2.3 第1课时函数的单调性-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

由函数m(x)=min{f(x),g(x),h(x)}的定义，取三个函数中的最 小者，可得m(x)图象. 4.D解析：①当x+2≥0，即x≥-2时(x+2)=1. 由++2)+2)≤5可得2≤5，≤子，即-2≤ 3 ②当x+2<0,即x<-2时，f(x+2)=-1. 由x+(x+2)·八x+2)≤5可得x-(x+2)≤5，.x<-2. 综上，不等式的解集为(0,2」 31 5.A解析：a≠0，f1-a)=f(1+a),当a>0时，1-a<1<1+a,则 f1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a,∴.2- a=-1-3a,即a=-2(含去) 3 当a<0时，1+a<1<1-a,则f1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)= 2(1+a)+a=2+3a,-1-a=2+3a,即a=-4 3 3 综上可得，a=-4 6.B解析：由teM,可知ft)=2t+1∈[1,3]，且0≤f(2t+1)≤1， ①当2+1eM即2+1=1时，f(2t+1)=f(1)=3M,不符合题意. ②当2t+1eN即t∈(0,1]时， f(2t+1)=6-3(2t+1)=3-6t∈M, 解得t [行]，符合条件 故：的取值范图为[兮，] 11 7.（2,11)解析：因为f(x)=- x-2' 所以x-2>0,解得x>2, 即f代x)的定义域为(2，+0)， 若y=fx)-f13-x)有意义， 则>2，解得2<<1， (13-x>2, 即y=f(x)-f(13-x)的定义域为(2,11). 8.f(x)=x(答案不唯一）解析：若f(x)=kx,则f(x+y)=k(x+y), f(x)+代y)=x+y=k(x+y),所以f(x)=x(答案不唯一，只要满足 f(x)=kx,k≠0即可). 又-3(，3)解桥：因为西数八)=需的定文坡为 +n≥0所以任≥-a, x-b≠0， (x≠b, 而函数代x)=+的定义域为[3，+0)， x-b 所以-a=3,b<3,即a=-3, 实数b的取值范围为(-∞，3) ©压轴挑战 4,0≤x≤ 1 4 1 1 2(1-2x),4<x≤2， 10.4解析：依题意可得ff(x)= 13 2(2x-10,2x4, 3 4(1-),4≤x≤1. 当0≤≤}时，由x)=,即4=x,得x=0: c≤时，由)=，即2(1-2)=，得=子 当 当分<子时，由九)=，即2(2-1)=，得=子 当及≤≤1时，由)=，即4(1-到=，得x=号 综上可得，方程f(x))=x有4个实数根. s3函数的单调性和最值 第1课时函数的单调性 白题 基础过关 1.B解析：由a）-b)<0知a)-b)与a-b异号，即当a<b时。 a-b fa)>f(b),或当a>b时，f(a)<fb),所以f代x)在R上是减函数. 2.BC解析：对于A,某两个确定值之间的大小关系不能判断函数 的单调性，故A错误： 对于B,若函数f(x)在R上是减函数，则有f(2)<f(1),反之，若 (2)>代1)，则函数f(x)在R上不是减函数，故B正确； 对于C,由函数f(x)在区间(-∞，0]上是增函数，在区间[0，+) 上也是增函数，这两个递增区间在x=0处相交，故在R上是增函 数正确，故C正确： 对于D,在某两个区间上分别单调，且不相交，故不能判断在并集 上单调，故D错误 3.ABC解析：A,B选项，y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0<x,< x2,故fx)>fx2)fx1)-f(x2)>0,A,B正确；C,D选项，因为x1 x2<0,f(x1)-f(x2)>0,所以(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0, fx)f）<0,C正确，D错误 x1一x2 重难点拨若函数f(x)在[a,b]上是增函数， 对于任意的，[a,b](,),有儿气) >0(或者(x1 x1-X2 x2)(fx1)-f(x2))>0); 若函数f(x)在[a,b]上是减函数， 对于任意的，[a,b](≠，有八)H）<0(或者( x1-x2 x2)(f八x1)-f(x2))<0) 4.ABD解析：由图可知，函数在区间[-5，-3]，[1,4]上单调递增， 故AB正确； (x)在区间[-3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集 “U”连接，故C错误； 函数在区间[-5,5]没有单调性，故D正确。 易错提醒如果函数有多个单调区间，在书写时用“，”或“和”隔 开，不能用“U”连接 玉D解折：函数)=的定义域为≠2，又)的 x-2 图象是由y=-向右平移2个单位长度而来，y=-1的单调递增 区间为(-，0)，(0，+)，所以人：)与的单调递增区间为 (2,+∞)，（-∞，2). 6.[0,1]解析：当x<0时f(x)=-2x+1单调递减； 当x≥0时f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,在区间[0,1]上单调递 增，在区间(1，+∞)上单调递减故答案为[0,1]. 7.(1)解：由题意得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{xx≠0. 参考答案黑白题学霸27 (2)证明：任取1<<，则f()八，)=-1元 名).51 七2， 利用单调性的定义进行证明 因为名，>0，-0 ->0 x12 所以fx1)-fx2)>0,即fx1)>fx2), 所以f(x)在(1，+∞)上是减函数. 方法总结1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断. 2.确定函数单调性有三种常用方法：定义法、复合函数法、图象法， 也可利用单调函数的和差确定单调性， （x+a,x≥-a, 8.A解析：因为f(x)=lx+al= (-x-a,x<-a, 所以当x≥-a时，f(x)=x+a,函数在[-a,+∞)上单调递增， 当x<-a时，f(x)=-x-a,函数在(-o,-a)上单调递减， 即fx)=|x+al的单调递增区间为[-a,+∞)，故-a≤4，解得a≥ -4,所以实数a的取值范围为[-4，+o). 9.BCD解析：设Hx1,x2eR,x1<x2, 则有f(x1)f(x2),所以-f(x)>-f(x2),选项A成立； 取八x)=x,则选项B,C不成立； 取a=-1,则y=-f(x)在R上是减函数，D不成立. 10.C解析：y=f(x)是定义在R上的减函数，a≠0，a与2a的大小 关系不能确定，从而f(a)f代2a)关系不确定，故A错误； a2-a=a(a-1),a<0或a>1时，a2>a:0<a<1时，a2<a,故f(a2), f(a)关系不确定，故B错误； a2+a-a=a2>0,∴.a+a>a,∴.f(a2+a)<f(a),故C正确； a2+a-a-1=a2-1=(a+1)(a-1),a<-1或a>1时，a2+a>a+1; -1<a<1时，a2+a<a+1,故f(a2+a),f(a+1)关系不确定，故 D错误 11.ABD解析：若a=0,f(x)=|x|,此时A满足； 若a>0,当>0时，(x)=-为增函数，当<0时，fx) -(+)x)在(-，-@)上递减，(-a,0)上递增，此时D 满足； 若a<0,当x>0时x)=+,此时fx)在(0，@)上递减。 (-a,+0)上递增，当x<0时，(x)=-x+为减函数，此时B 满足 12.(子，2）解析：若a=0,则)=-4为-次函数，在(1,3)上 单调，不符合题意； 当a0时，x)=2-4x+n为二次函数，对称轴为直线x=2 要使x)=a-4红a在区间(1,3)上不单调，则1<子<3， 解得了a<2,综上可得号a<2,放答案为（仔，2）】 13.(1)证明：任取x1,x2∈(0，+∞)，不妨设x,<x2,则f(x2)-f(x)= 因为x1,x2e(0,+0),x1<x2, 所以f八x2)-f(x1)<0,即f(x2)<fx), 28学霸黑白题数学·必修第一册·BS 所以f代x)在(0，+∞)上单调递减， (2)解：因为a>0,所以a2+2>0,3a>0, 又因为f(x)在(0，+o)上单调递减，且fa2+2)>f(3a), 所以a2+2<3a,解得1<a<2, 所以f(a2+2)>f(3a)的解集为(1,2) ⊙易错聚焦 14.D解析：由t=3x2-5x-2≥0，解得x≤- 3或x≥2， 11 所以函数的定义域为(-0,3][2，+∞)， 定义域优先原则 因为：在(，弓)上单调通减，在(2，+)上单调递增。 又因为y=为单调递增函数， 所以函数y=f(x)的单调递增区间是(2，+∞)· 易错提醒函数的单调区间应为函数定义域的子集，在求解单调区 间或讨论单调性时，要先求出函数的定义域。 (2-3a)x+1,x≤1， 15.C解析：因为函数f(x)= 1 是R上的减函数， -1,x>1 x 所以 2-3a<0,解得 3-3a≥0， 3<a≤1，故a的取值范围为 小 易错提醒已知分段函数单调性求参数取值范围时，要注意对分段 端，点的限制。 黑题 能力提升 1.C解析：由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,作出函数y=-x2+2x+3的 图象，利用图象的变换可得(x)=1-x2+2x+31,如图所示： -101 所以函数f(x)在(-∞，-1)和(1,3)上单调递减，在(-1,1)和 (3,+∞)上单调递增. 2.A解析：因为函数f(x)是定义在(0,1)上的减函数 2x-1>x-3, 1 由2-1)f(号)，得0c2-1k1,解得子 1 c1. 1 0<x-3<1, 注意满足定义域条件 3.A解析：若a<0,则当x∈[0,1]时，函数y=√2026-ax单调递 增，又。0函数到=206匹在[0,1]上单调递诚： a-1 若a>0,则当x∈[0,1]时，函数y=√2026-ax单调递减，只有 >0时，才有可能使丽数)-2026-a“在[0,1]上单测 1 a-1 递减， a>0, 70, 解得1<a≤2026， a-1 2026-a×1≥0， 注意函数定义城的限制 综上，实数a的取值范围是(-，0)U(1,2026] 4.B解析：由函数f(x)满足f(1-x)=f(x+3),得f代4-x)=f(x), 则r(3)f43)f(3)(3)f(43)f(3), 而分1<号，且)在(0,2)上是增函数， 因此(2)(3)： 所u(居)（停） 5.(2,+0)解析：因为f代x)的定义域为(-∞，0)， 对于函数f(4-x2),令4-x2<0,即(x-2)(x+2)>0,解得x<-2或 x>2,所以函数f(4-x2)的定义域为(-0，-2)U(2,+0). 令u=4-x2,则f(4-x2)=f(u). 当x∈(-0，-2)时，u=4-x2单调递增，则f(4-x2)单调递增； 当x∈(2，+∞)时，u=4-x2单调递减，则f(4-x2)单调递减. 故f(4-x2)的单调递减区间为(2，+). 方法总结对于复合函数y=f代g(x),若y=f(u)与u=g(x)的单 调性相同，则y=f(g(x)为单调递增函数；若y=f(u)与u=g(x)的 单调性相反，则y=f八g(x)为单调递减函数，简记为“同增异减”. 6.(5,7]解析：由y=-x2+1在(-∞，0]上单调递增，在(0,1)上单 调递减，由y=x2-4x+3=(x-2)2-1在[1,2)上单调递减，在 [2,+∞)上单调递增，且-12+1=0=12-4×1+3， 所以f(x)在(-0,0]上单调递增，在(0,2)上单调递减，在 [2,+∞)上单调递增， 由f(x)在(0，a-5)上单调递减，则0<a-5≤2，可得5<a≤7. ((a+1)x+1,x≥0， 7.解：(1)已知f(x)= (1-a)x+1,x<0. (a+1>0, :fx)在R上是增函数，1-0>0， 解得ae(-1,1). (2)当a=1时，f(x)=|x|+x+1= 2x+1,x20,作出图象，如图 1,x<0, 所示 以 2 -3-2-10123x -1 -2 x2+1≥1，又f(1-x)>fx2+1),1-x>x2+1,解得-1<x<0.故所求 不等式的解集为(-1,0). 重难点拨1.利用单调性求参数的取值（范围）的思路：根据其单 调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组）)或先得到其图 象的增减，再结合图象求解对于分段函数，要注意衔接点的取值 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内， 然后利用函数的单调性解决 (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱 去“f” ©压轴挑战 8.D解析：因为函数f代(x)满足对任意的x1,x2∈(0，+∞)，x1≠x2, 都有）-）<0， x1-x2 令g)-=,则g)-g)-）） 先把所给式子转化为我们熟悉的形式 不妨设x1>x2>0,则有g(x1)<g(x2),所以g(x)在(0，+∞)上单调 递减 由2,2,0，可得(x-2)-2-2)>0, x2 由定义城可知2少0，所以2， (x>0, 注意定义城的限制 -2,即gx>g(-2, xx2-2 故>2，解得2 (x<x2-2, 第2课时函数的最值 白题 基础过关 1.BD解析：对于A,B选项，由函数f(x)图象可得，在[-4，-1]和 [1,3]上单调递减，在[-1,1]上单调递增，故A错误，B正确； 对于C选项，由图象可得，函数(x)在区间(-1,3)上的最大值为 3,无最小值，故C错误； 对于D选项，由图象可得，函数(x)在区间[-1,3]上有最大值3， 有最小值-2，故D正确。 2.AC解析：函数f代x)=x-上在区间[1,3]上单调递增，所以x)= 在区间[1,3]上的最大值为3)=号，最小值为1)=0 3.B解析：由题意可知函数的定义域为(-∞，3]， 可知f(x)=2x-√3-x在定义域上单调递增， 可知f(3)=6,所以fx)∈(-∞，6]. 4.B解析：设x)(心2)以 把t当做新的自变量 所以y=+在(2，+)上单调道增， 则y=+,>2+ 15 22’ 所以压数P(e-到大的值城是(3） 5.A解析：y=fx)=x2-2x-3,可得对称轴为直线x=1, 且f1)=-4且为最小值， 又由f(0)=f(2)=-3, 函数y=x2-2x-3的定义域为[0，a],值域为[-4，-3]， 可得1≤a≤2， 即a的取值范围是[1,2]. 《A解折：函数2 x+11 当m=2时，f(x)=2,不满足函数f(x)在区间[0,1]上最大值为1， 不符合题意： 当m>2时，函数x)=2+m在区间[0,1]上单调递减， x+1 所以最大值为f(0)=m=1,不符合题意； 当m<2时，函数)=2+m在区间[0,1]上单调递增， x+1 所以最大值为)-21，部得=0，综上所述实数m=0 参考答案黑白题学霸29第二章 3函数的单调性和最值 第1课时函数的单调性 白题 基础过关 限时4 题组1函数单调性概念的理解 1.·若定义在R上的函数f(x)对任意两个不 相等的实数a,b,总有八a)f( <0成立，则 a-b -5-4-3-2-1012345x 必有 -2 ( A.f(x)在R上是增函数 A.函数在区间[-5，-3]上单调递增 B.f(x)在R上是减函数 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数f(x)先增后减 C.函数在区间[-3,1]U[4,5]上单调递减 D.函数f(x)先减后增 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 2.*苏教教材习题多选下面说法正确的是 5.(2026·江西九江高一月考)函数f(x)= ( ) A.若定义在R上的函数f(x)满足f(2)> 的单调递增区间是 ()》 x-2 f(1),则函数f(x)是R上的增函数 A.(2,+0) B.（-∞，2) B.若定义在R上的函数f(x)满足f(2)> C.(-2,2) D.（-0,2),(2,+∞) f(1),则函数f(x)在R上不是减函数 6.*(2025·天津红桥区高一期中)已知函数 C.若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0] -2x+1,x<0, 上是增函数，在区间[0，+∞)上也是增函 f(x)= 则f(x)的单调递增 -x2+2x+1,x≥0， 数，则函数f(x)在R上是增函数 区间为 D.若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0] 7.(2026·安徽六安高一期中)已知函数 上是增函数，在区间(0，+∞)上也是增函 1 数，则函数f(x)在R上是增函数 f(x)=-x-二 3.多选(2025·黑龙江牡丹江高一期末) (1)求f(x)的定义域； 若函数y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0< (2)证明：f(x)在(1，+∞)上是减函数， x1<x2,则下列选项正确的是 A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)-fx2)>0 C.(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0 D.F2) >0 x1-x2 题组2函数单调性的判断与证明 4.*1易错题多选(2026·陕西咸阳高一月 考)如图是定义在区间[-5,5]上的函数y= f(x),则下列关于函数f(x)的说法正确的是 39 学霸黑白题数学·必修第一册·BS 题组3函数单调性的应用 13.*★(2026·重庆沙坪坝区高一期中)已知 8.若函数f(x)=|x+al在区间[4，+0)上单 1 调递增，则实数α的取值范围为 函数fx)= A.[-4,+∞) B.(-4,+∞) (1)证明：f(x)在(0，+∞)上单调递减. (2)设a>0,解不等式f(a2+2)>f(3a). C.(-∞，-4) D.(-∞，-4] 9.*多选已知函数f(x)在R上是增函数，则 下列说法错误的是 A.y=-f(x)在R上是减函数 By在R上是减函数 1 C.y=[f(x)]2在R上是增函数 D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数 10.*(2026·江苏南通启东中学高一月考) 函数y=f(x)为定义在R上的减函数，若 a≠0，则 () A.f(a)zf(2a) 视 B.f(a2)>f(a) 易错聚焦㎡ C.f(a2+a)<f(a) 易错点1忽略对定义域的讨论 D.f(a2+a)>f(a+1) 14.*(2026·河南驻马店高一期中)函数 11.*多选(2026·湖北襄阳高一期中)函 f(x)=√3x2-5x-2的单调递增区间是 数fx)=lx-a(a∈R)的大致图象可能为 B.5 ca,3) D.(2,+0) 易错点2对分段函数单调性理解错误 15.*(2026·广东深圳高一期中)若函数 [(2-3a)x+1,x≤1， ) 是R上的减 函数，则a的取值范围为 B 12.*1人A教材变式(2026·陕西榆林高一期 A[子，+n) (+ 中)若函数f(x)=ax2-4x+a在区间(1,3)上 c导 n 不单调，则实数a的取值范围是 40 第二章函数黑白题学霸 黑题能力提升 限时35min1答案P28 1.★(2026·江西南昌二中高一期中)已知函5.*(2026·山东省实验中学高一期中)已知 数f(x)=|-x2+2x+31,下列结论正确的是 函数f(x)是定义在(-0,0)上的增函数，则 ( f(4-x2)的单调递减区间是 A.函数f(x)的减区间是(-∞，-1)U(1,3) 6.#(2026·广东广州高一期中)已知函数 B.函数f(x)在(-1,1)上单调递减 f(x)= -t+1,<1,在(0，a-5)上单调递 C.函数f(x)在(0,1)上单调递增 x2-4x+3,x≥1 减，则实数a的取值范围是 D.函数f(x)的增区间是(-1,3) 7.禁已知函数f(x)=alx+x+1,x∈R. 2.**(2026·江西赣州高一期中)已知函数 (1)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取 f(x)是定义在(0,1)上的减函数，则满足 值范围； f2x-1)<f(x3)的x的取值范围是( (2)当a=1时，解不等式f(1-x)>f(x2+1). A(经)】 B分) c.(2） n(2) 3.**(2026·浙江宁波高一期中)已知函数 )=2026-a在[0,1]上单测递减，则实 a-1 数a的取值范围是 A.(-∞，0)U(1,2026] B.(-∞，0)U(0,2026] C.(-∞，0)U(1,+∞) 压轴挑战山 D.(-∞，0)U(0,1) 8.热新定义（2026· 4.*北师教材变式已知函数f(x)满足f(1-x) 若定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足对 =f(x+3),且f(x)在(0,2)上是增函数，则 任意的x1,x2∈(0，+∞)，x1≠x2,都有 1)(③)(？)的大小顺序是 ( xaf(x)-xf(x2 <0,则称函数f代x)具有性 x1-x2 A.1)月)) 质破晓.已知函数f(x)具有性质破晓，则 Bf3)1)s(3) 不等式r)r-2),2的解为 c.f(3)(3)1) A.(2,2) B.(2,+∞) D.f3)f(3) C.(0,2) D.（2,+∞) 41