2.1 椭圆阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§1阶段综合 黑题 阶段强化 限时：60min 1(2025·河南南阳高二月考)已知方程 5.（2025·江西南昌高二期中)已知0为坐标原 m-2 =1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实 点，P是椭圆E:a+=1(a>b>0)上位于x轴 4-m 上方的点，F为右焦点.延长PO,PF交椭圆E 数m的取值范围为 于Q,R两点，QF⊥FR,IQFI=31FRI,则椭圆 A.(3,4) B.（2,3) E的离心率为 ( C.(2,3)U(3,4) D.(2,4) 2.(2024·广东江门高二期中)在一些山谷中有一 B.3 3 D.10 2 种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间 6.（多选)(2025·河北邯郸高二月考)已知椭圆 隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳 朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者 =1上有一点P,F,R分别为其左、 C:42 耳朵中假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲、乙 右焦点，∠FPF2=0,△FPF2的面积为S,则 两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声， 下列说法正确的是 ( 乙经过2s听到第一声，又过3s听到第二声，则 该椭圆的离心率为 A.△F,PF2的周长为4+22 ( B.角0的最大值为90° C. D.2 3 C.若S=√2，则相应的点P共有2个 B202·江西新金高月EP是椭國各 D.若△FPF2是钝角三角形，则S的取值范围 是(0，√2) 。1(a>b>0)上的一点，A为左顶点，上为 7.(2025·江西师大附中高二 焦点，PF⊥x轴，若tanLPAF=-),则椭圆的离 期中)从随圆C:2+627(a公 心率e为 b>0)外一点P(x0,y0)向椭圆 A月 B.5-1 .3 b.1 引两条切线，切点分别为A,B,则直线AB称作 点P关于椭圆C的极线，其方程为。 a262=1. 4.(2025·重庆渝北区高二月考)若椭圆C: 现有如图所示的两个椭圆C1,C2,离心率分别 y =1(>b>0)的离心率为)，左顶点为A,点 为e1,e2,C2内含于C1,椭圆C1上的任意一 点M关于C2的极线为1，若原点O到直线l的 P,Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直 线AP和直线AQ的斜率之积为 距离为l,则e?-e的最大值为 ( c D.5 B. C. D.4 第二章黑白题039 8.（多选)(2025·广东广州高二期中)古希腊数 10.（2025·江西南昌高二期中)已知F是椭圆 学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等 号+，的左焦点，P是椭圆上一动点者 于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的 A(1,2),则1PA1+|PFI的最大值为 乘积如图，知髓圆C+1(o>b0的 x2 11.(2025·江西南昌高二月考)已知椭圆C:2+ 左、右焦点分别为F,F2,上、下顶点分别为 =1(a>b>0)的两个焦点为R,R点P,Q 2 B,B,左、右顶点分别为4,4,0P=了0B, 为C上关于坐标原点对称的两点，且 0-0丽，设G的离心率为e,则 ( IPQ1=EE,l,△PF,Q的面积S≥8PQI, 则C的离心率的取值范围为 A若R5P,则号 吃已知椭圆工+(o>6>0),6=2,椭圆力 B.四边形F1B1F2B2的面积与C的面积之比 为 的离心率e=2 21 (1)求椭圆T的标准方程， C.四边形F,B,F2B2的内切圆方程为x2+ (2)A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上 y=a(a2-6) 异于A点的任一点，Q点为P点关于原 62 点O的对称点，Q点也异于A点，直 D.设椭圆外阴影部分的面积为S外，椭圆内阴 线AP,AQ分别与x轴交于M,N两点，试 影部分的面积为S内，则S外<S内 问以线段MN为直径的圆是否过定点？ 证明你的结论 (第8题) (第9题) 9.(2025·江西赣州高二月考)《九章算术》是我 压轴挑战 国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾 (2025·江西景德镇高二期中)已知 股”提出直角三角形的三边边长分别称为 “勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形ABC, 椭 =1(a>b>0)的左、右焦点 a2 b2 以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为 分别为F1,F2,P为椭圆上的动点.若△PF,F2 y轴，建立平面直角坐标系，若以A,B为焦点， 的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为 日过点C的精时方程为6苦-1，则直角三角 a2 则该椭圆的离心率为 22+2 形ABC的“勾”“股”之积的最大值为 选择性必修第一册·BS黑白题040轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭 圆的标准方程为+2=1，故C正确；椭圆上的点到焦点的距离 最小值为a-c=2-√3，故D不正确.故选C. 7.AD解析：设轨道Ⅱ的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,所以 10F1=a-c=,1PF1=ate=R,所以a-r,c-R对于A,2a=R+r, 2c 2 故正确：对于B,2b=2√a2-c2=2, 故错误；对于C,由选项B知2b=2√，若R不变，r越小，轨道Ⅱ的 短轴长越小，做错风，对于D因为：=台仁K产1 2 + 2越大，故正确 若r不变，R越大，则上+1越大，B一越小，1-R+ +1 r r 故选AD. 8.ACD解析：对于A,易知a=2,b=3,c=1,则a+c=3,a-c=1, 故A正确；对于B,P位于椭圆上顶点时∠F,PF2最大，此时 cos∠F1PF2最小，且IF1PI=IPF2I=2,IF1F2|=2,故此时△FF2P 为等边三角形，wLFPF2,=子，故B错误；对于C,若△FS,P为直 角三角形，由B知，∠F,PF2≤60°，所以∠F1F2P=90°或∠F2F1P= 90,不纺设∠R,P=90,则此时P点横坐标切=1，代入C:+ 苦=1得2，故△RP的国积为宁2x%-子，收C正 确；对于D,F1(-1,0),F2(1,0),设P(x,y),则PF·PF=(-1- 14-1,曲号号1得子3-号做网，尿- 子+2：-2≤：≤2，放P沉·P丽e[2,3],放D正确放选ACD 9.3解析：由已知得a2=4,b2=m,则c2=4-m又△F1BF2为等边三角 形，则a=2c,即a2=4c2,所以4=4(4-m),解得m=3.故答案为3. 10.*22 16+8=1解析：如图，连接P5, QF1,因为1OP1=10Q1,IOF1I=10F21, 所以四边形PF,QF2是平行四边形， 所以IPF1I=1F2Q1,IPF2I=IQF11.又 Q PF2⊥F2Q,所以四边形PF1QF2为矩 m+n=2a=8, 形.设|PF1I=m,IPF2I=n,则由题意得 m2+n2=4c2,解得 1 1 (2 mn=- -a2 {a=4,则=2-。2=8，则E的标准方程为6令=1故答案为 x2,y2 (c=2w2, 61 解析：不妨设1AF2|=2m,m>0,则|BF2|=3m,|AB1=5m,由椭 圆性质可知，IBF,I=2a-3m,IAF,I=2a-2m,以AB为直径的圆过 点F,则在△ABF1中，BF1⊥AF,故△ABF,为直角三角形，根据勾 股定理可知，IAB12=1BF1I2+1AF112,即(5m)2=(2a-3m)2+ (2a-2m)2,解得a=3m(负值舍去)，故|AF21=2m,1AF11= 2a-2m=4m,1AB1=5m,1F1F2|=2c,由余弦定理可得4m= 5m (4m)2+(2m)2-4c 2×4m·2m ,化简可得9m2=5c2,即a2=5c2,解得e=6 怎做答案为 压轴挑战 【)解：这两个椭圆是“相似椭因”椭圆C:子+了=1中，1B,=2 x2,y2 1=1,M,1=2,1AB1=4+3=7:椭圆C:16+21中，1BF1= 选择性必修第一册·BS 4-2=2,1A'F21=4,1A'B1=√16+12=27，则 IBF2I IAF2I BFIAFT- A92,所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相 IABI 1 似椭圆”，且相似比为2 (2)证明：必要性：若两个椭圆是“相似椭圆”，则其 “焦顶三角形”的三个对应角相等如图，若LAB0= 1A01b ∠A'B'O',则tan∠AB0= IBOI a ,tan∠A'B'O'= 9 R 1B07,所以点& IA'0'1b' aa又因为e: /c2 a2-b2 = = a a2 a2 c c"2 a2,e's a2-b元62 62 VI =√a√a2√1-a√1 /1- 2,所以 e=e'; IAOI 充分性：若离心率相等则。=。，所以。=。，则am∠AB0=14 IBOI m280-9- 6 a =。,则∠AB0=∠AB0;同理， IAOI b an∠AF,O=7八=，tan/A'F50'=E以0三c5=。,则∠AF20= 1F30'c=c ∠A'F;O',所以∠AF,B=∠A'F)B',所以两个椭圆的“焦顶三角形”相 似，所以两个椭圆是“相似椭圆”.故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件 是离心率相等 (3)解：设椭圆C1的半焦距为c,因为椭圆C2的离心率为e',椭圆C2与 C1相似，所以椭圆C1的离心率也为e',若△AF2B的面积为S,又 SAAFF1=2 ·2e·b=bc,S= 2ab、 2 lc= (a-c)b,所以△AF,E1的 1 面积与△M5,B的面积之比为2c:(a-c）),所以△A,R,的面积为2s a-c 因为C1与C2的相似比为k:1,所以△AF2F1的面积与△AF2F的面积 2.c.s 2cS a 2e'S 比为2：1，所以△AF5F1的面积为 a-c)2 (1-e)k2 §1 阶段综合 黑题 阶段强化 1B解析：因为方程 m-24- 一=1表示一个焦点在y轴上的椭圆，所 m-2>0, 以{4-m>0,解得2<m<3,所以实数m的取值范围为2<m<3,故 （m-2<4-m, 选B. 2.B解析：如图，假设甲在F1,乙在F2,直 接传播路径有F1→F2,即1F1F2|=2c, 由椭圆的对称性，结合声波的反射定律， 声音经过A点反射，传播路径为F,→ A+F2,即IF1A|+|AF2I=2a;声音经过B F O 点反射，传播路径为F1→B→F2,即 IF1B1+IBF2I=2a,因为c<a,所以 2c<2a,故第一声为F1一→F2,第二声为 F→B-F或R→M一F,因为声音速度恒定，所以20-20-3 2c-2 故e=C= 3.D解折PFL:箱，1PI=行，而AP1=at由n∠PMr。 照方兰e0周2c-=m2l 1 0,解得e=-1(舍去)或e=2故选D. 黑白题024 4C解析：由题意知椭圆C二+1(Q>6>0)的离心率为 日日g如图设P0周 Qo）又Aa0故hwn·。装义号 2(a2-)故k心·ka0三=主，故选C. 01 (第4题) (第5题) 5.A解析：如图，设左焦点为F1,连接PF1,QF1,RF1,由条件知，P,Q 关于原点对称，所以四边形PFQF1为平行四边形.又因为QF⊥FR, 所以四边形PFQF1为矩形.设1PF1=m,则1QF1=1PF1I=2a-m.又因 为0=31R,所以1=2，K则如，P限-a2在 B△F,PR中，PF,2+1PR2=ER2,即(2a-m)2+(2a2m） = (）),解得烟=0或m=金去)，故点P为福圆的上膜点.因 c2 为F,P1PF,所以a2+a2=(2c)2,即a2=2e2,所以离心率c=√a √2 故选A 6.ABD解析：由已知可得a=2,b=√2，所以c=√2，△F1PF2的周长 为2a+2c=4+22,故A正确；因为b=c,所以以1F1F2为直径的圆与 椭圆C相切于上、下顶点，所以0≤90°，故B正确；因为S=2× 2W2×h=√2h=√2，所以h=1<√2=b,由椭圆的对称性可知，点P共有 4个，故C错误；因为△PF1F2为钝角三角形，所以△PF1F2中有一 个角大于90°，由选项B知LF1PF2不可能为钝角，所以LPF2F1或 ∠PF1B,为纯角，当LPF,R1=90时，S最大，将x=代人+ 4t2 1,得=±1，此时△PR,的面积为S=号×2×1=万，所以 △F,PF2的面积S∈(0，V2),故D正确故选ABD. 7.D解析：设M(0,%),椭圆C,方程，+ x2 识1，椭圆G,方程： 1,则有号，8 32 百+品1①.由极线的定义得直线1的方程为 十 1，又原点0到直线1的距离d: Yoy 1,化简得号，分 x行y 'a1b1 Va对b岭 .b对 1②.对比①②式得出a=a2,b=b2,则有e1=1 =1- aa 学)（学）-所u8 (仔）厂-当且仅当=1-后，即受时取等号，此时停 3 故选D. 8.ABD解析：由题可得F1(-c,0),F2(c,0),上、下顶点分别为B1(0, b),B2(0,-b),左、右顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),因为0P1= 3丽，0丽=丽.所以n(0,)n(0,）对于A,若 3 10BI IOP:I B1F2∥P1A2,则 片则子成肉 c a 参考答案 心率子号，故A正确对于民，因边形FB5品的面积为S 子1F1·B81:子·2·2少=2次，椭圆C的面积S=,则 1 面积比为_c-2e,故B正确对于C,设四边形P,BF,B的内 S2 Tab T 切圆半径为r,则在Rt△0F,B1中可得1OFI·IOB1I=|FBI·T, 所以r=c_6a2- -,则四边形F1B,F2B2的内切圆方程为x2+ a (c2),故C不正确对于D,由愿意知10P,1=10,I=子6， 3 所以S,=子141P,AI= 2 -·2a·36=3ab,所 以S回边形A,P422-S2=3ab-Tab<0,而且S回边形A1P1422-S2=S外-S内< 0,故S外<S内，故D正确故选ABD. 9.49解析：设1AC1=x,1BC1=y,根据椭圆定义得x+y=2×√49=14， ()广=49，当且仅当：=y=7时取等号，所以直角三角 所以y≤(2) 形ABC的“勾”“股”之积的最大值为49.故答案为49. 10.6+√5 解折：指回号号写-1，则。=3,6=5，c93=2.照 椭圆的右焦点为F(2,0),则1PF1+IPFI=2a=6,.IPA1+1PF1= IPAI+6-|PF'I=6+|PA|-IPFI,由图结合三角形两边之差小于第 三边，则1IPA1-1PF"II≤|AF'1=√(1-2)2+22=5，则当点P在 射线AF与椭圆的交点P时，1PAI-IPFI取得最大值5，.IPAI+ 1PF1的最大值为6+√5.故答案为6+√5. (第10题) (第11题) 1[咨】得折：血图滋接0所曲葛意得，10=101， 1OFI=|OF2I,又IPQ1=1FF2I,所以四边形PF2QF为矩形， 故S听0=Sar5所以7PR,1·1PR,1≥g(2c)2=2,故 IPF1l·1PF2|≥c2.又1PF11+1PF21=2a,由勾股定理得IPF112+ IPF212=IF1F212,即(IPF,l+|PF21)2-21PF11·1PF21=42, 1PF1l·1PF2|=2b2,故2b2≥c2,即2a2-2c2≥c2,故2a2≥3c2, 三≤子氛得二一又c上存在关于坐标原点对称的两改P0, 使得1PQ1=1F1F21,故2b≤2c,所以b≤c,即a2-c2≤c2,所以 子，宁宁都得片≥号综上，C的高心率的取值花田是 [咨]故答案为[咨] 2,3 12.解：(1)由6=2，椭圆T的离心率e= 21 得e=Y“6=√2，解得a=22,所以椭 圆了的际流方起为号-苦-1 (2)以线段MN为直径的圆过定点(0，±2√2)，证明如下，由(1) 知，A(0,2),如图，设P(x00),x0≠0，则Q(-x0,y%),号=8-2y6, 直线AP:y=0-2 x0 t2,直线A0:02+2,则N20》 一x0 ,(亮0)者u线段M为直径的阀过定点C由对密性知点C 在y鳞上设c00.则d.应=0，又a:(小，a 黑白题025 (021）,所以a或.Gd威-r=0,即2= 2x0 4- 4-哈 4(8-2y) =8,解得t=±2√2，所以以线段MN为直径的圆过定点 4- (0,±22) 压轴挑战 ② 2 解析：设LF,PF2=0,则由正弦定理得△PF1F2的外接圆半径1= 1 IF F21 c 2×m6in0由余弦定理得1FF312=1PR,2+1p,12- 21PFI.IPF2 Icos 0,..IFF212=(IPF1+IPF21)2-21PF1IIPF2I (1+cos0),.4c2=4a2-21PF111PF21(1+cos0),.462=21PF1l· 2b2 IPF,1(1+oas0),整理得1P,IIP,1=1+os设内切圆半径为2，所 以由等面积法可得之(1PR,1+1PR,+1RR,)=子1PR,1· 1 IPF2lsim6,即 22(2a+2c)=1 2b2 ×1+os6×in8,解得n b2sin 0 b2sin 0 (+os)（ato,所以两半径之积ni0‘1+os9a+o cb2 2a0)29由题意知之为锐角，当P为椭圆的短轴顶点时，之最 、比时cos9=b则。≤cs2<I,所以么、s 2 a a2scos2 2<1,所以 2ate)o c62 2(a+0),当P为椭圆的短轴顶点时取等 ca2 22(a+c)x& 号，由题意得a2。a ，解得v2c=a,则该椭圆的离心率为e= 2(a+c)2W2+2 c√2 ,2 。2故答案为号 §2双曲线 2.1双曲线及其标准方程 白题 基础过关 1.B解析：设M是炮弹爆炸点所在的曲线上任意一点，则 IIMA|-IMB1I=3×340=1020<1400,所以炮弹爆炸点所在的曲线 是双曲线.故选B. 2.B解析：充分性：当“11MF11-1MF211为定值”，但11MF11- 1MF2I川≥IF1F2I时，动点M的轨迹不是双曲线，不满足充分性；必 要性：双曲线上的动点M满足“11MF1I-|MF2II为定值”，满足必要 性.因此“IIMF,I-IMF2II为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的 必要不充分条件故选B. 3.D解析：由题意，点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双 曲线的右支.由c=5,a=3,知6=16，点P的轨迹方程为-兰 916 1(x≥3) 4.B解析：由椭圆4+9=36，可化为标准方程，+=1，可得 F1(-√5,0)，F2(5,0),因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以c= √5.又因为双曲线过点(-2,0)，可得a=2,则b2=c2-a2=1,所以双曲 线的标准方程为号子1放选及 5.x 2575 =1解析：设双曲线的方程为mx2+y2=1(mn<0),则 1 m275 9m+28n=1,解得{1 故双曲线的标准方程为二子 =1. 72m+49n=1, 2575 n-25' 6G号解析设焦点为P(-,0,Pc,0(c>0),则由如已 选择性必修第一册·BS Q,得r,k5,=-1,·5=-1,c=5.设双曲线的标准方 C-C 程为号士=1(a>0,b>0).双曲线过点P(42,-3),是 329 a2 b2 a+62=25,六。2=16，=9，双曲线的标准方 号1放答案为后亏1 7.D解析：由双曲线的定义及标准方程可知，IIPF1I-1PF2I1=8 即I2-IPF2I川=8，解得IPF2I=10或IPF2I=-6(舍去).故选D. 8.A解析：由题意可得a2=4→2a=4,△ABF1的周长为|AF1I+ IBF,I+|ABI,由双曲线定义可得IAF1I-|AF2I=IBF1I-IBF2I=4, 又IAF21+IBF2I=IAB1=2,所以IAF,1+IBF1I+|AB1=IAF,I- IAF2|+IBF1I-IBF2I+21AB1=4+4+4=12,所以△ABF1的周长为 12,故选A. 解析：因为双曲线药)1左支上的点M到右焦点P,的距肉 为18，所以点M到左焦点F2的距离1MF2I=18-10=8.又N是MF1 的中点，0是F,R的中点，所以1ON1=之1M:1=4故选A 1 10.-0,2 弘-2A1表示焦点在y轴上的双 x2.y2 解析：因为方程 曲线，所以60邹得K宁放答案为(，宁）】 2-k>0, 0解析：双曲线8x2-y2=8可化为标准方程2-。=1，∴a=1,c 3,IF1F2I=2c=6点P在该双曲线（不妨设点P在第一象限）上， 且△PF1F2是等腰三角形，IPF,I=|F,F2I=6或1PF2= IF1F2I=6.当IPF1I=6时，根据双曲线的定义有IPF2I= 1PF,l-2a=6-2=4,.△PF,F2的周长为6+6+4=16；同理当 1PF2|=6时，△PF1F2的周长为6+6+8=20. 12.C解析：设IAF2|=m,则1BF2|=2m,IBF1I=4m.由双曲线的定义 IAF1I-IAF2 I=IBF I-IBF2 I=2a=2m,.IAFI=3m,a=m, ∴.m+2m+3m+4m=10,解得m=1.在△AF1F2和△BF1F2中 cosLF,FA+c0sLF,F,B=0,由余弦定理得4c2+1-9,4c2+4-16 4c 8c 0,解得c2可得双曲线的焦距为221故选C 13.6解析：双曲线-上 46 =1的a=2,c=√4+6=√10，所以 IF1F2I=2√10.因为IPF1I=3IPF21,由双曲线定义得IPF1I- IPF2I=21PF2I=4,解得1PF21=2,IPF1I=6,显然有1PF,I2+ IPF2I2=40=IF1F212,即△PF,F2是直角三角形，所以△PF1F2的 面积Sa,子PE,IP5,1=6故答案为6 14.②③④解析：不妨设点P在双曲线C的右支上，∴.IPF1I- IPF2I=2a=2,IF1F2I=2c=2W2.又∠F1PF2=60°，∴.在△F1PF2 中，利用余弦定理可知1F1F212=(IPF,1-IPF21)2+1PF11· IP,PE,1·IPF,=4,△PE,A的面积为子1PR,1· 1PF2I·sin∠FPF2=√3.故正确的是②③④. 重难聚焦 15.解：设M(x,y),点A,B的坐标分别是(-5,0)，(5,0)，∴.直线AM 的斜率w45(-5),同理，直线BW的斜率m六x子 列加加话六式药了u5,化筒得点w的迹 y 方程是5。(：子5，一点M的轨迹是以原点为中心，焦点在 9 x轴上的双曲线（不包括两个顶，点）. 6.解：(1)将椭圆方程化成标准形式为，+2=1，心@2=5,62=1，c2 a2-b2=4,则A(-2,0),B(2,0),.1AB1=4. 黑白题026