1.6 平面直角坐标系中的距离公式 能力提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第一章 直线与圆 §1 直线与直线的方程-1.6 平面直角坐标系中的距离公式 能力提升训练 1.已知点和，点为直线上一点，则 的面积为( ) A.1 B. C.2 D. 2.在平面直角坐标系中，已知点，点, 为直线上一动点，则 的最小值是( ) A. B.4 C.5 D.6 3.（2025江苏无锡期中）已知直线 与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则 的最大值是( ) A. B. C. D. 4.（2025贵州期中）将直线 向下平移2个单位长度得到直线；将直线绕坐标原点逆时针旋转 得到直线 ，则( ) A.， B.， C.， D.， 5.（2025江西上饶六校联考）已知， ，则 的最小值等于( ) A. B.6 C. D. 6.（多选|2024陕西西安检测）设直线 与 ，则( ) A.当时， B.当时， C.当时，，间的距离为 D.坐标原点到直线的距离的最大值为 7. （2025浙江台州期中）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设， ，则曼哈顿距离，余弦距离 ，其中,为坐标原点.已知，，则 的最大值近似等于（参考数据：， ）( ) A.0.052 B.0.104 C.0.896 D.0.948 8.（2025吉林松原检测）若直线被两条直线与 所截得 的线段的长为，则 的倾斜角可以是_________. 9.（2024山东日照校际联考）已知实数,，则 的取值范围是_________. 10.（2025江西上饶二中月考）已知直线 ,，点和点分别是直线, 上一动点. （1） 若直线经过原点，且，求直线 的方程； （2） 设线段的中点为，求点到原点 的最短距离. 11. （2025湖北期中）已知直线过定点，直线的方程是 . （1） 若直线的横截距为纵截距的2倍，求直线 的方程. （2） 若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线 的 垂线，垂足分别是，.求四边形 面积的最小值. 12. （2025上海南阳中学测试）新定义：如图，圆与直线相离，过圆心 作直线的垂线，垂足为，交圆于，两点在，之间，我们把点称为圆 关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线 的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以 为圆心，1为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆 关于直线的“秘钥数”是6，则直线 的方程为__________________. 参考答案 1.A【解析】 由点，，可得，，又点 为直线 上一点，可知，所以点到直线的距离为 ，所以 的面积为 . 2.B【解析】 如图，设点关于直线 的对称 点为，连接， ， 则解得所以 ， 所以 ，当 且仅当点为线段与直线 的交点时等号成立， 所以 的最小值是4. 3.D【解析】 直线,直线 ， 与垂直，，解得 ， . ①求其中一个定点关于直线的对称点，将异侧两定点转化到同侧. 如图，设点关于直线的对称点为，连接， ， 则的中点在直线上，且 （求点关于直线的对称点的两个关键）， 解得,， . ②根据三角形两边之差小于第三边求解. , 当且仅当,, 三点共线时等号成立， 的最大值为 . 4.B【解析】 将直线即 ，向下 平移2个单位长度得到直线 ，即 ， 因为直线，所以 . 因为将直线绕坐标原点逆时针旋转 得到直线 ， 所以 ，且原点到两直线的距离相等， 所以，解得或 ， 则直线方程为或 ， 作出图形如下， 由图可知，直线不符合“直线 绕坐标原 点逆时针旋转 得到直线 ”， 直线符合题意，此时 . 5.D【解析】 令，，由已知可得点，分别在直线 ， 上， 设线段的中点为，则， 到原点的距离 ， 依题意点在直线 上， 所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为 ， 因此的最小值为，因此的最小值等于 . 6.ACD【解析】 当时，，，易知 ； 当时，， ，则 ，故 不成立； 当时，，则，可得 或，当时，， ，两直线重合，排除，所 以，由A知它们的距离 ； 坐标原点到直线的距离，故时, . 7.B【解析】 如图，设，由题意可得 ，即 ，可知表示正方形，其中, , ,，即点在正方形的边上运动，因为, ，由图 可知， 当，取到最小值，即，最大时，点 有如下两种可能： ①当点与点重合时，，可得, ； ②当点在线段上运动时，与同向，不妨取 ， 则, . 因为 ， 所以的最大值为 . 8. 和 【解析】 先算出已知的两直线间的距离，然后根据所截得的线段长求出直线 与已知直 线的夹角. 因为直线与 ， 则直线，故它们的距离 ，如图， 又因为直线被两直线截得的线段长为 ， 设与的夹角为 ，则， ， 故 ，而直线的斜率为1，故倾斜角为 ， 故直线的倾斜角为 或 . 9. 【解析】 如图，根据题意，设点，直线,则 恒过原点， 那么点到直线的距离，因为,，所以 ，且直 线的斜率，因为点到轴的距离为1，所以，当 时， ，所以，即， 因为 ，所以 . 10.(1)【答案】将, 化为一般式方程，得 , ,则两直线平行， 故两直线的距离为 ， 所以 和两直线垂直. 因为,的斜率为，所以 . 又因为直线经过原点，所以直线的方程为 . (2)【答案】 因为,互相平行，所以线段的中点的轨迹为 （线段的中点在与, 平行,且到两直线距离相等的直线上）， 即,所以点到原点的最短距离即点到直线 的距离， 因为点到直线的距离为 ， 所以点到原点的最短距离为 . 11.(1)【答案】当经过时（易遗漏:此时横纵截距均为0,满足条件），设 ， 代入，所以，即 . 当不经过时，设，代入，解得 ，即 ， 所以直线的方程为或 . (2)【答案】 由题意设，如图，令，则 ，所以 ，令，则，所以 ， 所以， ， 因为的倾斜角为，所以 ， 所以, 均为等腰直角三角形， 所以,， ， 所以 ， 因为，所以 ， 当且仅当，即舍 时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当 时取等号， 所以四边形 面积的最小值为4. 12.或 【解析】 设点到直线的距离为，因为圆关于直线 的“秘 钥数”是6，且圆 的半径为1， 则根据题中定义可得，可得 ， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，点 到 直线 的距离为6，不符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即 ， 根据题意可得，解得或 ， 所以，直线的方程为或 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $