2.4.2 简单幂函数的图象和性质-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

第二章 4.2简单幂函数的图象和性质 白题 基础过关 限时4 题组1幂函数的概念及其应用 6.*(2026·江苏宿迁高一期中)已知幂函数 1.★多选(2026·广东珠海高一期中)下列 f代x)=(2m2-1)xm的图象经过第三象限， 函数中，为幂函数的是 则m= () A.f(x)=x3 A.-1 B.1 C.-2 D.2 B.f(x)=2x2 7.*既在函数f(x)=x的图象上，又在函数 C.f(x)=x1 g(x)=x1的图象上的点是 () D.f(x)=2x A.(0,0) B.(1,1) 2.★苏教教材变式(2026·河南周口高一期 末)已知幂函数f(x)=x“的图象过点(2,4)， c2,2 n.(分2 则f(2)归 8.*(2025·福建三明高一期中)已知幂函 数f(x)的图象经过点(2，√2)，则函数f(x)的 A日 B.1 图象大致为 4 C.4 D.8 3.*(2026·江苏盐城高一期末)已知幂函数 f(x)=(m2-m+1)xm的图象过点(2,2)， 则m= A.0 B.2 C.1 D.3 4.*若幂函数f(x)=Im-1Ixm的定义域为R, 则m= 题组2幂函数的图象及其应用 9.*(2026·湖北恩施高一期末)在同一坐标 5.*(2025·湖北武汉高一月考)图中C1,C2, 系内，函数y=(x>0)和y=mx+1的图象可 m C?为三个幂函数y=x“在第一象限内的图 能是 象，则指数的值依次可以是 C2 C A. 23,-1 B-13 C.2,-1,3 D.-1,23 49 学霸黑白题数学·必修第一册·BS 题组3幂函数的性质及其应用 16.★已知函数f(x)=（m2+3m-3)xm为幂函 10.*多选(2026·河北石家庄高一期末)已 数，且在区间(0，+∞)上单调递减。 知幂函数y=x)的图象过点(2,4)，则 (1)求实数m的值； (2)请画出函数f(x)的草图. A.f(x)=x2 B.y=f(x)的定义域是(0，+0) C.y=f(x)在定义域上单调递减 D.y=f(x)无最小值 11.*(2026·山东临沂一中高一期末)已知 幂函数f(x)=（a2-3a-3)x“在(0，+∞)上 单调递增，则a= () A.4 B.-1 C.-4 D.4或-1 12.*(2026·山西晋中高一月考)已知幂函 数f(x)=xm2+2m+3(m∈Z)为奇函数，且在区 间(0，+∞)上是增函数，则m=（) 17.*(2026·陕西西安高一月考)已知幂函 A.1或4 数f(x)=xm243m(m∈Z)的图象关于y轴对 B.0或4 称，且在区间(0，+∞)上单调递增 C.1或2 (1)求m的值； D.0或2 (2)求满足不等式f(2a-1)<f(a+1)的实数 13.*(2025·广东广州高一月考)若a=22, a的取值范围. 6=(2)月，c=3,则它们的大小关系是 A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 14.*(2026·安徽阜阳高一期末)已知幂函 数f(x)=(m2-2m-2)xm-1在(0，+∞)上单 调递减，则f(2)= 15.*(2026·浙江杭州高一期中)请写出 个同时满足下列两个条件的函数解析式： ①f(x)是奇函数；②f(x)是(0，+∞)上单调 递减的幂函数：f(x)= 50 第二章函数黑白题学霸 黑题 能力提升 限时30min1答案P36 1.*多选(2025·四川泸州高一期末)下列6.*(2026·山西大同高一期末)幂函数 关于幂函数的说法正确的是 ( f代x)=(m2-m-1)xm42m-3在区间(0，+0)上 A.图象必过点(1,1)》 单调递增，且a+b>0,则fa)+f(b)的值 B.可能是非奇非偶函数 ( C.都是单调函数 A.恒大于0 B.恒小于0 D.图象不会位于第四象限 C.等于0 D.无法判断 2.*幂函数y=xm2-m(mEZ)的图象如图所 7.*多选(2026·湖南张家界高一期末)已 示，则m的值为 知A(x1,y1),B(名2，y2),x1<x2,是幂函数 f代x)=x图象上的任意两点，则以下结论正 确的是 A.x1f(x1)<x2f（x2) A.0 B.1 C.2 D.3 B.)f) 3.*(2026·山东菏泽高一期中)已知幂函数 X2 （x1,x2≠0) f(x)=x的图象过第一、二象限，且在 C.R) 0 (0,+∞)上单调递增，则下列k值符合条件的 光2-x1 是 D fx2)+f(x1) ny A.0 B. C.2 2 D.-2 8.*★(2026·江苏南通高一期末)已知幂函数 4.*多选已知幂函数f(x)=(a2-a-1)x2-2 y=f(x)的图象过点P(2,√2)，则y=f(x)+ 在(0，+∞)上单调递增，则下列说法正确的是 f(1-x)的定义域为 9.*(2025·山东济宁高一月考)若幂函数 A.a=-1 f(x)=(m2+m-5)x2-2m*3为偶函数，则不等式 B.a=2 f(2x-1)>f(x+3)的解集为 C.f(x)为偶函数 10.*已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-1. D.f(m2+1)≥f(-2m) (1)求f(x)的解析式. 5.*(2026·河北保定高一期中)设幂函数 (2)①若f(x)的图象不经过坐标原点，直接 f(x)=(2m2+m)xm的图象经过原点，若1<a< 写出函数f(x)的单调区间； b,则 ②若f(x)的图象经过坐标原点，解不等 A(6)s(日)a)sb) 式f(2-x)>f(x). B.f(()Ra) cb)sa)sf(G)(】 D.@)s6)s(日)r(6) 5115.解：(1)，f(x)是定义域为[-2a,4a-2]的偶函数 .-2a+4a-2=0,解得a=1,则函数f(x)的定义域为[-2,2]. 当0≤x≤4a-2时f(x)=-x+V3-x, 即当0≤x≤2时，f(x)=-x+√3-x,令-2≤x<0,则0<-x≤2， f(-x)=x+√3+x. f(x)是偶函数，f(x)=f-x)=x+√3+x, f(x)的解析式为f(x)= -x+√3-x,0≤x≤2， (x+√3+元，-2≤x<0. (2)当0≤x≤2时，f(x)=-x+√3-x 函数y=-x,y=√3-x在[0,2]上都是减函数， .函数八x)在[0,2]上是减函数 函数(x)是定义在[-2,2]上的偶函数，则f(-x)=f(x)=fIx), ∴.f(t+1)<f(1-2t),即f(1t+11)<f(11-2tl), 「-3≤t≤1， -2≤t+1≤2， 1 .3 -2≤1-24≤2，即2≤1≤2，解得0<≤1， (1t+1l>11-2tl, 0<t<2, ∴.关于t的不等式ft+1)<f(1-2t)的解集为(0,1]. ©压轴挑战 16.AD解析：因为m(x)=(x-1)f(x)是奇函数，所以m(0)=(0- 1)f(0)=0→f(0)=0,故A正确； 因为n(0)=0)+0=0,所以m(x)的定义域中肯定没有元素0， n(x) 故B错误： 由m(x)=(x-1)f(x)是奇函数，n(x)=f代x)+x是偶函数， 可得：(-x-1)f(-x)=-(x-1)f(x)→(x+1)f(-x)=(x-1)fx), (-x)-x=f(x)+x→(x+1)f(-x)=(x+1)f(x)+2x(x+1), 两式相减得：(x+1)f(x)+2x(x+1)-(x-1)f(x)=0→f(x)= -x(x+1), 所以m(x)=-x(x-1)(x+1)<0,解集为(-1,0)U(1,+∞)，故 C错误； 因为)(+1)==-(+)”+}，所以函数)的 值坡为(，号]，故D正确 4.2简单幂函数的图象和性质 白题 基础过关 1.AC解析：由幂函数的定义知，只有A和C是幂函数 2.B解析：由题意得2=4，解得a=2,故)=，所以f(}) (分)广 3.C解析：由函数f(x)=(m2-m+1)·x”为幂函数，可 得m2-m+1三1 f代)为暴函数，所以它是形如y=x“的函数 即m2-m=0,解得m=0或m=1, 当m=0时f(x)=1,此时f(x)的图象不过点(2,2)，舍去； 当m=1时f(x)=x,此时f(x)的图象过点(2,2)，所以m=1. 4.2解析：由1m-11=1,得m=0或2.当m=0时，f(x)=x°的定义域 不为R; 当m=2时，(x)=x2的定义域为R,所以m=2. 5.D解析：由题图可知，C,:在第一象限内单调递减，则指数α的值 满足a<0; C2:在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数α的值 满足0<a<1; C,:在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数α的值 满足a>1. 6.A解析：由题意得2m2-1三1，得m三1 先根据暴函数的定义求出m的值，之后再进行判断 当m=1时f(x)=x的图象不经过第三象限； 当m=-1时，(x)=x的图象经过第三象限综上，m=-1. 7.B解析：由幂函数y=x“的图象恒过点(1,1)，知B选项满足条件 8C解析：设)=，将(2，②)代入得2=2，解得a=分 故f(x)=x立，其定义域为[0，+∞)，由幂函数的常见函数图象可 知，C正确， 9.B解析：对于A,由y=m+的图象可知m>0,与y=x(>0)的 此时m>0且>0，所以m>0 m 图象矛盾：对于B,由y=mx+L的图象可知m<0, 与y=x(x>0)的图象相符，例如可取m=-1； 对于C,由y=mx+】的图象可知m<0, m 与y=x(x>0)的图象矛盾； 对于D,由y=mx+ 的图象可知m>0且<0，矛盾 m 10.AD解析：设幂函数的解析式为f(x)=x“,a为常数，因为f(x) 的图象过点(2,4 1 所以4=2，所以a=-2, 所以幂函数f(x)=x2,故A正确； 由九)=2=可知函数定义城为(-0,0)U(0,+a),故B 不正确； 因为-2×-1，此时八-2)=4-1)=1， 不满足y=f(x)在定义域上单调递减，故C不正确； 由f(x)的函数定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，值域为(0，+∞)， 所以y=f(x)无最小值，故D正确. 11.A解析：因为函数f代x)=(a2-3a-3)x是幂函数， 则a2-3a-3=1,解得a=4或a=-1, 又因为幂函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，则a>0,所以a=4. 12.D解析：f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，.-m2+2m+3>0, 即m2-2m-3<0,.-1<m<3,又meZ,∴.m=0,1,2, 当m=0,2时f(x)=x3是奇函数， 当m=1时f(x)=x是偶函数，不符合题意 所以m=0,2. 一题多解也可以直接把m=0,1,2,4代入，得到-m2+2m+3=3,4 或-5，只有m=0,2时满足条件 13.A解析：因为y=x在(0，+0)上单调递增，所以1<2京<3， 即>1(} <1,即b<1,综上，c>a>b. 14.4 解析：由幂函数定义得m2-2m-2=1,解得m=3或m=-1. 当m=3时，f(x)=x2,在(0，+∞)上单调递增，不符合题意； 参考答案黑白题学霸35 当m=-1时f(x)=x2,在(0，+∞)上单调递减，符合题意。 所以到=2，则2)=22= 15.x(答案不唯一)解析：对于幂函数f(x)=x,定义域为 (-0,0)U(0,+∞)， 由于-)=(-)士)，=是奇函数： 且f代x)=x”=上在(0，+0)上单调递减，故符合题意的一个函数 为f(x)=x'(答案不唯一）. 16.解：(1)由m2+3m-3=1,得m=1或m=-4. ①当m=1时，f(x)=x,此时函数在区间(0，+∞)上单调递增，不 符合题意； ②当m=-4时，f(x)=x4,此时函数在区间(0，+∞)上单调递减， 符合题意. 故实数m的值为-4. (2)由(1)知f(x)=x4,则函数f(x)的定义域为(-∞，0)U (0,+3). 由f代-x)=（-x)4=x4=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函 数f代x)的草图为： 17.解：(1)由题意，幂函数f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，+0) 上单调递增，故可知其指数-m2+3m为正偶数， 1-m2+3m>0 故有{m∈Z,解得m=1或m=2. (-m2+3meZ, 若m=1,则f(x)=x2,此时八x)为偶函数，符合题意； 若m=2,则f(x)=x2,此时f(x)为偶函数，符合题意： 综上所述，m=1或m=2,f(x)=x2. (2)由f(2a-1)<f(a+1),可得(2a-1)2<(a+1)2,整理得3a (a-2)<0, 解得0<a<2,即a∈(0,2). 黑题 能力提升 1.ABD解析：幂函数的解析式为y=x(aeR),当x=1时，无论a 取何值，都有y=1,图象必过点(1,1)，A正确； 当a=)时，y=反，定义域为xx≥0，此函数为非奇非偶函数， 21 所以可能是非奇非偶函数，B正确； 当α=2时，y=x2,此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数 不成立，C错误； 当x>0时，无论α取何值，都有y>0,所以图象不会位于第四象限， D正确， 2.C解析：由题中的函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小 于0.当m=0时，m2-4m=0,不符合题意； 当m=1时，m2-4m=-3,幂函数为奇函数，不符合题意； 当m=2时，m2-4m=-4,满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符 合题意： 当m=3时，m2-4m=-3,幂函数为奇函数，不合题意.因此m的值 为2. 36学霸黑白题数学·必修第一册·BS 方法总结幂函数y=x“的性质和图象，由于α的取值不同而比较 复杂，一般可从三方面考查： （1)α的正负：a>0时图象经过点(0,0)和(1,1)，在第一象限的部 分“上升”； α<0时图象不经过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下 降”； (2)曲线在第一象限的凹凸性：a>1时曲线下凸，0<<1时曲线上 凸，a<0时曲线下凸； (3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再 根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性 3.C解析：因为幂函数f(x)=x在(0，+∞)上单调递增，所以k>0, 故A,D不正确； 当6=时)=产的定义域为[0，+m),图象不经过第二象限， 故B不正确 当k=2时，代x)=x2的图象过第一、二象限，且在(0，+∞)上单调 递增，故C正确 4.BCD解析：因为f代x)=(a2-a-1)x2是幂函数，所以a2-a-1= 1,解得a=2或a=-1,又因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以 a2-2>0,所以a=2,所以A错误，B正确； 由上述分析可得f(x)=x2,则f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以f(x) 为偶函数，C正确： 因为f(x)为偶函数，所以f(-2m)=f(21ml),又m2+1-21ml= (1m-1)2≥0，fx)在(0，+∞)上单调递增， 所以f代m2+1)≥f代-2m),故D正确. 5.A解析：因为f(x)=(2m2+m)x"是幂函数， 所以2m2+m=1,解得m=】或m=-1. 2 又不：)的图象经过原点，所以m=子，即到= 因为1<a<b,所以0<6<<1<a<b, 又因为f(x)=x在[0，+∞)上单调递增， 所以（公）(）a)6. 6.A解析：幂函数f(x)=(m2-m-1)xm+2m3在区间(0，+0)上单调 递增， m-m-1=L,解得m=2,x)=, m㎡+2m-3>0, ∴f(x)在R上为奇函数， 由a+b>0,得a>-b, f代x)在R上为单调增函数f(a)>f代-b)=f(b), fa)+fb)>0恒成立. 7.ACD解析：幂函数f(x)=x2的定义域为[0，+∞)， x(x1)=1·(x1)=(1)云，x2)=x2·(x2)云=(x2), 函数y=x在[0，+∞)单调递增，0≤x,<x2, .(x)<(x2),即xf代x1)<xf(x2),故A正确； f八）（x) =()号，)() X1 1 X2X2 =(x)宁， 函数y=x产在(0，+0)单调递减，x1,x2≠0，x<x2,即0<x1<x2, ()>()片，即八)，故B腊误 幂函数f(x)=x2在[0，+∞)上单调递增，0≤x1<x2, .x2-x>0(x1)<x2),即f(x2)-f(x)>0, ,)-f代)，0，故C正确： x2-x1 ）on0 2 2 (受)(”音冬 244244 =(属-风0 2 ,5,即r),如正确 .2 2 2 重难点拔D选项也可以通过图象直接判断，对于暴函数f(x) x宁，其图象上凸，因此函教值在两，点中点处的取值大于两，点函数值 的平均值. 8.[0,1]解析：设y=fx)=x, 代入点P(2,2),可得2=2，解得=2， 1 所以fx)=x, 要使y1-)有意义，则≥0，。解得0≤≤1， 1-x≥0， 所以函数的定义域为[0,1]. 、子4，+0）解析：因为)=(m+m-5)· 为幂函数，则m2+m-5=1,解得m=-3或m=2. 当m=2时fx)=x,为奇函数，不符合题意； 当m=-3时f(x)=x8,为偶函数，符合题意，且在(-∞，0)上单调 递减，在(0，+0)上单调递增。 若f(2x-1)>fx+3), 则I2x-1I>|x+31,解得x<- 即不等式的解集为(，号)U(4,+)。 10.解：(1)因为f(x)=(m2-m-1)·x2-2m-1为幂函数， 所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,所以函数f(x)的解析式为 f(x)=x2或fx)=x1=1 (2)①因为)的图象不经过坐标原点，所以)==上，所 以函数的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，无单调递增区间. ②因为f(x)的图象经过坐标原点，所以f(x)=x2.因为f代x)=x2 为偶函数，且在区间[0，+∞)上为增函数，所以f(12-x)> f(1x),即12-x>lxl,两边平方解得x<1,所以不等式的解集为 (-0,1) s3-s4阶段综合 黑题 阶段强化 1.D解析：函数代x)=x+4在(0,2)上单调递减，在(2，+)上单 调递增，不符合题意： 由于函数f(x)=x2-4x关于x=2对称，所以函数f(x)为非奇非偶 函数，不符合题意； 函数f(x)=1x-21=} -2,≥2可得函数f(x)关于直线x=2对 2-x,x<2, 称，所以函数代x)为非奇非偶函数，不符合题意； --九，所以西数 函数fx)-1 是奇函数又函数八x)=三x-在(0，+∞)上单词递增，所以 符合题意 2.D解析：f代x)+x3为偶函数， .f(-x)-x3=f(x)+x3, ∴.f(-1)-1=f(1)+1=3,∴.f(-1)=4. 3B解折：因为函数x)归的定义域为x≠1， 函数f代x)=的定义域为R, x2+11 函数fx)=与f八=一的定义域均为xx≠±1 由图知f(x)的定义域为{xlx≠±1，排除AD, 对于)=-1当x=0时0)=-1，不符合图象0)=1，所以 排除C。 4.C解析：因为f代x)是奇函数，所以f-x)=-f(x). 因为f(x+1)-f(-x)=0,所以f(x+1)=f代-x)=-fx), 所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期为2的函数. 因为f(分)=4（分）广+1=2。 所以()(+号）=-时（分）-21）=0+1)=o) 0f4)=f0)=0. 所以/(3）)4)=-240+0=-2 5.ABD解析：根据题意，F(x)= ∫2-x2,xe(-∞，-2]U[2,t0), x2-2,xe(-2,N2) 由函数解析式可知，F(x)=F(-x),函数F(x)为偶函数，选项 A正确； 当x∈(-o,-√2]U[√2，+0)时，根据F(x)=0,解得x=±√2，此 时方程有两个解，当x∈(-√2，V2)时，由F(x)=0,解得x=±√2， 不符合题意，所以此时方程无解，所以方程F(x)=0有两个解， 选项B正确； 根据二次函数的性质，函数F(x)在(-∞，-√2)上单调递增，选项 C错误； 根据函数的解析式及二次函数的性质可得，函数F(x)的单调增区 间为(-0，-√2)和(0,2)；单调减区间为(-√2,0)和(2，+∞)， 所以函数F(x)无最小值，且F(x)=F(2)=F(-√2)=0，选项 D正确。 6.C解析：fx)是定义在R上的奇函数，(0)=0， 又：x≤0时，f(x)=3x2-2x+m,f(0)=0=m,.x≤0时，f(x)= 3x2-2x. 设x>0,则-x<0,则f(-x)=3x2+2x,则f(x)=-f(-x)=-3x2-2x,即 当x>0时f(x)=-3x2-2x,∴fx)在[1,2]上单调递减， ∴fx)在[1,2]上的最大值为f1)=-5. 元.B解析：由八)2-2x+2-2-2红 x2+1 x2+11 2x 设g(x)= x2+1' 函数定义域为R,则g(-)十-g() 所以g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以g(x)=g(x)=0, 奇函数在对称区间上的最大值与最小值互为相反数，常用于解决 最值问题 因为f(x)=g(x)+2,所以M+m=g(x)m+2+g(x）m+2=4. 参考答案黑白题学霸↑37