2.1.2 椭圆的简单几何性质-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

1.2椭圆的简单几何性质 白题 基础过关 限时：50min 题组1椭圆的几何性质及其应用 A.m=2 1已知椭圆女 1与椭圆+1有相同 B.椭圆C的长轴长为√3 62 2516 C.椭圆C的短轴长为2√2 的长轴，椭圆 片=1的短轴长与椭圆 63 1 D.椭圆C的离心率为 x2 =1的短轴长相等，则 5.(2025·辽宁大连高二期中)已知P是椭圆 A.a2=25,b2=16 4361上一点，A(0,5),则1P41的最小值 B.a2=9,b2=25 为 C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 ,y2 =1的长轴AB分成4等 D.a2=25,b2=9 6如图，把椭圆 2516 份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部 2.(2025·广东深圳高二期中)梢圆+ 25161与 分于P1,P2,P33个点，F是椭圆的一个焦点， 椭圆、 则IPFI+IP2FI+IP3FI= ( 25-m16-m =1(m<16)的 A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 3.(2025·吉林延边高二月考)阿基米德不仅是 著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早 7.求适合下列条件的椭圆的标准方程： 利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等 (1长链长为6，离心率为号 于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆 C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆 (②)经过点P(3,0),离心率为白，焦点在 C的离心率为？，面积为20，则辅圆C的标 x轴上； (3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线 准方程为 ( 互相垂直，且焦距为6. A-1 B =1 2516 916 c56 D. 25161 4.（多选)(2025·四川攀枝花高二期中)若椭圆 c+=1的一个焦点坐标为(0,1)，则 mm2-1 下列结论中正确的是 第二章黑白题035 题组2求椭圆离心率的值 8.(2025·安徽芜湖高二期中)已知F1,F2是椭 B[) 圆C的两个焦点，焦距为6.若P为椭圆C上 一点，且△PFF2的周长为16，则椭圆C的离 c(2 D.[ 心率为 ( R子 c D.②7 4(225·广东广州高二有)稀园三芳-1 5 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆 9.(2025·山西晋城高二月考)下列四个椭圆 上存在点Q,使∠F,QF2=120°，则椭圆离心 中，形状与圆更接近的一个是 率e的取值范围为 ( -1 A.43 B. .(. Cinis1 xy D.25i61 c.( D.[ 10,(2025·福建厦门高二期中)已知0为坐标原 点RB是猫国C 5(2025·浙江杭州高二月考)已知椭圆C:号 =1(a>b>0)的焦 点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交C 1(a>b0)的左，右焦点分别为F,5,者 于A,B两点，若∠AOB=90°，则C的离心率为 总存在一条过F,的直线l,使得点F2关于直 ( 线1的对称点在椭圆C上，则椭圆C的离心 A.5-1 B.3-1 率e的取值范围是 2 C.3+1 D.②-1 16防园载材变式已知椭圆c:。+=1(a> 2 2 b>0)的两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个 11.（2025·河北衡水高二期中)已知点P是椭圆 端点为P. a2=1(a>b>0)上的一点，￡，人分别为椭 (1)若∠FPF2为直角，焦距长为2，求椭圆 C的标准方程； 圆的左、右焦点，已知∠FPF2=120°，且 (2)若∠F,PF2为钝角，求椭圆C的离心率 1PF1I=31PF21,则椭圆的离心率为 的取值范围。 12.已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E: C2+21(a>b>0)上，若正方形ABcD的一条 边经过椭圆E的焦点F,则E的离心率 是 题组3求椭圆离心率的取值范围 13.已知别圆-1(a>60的左，右焦点分 别为F1,F2,以1F,F2为直径的圆与椭圆有四 个交点，则椭圆离心率的取值范围为( 选择性必修第一册：BS黑白题036 黑题应用提优 限时：60min 1.(2025·山东东营高二月考)已知梢圆C:+ A.(. B.o,2] 手-1(m4)的离心率为则菊圆C的长抽 c[2, . 长为 ( ) 6.(2025·四川绵阳中学高二期末)如图所示， A.6 B.6 C.2√6 D.12 用一个与圆柱底面成0(0<<7)的平面截圆 2(2025·河北郎称高二期中)已知椭圆 * 柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为 =1(0<m<8)的左、右焦点分别为R,F,点 m 1,0=了，则下列结论正确的是 P是椭圆上一个动点，若△PF,F,的面积的最 A.椭圆的长轴长等于2 大值为3√7，则m= A.7 B.3 C.9 D.7 B.椭圆的离心率为 2 3.已知椭圆C关于x轴、y轴均对称，焦点在y轴 C.椭圆的标准方程可以是 +x2=1 上，且焦距为24(c>0),若点4c,)不在椭 D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 圆C的外部，则椭圆C的离心率的取值范围为 4-23 ( c) o) (第6题) (第7题) 4.（多选)(2025·安徽安庆高二月考)若直线 7.(多选)(2025·福建福州高二期中)如图所 x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的方程为 示，月球探测器飞行到月球附近时，首先在 ( x2 以月球球心F为圆心的圆形轨道I上绕月球 A写y=1 B. 5+x2s1 飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦 D. 点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处 451 变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞 (2025·河南鸿壁高二翔中)已知椭圆G: 行，设圆形轨道I的半径为R,圆形轨道Ⅲ的 半径为r,则 2=1(a>b>0)的左、有焦点分别为乃P2,若 A.轨道Ⅱ的长轴长为R+r B.轨道Ⅱ的短轴长为R-r C上存在一点P,使得PF1=PF,l,则椭 3 C.若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大 圆C的离心率的取值范围是 D.若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大 第二章黑白题037 8.(多选)(2025·河北石家庄二中高二月考)已 压轴挑战∥ 知圆c营苦-1，R品分湖为它的左，右 (2025·江西赣州高二月考)定义：由椭圆的一 个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一 焦点，A,B分别为它的左、右顶点，点P是椭 边)和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭 圆上的一个动点，下列结论中正确的有( 圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三 A.点P到右焦点的距离的最大值为3，最小 角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并 值为1 将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问 B∠FPR,的最小值为好 题中C,对应图①，C2对应图②. C.若△F,F2P为直角三角形，则△FF2P的面 （0)判斯瑞圆G1与稀网G6行 积为 是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比；若 不是，请说明理由。 D.PF·PF的取值范围为[2,3] (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件 是离心率相等 9.(2025·河北石家庄高二期中)已知椭圆+ (③已知椭圆C:二+1(o>6>0),椭圆C =1的左、右焦点分别为点R,F,若椭圆上 2 顶点为点B,且△F,BF2为等边三角形，则 a2t6=1(a>b>0)的离心率为e,C,与 m三 C2是“相似椭圆”，且C1与C2的相似比 0如图.已加搭圆飞学 为k:1,若△AF,B的面积为S,求△A'F,F1 =1(a>b>0)的左、右 的面积（用e',k,S表示） 焦点分别为F,F2,过坐标原点的直线交E于 PQ两点m:10,且Sam0=,P,+ 1F2Q1=8,则E的标准方程为 1.(2025·福建福州高二期中)已知椭圆C:等 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为B,E,过 点F2的直线与C交于A,B两点，以AB为直 径的圆经过点F1,若3|AF2I=21BF2I,则C 的离心率为 进阶突破拔高练PO2 选择性必修第-册：BS黑白题038△PF,P面积取得最大值，为？1P,1·6=之×4x5=25,故 D正确故选BD. 7.B解析：由题意知，半圆的方程为x2+y2=9(x≤0)，设半椭圆的方 程为22 7.2=1(a>b>0,x≥0)，则6=0=3，所以a2=6+c2=18,故半 椭圆的方程为÷+上 3212 189 =1,所以x2=3, 艺2,5a=分·1MB1,3292+)放选R 故1AB1=3+32 2 4 25+21=1解析：设动圆C的圆心为c(x,),半径为r,又由圆C: x2+y2+4y+3=0得C1:x2+(y+2)2=1,圆心C1(0,-2),半径r1=1.由 圆C2:x2+y2-4y-77=0得C2:x2+(y-2)2=81,圆心C2(0,2),半径 r2=9.由已知得1CC1I=1+r,ICC2I=9-r,两式相加消去r可得 1CC,1+1CC21=10.根据椭圆定义可得动圆C圆心的轨迹为以C1,C2 为焦点的椭圆设为兰÷1.我中0=5-2，所以-25-21 25211.故答案为+2 所以动圆C圆心的轨迹方程为之+ 2521-1. 9.子解折：在稍圆5号=1中，a=5,6=3,放6=4，放4(-4,0)， C(4,0)是椭圆的两个焦点，，IAB|+IBC|=2a=10,IACI=8.在 △ABC中，由正弦定理得血A+sinC_1BC1+1AB1_105 sin B IACI 8=4 10.12解析：设MN的中点为D,椭圆C的 左、右焦点分别为F1,F2,如图所示连接 DF1,DF2,:F1是MA的中点，D是MN的 中点，∴.FD是△MAN的中位线， IDF,=号1Aw1.同理，1DF21= 2 BN,IAN+IBNI2(DP1+DE,D.D在椭圆C上，根据 椭圆的定义，可得|DF,I+IDF2I=2a=6,∴.1ANI+IBNI=12. 11.解：(1)已知IF1F2I=2,因为1F1F2I=2c,所以c=1.点P(0,-3)在 椭圆上，将其代人椭圆方程+二 a2+尔=1，可得02，(-3)2 a2+62 1,即9 2 1,解得b=3.又因为c2=a2-b2,c=1,b=3,所以a2=b2+c2=9+1=10. 所以解置G的标准打展为后一号-1 (2)因为PR,1PF,所以△R,PR,的面积S=2×1PF,Ix1PF,1= 4,则IPF,I×1PF2I=8.根据椭圆定义可得IPF,I+IPF2I=2a.由勾 股定理可得1PF112+1PF212=1F1F2I2=(2c)2.又(1PF1I+ IPF2I)2=IPF1I2+1PF212+21PF1I×IPF2I,即(2a)2=(2c)2+16. 在椭圆中有c2=a2-b2,将(2a)2=(2c)2+16变形为a2=c2+4,即 b2=4,解得b=2. 12解：(1)由题意得椭圆方程为答=1，所以A0,1),设P(,》 (-1≤≤1)，则1P2=2+(1)2=(1-P)+(-02- 一十-2+？，二次函数图象开口向下，对称轴为直线y-4,所以 函数在[-1,1]上单调递减，所以y=-1时，函数取最大值，∴.椭圆 +少2=1是“圆椭圆” 4x2 为椭圆方程为1，A0,),设P,(1≤ 1PA12=x2+(y-1)2=a2(1-y2)+(y-1)2=(-a2+1)y2-2y+a2+1, y∈[-1,1]，由题意得，当且仅当y=-1时，函数值达到最大，①当 选择性必修第一册·BS -a2+1>0, 开口向上时，满足〈 -1>0 →-1<a<1(与a>b矛盾，舍去)：②当 a2-1 -a2+1<0, 开口向下时，满足≤-1→1<a≤5.综上可得，a的取值范围 a2-1 是(1,2]. 压轴挑战 1.8解析：由题意可得IAB1=2,1PA|+IPB|=6-IAB1=4>|AB1=2,所 以点P的轨迹是以点A,B为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴的 黄点)，设方程为子卡=1o60),则。=26：V合13所 4+31(y≠0).因为1，(23)2 以点P的轨迹方程为+ >1,故点C 4 3 在椭圆外，由椭圆的定义可得IPB1=4-IPAI,所以IPB1+1PCI=4+ 1PC1-PA1≤4+1AC1=4+√(1+1)2+(23)2=8，当且仅当点P为 直线AC与椭圆的交点，且P、AC方向相同时，等号成立，故答案为8. 2.(0,2√2)解析：如图，设FM与PF2的延 长线交于点G,因为F应·M=0,所以 F,M⊥M应又M是∠F,PF2的平分线上一 点，所以PM为∠FPF2的平分线，所以 |PF1=PG,且M为F1G的中点.因为O 为RR,的中点，所以0N/R,G且10M1=子1R,G1.因为1，G1= IIPG-IPF,=IPF1I-IP,I,所以10MI=22a-2IPF,1F |4-IPF2I因为4-22<1PF21<4或4<1PF2I<4+2w2,所以 10i∈(0,22).故答案为(0,22). 1.2椭圆的简单几何性质 白题 基础过关 解析：椭圆5±G1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆 91的短轴长为6，a2=25,b2=9.故选D. x 2.D解析：因为第一个椭圆的a1=5,b1=4,则焦距为2√25-16=6， 所以长轴长为10，短轴长为8，离心率为？第二个椭圆的= √25-m,b2=√16-m,则焦距为2√(25-m)-(16-m)=6,所以长轴 长为2V25-m,短轴长为2V16-m,离心率为3 ,所以A,B, √/25-m C错误，D正确.故选D. 3.D解析：设稀圆C约标准方程为5+若-1(o>0,则精圆C的 面积为S=mab=20m,又e=C=- 1一名2亏一，关 Tab=20m, 一正”3解得=25·所以椭圆C的标准方程为子+子 =1. W1-a5, 62=16. 2516 故选D. 4.ACD解析：对于A,由题意，得椭圆的焦点在y轴上，且c=1,m> 0,m2-1>0,由已知可得√m2-1-m=1,解得m=2或m=-1(舍去)， 故A滤项正确；对于B,C把m的值代入椭圆方程即得C:号片 1,则a2=3,b2=2,即椭圆C的长轴长为2a=23,短轴长为2b= 2√2，故B选项错误：C选项正确；对于D,a=√3，c=1,则离心率为e= c√3 a=3,故D选项正确故选ACD. 4 5. 4 解析：设P(x,y),所以1PA1=x+(y-5)2= 黑白题022 由于-6≤6放当)行，A取是小位，√？-平，放客案 为①a 4 6.15解析：设椭圆的右焦点为F',连接P3F',P2F.由题意得，a=5.由 图形对称，得1PF1=1P3F1,1P2F1=IP2F1.由椭圆定义得， IPFI+IPFI=IPFI+IP FI=2a=10,IP2FI+IP2F'I=10, IP2FI=5,IP FI+IP2FI+IP3FI=IP3FI+IPFI+IP2FI=10+ 5=15.故答案为15. 7.解：(1)由题意得2a=6,则a=3.又因 A,) 为e==号，所以c=2,则6= a2-c2=9-4=5,所以椭圆的标准方 程为号苦=11 0 (2)因为椭圆的焦点在x轴上，由题 A2 意得a=3,又因为e==3,所以c=6,则62=02-。2=9-6=3， 以椭圆的标准方程为之◆ 9+31. 《3)设椭圆标准方程为+=1(a>b>0),如图所示，△4，FA2为等 腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线，且10F1=c,IA1A2|=2b.又 因为焦距为6，所以c=b=3,则a2=b2+c2=18,所以椭圆的标准方程 为 1891. 8.C解析：根据题意，焦距2c=6,根据椭圆定义，△PF1F2周长 为2a+2c=16,解得c=3,a=5.则离心率为e=二=3 9.C解析：由椭圆的性质知，离心率越小，椭圆越接近圆，离心率越大， 防圆邀响西个精图险离心丰分到为宁行·子子其中离心率是 小的为工，所以椭圆6+片1的形状与圆更接近故选C 10.A解析：由∠A0B=90°，10A1=10B1,可得10F2I=1AF2l,又由 三子=1可得答故=号由101=14，得会查 c2,y2 a 理得c。0即c1-0,怎得5发合) 11.3 4 解析：由椭圆的定义可得1PF11+1PF21=2a,结合1PF1= 31PR1,得1PR,1=3IPR,I-,又∠RPR=120,则在△FP 中，IF1F212=lPF1I2+1PF212-2IPF1IIPF2lcos∠F1PF2,即42= 为① 4 12.-1 解析：设点F是椭圆的左焦点，右焦点为F',则1FF1=2c.因 2 为正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，所以不妨设点A在第一象 限，则IAFI=c,IAF1=√5c.由椭圆的定义知|AFI+IAF'I=2a,即 5c+c=2a,所以离心率e=C= 2=5-1 a5+12 13.A解析：因为以1F,F21为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b<c, 2<c2,a2-2<2,d2<2c,所以t>2,即e>2又因为0<1 2 以精因离心率的原值老阳为（停！）放法入 参考答案 14.D解析：设椭圆的上顶点为B,连接BF1,BF2.则IBF1I=IBF2I= a,I0F21=c,椭圆上存在点Q,使得∠F1QF2=120°，则需 ∠F1BF2≥120°，则∠0BF2≥60°，显然∠0BF2<90°，所以 sinL0Bf,≥i血60°，所以-≥in60=3 ,所以e=。 ,所 -≤e<1,即椭圆离心率e的取值范围为 s[5 解析：设点F2关于直线I的对称点为P,则IPF1I= lF1F2l.IPF1l≥a-c,.2c≥a-c,.3c≥a,即e≥ 3又0se<1, 「1 .椭圆C的离心率e的取值范围 [行1)故答案为[行1)】 16.解：(1)因为P为椭圆短轴的一个端点，且∠F1PF2为直角，所以 b=c,a=√2c.因为焦距长为2，所以c=1,a=√2，b=1,所以椭圆C的 东准方程务号一-1 (2)因为点P为椭圆短轴的一个端点，且∠F1PF2为钝角，即45°< ∠0PF2<90°，所以simL0PF2=>?,即e 又因为椭圆的离 2 心率eE(0,1),所以椭圆c的离心率的取值范围是号，1♪ 黑题 应用提优 1C解折：由题意可后√小√小 b2 m 3,解得m=6, 即a=√6，所以椭圆长轴长为2a=26.故选C. 2.D解析：根据题意可知椭圆半焦距c=√16-m,设点P(xo,yo), 1 %≠0，那么0<1%1≤m,所以△PFB的面积S=2·2c·o1≤ √16-m·√m=√16m-m2,所以√16m-m2=3√7，所以m2-16m+ 63=0,化简得(m-7)(m-9)=0,即m=7或9.又因为0<m<8,解 得m=7,因此m=7.故选D. 3B解折设稀国c的方程为号若-1(a6>0.因为4(，-） 不在第西C的外部，所以会后≤1因为-.所以怎 a2-e≤1，化简，得6c-14a2.2+4a≥0， 将不等式两边同除以a4,得6e4-14e2+4≥0，结合e∈(0,1)，解得 n5]故选B. 0c2≤3故eeo,g] 4.AC解析：x-2y+2=0中，令x=0得y=1,令y=0得x=-2,故与两坐 标销的交点坐标为(0,1)，(-2,0).A运项，亏+y=1的两焦点坐标 为（±2,0），又(0,1)为一个顶点，A正确；B选项，气+2=1的两焦 点坐标为(0，±2)，B错误，C选项，号+号-1的两焦点坐标为(0， ,且(-2,0)为二个顶点，C正确；D选项，+专=1的两焦点塑 标为（±1,0），D错误.故选AC. 5.D解析：根据椭圆定义可得IPF1I+|PF2I=2a,又|PF1I= 3 PE,故IPEl=,因此IPEl=e[a-c,a+e,故ae图 4 c 1 5≤a+c一5≤a=e,故≤e<1.故选D 6.C解析：设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,椭圆长 轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面所 成锐二面角0得2a。4,解得a=2,故A不正确：显然6 山则c=-P=3离心率e=。=,故B不正确；当以椭圆长 a 黑白题023 轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭 圆的标准方程为+2=1，故C正确；椭圆上的点到焦点的距离 最小值为a-c=2-√3，故D不正确.故选C. 7.AD解析：设轨道Ⅱ的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,所以 10F1=a-c=,1PF1=ate=R,所以a-r,c-R对于A,2a=R+r, 2c 2 故正确：对于B,2b=2√a2-c2=2, 故错误；对于C,由选项B知2b=2√，若R不变，r越小，轨道Ⅱ的 短轴长越小，做错风，对于D因为：=台仁K产1 2 + 2越大，故正确 若r不变，R越大，则上+1越大，B一越小，1-R+ +1 r r 故选AD. 8.ACD解析：对于A,易知a=2,b=3,c=1,则a+c=3,a-c=1, 故A正确；对于B,P位于椭圆上顶点时∠F,PF2最大，此时 cos∠F1PF2最小，且IF1PI=IPF2I=2,IF1F2|=2,故此时△FF2P 为等边三角形，wLFPF2,=子，故B错误；对于C,若△FS,P为直 角三角形，由B知，∠F,PF2≤60°，所以∠F1F2P=90°或∠F2F1P= 90,不纺设∠R,P=90,则此时P点横坐标切=1，代入C:+ 苦=1得2，故△RP的国积为宁2x%-子，收C正 确；对于D,F1(-1,0),F2(1,0),设P(x,y),则PF·PF=(-1- 14-1,曲号号1得子3-号做网，尿- 子+2：-2≤：≤2，放P沉·P丽e[2,3],放D正确放选ACD 9.3解析：由已知得a2=4,b2=m,则c2=4-m又△F1BF2为等边三角 形，则a=2c,即a2=4c2,所以4=4(4-m),解得m=3.故答案为3. 10.*22 16+8=1解析：如图，连接P5, QF1,因为1OP1=10Q1,IOF1I=10F21, 所以四边形PF,QF2是平行四边形， 所以IPF1I=1F2Q1,IPF2I=IQF11.又 Q PF2⊥F2Q,所以四边形PF1QF2为矩 m+n=2a=8, 形.设|PF1I=m,IPF2I=n,则由题意得 m2+n2=4c2,解得 1 1 (2 mn=- -a2 {a=4,则=2-。2=8，则E的标准方程为6令=1故答案为 x2,y2 (c=2w2, 61 解析：不妨设1AF2|=2m,m>0,则|BF2|=3m,|AB1=5m,由椭 圆性质可知，IBF,I=2a-3m,IAF,I=2a-2m,以AB为直径的圆过 点F,则在△ABF1中，BF1⊥AF,故△ABF,为直角三角形，根据勾 股定理可知，IAB12=1BF1I2+1AF112,即(5m)2=(2a-3m)2+ (2a-2m)2,解得a=3m(负值舍去)，故|AF21=2m,1AF11= 2a-2m=4m,1AB1=5m,1F1F2|=2c,由余弦定理可得4m= 5m (4m)2+(2m)2-4c 2×4m·2m ,化简可得9m2=5c2,即a2=5c2,解得e=6 怎做答案为 压轴挑战 【)解：这两个椭圆是“相似椭因”椭圆C:子+了=1中，1B,=2 x2,y2 1=1,M,1=2,1AB1=4+3=7:椭圆C:16+21中，1BF1= 选择性必修第一册·BS 4-2=2,1A'F21=4,1A'B1=√16+12=27，则 IBF2I IAF2I BFIAFT- A92,所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相 IABI 1 似椭圆”，且相似比为2 (2)证明：必要性：若两个椭圆是“相似椭圆”，则其 “焦顶三角形”的三个对应角相等如图，若LAB0= 1A01b ∠A'B'O',则tan∠AB0= IBOI a ,tan∠A'B'O'= 9 R 1B07,所以点& IA'0'1b' aa又因为e: /c2 a2-b2 = = a a2 a2 c c"2 a2,e's a2-b元62 62 VI =√a√a2√1-a√1 /1- 2,所以 e=e'; IAOI 充分性：若离心率相等则。=。，所以。=。，则am∠AB0=14 IBOI m280-9- 6 a =。,则∠AB0=∠AB0;同理， IAOI b an∠AF,O=7八=，tan/A'F50'=E以0三c5=。,则∠AF20= 1F30'c=c ∠A'F;O',所以∠AF,B=∠A'F)B',所以两个椭圆的“焦顶三角形”相 似，所以两个椭圆是“相似椭圆”.故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件 是离心率相等 (3)解：设椭圆C1的半焦距为c,因为椭圆C2的离心率为e',椭圆C2与 C1相似，所以椭圆C1的离心率也为e',若△AF2B的面积为S,又 SAAFF1=2 ·2e·b=bc,S= 2ab、 2 lc= (a-c)b,所以△AF,E1的 1 面积与△M5,B的面积之比为2c:(a-c）),所以△A,R,的面积为2s a-c 因为C1与C2的相似比为k:1,所以△AF2F1的面积与△AF2F的面积 2.c.s 2cS a 2e'S 比为2：1，所以△AF5F1的面积为 a-c)2 (1-e)k2 §1 阶段综合 黑题 阶段强化 1B解析：因为方程 m-24- 一=1表示一个焦点在y轴上的椭圆，所 m-2>0, 以{4-m>0,解得2<m<3,所以实数m的取值范围为2<m<3,故 （m-2<4-m, 选B. 2.B解析：如图，假设甲在F1,乙在F2,直 接传播路径有F1→F2,即1F1F2|=2c, 由椭圆的对称性，结合声波的反射定律， 声音经过A点反射，传播路径为F,→ A+F2,即IF1A|+|AF2I=2a;声音经过B F O 点反射，传播路径为F1→B→F2,即 IF1B1+IBF2I=2a,因为c<a,所以 2c<2a,故第一声为F1一→F2,第二声为 F→B-F或R→M一F,因为声音速度恒定，所以20-20-3 2c-2 故e=C= 3.D解折PFL:箱，1PI=行，而AP1=at由n∠PMr。 照方兰e0周2c-=m2l 1 0,解得e=-1(舍去)或e=2故选D. 黑白题024