1.1.4 两条直线的平行与垂直-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

1.4两条直线的平行与垂直 白题 基础过关 限时：25min 题组1两条直线平行与垂直的判定 7.(多选)(2025·江苏连云港高二期中)已知直 1.(多选)(2025·江苏徐州高二月考)已知l1,2 线1：(m-1)x+y+1=0,A(1,2),B(3,3),则下 为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有 列结论正确的是 ( A.直线恒过定点(0，-1) A若l1,2斜率相等，则l1,2平行 B.当m=2时，直线1的倾斜角为45° B.若1，山2平行，则11,2的斜率相等 C.当m=1时，直线l的斜率为0 C.若l1,2的斜率乘积等于-1，则11,2垂直 D.当m=-1时，直线l与直线AB垂直 D.若l1,2垂直，则1，山2的斜率乘积等于-1 8.（2025·山西大同高二月考)若直线1与直线 2.(2025·陕西安康高二月考)直线11的倾斜角 y=2+2垂直，且它在y轴上的截距为4，则 为60°，l2经过点M(1,N3),N(2,2V3),则直 直线1的方程为 线l1与直线1，的位置关系是 ( 9.已知点A(1,-2),B(m,2),线段AB的垂直平 A.平行 B.垂直 分线的方程是x+2y-n=0,则m= C.重合 D.平行或重合 n= 3.直线l的方向向量是e=(-1,2),则下列选项 10.(2025·广东江门高二月考)已知四边 中的直线与直线l垂直的是 ( 形MNPQ的顶点M(1,1),(3,-1),P(4, A.x-2y+3=0 B.x+2y-3=0 0),Q(2,2). C.2x-y+3=0 D.2x+y-3=0 题组2直线平行与垂直的应用 (1)求斜率kMw与斜率kpo; (2)求证：四边形MWPQ为矩形 4.(2025·江西抚州高二期中)已知直线11：2x 3y+2=0,L2:mx+4y-3=0,若l1⊥l2,则m的值为 8 A.-6 B.6 C. 3 D. 5.(2024·江西吉安高二期中)经过点A(3,2),且 与直线4x+y-2=0平行的直线方程是( A.4x+y-14=0 B.2x+y-4=0 C.x-2y+1=0 D.4x+y+14=0 6.(2025·广东广州高二月考)直线ax-2y-1=0 和直线2y-3x+b=0平行，则直线y=ax+b和 直线y=3x+1的位置关系是 ( A.重合 B.平行 C.平行或重合 D.相交 选择性必修第一册·BS黑白题006 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2025·江西宜春高二月考)已知直线l1:mx+6.(2025·广东惠州高二月考)已知直线11,2的 y+3=0和直线l2:3mx+(m-2)y+m=0,则 斜率是方程x2-px-2=0的两个根，则（) “m=0”是“1∥2”的 ( A.11l2 A.充分不必要条件 B.1∥2 B.必要不充分条件 C.L,与12相交但不垂直 C.充要条件 D.L1与l,的位置关系不确定 D.既不充分也不必要条件 7.(2025·天津河西区高二期中)已知直线11： 2.(2025·山东菏泽高二月考)已知A(1,-1), ax+4y=2与直线l2:2x-5y+b=0垂直，点 B(2,2),C(3,0)三点，且有一点D满足 (1,c)为垂足，则a+b+c等于 CD⊥AB,CB∥AD,则点D的坐标为( 8.(2025·陕西西安高二月考)设集合A={(x, A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 》-1,A=1(,1ay+2=0,者4n 3.（多选)(2025·湖南岳阳高二期中)满足下列 B=⑦，则实数a= 条件的直线1与l2,其中L1⊥12的是（ )9.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为 A.11的倾斜角为45°，l2的斜率为1 x-2y-1=0,∠BAC的平分线所在直线方程为 R1的解率为月经过点4(2,0,6(3 y=0,若点B的坐标为(2,1) (1)求点A和点C的坐标； C.1经过点P(2,1),Q(-4,-5),2经过点 (2)求AC边上的高所在的直线1的方程. M(-1,2),N(1,0)〉 D.11的方向向量为(1，m),l2的方向向量为 (1,a 4.(2025·江西上饶高二月考)已知a,b都是正 实数，且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay 5=0互相垂直，则2a+3b的最小值为( A.12 B.10 C.8 D.25 5.(2024·辽宁省实验中学高二月考)若点 P(xo,yo)是直线l:Ax+By+C=0外一点，则方 程Ax+By+C+(AxO+By+C)=0表示( A.过点P且与l平行的直线 B.过点P且与l垂直的直线 C.不过点P且与l平行的直线 D.不过点P且与l垂直的直线 第一章黑白题0072=0,则x=3,y=-2,所以xy=1.故选B. 2 11.D解析：因为B(6,-7),C(4,-3),设BC边的中点为D,则 D2）即05-.又440所以6n-5,放 6+4-7-3 BC边上的中线所在直线的方程为y-0=-5(x-4),即y=-5x+20.故 选D. 12.C解析：由题意得，点P(1,2)关于点(0,1)对称的点必在11上，设 (1*%=0, 2 该点为(x,y),. 解得二。1即(-1,0)一定在直线1上 2*y1, (y=0, 2 故选C. 13.AC解析：由题意知AB的中点在直线x+y-4=0上，而AB的中点 坐标为(）所以生-4=0，解得m2度m-3 2 2 故选AC. 第3课时直线方程的一般式和点法式 白题 基础过关 1.D解析：当m2-3m+2=0时，m=1或m=2,当m2-m=0时，m=0 或m=1,若方程(m2-3m+2)x+(m2-m)y-m+4=0表示一条直线， 则m2-3m+2与m2-m不同时为零，所以m≠1.故选D. 2.A解析：直线3x-y+4=0的斜率为3，又倾斜角α的取值范围为 0°≤a<180°，所以直线V3x-y+4=0的倾斜角是60°.故选A. 3.A解析：直线x-23+1=0的斜率为？，所以方向向量是(2,1).故 选A 4.ACD解析：因为2×0-3×0+1≠0，所以1不过原点，所以A正确；令 g=0,得x2所以1在x轴上的截距为- 2,所以B错误；把2x 3+1-0化为y子+写，所以1的斜率为号，所以G正确：把2x 3y+1=0化为”+'=1，所以直线1与坐标轴围成的三角形的面积 1中1 23 为分×号-品所以D正确故选ACD 5.ACD解析：因为A·B<0,故B≠0，所以直线方程的斜截式为y= AC因为A·B<0,B-C0,所以-合>0，日<0，所以直线经 C B*B 过第一象限、第三象限、第四象限故选ACD. 6.x-3+24=0解析：直线2x-3+12=0的斜率为子，在y轴上的截距 为4根据题意，直线1的斜率为了，在)轴上的截距为8，所以直线1 的方程为=号x+8,即x-3+24=0 7.解：(1)令y=0,得x=m-3,由题意得m-3=-3,解得m=0. (2)因为直线l的斜率存在，所以直线1的方程可化为y=- -3t+2 2 由题意得-2，=1，解得m=1 m-3 8.A解析：由v=(3,4)是直线1的一个法向量，又所求直线过点 P(1,2),所以由直线方程的点法式可得所求直线的方程为3(x-1)+ 4(y-2)=0,即3x+4y-11=0.故选A 9.5解析：因为AB⊥1，所以AB=(-1-2,0+3)=(-3,3)为直线1的一 个法向量.又直线1过点A(2,-3),所以由直线方程的点法式可得所 求直线的方程为-3(x-2)+3(y+3)=0,即x-y-5=0.令y=0,可得x= 5,即直线1在x轴上的截距是5. 重难聚焦 10.A解析：由(2入+3)x+(入+4)y+2(入-1)=0，得入(2x+y+2)+(3x+ 女2=0，由229解得2所以直线(2以+3)+(a+ 4)y+2(入-1)=0恒过定点(-2,2).故选A. 参考答案 11.B解析：根据直线方程可得y=k(x+2)-2,故直线过定点 (-2,-2),当k>0时，若直线过原点可得k=1,当k≥1时，直线不过 第四象限，当k≤0时，直线过第四象限，综上可得k≥1，故选B. 1.4两条直线的平行与垂直 白题基础过关 1.AC解析：根据两直线的位置关系可知，若l1,l2斜率相等，则L1,2 平行；若1,2平行，当1,2都与y轴平行时，山1,2的斜率不存在，即 可得A正确，B错误；易知若1，h2的斜率乘积等于-1，则1,42垂直； 若1，l2垂直，当l1与x轴平行，l2与y轴平行时，直线11的斜率为0， 2的斜率不存在，即可得C正确，D错误故选AC. 2.D解析：由点M(1,3),N(2,23),可求得直线2的斜率k2= 25-5=5,因为直线的倾斜角为60，所以直线的斜率k 2-1 tan60°=√3，则有k1=k2,则直线l1与直线2平行或重合.故选D. 3.A解析：因为直线1的方向向量是e=(-1,2),所以直线l斜率k1= 名卡2，所以与直线1垂直的直线的斜率为3)对于选项：由 x-2+3=0,可得斜率为)，故选项A正确；对于选项B:由x+2-3 0,可得斜率为-2，故选项B错误；对于选项C:由2x-y+3=0,可得 斜率为2，故选项C错误；对于选项D:由2x+y-3=0,可得斜率为-2， 故选项D错误故选A. 4.B解析：因为l1⊥2，所以2m-3×4=0,解得m=6.故选B. 5.A解析：令所求直线方程为4x+y+C=0,将点A(3,2)代入，则 12+2+C=0,解得C=-14,所以所求直线方程为4x+y-14=0.故选A. 6.B解析：因为直线ax-2y-1=0和直线2y-3x+b=0平行，所以a=3, b≠1，故直线y=ax+b为y=3x+b,与直线y=3x+1平行.故选B. 7.AC解析：直线l:(m-1)x+y+1=0,mx-x+y+1=0,当x=0时，y=-1, 所以直线恒过定点(0，-1)，A选项正确.m=2时，l:x+y+1=0,斜率 为-1，倾斜角为135°，B选项错误m=1时，l:y=-1,直线的斜率为0， C选项正确.m=-1时，l:-2x+y+1=0,斜率为2，直线AB的斜率为 3-21 3-22x2=1≠-1，所以直线1与直线AB不垂直，D选项错误 故选AC. 8.2x-y+4=0解析：因为直线1与直线y=-2+2垂直，所以直线1的 斜率k=2.又直线1在y轴上的截距为4，由直线方程的斜截式可得 y=2x+4,即2x-y+4=0.故答案为2x-y+4=0. 9.32解析：线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-n=0,.线 段AB的中点在直线x+2yn=0上，且直线AB与直线x+2y-n=0互 [+m+2x2+2 n=0, 2 2 (m=3, 相垂直， (n=2. 1-m 10.(1)解：因为M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),所以kw= -1-1 ,=2-0-1,即kw=-1,kpo=-1. 3-1-1,hno24 (2)证明：因为kw=-1,k0=-1,所以MW/PQ又因为k0-2会l 2-1 ,1-0=1,所以MQ,∥NP,所以四边形MPQ为平行四边形.又 kNP=3-4 因为kMw·kwo=-1,所以MN⊥MQ,所以四边形MNPQ为矩形. 黑题应用提优 1.A解析：若l1∥12，则m(m-2)=3m,解得m=5或m=0.若m=5,则 直线l1:5x+y+3=0,直线l2:15x+3y+5=0,可知l1∥L2;若m=0,则直 线11：y+3=0,直线l2:y=0,可知l1∥12，综上所述，m=5或m=0.所以 “m=0”是“l1∥12”的充分不必要条件.故选A 2D解折：由题意可知如=3，k如9-2，若C01B, CB/AD,可知直线AD,CD的斜率存在，设D(x,),则m= 黑白题003 [yx3=-1, 即 x-3 解得=0，即 (kAD =kcB, y+1 12, y=1, D(0,1).故选D 3.BCD解析：对A,k,=tan45=1,k,=1,k·k,≠-1，所以A不符 合题盒，对9月，气-号作=-1，放符合 意；对C,= -5-1 2-0 4-21,1-1,·,-1,故C符合题意； 对D,因为(1，m)·1,- 1-1=0,所以两直线的方向向量互 相垂直，故L1⊥L2,故D符合题意.故选BCD. 4.D解析：因为直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直， 所以26-a(6-3)=0,即得2b+3a=b,所以2+3 a b =1.因为a,b都 是正实数所以2+6=(2+30)（名+号）-4g会9= 2/36+13=25.当且仅当a=b=5时，2a+3b取最小值25.故选D. 5.C解析：点P(x0,y0)不在直线l:Ax+By+C=0上，.Axo+Byo+C≠ 0,.直线Ax+By+C+(Ax0+Byo+C)=0不过点P. 又直线Ax+B+C+(Axo+Byo+C)=0与直线l:Ax+B+C=0平行，故 选C. 6.C解析：设直线1,2的斜率为k1,2,则k12=-2,:k1k2≠-1， 1,h2不垂直，A错误；若k1=k2,则kk2=好≥0，与kk2=-2矛 盾，k1≠2,1,2不平行，B错误；1，山不平行，也不垂直， ∴.(，2相交但不垂直，C正确，D错误故选C. 7.-4解析：因为l1:ax+4y=2,所以l1:ax+4y-2=0.因为两条直线垂 直，且l2:2x-5y+b=0,所以2×a-5×4=0,解得a=10,此时l1:10x+ 4y-2=0,将(1，c)代人l1:10x+4y-2=0中，得到10+4c-2=0,解 得c=-2,此时垂足为点(1，-2).将(1，-2)代人l2:2x-5y+b=0中，得 到2-5×(-2)+b=0,解得b=-12,故a+b+c=10-12-2=-4.故答案 为-4. 8.1或2 舞折集合4={)}-（红0743， x≠2}，B={(x,y)1ax-y+2=0},且AnB=☑，.直线y=x+3与直线 ax-y+2=0平行，或直线ax-y+2=0经过点(2,5)，即a=1或2a 5+2=0=a=7,故答案为1或 3 3 9.解：(1)如图，因为点A在直线x-2y-1=0和 Y 直线y=0上，所以A(1,0),直线AB的斜率 为2-91因为乙AC的平分线所在直线为： 轴，所以直线AC的斜率为-1，所以直线AC 的方程为y=-(x-1),即y=-x+1.因为直线 -2-1=0的斜率为了，所以直线BC的斜 率为-2.设C(m,-m+1),即c=1-（,-m+山=-2，解得m=4所以 2-m C(4,-3). (2)由(1)可知kB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以AB即为AC边上的 高.由于直线AB的斜率为1，且过A(1,0),所以AC边上的高所在的 直线l的方程为y=x-1. 1.5两条直线的交点坐标 白题 基础过关 1.CD解析：易知直线x+y-1=0的斜率为-1，所以与直线x+y-1=0 相交的直线的斜率必定不为-1，选项A,B中的直线的斜率都是-1， 选项C,D中的直线的斜率都是1，故A,B不符合题意.故选CD. 2.B解析：方程2x+y+1=0可化为y=-2x-1,因此该直线的斜率 1 2方程x+2+10可化为y=2-2,因此该直线道 率与=子，因为名≠，6=1≠-1，所以这两条直线相交但不 选择性必修第一册·BS 垂直故选B. 3.D解析：由+1=0。解得{x=2即交点坐标为(2,3).又直线 (2x-y-1=0, (y=3, 3x+4y-5=0的斜率为？，所以要求的直线斜率为子，故直线方程 4 为y-3=号（x-2),即4x-3y+1=0.故选D, 4.A解析：当a=-1时，l1:x-y+4=0,此时l1∥2，不满足题意；当a≠ 6 = -1时，解方程组+y40,得 a+1' 即交点坐标为 6 (x-y-2=0,1 4-2a a+1 a+1’ (6 4-2）因为交点位于第一象限，所以 *≥0， a+1 -20,0, 解得-1<a<2,即实 a+ 数4的取值范围为(-1,2).故选A. 5.C解析：迪20，解得即两直线交点坐标为(2,0，代 y=0, 人c-y+3=0,得2k-0+3=0,解得k=-)故选C 6.5xy小5+2=0解斩：由00解得交点坐标为（-1,2).又 所求直线的倾斜角为号，故斜率为m号=5，所以直线方程为 y-2=√3(x+1),即W3x-y+√3+2=0，故答案为W3x-y+√3+2=0. 7.4解析：如图，令2x+y6=0中y=0,得x=3,所以与x轴交于A(3, 0),令x-2y+2=0中x=0,得y=1,所以与y轴交于B(0,1),由 y60可得{化2，所以两直线交于P2,2),所以围成的亚 (x-2y+2=0, 形面积为S=1+2)2,2x(3-2)=4,故答案为4 2 2 P 2+2=0B斗 2x+y-6=0 0 A 8,解：(1)设直线1和直线2的斜率分别为k1,k2,由题意知=2， 因为41h,所以3=2又因为直线马与在x轴上的截距为，所以直 (30）,所以直线的方君为y=2(),即：2x 13 线2过点 y3=0.联立2xy3=0, x+2y-40,解得{-2’即交点坐标为(2,1) (2)因为直线l3不过原点，设其在x轴上的截距为a,所以方程为 5 x+y=1因为6过(2,1)，所以。千201，解得a=2,所以直线 a '2a l3的方程为2x+y-5=0. 9,解：(1)因为B边所在直线的方程为x-3+8=0,所以6如=了又因 为矩形ABCD中，AD⊥AB,所以kAD=-3.所以由点斜式可得AD边所 在直线的方程为y-6=-3(x-0),即3x+y-6=0. (2)由-3+8=0解得=即A1,3),所以对角线AC所在直线 (3x+y-6=0, (y=3, 的方程为号即+2-0 黑题 应用提优 1.ABC解析：直线1的斜率为k1=-sina,过定点(0,0)，直线l2的斜 率为与=号，过点(-e,0).若直线h与6相交，则ma≠号，面 -1≤sina≤1，即sina≠】可以成立；若直线l1与l2垂直，则kk2= 3 3sina=-1,则sina=-3,与-1≤ina≤1矛盾，直线，与l2不可能 黑白题004