第一章 2 圆与圆的方程 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

12.(2025·吉林长春高二期中)已知圆C经过 点M(0,-2)和N(3,1),圆心C在直线x+ 3y+1=0上.直线1的方程为(2m+1)x+ (1-m)y-6m=0. (1)求圆C的标准方程； (2)求直线1被圆C截得的弦长的最大值和 最小值 13.(2025·浙江宁波高二期末)在平面直角坐 标系x0y中，圆心为(m,2m)(m>0)的圆C 与y轴相切，动直线1过点P(0,6) (1)当m=4时，直线1被圆所截得的弦长 为214，求直线1的方程； (2)圆C上存在点M满足M0·MP=0,求实 数m的取值范围 选择性必修第一册·BS 14.如图，已知圆0：x2+y2=4和点A(6,8),由圆 0外一点P向圆0引切线PQ,Q为切点，且 有1PQI=IPAI. (1)求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹 是什么样的几何图形； (2)求1PQ1的最小值： (3)以点P为圆心作圆，使它与圆0有公共 点，试在其中求出半径最小的圆的方程. 压轴挑战 (多选)(2025·湖北武汉高二期中)》 已知圆C:x2+y2=2,圆C2: (x-a)2+(y-b)2=2(r>0,且a,b不同时为0) 交于不同的两点A(x1,y),B(2,y2),下列结 论正确的是 A.x1+x2=2a,y1+y2=26 B.直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0 C.若点P(xo,y%)是圆C,内异于圆心的一点， 以P为中点的弦所在的直线为4，直线2： xox+yy=2,则l1∥亿2且2与圆C,相离 D.M,N为圆C2上的两动点，且IMNI=√3r, 则10M+0示1的最大值为2√a+b+r 进阶突破拔高练PO 黑白题022 §2阶段综合 黑题阶段强化 限时：65min 1.(2025·四川泸州高二期末)若圆C的半径为5.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点 1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和 A(4,0),B(0,2),当∠PBA最大时，则线段PB x轴都相切，则该圆的标准方程是( 的长度为 A.(x-2)2+(y-1)2=1 6.(2025·江苏徐州高二月考)已知A(-2,0), B.(x-2)2+(y+1)2=1 B(2,0),若圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4上存 C.(x+2)2+(y-1)2=1 在点P满足PA·P=5,则a的取值范围 D.(x-3)2+(y-1)2=1 是 2.(2025·江西景德镇高二期中)若直线y=x+7.(2025·湖北武汉高二月考)已知P为直线 1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且∠P0Q= y=-2上一动点，过点P作圆x2+y2=1的两条 120(其中0为原点)，则k的值为( 切线，切点分别为B,C,则点A(2,1)到直线 A.-√3或3 B.3 BC的距离的最大值为 8.(2025·浙江嘉兴高二月考)已知圆C:x2+y2- C.-√2或2 D.2 4x-6y+4=0,过点P(4,2)的直线1与圆C交 3.(2025·山东菏泽高二月考)一条光线从点 于点M,N,且IMNI=4. (-2,-3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+ (1)求圆C的圆心坐标和半径； (y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜 (2)求直线1的方程； 率为 ( (3)设0为坐标原点，求OM·ON的值 c成 n减 4.(多选)(2025·河南南阳高二期中)已知直线 1经过A(2,1),B(-1,-2)两点，P为1上的动 点，过点P作圆C:x2+y2+2x-2y-1=0的两条 切线，切点分别为M,N,且Q为圆C上一点，则 ( A.IQAI∈[3-√3,3+√3] 县.成，瓜的值可以为号 C.om∠MPv的值可以为号 D.直线MN一定过坐标原点 第一章黑白题023 9.(2025·山东泰安高二期中)已知圆C过点 P(2,1),圆心在直线2x-y-2=0上，且圆C与 直线x+y-3=0相切 (1)求圆C的标准方程； (2)若点M为直线l:x-y+2=0上的动点， 过M作圆C的两条切线，切点分别为A, B,求四边形MACB面积的最小值，并求出 此时点M的坐标. 10.(2025·福建漳州高二期中)过原点0的直 线1与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点，且 点P(-3,2) (1)过点P作圆C的切线m,求切线m的 方程； (2)设直线PA,PB的斜率分别为k1,2,求 证：k,+k2为定值 选择性必修第一册·BS 压轴挑战 (2025,陕西渭向高二期中)已知半径为的 圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x 9y-1=0与圆C相切. (1)求圆C的标准方程. (2)若圆C的一条弦经过点M(0,2),求这条弦 的最短长度 (3)已知A(0,-1),P为圆C上任意一点，试问 在y轴上是否存在定点B(异于点A),使得 PB为定值？若存在，求出点B的坐标：若 IPAI 不存在，请说明理由. 黑白题024圆C,相交 (2)解：将两圆方程相减，有x+y-1=0,即两圆公共弦所在直线的方 程为y-1=0,闕心G,(0,-1)到x4y-1=0的距离d=10-1- /1+1 √2，故公共弦的弦长为2×√4-2=22. 12.解：(1)如图，已知圆心C在直线x+3y+1=0上，则设C(-3a-1,a), 又圆C经过点M(0,-2)和N(3,1),则ICM|=ICNI,即 √(-3a-1)2+(a+2)7=√(-3a-4)2+(a-1)下，解得a=-1,所以 圆心C(2,-1),半径r=1MC1=√2+(-1+2)2=√5，所以圆C的方 程为(x-2)2+(y+1)2=5. (2)如图，由已知直线1：(2m+1)x+(1-m)y 6m=0,即m(2x-y-6)+(x+y)=0,令 26=0,解得{=之；即直线1过定点 (+y=0, y=-2. A(2,-2),且1ACI=1<w5,所以当直线1过 点G时弦长最大为2：r=25,当直线1⊥AG 时弦长最小为2√P-1AC=2√5-了=4 13.解：(1)当m=4时，圆心C为(4,8)，圆C的方程为(x-4)2+ (x-8)2=16,则圆心C到直线1的距离d=√42-(4)=2.若 直线1的斜率不存在，则1：x=0,此时直线1与圆C相切，不符合题 意：若直线1的斜率存在，可设直线1的方程为y=:+6,即：-y+6 0,则d=4-8+6=万，得72-81=0，解得=1或与=7，所 √+1 以直线1的方程为x-y+6=0或x-7y+42=0 (2)记圆C的半径为t,因为m>0,则r=m,设M(x,y),由M而.币= 0得(-x,y)·(-x,6-y）=0,化简得x2+y2-y=0,即2+(y3)2= 9,所以M的轨迹为圆，记圆心为C:(0,3),半径为r1=3,圆C上存 在点M满足M而·M证=0，即圆C和圆C1有公共点，所以1-11≤ 1CC11≤r+r1,所以1m-31≤√m2+(2m-3)2≤m+3,所以m2-6m+ 9≤5m2-12m+9≤m2+6m+9,所以 (2m2-9m0,解得 2m2-3m≥0. 9 0≤m≤ 2 为心0，所以子≤m≤号，所以实数m的取值 9 3 m≤0或m≥ 「391 范圈为22丁 14.解：(1)设点P的坐标为(x,y),1PA1=√(x-6)2+(y-8),1PQ12= 10P12-4=x2+y2-4,由题意有(x-6)2+(y-8)2=x2+y2-4.整理得 3x+4y-26=0,故点P的轨迹方程为3x+4y-26=0,点P的轨迹是斜 窄为3 13的直线 ，在y轴上的截距为 (2)由1PQ=1PA1和(1)可知，1PQ1的最小值即为点A到直线3x+ 4y26=0的距离，放其最小值为18+32-261.24 32+4 (3)由圆的性质可知，当直线0P与直线3x+4y-26=0垂直时，以此 时的点P为圆心，且与圆O相外切的圆即为所求，此时OP的方程 8 4 为，联立方程y 解得 x25 即P 78 104 25 (3x+4y-26=0, y=25 104 25 ·又点0到直线3x+4y-26=0的距离为256，可得所求圆的半径 为26 2 16 5 ,故所圆的标准方程为（）广·（人): 256 25 压轴挑战 BCD解析：对于A,因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为C,C2的 中点，所以1+，=0+a=a,2=0+b=b,放A错误；对于B,将圆C1与 圆C,的方程相减可得公共弦AB所在的直线的方程为a2+b2-2ax-2by= 0,故B正确：对于C,由题意，以点P为中点的弦所在直线4⊥CP, 选择性必修第一册·BS =0,所以4=则直线h为0*+0y=号+6，所以∥又因 2 为点C,到直线12的距离为 ,点P(0,)在圆C1内，则√+< ī，所以圆心C,到直线12的距离 >r,则直线与圆心C,相离，故 √6与 C正确：对于D,如图，设MW的中点为H,则1O丽+O成1=21O,由 Mm=5,可得1C1=P-(停)广 Z,即点H在以点G为圆心，之为半径的圆 上，所以0动≤10c,1+宁=4W+,所 以10+0的最大值为2√云2++r,故D正 确.故选BCD. §2 阶段综合 黑题 阶化 1,A解析：由题意可设圆心坐标为(a,1),其中a>0,因为圆C与直线 4x-3y=0相切，则14a-31 =1.因为a>0,解得a=2,因此，圆C √4+(-3)7 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2■1.故选A 2.A解析：如图，取PQ的中点为E,莲接OE, 则OE⊥PQ.因为∠P0Q=120°，故∠P0E= 60,所以10E1=分又直线PR的方程 为y*1=0,所以11=1 +行2，放=3 故选A 3.D解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2， -3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为 y+3=k(x-2),即x-y-2k-3=0.又因为反射光线与圆(x+3)2+ （-22.1相切，所以-36-2-2-31.1，整理得124+25k+12=0, √+I 解得子或：，放选D 4.AD解析：根据题意画图，如图所示，圆C:x2+y2+2x-2y-1=0可化 为(x+1)2+(y-1)2=3,其圆心C(-1.1),半径r=√3，直线1：y-1= -1-2-2),即x-y-1=0对于A,1CA1=3,则1C41-7≤1Q41≤ -2-1 1CA1+r,因此1QA|[3-√5,3+3]，A正确：对于B,点C到直线1 的距离49则1C≥者.可：即× 厅o∠MCN-号，解得LMCN=-子，则∠MCV=60,LPCN 30°，IPC1= 1=2<3 cos 30 2 ,矛盾，B错误：对于C,cos LMPN= 2LMPC-2 (MPC)1e -1=2.1P℃2-3 IPCI2 1=1- CP又因为IPc≥？，所以ms∠MPve【号l） 6 9 <了，C错误：对于D,设点P(,0-),以线段PC为直径的 1 1 圆为(（空）广=(（空广博 y2+(1-)x-oy-1=0,与圆C的方程相减得直线MN:(1+0)x- (2-o)y=0,此直线恒过坐标原点，D正确故选AD. 黑白题014 (第4题) (第5题) 5.32解析：设圆(x-5)2+(3y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4 如图，当∠PBA最大时，PB与圆M相切，连接MP,BM,可知PM⊥ PB,1BM1=√(0-5)2+(2-5)下=√34,1MP1=4,由勾股定理可得 1PBI=√1M-1MP2=32.故答案为32. 6.[-1,2]解析：设点P(x,y),则可i=(-2-x,y),P=(2-x,y),所 以P·P市=(-2-x)(2-x)+y2=5,则x2+2=9,所以点P的轨迹方程 为x2+y2=9,其运动轨迹是圆心为(0,0)，半径为3的圆，由此可知圆 (x-a-1)2+(y-3a+2)2=4与x2+y2=9有公共点，又圆(x-a-1)2+ (y3a+2)2=4的圆心为(a+1,3a-2),半径为2，所以1≤ √(a+1)2+(3a-2)≤5，解得-1≤a≤2，即a的取值范围是 [-1,2].故答案为[-1,2] 7.5 解析：设P(%),过点P引圆x2+y2=1的两条切线，切点分 别为B,c则切点在以0P为直径的圆上，圆心（宁，咨），率径 √66 2 则调的方程是（宁）广：（空）广基理得 子-0xy0y=0.又点B,C在圆x2+y2=1上，两圆方程相减得到x+ yoy=1,即直线BC的方程是0x+y0y=1.因为%=-2，代入0x+yoy= 1得-2y=1,则直线BC恒过定点N(0,2 ,所以点A(2,1)到 直线c的距离4≤1W-0-2(号1)】 所以点 5 A(2,)到直线BC的距离的最大值为子故答案为 5 四重难点拨 本题首先要求以OP为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的 直线方程，关健是发现直线BC过定点，这样通过几何关系就容易求 得定点与动直线距离的最大值 8.解：(1)将圆G:x2+y2-4x-6创+4=0化为标准方程：(x-2)2+ (y-3)2=9,则圆心C(2.3).半径r=3. (2)当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=4,在圆C:x2+y2 4x-6y+4=0中，令x=4,得y2-6y+4=0,解得y=3±5，此时1MW1= 25,与题意矛盾，所以直线1的斜率存在，设斜率为k,则直线1的方 程为y-2=k(x-4),即k红-y-4k+2=0.因为MN1=4,所以圆心C(2, 3)到直线1的距离4=-（四丁：5，所以 2k-346+2=5.解得=2，所以直线1的方程为2-y6=0综上 √R+I 所述，直线1的方程为2x-y-6=0. 设n.联立7.40.清去子用 5-40+76=0则场85放n=(2a-6)(2-6 4-12+)+36-号，所以0.0成-75专16 764 9.解：(1)因为圆C的圆心在直线2x-y-2=0上，设圆心为C(a, 2a-2),根据题意可得a-2+2a-3.a+2a-2-31,即 2 √5a-16a+1B=13a-51,解得a=1,故侧心为c(1,0),该圆的半径 为1PC1=√(1-2)+(0-1)了=√2，因此，圆C的标雅方程为 参考答案 (x-1)2+y2=2. (2)如图，因为MA,MB都与圆C相切，由切线长定理可得MAI= MB1.又因为IACI=IBCI,IMCI=IMCI,则△MAC≌△MBC,且 AC⊥MA,MB⊥BC,所以四边形MACB面积S=2SAM4C=IACI· IMA1=√互·√MCT2-2,当MC⊥1时，|MC1取最小值，则四边 形MACB面积最小，因为直线1的斜率为1，则直线MC的斜率为-1， 直线MC的方程为y=-(x-),即x+y-1=0,由{2 即点M的坐标为 3 22,此时1MC1=1-0+2 13 y= 2 3w2 2 则四边形MCB面积的最小值为×，√/？一2=5 四方法总结 解析几何中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件 能明显体现儿何特征和意义，则考虑利用图形性质来解央：(2)代数 法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函 数，再求这个西数的最值 10.(1)解：当切线m的斜率不存在时，切线m:x=-3与圆C相离，不符 合题意.当切线m的斜率存在时，可设切线m:y-2=(x+3),即x y+3张+2=0.因为切线m与圆C相切，圆C的圆心C(1,0),半径 1=2,所以-0+3+2=2，即32+4=0，解得=0或k=- +1 3,所以 切线m的方程为y=2或4x+3y+6=0. (2)证明：①当直线1的斜率不存在时，其方程为x=0,此时点A,B 的坐标为(0.√3).(0,3) 所62百2 -3 3 ②当直线1的斜率存在时，可设其方程为y=红设A(1,为)，B(2: 为)，由/在， x-1+=4联立，得(+1)2-2-3=0由4=4+12+ 2 1)>0,得keR,所以 12+1 -3 所以场221-2 x1+3x2+31+3 x12+ -3 -22点+(3-2)（与+）-122· k2+ 2-12 +(3k-2)·2+ 3+3 1+3(1+)+9 -3 2 P39 +3 2+1 综上所述为定值号 压轴挑战 解：(1)由题意设圆心坐标为(0，b)(6>0),则圆C的方程为2+ (y-b)2=4(6>0).因为直线12x-9-1=0与圆C相切，所以点C(0,6 到直线12x-9y-1=0的距离4= 1-9b-11 29京3因为6>0，所以b 故国G的标方为一（号）广-号 13 (2)因为1CM1=13 了<弩，所以当直线与这条孩垂直时，这条 2■ 弦的长度最短，故所求最短弦长为2 647215 W93 3 黑白题015 (3)假设存在定点B,设B(0,m)(m≠-1)，P(x,》,则2=4 9 √是+(y-m)正 IPAI √爱+(y+1下 1√，265 33+(ym)2 m235 3 -.当 3232 32 3+3 3 >0,即m=3(m-1含去)时，P为定值，且定值为2 3 定点B,且点B的坐标为(0,3) 专题探究1直线中的最值问题 黑题专题强化 1.A解析：l:(1+3A)x+(1+A)y-2-4A=0(AeR)可化为A(3x+y 4a2-0,令2。常得1即直我过定点01， y=1, 则当PQ11时，点P(-2,-)到直线1的距离最大，即有二- 1-(-2) (）-1得A=此时直线1为3×）上+(： 子)广2-兮-0，化横得3+好5=0放选人 2.B解析：因为两直线交于(1,1)，则1+1+C=0,即C=-2,且A+B+ ICI C=0,则A+B=2.由原点到直线12的距离d= VA+B 2 2 ,面A2-2A+2=(A-1)2+1≥1，则d≤ √F+(2-A)7√2(A2-2A+2) 2,当且仅当A=1时，d取最大值反，此时B=1,即两直线重合时，原 点到直线L2的距离最大，最大值为√2故选B. 3.D解析：设点A关于直线【的对称点为A“(m,n),则 n-5 m--1, nt5_mtl. 得2由1PA1=1,周111PB1, 22+1, 1PA'1+1PB1≥1A'B1=√(4+2)+(2-10)2=10，当且仅当B,P,A 共线时取等号，故1PA|+IPB1的最小值为10，故选D. 4.A解析：如图，设B关于1：x-y-1=0的对称点为C(m,n),则 解得ml即C1,1),故14C1=2-+3-= 空21o n=L, 5,PA1-PBI=IPAI-lPCI≤1AC1=5,当且仅当P,A,C三点共 线时，等号成立故选A (第4题) (第5题) 5.23解析：√-2x+17=√(x-1)+16表示A(x,0),B(1,4)之 间的距离，√-10x+29=√/(x-5)2+4表示A(x,0),C(5,2)之间的 距离，又C(5,2)关于x轴的对称点C(5,-2),如图，所以(x)= 1AB1+1AC1=AB1+1AC1≥1BC'1=√(1-5)2+(4+2)=23，所 以财(x)n=23故答案为2√3. 解析：设点A(x,y),B(1,4)和直线1：3x+4y-5=0,A.B到1的距 选择性必修第一册·BS 离分别为d1,d2,易知八x,y)=|ABI+d1,如图，显然f代x,y)=AB1+ 4≥山，=3x1+4x4-51.4故答案为 5 5 5 (第6题) (第7题) 7.25解析：设P(xy),0(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1),因为0< <2,0<y<1,则点P(,y)在矩形0ABC内部，如图所示，可得 √星y+星+(1-y)+√(2-x)+y+√(2-x)+(1-y)2= IOPI+ICPI+1API+IBPI=(10PI+IBP1)+(ICPI+IAPI)> 1081+14C1=25,当且仅当P为0B,4C的交点(，7）时，等号 成立故答案为2√5 8.B解析：动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2,可知定点 4(0,2).动直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0,令 {90解得2。.可知定点8-3.5(a+1)x1-1a (x+y-2=0. 1)=0,直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂直，P 为交点，∴PA⊥PB,.1PAI2+1PB12=1AB12=(0+3)2+(2-5)2=18 则S=】PA·1Pg1≤2·2=之，当且仅当 2 2 1PAI=1PB1=3时，等号成立即△PHB的面积的最大值为号故 选B. Q.解：()低题意，得Mw方程为)片=(-之)：AB10B, 1AB1=10B1=1,直线0A方程为y=x,直线AB方程为x=1, 2h-1 应学 0≤4-≤ 解得 2≤≤2 2若证兮成，可得宁品号(-号)解得宁 直线w的方程为（）整理得+23-10 (3)在△AWN中，由(D知：Saw=子11·A=子( )}员4]种e分 子]，根据基本不等式的性质，当1-k=子，即k=分时。 （8um)-7*224)= 专题探究2隐形圆 黑题 专题强化 1.ABD解析：设P(x,y),A(-1,0),B(2,0),且1PA1=21PB, √(x+1)2y=2√(x-2)+,化简得x2+y2-6x+5=0, (x-3)2+y2=4,点P的轨迹是以C(3,0)为圆心，半径r=2的圆。 对于A,G3,0)到直线xy+1=0的距离d=13-041L=22,C上 的点到直线xy+1=0的最小距离为d-r=22-2,故A正确：对于B, 黑白题016