1.1.4 两条直线的平行与垂直 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“两条直线的平行与垂直”，以分层设计构建“概念理解-技能应用-综合拓展”巩固路径，培养数学推理与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|平行/垂直判定、斜率概念|选择/填空题考定义辨析（如第1题斜率相等判定平行）| |技能应用|斜率计算、方程求解|结合参数方程（如第10题含参直线垂直平行求参数）| |综合拓展|几何图形判定、最值问题|四边形形状判定（第8题）与面积最值（第16题）体现模型意识|

1.4　两条直线的平行与垂直 1.过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3的位置关系是（　　） A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 2.已知直线l1经过A（－3，4），B（－8，－1）两点，直线 l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（　　） A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 3.经过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（　　） A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0 4.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A（3，2）和B（a，－1），且直线l与l1平行，则实数a的值为（　　） A.0 B.1 C.6 D.0或6 5.（多选）下列各直线中，与直线2x－y－3＝0平行的是（　　） A.2ax－ay＋6＝0（a≠0，a≠－2） B.y＝2x C.2x－y＋5＝0 D.2x＋y－3＝0 6.（多选）下列说法正确的是（　　） A.若l1∥l2，则k1＝k2 B.若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C.直线l1∥l2的充要条件是倾斜角α1＝α2 D.若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 7.若经过点（m，3）和（2，m）的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是　　　　. 8.已知四边形MNPQ的顶点分别为M（1，1），N（3，－1），P（4，0），Q（2，2），则四边形MNPQ的形状为　　　　. 9.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝　　　　；若l1∥l2，则m＝　　　　. 10.已知直线l1：x＋my＋1＝0和l2：（m－3）x－2y＋（13－7m）＝0. （1）若l1⊥l2，求实数m的值； （2）若l1∥l2，求实数m的值. 11.已知直线l1：ax＋y－2＝0，l2：（a＋3）x－2by＋1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，则的取值范围为（　　） A.（0，） B.（0，）　C.（，1） D.（3，＋∞） 12.已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3＝（　　） A.1 B. C. D.1或 13.（多选）以A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为顶点的三角形中，下列结论正确的有（　　） A.kAB＝－ B.kBC＝－ C.以A点为直角顶点的直角三角形 D.以B点为直角顶点的直角三角形 14.（多选）已知直线l1：xsin α＋y＝0与l2：3x＋y＋c＝0，则下列结论正确的是（　　） A.直线l1与直线l2可能重合 B.直线l1与直线l2可能垂直 C.直线l1与直线l2可能平行 D.存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合 15.直线l经过点（1，3），且　　　　. （1）求直线l的方程； （2）求直线l与坐标轴围成的三角形面积. 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答. ①与直线2x－y－1＝0平行； ②直线l在x轴上的截距为－. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，求△ABC的面积的最小值. 1.4　两条直线的平行与垂直 1.B　易知两直线斜率都为0且不重合，所以平行. 2.A　直线l1经过A（－3，4），B（－8，－1）两点，则直线l1的斜率k1＝＝1.直线l2的倾斜角为135°，则直线l2的斜率k2＝tan 135°＝－1，所以k1·k2＝－1，故l1与l2垂直. 3.A　经过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y－3＝（x－2），化简可得x－2y＋4＝0，故选A. 4.C　因为直线l的倾斜角为，所以l的斜率为tan ＝－1.因为直线l1经过点A（3，2）和B（a，－1），所以直线l1的斜率为.因为直线l与l1平行，所以＝－1，解得a＝6. 5.ABC　直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D项错误.选项A、B、C均满足斜率相等且截距不相等，故选A、B、C. 6.CD　对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存在，所以A错误.对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B错误.对于C，由直线的倾斜角α1＝α2得到两直线平行，即l1∥l2；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，显然正确，所以C正确.对于D，若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行，所以D正确. 7.　解析：由题意可知kl＝，又因为kl＝，所以＝，解得m＝. 8.矩形　解析：因为kMN＝－1，kPQ＝－1，所以MN∥PQ.又kMQ＝1，kNP＝1，所以MQ∥NP，所以四边形MNPQ为平行四边形.又kMN·kMQ＝－1，所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形. 9.－2　2　解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2. 10.解：（1）由直线l1：x＋my＋1＝0和l2：（m－3）x－2y＋（13－7m）＝0， 当l1⊥l2时，1·（m－3）－2m＝0，解得m＝－3. （2）由l1∥l2可得m（m－3）＋2＝0， 解得m＝1或m＝2， 当m＝2时，l1与l2重合，故舍去， 当m＝1时，可得l1：x＋y＋1＝0， l2：－2x－2y＋6＝0，即x＋y－3＝0， 故m＝1. 11.B　∵直线l1：ax＋y－2＝0，l2：（a＋3）x－2by＋1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，∴a（a＋3）－2b＝0，∴＝.∵a＞0，b＞0，∴∈（0，）.∴的取值范围为（0，）.故选B. 12.D　由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得或又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或. 13.AC　kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形.故A、C正确，B、D错误. 14.BD　∵直线l1：xsin α＋y＝0的斜率为k1＝－sin α，直线l2：3x＋y＋c＝0的斜率k2＝－3，－1≤sin α≤1，∴k1，k2不可能相等，∴直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，故A、C均错误；当sin α＝－时，k1k2＝－1，l1⊥l2，∴直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；∵直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，∴直线l1与直线l2一定有交点P，∴存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合，故D正确.故选B、D. 15.解：（1）选①，∵直线l与直线2x－y－1＝0平行，∴可设直线l的方程为2x－y＋m＝0（m≠－1），把（1，3）代入可得m＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 选②，∵直线l经过点（1，3），由题意可知直线的斜率存在，设为k，∴直线l的方程为y－3＝k（x－1）.∵直线l在x轴上的截距为－，∴直线l过点（－，0），代入可得k＝2，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. （2）在直线l：2x－y＋1＝0中，令x＝0可得y＝1，令y＝0可得x＝－，∴直线l与坐标轴围成的三角形面积S＝×1×＝. 16.解：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B（a，－2），C（b，3）. ∵AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， ∴·＝－1， 即ab－6＝0，ab＝6，b＝. ∴Rt△ABC的面积S＝AB·AC＝·＝·＝≥＝6（当且仅当a2＝4时取等号）. ∴△ABC的面积的最小值为6. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $