2.3&2.4 阶段综合-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

学霸黑白题数学·必修第一册·BS 53-54 黑题 阶段强化 1.*下列函数中，既是奇函数，又在(0，+∞) 上为增函数的是 () A.y=x+4 B.y=x2-4x x2-1 C.y=|x-21 D.y 2.*★已知函数f代x)+x3是偶函数，且f(1)=2, 则f(-1)= () A.-2 B.0 C.2 D.4 3.★★(2026·河北石家庄高一期中)在数学的 学习和研究中，常用函数的图象来研究函数 的性质，也常用函数的解析式来研究函数图 象的特征.如图，其对应的函数可能是（) -1i011 A.f(x)=1x-1 B.f(x)=11x1-1Π C.Fx)=-1 x2-1 D 4.*★(2026·四川遂宁高一期末)定义在R上 的奇函数f(x)满足f(x+1)-f(-x)=0,且当 0<x≤2时，(x)=42+1,则f(3)+f(1)+ f(4)的值为 A.0 B.-1 C.-2 D.2 5.*★多选(2025·江西南昌高一月考)对任 意两个实数a,b,定义min{a,b} a,a≤b, 若f(x)=2-x2,g(x)=x2-2,下列关 b,a>b, 于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确 的是 () 52 阶段综合 限时50min A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)=0有两个解 C.函数F(x)在(-∞，-√2)上单调递减 D.函数F(x)有最大值为0，无最小值 6.*已知f(x)是定义在R上的奇函数，且 x≤0时，f(x)=3x2-2x+m,则f(x)在[1,2]上 的最大值为 ()》 A.1 B.8 C.-5 D.-16 7.*★*(2026·河南新乡高一期中)已知函数 )=2x2+2的最大值为M,最小值为m, x2+1 则M+m的值等于 A.2 B.4 C.6 D.8 8.禁高观点多选(2026·广东河源高一期 末)狄利克雷是德国著名数学家，函数 (1,x为有理数， D(x)= 被称为狄利克雷函 (0,x为无理数 数，下面给出关于狄利克雷函数D(x)的结论 中正确的是 ( A.若x是无理数，则D(D(x))=0 B.函数D(x)的值域是[0,1] C.D(-x)=D(x) D.若T≠0且T为有理数，则D(x+T)=D(x) 对任意的x∈R恒成立 9.*函数f(x)=x(|xl-2)在[m,n]上的最小 值是-1，最大值是3，则n-m的最大 值是 10.*(2026·云南昆明高一期末)已知f(x) 是R上的奇函数，且f(-1)=0,f(x)在 (-∞，0)上单调递减，则不等式f(x)>0的 解集为 11.*已知函数f(x)=x2+bx+c. (1)若函数f(x)是偶函数，且f(1)=0,求 f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[-1,3] 上的最大值、最小值； (3)要使函数f(x)在[-1,3]上是单调函 数，求b的取值范围. 12.转已知函数f(x)=x|x+ml+n. (1)当n=-1时，解关于m的不等式 f(2)<0; (2)讨论f(x)单调性： (3)若x)为奇函数，且f(6)f(6)k f八中n),试探究正数a,6c的大小关系 第二章函数黑白题学霸 13.整(2026·陕西西安高一期末)已知函数 f(x)的定义域为(-1,1)，f(x)+f(y)= f).且当xe(-1,0时x>a (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)解不等式：f2x-1)>f(x); (3)已知f(号)-1，g()=+bx+1,若对 V1e【3写1,3e[-1,2,使得 f(x1)>g(x2)成立，求实数b的取值 范围. >《题中题》上分专题08例2 压轴挑战山 频讲解⊙ 14.禁(2026·广东中山高三月考)已知函 数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1) 是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x, 则f(2024)+f(2025)+f(2026)= A.4 B.2 C.0 D.-2 15.整知识迁移(2026·江苏泰州中学高 1 一期末)已知函数f(x)=x+二-a+1, 对任意实数x1,x2,x3∈ [3小，使得以 f代x,)f(x2)f(x3)数值为边长可构成三 角形，则实数a的取值范围为 53,)-f代)，0，故C正确： x2-x1 ）on0 2 2 (受)(”音冬 244244 =(属-风0 2 ,5,即r),如正确 .2 2 2 重难点拔D选项也可以通过图象直接判断，对于暴函数f(x) x宁，其图象上凸，因此函教值在两，点中点处的取值大于两，点函数值 的平均值. 8.[0,1]解析：设y=fx)=x, 代入点P(2,2),可得2=2，解得=2， 1 所以fx)=x, 要使y1-)有意义，则≥0，。解得0≤≤1， 1-x≥0， 所以函数的定义域为[0,1]. 、子4，+0）解析：因为)=(m+m-5)· 为幂函数，则m2+m-5=1,解得m=-3或m=2. 当m=2时fx)=x,为奇函数，不符合题意； 当m=-3时f(x)=x8,为偶函数，符合题意，且在(-∞，0)上单调 递减，在(0，+0)上单调递增。 若f(2x-1)>fx+3), 则I2x-1I>|x+31,解得x<- 即不等式的解集为(，号)U(4,+)。 10.解：(1)因为f(x)=(m2-m-1)·x2-2m-1为幂函数， 所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,所以函数f(x)的解析式为 f(x)=x2或fx)=x1=1 (2)①因为)的图象不经过坐标原点，所以)==上，所 以函数的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，无单调递增区间. ②因为f(x)的图象经过坐标原点，所以f(x)=x2.因为f代x)=x2 为偶函数，且在区间[0，+∞)上为增函数，所以f(12-x)> f(1x),即12-x>lxl,两边平方解得x<1,所以不等式的解集为 (-0,1) s3-s4阶段综合 黑题 阶段强化 1.D解析：函数代x)=x+4在(0,2)上单调递减，在(2，+)上单 调递增，不符合题意： 由于函数f(x)=x2-4x关于x=2对称，所以函数f(x)为非奇非偶 函数，不符合题意； 函数f(x)=1x-21=} -2,≥2可得函数f(x)关于直线x=2对 2-x,x<2, 称，所以函数代x)为非奇非偶函数，不符合题意； --九，所以西数 函数fx)-1 是奇函数又函数八x)=三x-在(0，+∞)上单词递增，所以 符合题意 2.D解析：f代x)+x3为偶函数， .f(-x)-x3=f(x)+x3, ∴.f(-1)-1=f(1)+1=3,∴.f(-1)=4. 3B解折：因为函数x)归的定义域为x≠1， 函数f代x)=的定义域为R, x2+11 函数fx)=与f八=一的定义域均为xx≠±1 由图知f(x)的定义域为{xlx≠±1，排除AD, 对于)=-1当x=0时0)=-1，不符合图象0)=1，所以 排除C。 4.C解析：因为f代x)是奇函数，所以f-x)=-f(x). 因为f(x+1)-f(-x)=0,所以f(x+1)=f代-x)=-fx), 所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期为2的函数. 因为f(分)=4（分）广+1=2。 所以()(+号）=-时（分）-21）=0+1)=o) 0f4)=f0)=0. 所以/(3）)4)=-240+0=-2 5.ABD解析：根据题意，F(x)= ∫2-x2,xe(-∞，-2]U[2,t0), x2-2,xe(-2,N2) 由函数解析式可知，F(x)=F(-x),函数F(x)为偶函数，选项 A正确； 当x∈(-o,-√2]U[√2，+0)时，根据F(x)=0,解得x=±√2，此 时方程有两个解，当x∈(-√2，V2)时，由F(x)=0,解得x=±√2， 不符合题意，所以此时方程无解，所以方程F(x)=0有两个解， 选项B正确； 根据二次函数的性质，函数F(x)在(-∞，-√2)上单调递增，选项 C错误； 根据函数的解析式及二次函数的性质可得，函数F(x)的单调增区 间为(-0，-√2)和(0,2)；单调减区间为(-√2,0)和(2，+∞)， 所以函数F(x)无最小值，且F(x)=F(2)=F(-√2)=0，选项 D正确。 6.C解析：fx)是定义在R上的奇函数，(0)=0， 又：x≤0时，f(x)=3x2-2x+m,f(0)=0=m,.x≤0时，f(x)= 3x2-2x. 设x>0,则-x<0,则f(-x)=3x2+2x,则f(x)=-f(-x)=-3x2-2x,即 当x>0时f(x)=-3x2-2x,∴fx)在[1,2]上单调递减， ∴fx)在[1,2]上的最大值为f1)=-5. 元.B解析：由八)2-2x+2-2-2红 x2+1 x2+11 2x 设g(x)= x2+1' 函数定义域为R,则g(-)十-g() 所以g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以g(x)=g(x)=0, 奇函数在对称区间上的最大值与最小值互为相反数，常用于解决 最值问题 因为f(x)=g(x)+2,所以M+m=g(x)m+2+g(x）m+2=4. 参考答案黑白题学霸↑37 8.CD解析：对于A,当x为有理数时，D(x)=1;当x为无理数 时，D(x)=0, .当x为有理数时，D(D(x))=D(1)=1:当x为无理数时， D(D(x))=D(0)=1, 即不管x是有理数还是无理数，均有D(D(x)=1,故A不正确； 对于B,函数D(x)的值域为{0,1}不是[0,1]，故B不正确： 对于C,有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理 数，.对任意xeR,都有D(-x)=D(x),故C正确； 对于D,若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T 也是无理数，.根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T, D(x+T)=D(x)对任意的x∈R恒成立，故D正确. .4+2解析：函数x)=x(1x1-2)=(-2）:≥0的图象如图 1-x(x+2),x<0 所示， 当x≥0时，令x(x-2)=3,得x1=-1(舍去)，x2=3, 当x<0时，令-x(x+2)=-1,得x3=-1-√2，x4=-1+2(舍去)，结 合图象可得(n-m)=x2-x3=3-（-1-√2)=4+√2.故答案为 4+√2. 10.(-1,0)U(0,1)解析：因为f(x)是R上的奇函数，且f(-1)= 0,则f(1)=-f(-1)=0, 又f(x)在(-∞，0)上单调递减， 所以f代x)在(0，+∞)上单调递减： 则当x<-1或0<x<1时f(x)>0;当-1<x<0或x>1时，fx)<0; 不等式>0，即>0，或<0，。解得0<1或-1<<0， f(x)>0fx)<0, 所以不等式(x)>0的解集为(-1,0)U(0,1). 11.解：(1)函数f(x)是偶函数∴f(-x)=f(x)恒成立， 即x2-bx+c=x2+bx+c,2bx=0,对x∈R恒成立， b=0,fx)=x2+c,f1)=1+c=0.c=-1,…fx)=x2-1. (2)由(1)知f代x)=x2-1,x∈[-1,3].当x=0时，f(x)取得最小 值，为-1，当x=3时，f(x)取得最大值，为8. (3)x)=+bc+e的对称轴为直线x=-名，要使函数)在 [-1,3]上是单调函数，需名≤-1或-之≥3，解得6≥2或6≤ -6..b的取值范围是(-∞，-6]U[2,+∞) 1 12.解：(1)当n=-1时，f(2)=21m+21-1<0lm+21< 292 m+2 5 3 292<m<-2 所以当n=-1时，不等式f(2)<0的解集为（2,2月 53 (x2+mx+n,x≥-m, (2)f(x)=x1x+m1+n= -x2-mx+n,x<-m 4x≥-m, 4t<-m, m ①当-2<-m,即m<0时，由二次函数性质可知， 8学霸黑白题数学·必修第一册·BS x)在(0，公)，(-m,+m)止单调递增，在（受，m)上单 调递减； ②当受=-m,即m=0时，由二次函数性质可知， (x)在R上单调递增，无单调递减区间； ③当宁>m,即m>0时，由二次函数性质可知， )在(-，m),（2,+）上单调递增，在(m,受）上单 调递减 综上所述，当m<0时x)在气-0，？)，(-m,+)上单调递 增，在（受，m）上单调递减： 当m=0时，(x)在R上单调递增，无单调递减区间； 当m>0时，()在(-0，m),(受，+）上单调递增，在 (-m,受)）上单调通减。 (3)若f(x)为奇函数，首先f(0)=n=0,即f(x)=xlx+ml, 其次f(x)+f代-x)=xx+ml-xl-x+ml=0恒成立， 即x+m=-x+m恒成立或者x+m=-(-x+m)恒成立， 而x+m=一x+m不可能恒成立，从而只可能x+m=-(-x+m)恒成 立，所以m=0, 所以f(x)=xlxl= :,≥0：显然代)的定义域是全体实数，它 -x2,x<0, 关于原点对称，且(-x)=f(x), 所以f(x)是奇函数，且当x≥0时，(x)=x2单调递增， 所以f(x)在整个定义域上单调递增， 若正数abe满足f(a6)寸()(n）: 则当且仅当0<c<a<6 a+bb+cc+a' 而 c ac(b+c)-a(a+b)_c2-a2+b(c-a)_(c-a)(c+a+b) a+bb+c (a+b)(b+c) (a+b)(b+c)(a+b)(b+c) 0→c<a, 同理可证，c<b,a<b,所以c<a<b. 13.解：(1)f(x)为奇函数理由如下： 令x=y=0,则f0)+f(0)=f0),解得f0)=0. 令y=-x,则f代x)+f-x)=f0)=0,即f-x)=-f(x), 又f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)为奇函数. (2)令-1<x1<x2<1, 则))(） 因为-1<，<x2<1,所以x2-x1>0,-1<x12<1,则1-x1x2>0. 因为x2-x1-(1-x1x2)=x1x2-x1+x2-1=(x1+1)(x2-1)<0, 所以0<-<1 1-x1x2 因为当xe(-1,0)时f(x)>0,f(x)为奇函数， 所以当x∈(0,1)时，f(x)<0, a用 因为x<x2,所以f(x)在(-1,1)上为减函数. 因为f(2x-1)>f(x),所以-1<2x-1<x<1,解得0<x<1, 即不等式f(2x-1)>f(x)的解集为(0,1). (3)因为vxe[子，写]，3%e[-1,2],使得x)>g() 成立， 所以f()>g()m,由上可知，)=f(兮) -f(号)=-1，即)<-1 因为g(x)=+x+1的对称轴为直线x=-名，xe[-1,2]。 ①当合≤-1，即6≥2时，g到在[-1,2]上单润造地。 则g(x2）=g(-1)=2-b,所以2-b<-1,解得b>3,所以b>3; ②当号=2，即6≤-4时，8()在[-1,2]上单调递减。 则g(x2)m=g(2)=5+2b, 所以5+2b<-1,解得b<-3,所以b≤-4； ③当-4<b<2时，g(x)在[-1,2]上先减再增，则g(x2)m= (）-1所以1-1 解得b<-22或b>22,所以-4<b<-22; 综上所述，实数b的取值范围是(-0，-22)U(3,+∞). 方法总结对于含有x,y的抽象函数的一般解题思路是：观察函数 关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函 数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有x,y双变量， 需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系 此过程中的难，点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以 及选项来决定 ©压轴挑战 14.B解析：因为f(x+1)是偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1),所以 fx+2)=f(-x), 即f(2)=f(-0)=f(0)=02+0=0. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=f代x), 即f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),所以函数f(x) 以4为周期， 即f(2024)=f(506×4)=f(0)=0,f(2025)=f(506×4+1)= f1)=12+1=2, f2026)=f506×4+2)=f(2)=f0)=0, 所以f(2024)+f(2025)+f2026)=2. 解析：要想对任意实数 馬[片]，使得以)))数值为边长可构 成三角形，只需2f(x)n>f(x), 设g(x)=x+xa, 当xe[兮，1）时，函数g()单调递减，当e(1,3]时，函数 g(x)单调递增， 因为e1)=2-e(3)=9a(）9 所以e2-9], 当2-a≥0时，即a≤2时， =x+a+1=g)1,此e[3-a,号a] 13 因此由2x)m>x)x→2(3-a)>3a→a<兮，而a≤2，所以 a<3 0时，脚当≥时。 当10 此时)=+士a+1=-g)+1,此时)e[a了a-1], 1 若2-a0c9e时，即2<9时. 显然此时f(x)mn=1,f(x)max=a-2+1=a-1, 由23x2x1>a-1<3,显然8≤a<3, 若4-2号a<号即当2<时， 10 13 显然此时f(x)a=1)m=3a+1= 3a, 3 因此由2f(x)>f(x)r→2×1> 、7 3 综上所述，实数a的取值范固为(-。，）)U(仔，3)U 专题探究2函数性质的综合应用 黑题 专题强化 1.D解析：分段函数f代x)= x2-2x,x≥0， 的图象如下： 1-x2+2x,x<0 由图可知，函数的单调递增区间为(-0,0]，[1，+∞)， 又分段商数九-2在区同（+》上华园逢流 则m+1≤0或m≥1，解得m≤-1或m≥1. 2.ACD解析：对于Aff(0)=f(2)=2,A正确； 对于B,由f(3)=3得f(x)的值域不是(-0,2]，B错误： 对于C,函数(x)的图象如图，方程f(x)-m=0的解即函数y= f代x)的图象与直线y=m交点的横坐标，由图象知，当m<1或m>2 时，函数y=f(x)的图象与直线y=m有一个交点，因此实数m的取 值范围为(-0,1)U(2,+∞)，C正确； 对于D,由f(x)=1,得x=-1或x=1,f(x)=3,得x=3,而当x∈ [a,b]时，1≤f(x)≤3，则an=-1,br=3,因此b-a的最大值是 4,D正确. 参考答案黑白题学霸t39