专题探究1 直线中的最值问题&专题探究2 隐形圆-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

专题探究1直线中的最值问题 黑题 专题强化 限时：45min 题组1与距离有关的最值问题 题组2与面积有关的最值问题 1.(2025·辽宁鞍山高二月考)当点P(-2,-1) 8.(2025·山东青岛二中高二月考)过定点A的 到直线1：(1+3入)x+(1+入)y-2-4入=0（入∈ 直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+ R)的距离最大时，直线1的一般式方程是 (a+1)y-5a-2=0交于点P(P与A,B不重 合)，则△PAB的面积的最大值为（) A.3x+2y-5=0 B.2x-3y+1=0 A.4 u.2 C.2 C.x+2y+5=0 D.2x-3y+2=0 2.(2025·江西南昌高二月考)已知直线l1:x+ 9.如图，将一块等腰直角三角 y+C=0与直线2：Ax+By+C=0交于(1,1)，则 置于平面直角坐标系中， 原点到直线，距离的最大值为 ( IAB|=IOB|=1,AB⊥OB,点 A.2 B.√2 D.1 角板内一点，现因三角板中部分（△POB内 部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉， 3.(2025·黑龙江大庆高二月考)已知点A(1, 可用经过P的任意一直线MN将其锯 5),B(-2,10),直线1：y=x+1,在直线1上找 成△AMN. 一点P使得IPAI+IPBI最小，则这个最小值为 (1)求直线MN的斜率的取值范围. ( A.√/34B.8 C.9 (2)若点P满足M亦-示，这样的直线MN是 4.（2025·江苏南通高二月考)点 否存在？若不存在，请说明理由；若存在， 在直线1：x-y-1=0上运动，A( 求出此时直线MN的方程 3),B(2,0),则IPAI-IPB1的最大 (3)如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的 A.5 B.√6 C.3 △AMN的面积取得最小值？并求出最 D.4 5.(2025·福建泉州高二期中)函数f(x)= 小值 √x2-2x+17+√x2-10x+29的最小值为 6.（2025·山西大学附中高三 Hx,y∈R,函数f(x, V(-1+(y-4+宁3x+4-51的最小值为 7.已知0<x<2,0<y<1,则W2+y+√x2+(1-y)7+ √(2-x)2+y2+(2-x)2+(1-y)2的最小值 是 第-章黑白题025 专题探究2隐形圆 黑题 专题强化 限时：45min 题组1阿波罗尼斯圆 题组2其他常见隐圆 1.(多选)(2025·福建泉州高二期中)已知直角 4.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0), 坐标系中A(-1,0),B(2,0),满足IPA1= B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在 2!PB1的点P的轨迹为C,则下列结论正确的是 点M,使得IMA12+IMB12=12,则实数a的值 ( 不可能是 A.C上的点到直线x-y+1=0的最小距离为 A.-1 B.0 22-2 C.1+22 D.-2 B.若点(x,y)在C上，则x+√3y的最小值 5.(2025·江苏徐州高二月考)已知点A(-2, 是-1 0),B(2,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上 C.若点(x,y)在C上，则y的最小值是-2 存在点M满足MA·M店=5，则实数a的取值 范围是 D.若圆x2+(y-a)2=4与C有且只有两条公 6.已知点A(2,0),圆0：x2+y2=10上 切线，则a的取值范围是-√7<a<√7 两动点B,C满足AB⊥BC,且四边 2.(2025·福建福州高二期中)已知圆0：x2+ 形ABCD是矩形 y2=4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左 (1)当点B在第一象限且横坐标为3时，求 边)，动点C满足ICAI=√2ICBI,则△CAB的 边AD所在直线的方程； 面积最大值为 (2)求点D的轨迹方程 3.(2025·浙江温州高二期中)已知圆心在直线 x-y+3=0上的圆C经过两点M(0,2)和N(1,3): (1)求圆C的标准方程； (2)设点Q(a,0)(a>0),若圆C上存在点P 满足|PQ1=√21P01,求实数a的取值 范围。 选择性必修第一册·BS黑白题026(3)假设存在定点B,设B(0,m)(m≠-1)，P(x,y）,则2=64 (}+， 则= √x2+(y-m)7 IPAI √2+(y+1)7 √2+26,35 3y3+(y-m)2 ( m235 3 √2635 .当 32.32 32 3y3+(y+1)2 3 33 3 2 0,即m=3(m=-1合去时，为定值，且定值为2，放存在 3 定点B,且点B的坐标为(0,3) 专题探究1直线中的最值问题 黑题专题强化 1.A解析：l:(1+3入)x+(1+入)y-2-4入=0（入∈R)可化为入(3x+y 利2-0令20第特售即直线过定我01，， (y=1, 则当PQ11时，点P(-2,-1)到直线1的距离最大，即有}-（-， 1-(-2) (）-1,解得A=此时直线为(3x兮）+(： 了y-2-4x写=0，化简得3x+2-5=0,故选A 1 2.B解析：因为两直线交于(1,1)，则1+1+C=0,即C=-2,且A+B+ C=0,则A+B=2由原点到直线2的距离d=1C1 √A2+B2 2 2 V2+(2-A)7V√2(A2-2A+2) ，而A2-2A+2=(A-1)2+1≥1，则d≤ √2，当且仅当A=1时，d取最大值2，此时B=1.即两直线重合时，原 点到直线l2的距离最大，最大值为√2.故选B. 3.D解析：设点A关于直线1的对称点为A'(m,n),则 n-5 m-1-1, n+5_m+l 得2由1PA1=1P,则1PA1+1P阳1 22+1, 1PA'I+1PB1≥1A'B1=√(4+2)2+(2-10)2=10，当且仅当B,P,A 共线时取等号，故|PA|+IPB1的最小值为10.故选D. 4.A解析：如图，设B关于l:x-y-1=0的对称点为C(m,n),则 解得m即c(1,1),故1AC1=2-)2+(3-1= 21 ln=1, 5,IPAI-IPBI=IPAI-|PCI≤IACI=√5，当且仅当P,A,C三点共 线时，等号成立.故选A (第4题) (第5题) 5.23解析：√2-2x+17=√(x-1)2+16表示A(x,0),B(1,4)之 间的距离，√x2-10x+29=√(x-5)2+4表示A(x,0),C(5,2)之间的 距离，又C(5,2)关于x轴的对称点C'(5,-2),如图，所以f(x)= 1AB1+1AC1=|AB1+1AC'1≥|BC'1=√(1-5)2+(4+2)2=2V13,所 以f(x)mim=2√13.故答案为2√13. 解析：设点A(x,y),B(1,4)和直线l:3x+4y5=0,A,B到1的距 选择性必修第一册·BS 离分别为d1,d2,易知f代x,y)=IAB|+d1,如图，显然f(x,y)=1AB1+ 山≥1B1+4-51片故答案为片 5 5 0 (第6题) (第7题) 7.25解析：设P(x,y),0(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1),因为0< x<2,0<y<1,则点P(x,y)在矩形OABC内部，如图所示，可得 x2+y7+2+(1-y)2+√(2-x)2+y7+√(2-x)2+(1-y)7= 1OPI+ICPI+IAPI+IBPI=(1OP1+IBP1)+(I CPI+IAPI) 10B1+1AC1=25,当且仅当P为0B,Ac的交点(1，号)时，等号 成立.故答案为25. 8.B解析：动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2,可知定点 A(0,2).动直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0,令 -5=0,解得y,可知定点B(-3,5).(a+1)×1-1×(a (x+y-2=0, 1)=0,直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂直，P 为交点，.PA⊥PB,.1PA12+1PB12=1AB12=(0+3)2+(2-5)2=18. 则SaU=分1PA11PB1≤分.PAI生1PI 2 2 2,当且仅当 IPA=1PB1=3时，等号成立即△PHB的面积的最大值为号故 选B. 9解：()帐题意，得MN方程为y=(-子）：B10B, 1 1AB1=IOBI=1,直线OA方程为y=x,直线AB方程为x=1, y=, 2k-1 0≤4≤1， o. 解得 x=1. 2≤k≤2 a若功兮成可得子司兮（宁）解得=宁 直线心的方为()，整理得+-10 (3)在△Mww中，由(I)知：Saw=号·1AN1·A=子（ ）[司】44小英中1e[号 ]根据基本不等式的性质，当1-长=子，即=之时。 1 (Sa4mw)m32×(2+2+4)=4 专题探究2 隐形圆 黑题 专题强化 1.ABD解析：设P(x,y),A(-1,0),B(2,0),且1PA1=21PB1, √(x+1)2+y2=2√(x-2)2+y,化简得x2+y2-6x+5=0, (x-3)2+y2=4,点P的轨迹是以C(3,0)为圆心，半径r=2的圆. 对于A,C(3,0)到直线-y+1=0的距离4=13-0+1=22，C上 √2 的点到直线x-y+1=0的最小距离为d-r=2W2-2,故A正确；对于B, 黑白题016 令b=x+√3y,即x+√3y-b=0,C(3,0)到直线x+√3y-b=0的距离d= 1361,由题意得d≤，即36 2 2 ≤2，解得-1≤b≤7，.x+3y的最小 值是-1，故B正确；对于C,令k=y,即x-y=0,C(3,0)到直线x P,由题意得ds,即131 y=0的距离d=131 ≤2，解得 √1+k2 25s35 2W5 的最小值是-2，故C错误对于D,记圆P x2+(y-a)2=4,其圆心为P(0,a),半径为2.圆x2+(ya)2=4与C 有且只有两条公切线，.两圆相交，0<1PC1<4,即0<√9+a2<4, 解得-√7<a<√7，故D正确.故选ABD. 2.82解析：设动点C的坐标为(x,y),由题意知A(-2,0),B(2,0), 由1CA1=√21CB1,得√(x+2)2+y2=√2√/(x-2)2+y2,化简得x2+ y2-12x+4=0,即动点C在圆(x-6)2+y2=32上，设△CAB的面积S= 浅易9少8耳￥酒随S细*=C宗TZ=1×=TaV 为82. 3解：(1)设，N的中点为点A,则点A坐标为（分，乏），易知如= 1则过4点且与直线Mw垂直的直线方程为y-1(:子）。 5 即y=-x+3.又圆心也在直线x-y+3=0上，联立{+y3=0解得 (x-y+3=0, =0即圆心为C(0,3).又易知1CM1=1,因此圆C的标准方程为 (y=3. x2+(y-3)2=1. (2)设P(xo,o),则IPQ1=√(x-a)2+%,1P01=√6+，由题可 得√(0-a)2+后=2√品+，(x0-a)2+=2(好+)，好+ a2-2ax0+y=2a+2y,化简得(x0+a)2+y=2a2,可知点P的轨迹是 以(-a,0)为圆心，以2a为半径的圆C1,依题意可知圆C与圆C1有 公共点，即lW2a-11≤1CC,l=√a2+9≤2a+1,解得√10-√2≤a≤ /10+√2.即实数a的取值范围是[√10-√2，√10+√2]. 4.D解析：设M(x,y),由题意可知1MA12+1MB12=12=(x-2)2+y2+ x2+(y-2)2→(x-1)2+(y-1)2=4,即M(x,y)是圆C:(x-a)2+y2=1 与圆D:(x-1)2+(y-1)2=4的交点，由两圆位置关系可知圆心距满 足：2-1≤1CD1≤1+2，即√(a-1)2+(0-1)7e[1,3]→ae[1-22, 1+2√21.故选D. 5.-1-23≤a≤1+v23 2 2 解析：设M(x,y),则M=(-2-x,-y), M=(2-,y）,故M.M店=x2+y2-4=5,即x2+y2=9.因为M也在 圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上，故(3-1)2≤(a-1)2+(a+2)2≤ （3+1)2,整理得到2a+2a+1≥0。解得1-V2区≤ (2a2+2a-11≤0， 2 答案为1-23 -1+√/23 -≤a≤ 2 2 6.解：(1)设点B(3,t),t>0,由32+t2=10,得t=1,直线AB的斜率k= 321,而AD LAB,所以直线AD的方程为y0=-1·(x-2),即x+ 1-0 y-2=0. (2)如图，由于线段BC是圆0：x2+y2=10的 弦，则线段BC的中垂线必过圆心O,又线段 BC的中垂线是矩形ABCD的对称轴，因此该 对称轴垂直平分线段AD,即IODI=IOAI= 2(显然B,C不重合，当B,C重合时，点A,D 重合)，则点D的轨迹是以0为圆心，2为半 径的圆（除点A外），所以点D的轨迹方程是 x2+y2=4(x≠2). 参考答案 第一章章未检测 1.D解析：依题意，直线AB的斜率为-”=n至，解得m=2.故 选D. 2.A解析：直线ax+2y-2=0与直线2x+ay+3=0平行，a=0时不合题 意，不等于0时，则号=≠3，所以a=2故选A 3.D解析：圆01圆心为01(-4,0)，半径为r,圆02圆心为02(2,0)， 半径为3，当两圆外切时，10102I=r+3,即6=r+3,解得r=3;当两圆 内切时，101021=1r-31,即6=1r-31,解得r=9或r=-3(舍).所以当 两圆相切时，r=3或r=9,故选D. 4.C解析：由题意得圆(x-m)2+(y+2)2=m2-4,则m2-4>0①，由点 (2,0)在圆外，则有4-4m+8>0②，联立①②得m<-2或2<m<3.所 以实数m的取值范围是(-∞，-2)U(2,3),故选C. 5.A解析：因为直线x-a2y+1=0与(a2+1)x+by+3=0垂直(a<0),所 以1×(2+)-a26=0,即b=之，所以ab=a:g+a4 =a+ a2 a 1=-[(-+]s-2√(-)云=-2，当且仅当-a=。即 -a -a a=-1,b=2时取等号.故选A. 6.D解析：如图，直线y=x+4(k>0)过定 y↑ 点A(0,4),曲线y=√4-2与x轴负半轴 交于点B(-2,0).设直线AC与曲线（半 圆)相切于点C,若直线y=kx+4(k>0)与 曲线y=√4-有两个交点，则kC< 4-0 0 k≤kAB,而kAB=0-(-2) =2,若y=x+ 4(k>0)与半圆x2+y2=4(y≥0)（圆心0(0,0），半径r=2)相切，则圆 4 心到直线的距离满足d= =2，解得k=√3，即k4C=√3.综上所 √k2+1 述，实数k的取值范围是（√3,2].故选D. 7.C解析：实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,.(x-2)2+(y 1)2=1,对于A、B、D,令y=c,x+y=a,则两条直线都与圆有公共点， 121a≤1,2≤1，解得3-反≤a≤3+反，0≤≤ ② √2+1 ,故x+ y的最大值为3+反，X的最大值为号，最小值为0，故A,B.D正确； 对于C,原点到圆心的距离为d=√5，则圆上的点到原点的距离为 [5-1,5+1],.√x2+y2≤5+1，.x2+y2≤6+25，故x2+y2的最 大值为6+25，故C错误.故选C. 8.D解析：如图，设AB中点为D,则由 IAB1=2√2得IC1D1=√3-2=1，即D点 的轨迹方程为x2+y2=1.1PA+PB1= 21PD1,由于P点在圆C2:(x-3)2+ (y4)2=1上，所以1C1C21=5,所以 ICC2-1-1≤1PD1≤1C1C21+1+1,即 IP币1e[3,7],所以1PA+P1=21Pi1∈ [6,14].故选D. 重难点拨 本题属于圆与平面向量结合的问题，由圆的弦长先求出弦的中点轨 迹也为圆，再由平面向量加法运算进行转化，从而转化为两圆上的点 的距离问题 9.CD解折：对于A,当a=0时，：2+3y+4=0,斜率为子，则其-个 方向向量为(3，-2)，(2,3)≠入(3，-2)，故A错误；对于B,若1与2 相互平行，则(a+2)·a-3×1=0,解得a=1或a=-3,当a=-3时，l1 与l2重合，故B错误；对于C,若l1⊥l2,则(a+2)·1+3·a=0,解得 a=,故C正确：对于D,若不经过第二象限，4：(a+2)+3+ 4=0,即y子号则-告产≥0，解得a≤-2，放D正确故选Cm 2 黑白题017