双曲线C上，当BF⊥AF时， IAFI=IBFI. 四边形若直线N那，的斜率名e【一，号]，则 (1)求C的离心率. C的离心率的取值范围为 (2)若B在第一象限，在x轴的负半轴上是 否存在定点M使得∠BFM=2∠BMF? 8.我们把形如Ca云=1(a>0,6>0)和C, 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请 =1(a>0,b>0)的两个双曲线叫作共轭双曲 x2 说明理由， 线，设共轭双曲线C,C2的离心率分别 为e1,,则+2的最大值是 ee, 9.如图，某苗圃有两个入口A,B,1AB1=100,欲 在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若 干树苗放在苗圃外的C处，已知1CA1=80, 1CB1=88,以AB所在直线为x轴，AB中点为 原点建立直角坐标系， (1)工人计划将树苗运送至P(7,1)处，请帮 助工人指出从哪个入口运送最近？并说 明理由。 (2)工人将C处树苗运送到苗圃内点P处时， 发现从两个入口A,B运送的最近距离相 等，求出点P所有可能的位置 压轴挑战 电知双曲线-1(a>0,6>0)的 左、右焦点分别为F1,F2,圆x2+y2= 曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A, B,四边形AF,BF,的周长p与面积S满足p= 4√2S,则该双曲线的离心率为 ( A.√3 B.2 D26 3 第二章黑白题0495.ACD解析：kB=tan ZAF2x=-2,因为∠AF2x=∠F1F2B,所以 cosZF:F:B=cosF 一5，A正确；由1AF1=AB1,根据双曲线 的定义可得IAF11-IAF21=2a,知IBF2I=2a=25,则IBF1I=45, 1F1F2I=2c=2w√5+b2,△BF1F2中由余弦定理可得 然行的得合成4放B粒限 设1AF2|=x,则|AF1I=x+2N5,在△AFF2中，由余弦定理，得 cosLAF,F,=cos(m-∠A机，x)=-cs乙A,x=5_2+36-(x+25) 51 12x 5 2+25=5 解得A,==空，则1AB1=1AD,1+1BS,1= 2,C正 √5 确；c08LAF,F1=cos(T-LAF2x）=-cos∠AMF2x=5, 咖L,R25,1R,R1=2=2v54=6S=7· 1 1E,E1.1AE,1·in∠AE2E=2×6×2×5=3,.Sa脚12月 21 子1RRI1即，1·血(m-∠AR)=子·1PR1· 1 1BF2l·sinAF2E=)x6×25x22=12,SA45,=SA5+ 5 S△BF1f2=3+12=15,D正确故选ACD. 6.2解折：设P(0),则场-空=1，即方=3站-3，所以1PW1 .3215 √o32+%=√4-6+6=√4(。4)+4，而11≥1， 则当0=1时，PM=2,所以双曲线2-，1上一点P到M(3 0)的距离最小值为2.故答案为2. 7.22 22=1(答案不唯一）解析：由①可设双曲线方程为之之 a262 1(a>0,b>0),由②可得渐近线方程为=±+，则-0 62=-1,所以a= 6,由③可得2>2，所以c>1,可取a=6=2,所以双曲线方程为。 号1放爷案为号号1U零案不-）》 8.下解析：设F(c,0),0为坐标原点，则 3 1PFI=Ibc1-c=b,所以cos∠0FP= √a2+b2c 。如图，设E的左焦点为P,QF1=,连 接QF',由双曲线的定义，得1QF'I=t+2a.在△QF'F中，由余弦定理， 得+2a2=4(2y户-2x20x(）解得1-由戒-2成，得 a-b 。=2山，解得合=子，所以。= b2 ) a √（仔故答案 3 3 四方法总结 求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系 式求e或e的范围；另一种是建立a,b,c的齐次关系式，将b用a,c表 示，转化为e的关系式，进而求解. 92*3 2 解析：设两曲线的半焦距为c,由余弦定理得1F1F22= IPF1I2+IPF2I2-2IPF1I1PF2Icos60°，在椭圆中，IF1F2I2= (IPF]1+IPF21)2-21 PF IIPF21(1+cos 60),PF1IPF2 I= 2n2 1+c060e=4g,在双曲线中，FF2P=(PRP2)2+ 选择性必修第一册·BS 2b2 21PF,·1PF,1(1-cas60),得1PF,1PF,1=1-oe60=42,从而 厂=462，得n2=38,则m2=+e2=36+,2=c2-62,即m2+3a2= 4,号号4，即日号-4，所以+=(+)（信 ei e ）) 1x(4+2)=2+3当且仅当好= 4 2 子：3时等号成立故答案为 2 §2阶段综合 黑题 阶段强化 1.B解析：设P(0,0),则号 612 =1,即6=6+2，又直线1过原 点，且双曲线关于坐标原点对称，可得点A(3,6)与点B关于坐标原 点对称，则B(-3,-√6)，所以P=(3-0,6-0),P=(-3-x0, 3 -6-),时.市=6-9+-6=2-9，又%eR,即i.啦 3 26-9的最小值为-9，故选B. 2.C解析：如图，取M为PF的中点，F2为右 焦点，连接OM,PP2,:P市.O币+P市.O市= P市.(0+0i)=2P.0M=0,.0M1 PF,.1OF1=1OP1=c.FO在FP上的投影 向量的模为51O1,1FM1= 2 2c, M IPPI=e IPF=e.IPFI-IPF I=2a, (3-1)c=2a,.C=3+1.故选C a 3.B解析：因为直线x=0和直线y=x的夹角为牙，由题意可得双曲 线C :。京=1(a>0,b>0)两条渐近线的夹角为，面双曲线 b 1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±。，所以m8 C:- 2tan 8 2.6 a =1,解得。=2-1（负值舍 12 去)，所以双曲线C的渐近线方程为y=±（√2-1）x.故选B. 4.C解析：在双曲线。5三 =1中，a=3,b=4,则c=5,易知点F,(-5, 0),P2(5,0),设1PFI=“,PR,=,对于A选项，因为双曲线 91 4 6=1的渐近线方程为y三±x,当点P在第一象限内运动时，随着 ,的增大射线n慢慢接近于直线y=子，此时0<号，同理可知 4 当点P在第四象限内运动时，-了<0，当点P为双曲线的右顶点 44 时，k=0,综上所述，k的取值范围是（子，了）A对：对于B选项。 当m1n时，u-v=2a=6,u2+2=(u-v)2+2u=36+2m=102,所以 1PF11·1PF2|=m=32,B对；对于C选项，IF1QI=√(7+5)2+5= 13,故n过点Q(7,5)时，光由F2到P再到Q所经过的路程为 IPF2I+IPQ1=1PF1I-2a+IPQ1=1F1Q1-6=7,C错；对于D选项，若 T(1,0),由角平分线定理可得 路 1PR,之，解得1Pp,1=12,D对. 6+1PF213 黑白题030 5.ABD解析：设双曲线的右焦点为F1,依题意，四边形AFBF1为平行 四边形，如图.由双曲线C:169 =1知a=4,b=3,c=5,对于 A,IABI=10=IFF1I,则口AFBF1为矩形，AF⊥BF,A正确；对于B, 由双曲线定义得IAFI-IAF1I=8,而IFF,I=10,AF⊥BF,则IAF 12+AF12=1FF12,(AFI-IAF1)2+21AFIAF1=1FF12, 1 是1AFI·IAE=18,因此△ABF的面积S=2 LAFIIAF1I=9,B正 确：对于C,在t△A5M中，AE=,AM+FM号 ,IFMT产 IAMI2' 双酸c后苦 3 1的渐近线方程为y=±x,直线4F的斜率 即南品小（传c误，对于 IAMI 3 D,IAFI-IAM1=2a+1AF1I-1AM≥8，当且仅当1AF1I=IAMI时取等 号，D正确故选ABD. (第5题) (第7题) 6.2x2 45=1(y≥2)解析：由题意，a=xi+(y+3)j,b=+(y-3j,所 以1al=√x2+(y+3)2,1b1=√x2+(y-3)2,又因为1a1-1b1=4,所以 √+(y+3)7-√x2+(y-3)7=4,所以点(x,y)与定点(0，-3)，(0， 3)的距离之差为4，小于两定点间的距离，符合双曲线的定义，是双 曲线的一支，则a=2,c=3→b2=c2-a2=5.则点M(x,y)的轨迹方程是 4方1(0≥2)，放答案为22 y2 x2 45=1(y≥2). 7.[5,√10]解析：如图，由题意可得F1(-c,0),F2(c,0),由于四边 形MFNF2为平行四边形，故NF2∥MF1,直线MF2的方程为y= 2(x),渐近线方程为y=-。,联立日，x 2ac y=2(x-c) 2a+6,y= -2bc 故w( 2ac -2bc 2a+b -2bc-26 2a+b'2a+b ,所以kw2=kM=2c 4ac+bc 4a+b' 因此6、-26 2a+6*c 7下6≤-号，化简得2a≤6≤3a→2≤名≤3，放离心率 2 b2 为e=后√1+停e[5,而]故答案为机5,0]， 8.5解析：由题知，共轭双曲线C1和C2的半焦距相等，记为c, 则e,=c e1sc,e,=C,所以1+2-a20,又a2+b2=c2,故设a=ccos0, b=m0(0<0<7）,所以+2-a+20.s642in0。 e1 e2 c .c0s=2/5 cs0+2sin0=5m(0+p),其中mg=5, ，当咖(0+ p)=1时，cte2 ,1+2取得最大值5故答案为5. 9.解：(1)从B入口运送最近.理由：由题意可得A(-50,0),B(50,0), P(7,1),1AP1=√(7+50)2+(1-0)7=5130,1BP1= √(7-50)2+(1-0)2=5√/74，经过A入口时最短距离为1CA1+ IAPI=80+5√130，经过B入口时最短距离为ICB|+IBP|=88+ 5√74.因为80+5√130>88+5√74，所以从B入口运送最近. (2)设点P(x,y),已知1CAI+1API=ICB1+|BPI,可得1PA1-IPB1= ICBI-ICAI=8,所以点P所有可能的位置是以A,B为焦点的双曲线 的右支并且在苗圃内的部分，则2a=8,即a=4,又因为c=50,b2=c2 a2=2500-16=2484,所以点P所有可能的位置是双曲线16 参考答案 24841(>4,>0)在苗圃内所对应的点. 10,解：(1)当BFLAFE时，设点B(c,p),则S a2 b2 L,可得p= a =a,又因为1AF1=a+c,由1AF1=1BF1可得a+e= 则1BF1=62 a 2-a2_a+e)(c-a,可得-0=e-1=1,解得e=2,此时，双曲线C 0 a 的离心率为2. (2)存在如图，由(1)可知，行=2，则c=2a,6 Y √2-a2=3a,所以双曲线C的方程可化为 Y,1设点B(00),其中0>0，%>0，且 。子3如=1，若在轴的负半轴上存在定点 66 M(m,0),使得∠BFM=2∠BMF,且 30 tan∠BFM=-kBF=- 因为 %-2a:tan ZBMF ka= ∠BFM=2∠BMF,则tan∠BFM=tan(2∠BMF)= 2tan∠BMF 1tamn2zBWp,即 2y0 yo xo-m *0-2a 整理可得(m2+4ma+3a2)-(4a+4m)x0=0, 1% （x0-m 所以m4。’解得m=-a.因此，在x轴的负半轴上存在定 点M(-a,0),使得∠BFM=2∠BMF. 压轴挑战 C解析：由双曲线的定义可知IAF1I-1AF2I=2a,又IOAI=1OBI, IOF,I=1OF2I,可知四边形AF2BF1是平行四边形，所以IAF|+ MF,l=号，联立解得1A5l=a+片，Al=是a又线段F,P为圆的 直径，由双曲线的对称性可知四边形AF2BF1为矩形，所以四边形 A,B,的面积S=M1M,1:石2又p=4vs,所以-32S。 即pP=2(62）,潮得2=3，由a,12+4,1=f1区， 得2a2+ 6故选C g=4c,即3a2=2c,即e= §3抛物线 3.1抛物线及其标准方程 白题 基础过关 1.D解析：设P为满足条件的圆的圆心，则点P到点A的距离等于点 P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上， .点P的轨迹为抛物线.故选D. 2.D解析：，动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1， ∴.动点P到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离，∴.由抛物线 的定义知，该动点的轨迹是以点(3,0)为焦点，以直线x=-3为准线 的抛物线.故选D. 3.C解析：y2=2x中，2p=2,解得p=1,故准线方程为x=-卫=- 2 2 选C. 4,B解析：由题意知抛物线开口向上，号=3，P=6,故抛物线的标准方 程是x2=2py=12y.故选B. 5.4 解析：由y=ax2(a>0)得x2= 日，所以准线方程为了=女，因 为点(m,1)与焦点的距离等于2，所以点(m,1)与准线的距离等 于2，即1-（4 1 ）=2,解得a=号放答案为子 6.D解析：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原 点且垂直于y轴的直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系 设抛物线的方程为x2=-2py(>0),由题意可知点(8，-4)在抛物线 黑白题031