1.6 平面直角坐标系中的距离公式 基础题型训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第一章 直线与圆 §1 直线与直线的方程-1.6 平面直角坐标系中的距离公式 基础题型训练 题型一 两点间距离公式的应用 1.已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则 ( ) A.10 B.5 C.8 D.6 2.若点与点之间的距离等于5，那么实数 的值为( ) A.4 B. C.或2 D.4或 3.已知点,,，则 的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 4. （2025北京十二中检测）已知点,,且，则 的 一个值为_____________________________________.（写出符合题意的一个答案即可） 5.利用坐标法证明等腰梯形的对角线 . 题型二 点到直线的距离 6.（2025江西新余期末）若点到直线的距离为1，则 ( ) A.0或2 B.1或2 C.0 D.2 7.（2025安徽合肥期中）已知点到直线的距离为3，则实数 等于( ) A.3 B. C.0或3 D.0或 8. 已知直线过点 ，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是___________. 9.已知直线过点，且与点，等距离，则直线 的方程为________________________________. 题型三 两平行直线间的距离 10.（2025黑龙江哈尔滨九中检测）两直线， 之间 的距离等于( ) A.2 B. C.1 D. 11. （2025湖北宜昌协作体期中）若平面内两条平行线 与间的距离为，则实数 ( ) A. B.2 C.或2 D.或 12.（2025安徽六安二中期中）平行于直线，且与它距离为 的直线方程 是________________________. 题型四 距离的最值问题 13.（2025江西上饶二中月考）已知直线与直线 均过 点，则原点到直线 距离的最大值为( ) A. B.1 C. D. 14.（2025河北石家庄市师大附中月考）点到直线 的最大距离为( ) A.0 B.1 C. D. 15.（2024四川成都期中）已知，两点的坐标分别为， ，若两平行直线 ，分别过点，，则， 间的距离的最大值为( ) A.1 B. C.2 D. 16.已知两点，，点在轴上，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 17.设两条平行直线的方程分别为，.已知， 是方程 的两个实根，且 ，则这两条平行直线之间的距离的最大值为___. 18.在平面直角坐标系中，点，，直线.在直线上找一点 使 得最大，则这个最大值为____，点 的坐标为________. 题型五 距离模型的代数问题几何化 19.（2024江苏扬州大学附属中学月考）已知实数,满足 ，那么 的最小值为( ) A. B. C. D. 20.（2025四川遂宁高级实验学校期中）已知实数,满足 ，那么 的最小值为( ) A.16 B.4 C.2 D. 21.（2025江苏宿迁期中）函数 的最小值为_____. 参考答案 1.A【解析】 设,，则, ， 即,，所以 . 2.D【解析】 由已知得，因此，解得 或 . 3.B【解析】 因为， ， ，所以，故 为直角三角 形． 4.（答案不唯一,符合 ,即可） 【解析】 ,即 ,解 得,所以,则可以为 . 5.【答案】建立如图所示的平面直角坐标系,设点 , ,,则点的坐标是 , 所以 , ,故 . 6.A【解析】 因为点到直线的距离为1，所以，解得 或 . 7.D【解析】 由题意可得，解得或 . 8.或 【解析】 设所求直线的一般式方程为,不同时为0 （注意点到直线 的距离公式中,直线方程须为一般式,,不同时为0）,则解得 或所以直线方程为或 , 消去（注意肯定不为0）,得到直线方程为或 . 9.或 【解析】 易知,,三点不共线.直线到点,的距离相等,须分两点在直线 同侧和异侧 两种情况进行讨论：（易考虑不全而漏解） ①若点,在直线同侧,则直线,故直线的斜率 , 又直线过点,则直线 （已知斜率和一点用点斜式）,整理得 ; ②若点,在直线异侧,则直线过线段的中点，即 , 又直线过点,则直线（已知两点用两点式）,整理得 . 综上所述,直线的方程为或 . 10.A【解析】 由题意知，两直线的斜率都为且在 轴上的截距不相等， 所以 ，则两平行线之间的距离为 . 11.A【解析】 ①当 时（利用斜率解题,一定要讨论斜率是否存在），可得 ， ，两直线不平行，不符合题意； ②当时，可得直线的斜率，直线的斜率 ， 由（两直线平行,斜率相等），整理可得，则 ， 解得或 ， 当时，可得，，整理 的方程可得 （【易错】利用两平行直线间的距离公式时,, 的系数一定要对应相等）， 则两平行直线之间的距离为 ，不符合题意； 当时，可得，，整理 的方程可得 ， 则两平行直线之间的距离为 ，符合题意. 综上可得， . 12.或 【解析】 作图可知，与直线平行且距离为 的直线有两条，它们分别位 于该直线的两侧，利用平行直线系方程求解即可. 由题意，设与直线平行的直线方程为, ， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或 ， 故所求直线方程为或 ． 13.A【解析】 因为两直线交于，所以，即 ， 且，则 . 由原点到直线的距离 （利用二次函数性质求最 大值）， 易知，则 ， 当且仅当时，取最大值，此时 . 即两直线重合时，原点到直线 的距离最大. 14.C【解析】 由可知直线过定点，设，连接 ， 当直线与垂直时，点到直线的距离 最大， 即 . 15.D【解析】 由题可知，，如图，两平行直线，分别过点，，连接 . 因为，所以，间的距离即点到直线的距离 （平行线之间的距离转化为点到 直线的距离），由图可知， ， 当，垂直于时，，间的距离取最大值，即最大值为 ， 由两点间的距离公式可知， . 16.B【解析】 如图所示， 点关于轴的对称点为，连接， ，则 ， 所以 ， 所以的最小值为 . 17. 【解析】 因为，是方程 的两个实根， 所以， ， 所以 , 所以两条平行直线之间的距离， ， 所以两条平行直线之间的距离的最大值为 . 18. // 【解析】 由题意知直线的方程为 ，即 . 当为直线与直线 的交点时， 最大，如图所示. 由解得所以 ， 从而的最大值为 . 19.A【解析】 由题意知，表示点 到坐标原点的距离， 又原点到直线的距离 ， 所以的最小值为 . 20.A【解析】 ，可以看作直线 上的动点与的距离的平方，又因为点与 的最小 距离为到直线的距离，为 ，所以 的最小值为16. 21. 【解析】 , 根据两点间距离公式的几何意义得，函数表示 （为轴上的动点）到点, 的距离之和，如 图所示，作出点关于轴的对称点（找出点关于 轴的对称点,将的最小值转化为 的最小值），连接，交轴于点，连接 ,可得 ,又 ，当且仅当点与重合时，等号成立，所以，即函数 的最小值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $