1.1 直线与直线的方程阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

4a-26≤0，解得-2-√30≤a≤-2+√30.故选A. 3-1 2C解析：由题意可知-3-1,1481=√1-3)2+(3-)- 22,可知直线AB:y-3=-(x-1),即x+y-4=0,可得点C(-1,-1)到 直线AB的距离4=-1-4=32，所以△ABC的面积SAc )d·AB1=)×32x22=6故选 3.D解析：将直线I的方程变形为入(x-y+2)+2x+y+7=0,由 y+2=0,得{X二-3，所以直线L过定点B(-3,-)当上B 2x+y+7=0, 点A到1的距离最大，最大距离为√(-3-1)2+(-1-2)2=5.故选D. 4.A解析：由题意知，点M在直线11与2之间且与两条直线距离相 等的直线上，设该直线的方程为x+y+c=0,则6+71-1G+51,即c= -6,.点M在直线x+y-6=0上，点M到原点的距离的最小值就是 原点到直线x+y-6=0的距离，即-61=32.故选A 5.C解析：根据题意，当点M到直线1的距离d≤2时，该直线l上存 在点P使IPM1=2,此时直线1为点M(3,4)的“2域直线”.点M(3, 4)到直线4-3y=0的距离d=13x4-4×3到 =0<2,该直线是点M(3, √16+9 4)的“2域直线”；点M(3,4)到直线y=2的距离d2=4-2=2,该直线 是点M(3,4)的“2域直线”；点M(3,4)到直线x-4y=0的距离d3= √+1617>2，该直线不是点M(3,4)的2域直线”；点M(3, 13-16113√17 4)到直线x=5的距离d4=5-3=2,该直线是点M(3,4)的“2域直 线”，故选C 6.AB解析：对于A,因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相 等，且菱形对边平行，直线x+y+2=0和x+y+4=0之间的距离为 12-41=2=2,3x-4y+c1=0和3x-4y+02=0之间的距离为 √12+122 lei-c21 Ic1-e2I √32+(-4)2 于是有'2，解得161=5，正 5 确：对于B,设与直线4，h距离相等的点为(a,b),则la+6+2 W/12+12 1a+6+41,所以a+b+2=-(a+b+4),即a+b+3=0,所以所求点的轨迹 √2+121 方程为x+y+3=0,正确：对于C,若该菱形有外接圆，则菱形两条对角 线的交点和外接圆的圆心重合，此时菱形的两条对角线与圆的直径 重合，故两对角线长相等，对角线相等的菱形必然为正方形，则直线 41山，而4，=-1,4=子，所以×，子-1，矛盾，放该菱形 3 没有外接圆，错误：对于D,直线11：x+y+2=0经过点(0，-2)，即纵截 距为-2，错误故选AB. 7.25解析：√m2+(n-1)2=√(m-0)2+(n-1)2可看成点P(m,n) 与定点A(0,1)的距离.因为点P(m,n)为直线x-2y-8=0上的动点， 则点A(0,1)到直线x-2y-8=0的距离为d=-2x1-8 =25,所 √12+(-2)2 以√m2+(n-1)产的最小值为25.故答案为2w5. 8.x=2或3x-4y-10=0解析：①当1的斜率k不存在时显然成立，此 时1的方程为x=2.②当l的斜率k存在时，设l:y+1=k(x-2),即kx- y2-1=0,由点到直线的距离公式得，-2-11 /1+k2 2,解得k=3 ’ .l:3x-4y-10=0.故所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.故答案为 x=2或3x-4y-10=0. 9.解：(1)因为直线CD的方程为x+y=0,设C(t,-t),又因为A(2,1), 所以线段4C的中点坚标为（学，生） 因为线段AC的中点在直 线旺上，所以5X22x10=0,整理得7=-28，即1=-4，所 以C(-4,4). 参考答案 (2)因为CD是△ABC的一条角平分线，所以点A关于直线CD的对 -x(-1)=-1, m-2 称点A'在直线BC上.设A'（m,n),则 解得 m+2.n+l 2+2=0, 四=-l所以4，-2》，所以u2器-2，所以直线G的 ln=-2, 方程为y-4=-2(x+4),整理得2x+y+4=0.联立直线BC与直线BE ∫2x+y+4=0, 的方程 解得{=2即B（-2,0),所以18C1= 5x-2y+10=0 (y=0, √-2+42+(0-4)7=25，点A到直线BC的距离d=14+1+4 /4+1 号，所以9 ARe X18Cd25x9 -=9. 压轴挑战 17 解析：由题意得存在m∈[1,2]，使得点(a,b)在直线m2x-y-m=0 上，故点(a,b)到原点的距离最小值为-m 1 √m4+1 m2 1,2],当m=2时，取最小值√号，此时a2+b2的最小值为7故答案 17 §1 阶段综合 黑题 阶段强化 ·B解析：对于①，方程k=不过点(-1,2)，故与方程y2=(x+ 1)不可表示同一条直线；对于②，直线1过点P(x1,y1),斜率不存 在，是垂直于x轴的直线x=x1,结论是正确的；对于③，直线1过点 P(x1y1),斜率为0，是垂直于y轴的直线y=1,结论是正确的；对于 ④，所有直线都有点斜式和斜截式方程是不对的，比如斜率不存在的 直线就没有点斜式方程和斜截式方程.故①④不正确，②③正确.故 选B. 2.D解析：设点A(-2,1)关于直线x-y+10=0的对称点为A'(a,b), 「b-1 /0*21, a-2b6+1+10=0, 得a=9,故反射光线过点A(-9,8)与点 b=8. 22 B®(-8,3)，测反射光线所在直线的斜率为2-1，所以反射光 线所在直线的方程为y+3=-11×(x+8),即11x+y+91=0.故选D. 3.D解析：如图，要想使折叠后点0落在线段 y↑ BC上，可取BC上任意一点D,作线段OD的 垂直平分线1，以1为折痕可使0与D重合.因 1 为kn≥koB=2,所以k= 1≥-2，且k<0. ko 当折叠后0与C重合时，k=0,所以-2≤k≤0， 所以k的取值范围是[-2,0].故选D. 4.D解析：联立 20解4与1的交点〔-1 x-y+2=0, 因为点A(0,3)在直线L1上，设A关于直线l的对称点为A1(a,b),则 6-3 a-0-1, a+0b+3 解得，'即A1(L,2),所以直线马的斜率日 +2=0. 22 ,22从而直线乃的方程为y-2=2×(x-0,即x-2+3=0 故选D. 黑白题007 5.D解析：由题可知A(1,0),B(-1,2), 两条平行直线l1,l2分别过点A,B.因为 11∥儿2，所以11,2间的距离即点A到直线 B 2的距离d.如图，由图可知，d≤|AB,当 1,2垂直于AB时，l1,2间的距离取最大 值，即最大值为|AB由两点间的距离公 式可知，|4B|=√(1+1)2+(0-2)2=22. 故选D. 6.D解析：因为1，/亿2，所以直线1，间的距离d=1-3引=2，如图，设直 2 线m与直线l1,山2分别相交于点B,A,则1AB1=22,过点A作直线1垂直 于直线1，垂足为C,则AC=d=2,则在R△ABC中，sin LABC=B IACI 2万2，所以LABC=30,又因为直线，的倾斜角为45，所以直线m的 W21 倾斜角为45°+30°=75或45°-30°=15°.故选AD. 1、A1 B (2.4) m (第6题) (第7题) 7.C解析：l1:k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4)，l2:k2(y-4)=4-2x也过定点 (2,4),如图所示，在l1的方程中，令x=0,则y=4-k,在12的方程中，令y= 0则=2P+2.则点404).B(2+2.0S=×2Px4(4-+4)x2x 分4（号）广侣由=衣高数途质可得消骨时5取限小位 故选C. 8.一353解析：因为关于x的二元一次方程组k2有无穷多组 解，所以直线7x-y=3与直线ax+5y=2重合，所以7=-·.3 。2，解得a= 3,6=、5 1 ,所以山=-3五因为关于x,y的二元一次方程组 (m+9y=mt6,无解，所以直线mx+9y=m+6与直线x+my=m平行，所 (x+my=m 以m2-9=0,解得m=±3，当m=3时，两条直线重合，所以m=-3.故答案 为-35，-3. 9.(4,5)42解析：.直线l1y=x+1经过定点(0,1)，又两条直线关于 点(2,3)对称，则两条直线经过的定点也关于点(2,3)对称，∴.直线12恒 过定点(4,5)，1与2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为 √(4-0)2+(5-1)2=42.故答案为(4,5)，45. 10.4x-5y+7=0解析：设线段AB的中点为M(4yo+1,yo).因为点M到l1与 2的距离相等，所以|2X(4o+1)-5%+9_2x(4o+1-50-71 √22+(-5)2 √22+(-5)2 第得0=一1，则点M(-3,-),所以直线1的方程为3品2即 4x-5y+7=0.故答案为4x-5y+7=0. 11.2√2+√26解析：由题意知，两直线11：x-y+1=0,l2:x-y-1=0 互相平行，由两平行线间的距离公式可得1CD1=1+1山 2 √12+(-1)2 因为A(-3,0),B(3,0)及两直线1：x-y+1=0,2:x-y-1=0,作直线 13垂直于11,2，且垂足分别为C,D,设直线13的方程为x+y+b=0, 联立方程塑8解路c(生片）同理求得D(生空 (x-y+1=0, 空），所以4c1+1Da1=Y6-+b-+46+产 2 其中√(b-5)2+(b-1)7+√(b+5)2+(b+1)7表示点P(b,b)与 点M(5,1)和N(-5,-1)之间的距离之和，当点P在线段MN上时， 选择性必修第一册·BS 取得最小值，所以IACI+IDBI的最小值为 wW[5-(-5)]2+[1-(-1)]2 =√26，所以IACI+|CD1+IDB1的最小 2 值为2+√26.故答案为2，N2+√26. 12.了解析：如图，以A为原点，AB,AC所 在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标 系，则直线BC方程为x+y-1=0,设 0 P(a,0)关于y轴和直线BC的对称点分 别为N,M,则N(-a,0),记M(xo,yo), o-0 =1, 则/oa 解得/1， xo+a yo ly0=1-a, 〔2+2 -1=0, 所以M(1,1-a).因为G为△ABC的重心，A(0,0),B(1,0),C(0,1), 所以c(兮，号）由光的反射原理可知，M,心，G三点共线，所 1 ,解得a=0(合去)或a=了故答案为号 -+a 0, 13.解：(1)：直线2的方程等价于2xy2 -( 7W5 两条平行线l1与2间的距离d= √22+(-1)210’ t17又>0，a=3, 即a+2F2 (2)假设存在点P,设点P(xo,0),若点P满足条件②，则点P在与 4,6平行的直线：2-ytc=0上，其中c≠3，c,且l 5 1 1 \c*2 13 11 5 ,解得c=2或c=6, .13 .11 ÷240%+2=0或20y%+6=0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式， 得2o+3_2.00-1川 55 √2 即12x0-y0+31=|x0+y0-11,x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 若点P满足条件①，则3x0+2=0不符合题意. 2+=0得 0=-3, 解方程组 1 x0-2y0+4=0,(0=2, 不满足点P在第一象限，舍去. 1 ,11 解方程组 2x0-yo+6 09 0,得 满足条件①. 37 (x0-2y0+4=0, o-18' 存在点P户（兮器）同时清足三个条件 14.解：(1)点C(1,2)关于x轴的对称点C(1,-2),lcM:y=x-3,由 (们1，得5e[3,51.则比时(35,2)，所以光所走过的路程 即1C"N1=√(5-1)2+(2+2)2=42. (2)对于线段y=x+8,xe[3,5],令其端点A(3,5),B(5,3),则kcA= k如。-子，所以反射光线的斜率的取值范圈是[三，？1 7 42」 (3)若反射光线与直线y=-+b垂直，则由6，得x=牛3 (y=x-3, ①当x生[3,51，即6≤6≤7时，光所走过的最短路程为点C 黑白题008 到直线y=-x+6的距离，所以路程=1-2-61_6+1 2√2 ②当x=生。(5，+)，即6>7时，光所走过的0最短路程为线段 CB,其中B(5,b-5), 所以s=1CB1=√(5-1)2+(b-3)2=√/02-6b+25. (b+1 ,6≤b≤7， 综上，s={√2 √62-6b+25,b>7. 压轴挑战 1.B解析：如图，设点F关于直线BC对称的点为H,点H关于直线AC 对称的点为G,连接FH,HG,GA,GE,GE与直线AC交于点N,连 接HA,HN,分别与直线BC交于I,J,由题意知，D在线段J之间即 可.因为F(2,0),直线BC的方程为x+y=4,设H(x,y),则 〔y1, x-2 2+x+y=4, 解得x=4,所以(4,2)，同理可得H关于直线4C对 (y=2, 221 称的点G(-2,8).直线GE:x=-2.又直线AC的方程为x-y+4=0,所 以M-2,2.直线弘的方程为y-己雨×(+4)= 2 4×(x+4),即 12 4=0由仁0得所以u(侣）又易得四 5 (x+y=4, 5 8 的方程为y=2,所以J(2,2),所以km>k12 5 -0 -=4.故选B. 2 5 y↑ H O AA E O (第1题) (第2题) 2.16 68 5,5 解析：直线1的方程为2x+y-4=0,设0(0,0)关 2xm,n =4 22 于2x+y-4=0的对称点为Q(m,n),则 n-01 解得 m-02 16 放Q(台号）如图，连接O0,P0,过忘P作PAL:轴于 m= n=5 点A,则0P=PQ,故1x+√x2+=I0AI+10P1=10A1+1PQ1,数形 结合得到当PQ∥x轴时，即P运动到P时，Ix|+√x2+y2=|OA'1+ PQ1=0白为最小值，此时点P的纵坐标为，故2x+号=4，解 5 得=所以点P的坐标为(？），故答案为(号）】 §2圆与圆的方程 2.1圆的标准方程 白题 基础过关 1.C解析：由题意可得方程为(x-1)2+y2=4.故选C. 2.A解析：由A(1,3),B(3,-1),得线段AB的中点为(2,1)，即圆的 圆心为(2,1)，圆的半径r=√/(2-1)2+(1-3)2=5，所以圆的方程 为(x-2)2+(y-1)2=5.故选A. 参考答案 四重难点拨 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方 程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程 时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线 上；②圆心在任一弦的中垂线上：③两圆内切或外切时，切点与两圆 圆心三点共线 (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 3.D解析：设圆心为E(a,0),由IEA1=IEBI可得 √(a+1)2+(0-3)2=√(a-1)2+(0-1)2,解得a=-2,所以圆心为 E(-2,0),圆的半径为1EB1=√(-2-1)2+(0-1)7=√10，故所求 圆的标准方程为(x+2)2+y2=10.故选D 4.B解析：因为直线2x-5y+a=0平分圆(x-2)2+(y+1)2=9的周长， 所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2，-1)，即2×2-5×(-1)+a= 0,解得a=-9.故选B. 5.A解析：因为圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,所以圆C的圆心为(1,1)， 半径为r=√2.设点(1,1)关于直线l:y=x-1对称的点为(x0y0),所 1+01+0-1, 22 以 解得o=2所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为 （yo=0, 1=-1, (x0-1 r=√2，故所求圆的方程为(x-2)2+y2=2.故选A. 解析：因为△ABC的三个顶点A(0,O), B(0,5),C(2,0),所以△ABC为直角三角形，故三角形外接圆圆心为 斜边c的中点(，），半径r子1BC1:子xv25= 2 2 所圆的标准方程为一)2+(）广-翠改答案为 4 15解折：由题意解B的中点为（月，名），如子号则线 段AB的垂直平分线为y-)=3×x-2,即y=3x-5.联立 x+y3=0,解得x三，即圆心C(2,1),所以该圆的半径为CA=一 y=3x-5, √(2-1)2+(1-3)7=5.故答案为5 四方法总结 1.确定一个圆的方程，爵要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆 的方程的基本方法，是指根据题设条件选择合适的圆的方程的形式， 进而确定其中的三个参数 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化 运算 8.(x+1)2+(y-2)2=5解析：将(a-1)x-y+a+1=0整理成关于a的方 程a(x+1)-(x+y-1)=0,令关于a的方程各项为0，即x+1=0,x+y 1=0,解得x=-1,y=2,.直线恒过定点C(-1,2),.以点C为圆心， 半径为5的圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 9.(x-1)2+(y-1)2=2解析：依题意，圆C经过点A(0,0),B(2,0), 可设C(1m且m>0,半径为，则，解得2圆C的 （m=1, 标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 10.A解析：(m-2)2+(3-1)2=(m-2)2+4>2,.点P(m,3)在圆 (x-2)2+(y-1)2=2的外面，故选A. 11.A解析：假设乙、丙同学的结论正确，则该圆的方程为(x-2)2+ (y+3)2=1,代人点(3,3)，(3-2)2+(3+3)2=1不成立，此时甲结 论错误；代人点(3，-3)，(3-2)2+(-3+3)2=1成立，此时丁的结 论正确.故选A, 12.1或号解析：由题可知14C1=7,√2a+(a-2=5,两边 同时平方，化简可得502-4a-1=0,∴a=1或a=-5 黑白题009§1阶段综合 黑题 阶段强化 限时：60min 1,下列四个结论：①方程=2与方程y-2= 6.(多选)(2025·江苏泰州高二月考)若直线m x+1 被两条平行直线l,:x-y+1=0与l2:x-y+3=0 k(x+1)可表示同一条直线；②直线L过点 所截得的线段长为2√2，则直线m的倾斜角 P(1y),倾斜角为牙，则其方程为x=: 可以是 A.15 B.30° ③直线1过点P(x1,y1),斜率为0，则其方程 C.60° D.75° 为y=y;④所有直线都有点斜式和斜截式方 7.(2025·云南昆明高二月考)已知0<k<4,直 程.其中正确结论的个数为 ( 线L1:x-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2- A.1 B.2 C.3 D.4 4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这 2.（2025·吉林长春高二月考)已知光线从点 个四边形面积最小的k值为 A(-2,1)射出，经直线x-y+10=0反射，且反 1 射光线所在直线过点B(-8,-3),则反射光线 A. 2 B. 4 所在直线的方程是 ( 1 A.x+11y+41=0 B.x-11y-25=0 C. D.1 8 C.11x-y+85=0 D.11x+y+91=0 7x-by=3·有 3.(2025·福建南平高二月考)折纸艺术是我国 8.若关于x,y的二元一次方程组 ax+5y=2 民间的传统文化，将一矩形纸片OABC放在平 无穷多组解，则a与b的积是 ;若关 面直角坐标系中，0(0,0)，A(2,0),C(0,1), mx+9y=m+6, 于x,y的二元一次方程组 无 将矩形折叠，使点O落在线段BC上，设折痕 x+my=m 所在直线的斜率为k,则k的取值范围是 解，则实数m 9.若直线l1:y=x+1与直线l2关于点(2,3)对 A.[0,1] B.[0,2] 称，则直线2恒过定点 ,1与12的距 C.[-1,0] D.[-2,0] 离的最大值是 4.(2025·山东泰安高二期中)若直线11：2x-y+ 10.过点(2,3)的直线1被两条平行直线1：2x 3=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线为l2, 5y+9=0与l2:2x-5y-7=0所截线段AB的 则2的方程为 ( 中点恰在直线x-4y-1=0上，则直线1的方 A.2x+y+1=0 B.x+2y-1=0 程是 C.x+y=0 D.x-2y+3=0 11.(2025·重庆巴南区高二月考)已知A(-3, 5.已知A,B两点的坐标分别为(1,0)，(-1,2)， 0),B(3,0)及两直线11：x-y+1=0,2:x-y 若两条平行直线11,2分别过点A,B,则l1,2 1=0,作直线13垂直于11，山2，且垂足分别为 间的距离的最大值为 C,D,则1CD1= IACI+ICDI+1DBI A.1 B.√2 C.2 D.22 的最小值为 第一章黑白题013 12.(2025·江西抚州高二月考)在等腰直角三14.一束光从光源C(1,2)射出，经x轴反射后 角形ABC中，AB=AC=1,点P是边AB上异 (反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5] 于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA 上N处， 反射后又回到点P,如图所示，若光线QR经 (1)若M(3,0),b=7,求光从C出发，到达 过△ABC的重心G,则AP的长度为 点N时所走过的路程； (2)若b=8,求反射光线的斜率的取值范围； (3)若b≥6，求光从C出发，到达点N时所 走过的最短路程 13.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2: -4x+2y+1=0,L3:x+y-1=0,且L1与L2间的 距离是75 (1)求a的值. (2)能否找到一点P,使点P同时满足下列 三个条件： ①点P在第一象限： ②点P到1，的距离是点P到12的距离 的 压轴挑战 ③点P到1的距离与点P到L,的距离 1.(2025·四川成都高二期中)如图，已知 之比是2：5. A(-4,0),B(4,0),C(0,4),E(-2,0),F(2, 若能，求出点P的坐标；若不能，请说明 O),一束光线从点F出发射到BC上的点D, 理由 经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE 上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范 围是 A E O F B文 A.（-∞，-2) B.(4,+∞) C.(2,+∞) D. 2.(2025·山东威海高二期 直线l:2x+y-4=0,P(x,y 点，则1x1+√2+y的最小值为 此时点P的坐标为 选择性必修第一册：BS黑白题014