第2章 3 第1课时 函数的单调性和最值-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦函数的单调性和最值，引导学生通过回顾一次、二次函数图象，观察上升下降趋势，从直观感知过渡到用符号语言表达单调性定义及最值含义，搭建从具体图象到抽象概念的学习支架。 资料亮点在于结合图象法与分类讨论，通过“判一判”“做一做”及分层题型，培养学生用数学眼光观察图象特征，用数学思维分析单调性区间与最值，用数学语言规范解题过程，提升抽象能力与应用意识，适合自主探究与课堂教学。

数学 必修 第一册(北师) 第1课时　 函数的单调性和最值 (教师独具内容) 课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.函数最大值、最小值的含义及其几何意义.3.用图象法求一些函数的最值． 教学难点：对函数单调性、最大值、最小值定义的理解，求函数的最值． 知识点一　单调性、单调区间的概念 设函数y＝f(x)的定义域是D，I是定义域D上的一个区间： 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递增．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递增区间． 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递减区间． 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间． 知识点二　增函数、减函数的概念 设函数y＝f(x)的定义域是D： 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数． 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数． 知识点三　函数的最大值和最小值 设函数y＝f(x)的定义域是D. 若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最大值． 若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≥M，且存在x0∈D，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最小值． 函数的最大值和最小值统称为最值． 1．函数的单调性和单调区间 (1)函数的单调性是函数在某个区间上的性质．这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集．有的函数不具有单调性．例如，函数y＝它的定义域为R，但不具有单调性． (2)要求单调区间，先考查函数的定义域． (3)单调区间的书写：若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间(当然也可写成开区间)；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间． 当单调区间有两部分或两部分以上时，中间不能用并集符号，也不能用“或”字，只能用“，”号隔开或写“和”字． (4)图象变换对单调性的影响 上下平移不影响单调区间，即y＝f(x)和y＝f(x)＋b的单调区间相同． 左右平移影响单调区间． 2．函数的最值 (1)最值是函数的整体性质(即在函数的整个定义域内研究其最值)． (2)并不是每一个函数都有最值． (3)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　) (2)任何函数都有最大值或最小值．(　　) (3)增(减)函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．(　　) (4)若区间I是函数f(x)的一个单调递增区间，x1，x2∈I，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示，从左至右图象是上升的还是下降的？________． (2)已知函数y＝f(x)的图象如图2所示，则该函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________． (3)如图为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，此函数的最大值为________，最小值为________． 答案：(1)上升的　(2)(－∞，－1]，(1，＋∞)　[－1，1]　(3)3　－2 题型一　求单调区间并判断单调性 　(1)求函数y＝|x2＋2x－3|的单调递增区间与单调递减区间． [解]　令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.作出f(x)的图象，保留其在x轴上及x轴上方部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示． 由图象，得原函数的单调递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3]和[－1，1]． (2)作出函数f(x)＝＋的图象，并指出其单调区间． [解]　函数f(x)可化为 f(x)＝|x－3|＋|x＋3| ＝ 作出函数f(x)的图象如图所示． 由图象知函数f(x)的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[3，＋∞)． 【感悟提升】　常用画图象求单调区间 (1)对于函数单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出． (2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)． (3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域． 【跟踪训练】 1．(1)根据下图说出函数在每一单调区间上是单调递增还是单调递减． 解：函数在[－1，0]，[2，4]上单调递减，在[0，2]，[4，5]上单调递增． (2)写出f(x)＝|x2－2x－3|的单调区间． 解：先画出f(x)＝的图象，如图． 所以f(x)＝|x2－2x－3|的单调递减区间是(－∞，－1]，[1，3]，单调递增区间是[－1，1]，[3，＋∞)． 题型二　利用图象求函数的最值 　(1)已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． [解]　作出函数f(x)的图象(如图)． 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. (2)画出函数f(x)＝的图象，并写出函数f(x)的单调区间及最小值． [解]　函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，最小值是f(0)＝－1. 【感悟提升】　图象法求最值的一般步骤 【跟踪训练】 2．求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． 解：y＝|x＋1|－|x－2|＝ 作出函数的图象，如下图所示，由图可知，y∈[－3，3]． 所以函数的最大值为3，最小值为－3. 题型三　与二次函数有关的最值问题 　(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值． [解]　∵函数f(x)＝x2－2x－3的图象开口向上，对称轴为x＝1， ∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且f(0)＝f(2)． ∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4. (2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值． [解]　∵对称轴为x＝1，①当1≥t＋2，即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3. ②当≤1<t＋2，即－1<t≤0时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4. ③当t≤1<，即0<t≤1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4. ④当1<t，即t>1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3. 设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有g(t)＝ φ(t)＝ 【感悟提升】　二次函数最值的求法 (1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 【跟踪训练】 3．(1)已知函数f(x)＝x4－4x2－5，求函数f(x)的最值． 解：设x2＝t(t≥0)，则x4－4x2－5＝t2－4t－5. ∵y＝t2－4t－5(t≥0)在[0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增． ∴当t＝2，即x＝±时，f(x)min＝－9，无最大值． (2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值． 解：∵函数图象的对称轴为x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2，4]上单调递增， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2，4]上单调递减， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. ∴f(x)min＝ 题型四　应用题中的最值问题 　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R(x)＝其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) [解]　(1)月产量为x台，则总成本为(20000＋100x)元，从而 f(x)＝ (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000， 当x＝300时，f(x)max＝25000； 当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400＝20000<25000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25000. 即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元． 【感悟提升】　解实际应用题的四个步骤 (1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系； (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式； (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)； (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案． 【跟踪训练】 4．某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为80吨，现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？ 解：设t小时后，池中水量为y吨， 则y＝450＋80t－80＝4(－10)2＋50， 当＝10，即t＝5时，ymin＝50， 所以5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨． 1．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，则函数y＝f(x)在该区间上(　　) A．一定单调递增 B．一定单调递减 C．可能是常数 D．单调性不能确定 答案：D 解析：由单调性的定义可知，不能用特殊值代替一般值．故选D. 2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为(　　) A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3，－2 答案：C 解析：观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0，3)，从而函数的最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C. 3.(多选)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 答案：ABD 解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，故C错误；由图象可知A，B，D正确． 4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元． 答案：120 解析：设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，该公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大为120万元． 5．已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x∈[－1，0]；(2)x∈[a，a＋1]． 解：(1)∵二次函数y＝x2－4x＋5的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴二次函数y＝x2－4x＋5在[－1，0]上单调递减． ∴ymin＝02－4×0＋5＝5. (2)当a≥2时，函数在[a，a＋1]上单调递增，ymin＝a2－4a＋5； 当a＋1≤2即a≤1时，函数在[a，a＋1]上单调递减，ymin＝(a＋1)2－4(a＋1)＋5＝a2－2a＋2； 当a<2<a＋1即1<a<2时，ymin＝22－4×2＋5＝1. 故函数的最小值为 课后课时精练 一、选择题 1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递增区间的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由图象可知，函数y＝f(x)的单调递增区间有2个．故选B. 2．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是(　　) A. B．[－1，＋∞) C. D．(－∞，＋∞) 答案：C 解析：y＝x2＋x＋1＝＋，其图象的对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减． 3．已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，则函数的最大值为(　　) A．0.4 B．1 C．2 D．2.5 答案：C 解析：∵函数f(x)＝在[2，6]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝＝2. 4．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[0，2] C．(－∞，2] D．[1，2] 答案：D 解析：由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1，2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2. 5．(多选)函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则下列说法正确的是(　　) A．M(2)＝3 B．∀x≥1，M(x)≥4 C．M(x)有最大值 D．M(x)的最小值为0 答案：BD 解析：令g(x)>f(x)，即(x＋1)2>x＋1，解得x<－1或x>0，所以M(x)＝max{f(x)，g(x)}＝所以M(2)＝(2＋1)2＝9，故A错误；当∀x≥1时，M(x)＝(x＋1)2≥(1＋1)2＝4，故B正确；由M(x)＝(x＋1)2(x<－1或x>0)可知，函数无最大值，故C错误；当x<－1或x>0时，M(x)>0，当－1≤x≤0时，0≤M(x)≤1，所以M(x)的最小值为0，故D正确． 二、填空题 6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2，6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________． 答案：f(－2)　f(6) 解析：函数y＝f(x)在[－4，6]上的图象的变化趋势大致如图所示，观察可知f(x)min＝f(－2)．又由题意可知f(－4)<f(6)，故f(x)max＝f(6)． 7．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为________． 答案：1 解析：S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12＝－(x－1)2＋.∵∴0<x<6，∴当x＝1时，S取最大值. 8．已知函数f(x)＝|x2－4x|，x∈[2，5]，则f(x)的最小值是________，最大值是________． 答案：0　5 解析：∵函数f(x)＝|x2－4x|＝对应的图象如图．故f(x)的最小值为f(4)＝0，最大值为f(5)＝5. 三、解答题 9．求下列函数的最值： (1)函数y＝x＋的最小值； (2)函数y＝的最大值． 解：(1)令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1， ∴原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0. 配方得y＝＋， 又t≥0，∴y≥＋＝1. 故函数y＝x＋的最小值为1. (2)y＝＝＝2＋＝2＋. ∵＋≥， ∴2<2＋≤2＋＝. 故函数的最大值为. 10．某公司生产某种产品投入固定资本20万元，以后生产x万件产品需再投入可变资本a(x2－1)万元，收入为R(x)万元，其中R(x)＝160x－3.8x2－1480.2.已知当生产10万件产品时，投入生产资金可达到39.8万元．计划生产多少万件产品时，利润最大？最大利润是多少万元？ 解：生产x万件产品所投入资金共有y＝20＋a(x2－1)万元， 当x＝10时，y＝39.8，解得a＝0.2. 设利润为L(x)万元，则L(x)＝R(x)－20－0.2(x2－1)＝160x－3.8x2－1480.2－20－0.2(x2－1)＝160x－4x2－1500＝－4(x－20)2＋100，所以当生产20万件产品时利润最大，最大利润为100万元． 11．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值． 解：f(x)＝x＋， 当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0，1]上单调递增， ∴g(a)＝f(0)＝； 当0<a<1时，a－<0，此时f(x)在[0，1]上单调递减， ∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1. ∴g(a)＝ ∴g(a)在(0，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 又a＝1时，有a＝＝1， ∴当a＝1时，g(a)取得最大值，最大值为1. 12．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． 解：(1)当a＝2时， f(x)＝x2＋3x－3＝－， 对称轴方程为x＝－，因为－2<－<3， 所以函数在上单调递减， 在上单调递增， 所以当x∈[－2，3]时，f≤f(x)≤f(3)， f(3)＝15，f＝－， 所以当a＝2，x∈[－2，3]时，该函数的值域为. (2)函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3图象的对称轴方程是x＝－a. 当－a≥1时，函数f(x)在[－1，3]上的最大值为f(－1)＝－2a－1＝1，所以a＝－1，符合题意； 当－a≤1时，函数f(x)在[－1，3]上的最大值为f(3)＝6a＋3＝1，所以a＝－，符合题意． 所以实数a的值为－或－1. 13 学科网（北京）股份有限公司 $