2.1 生活中的变量关系&2.2.1 函数概念-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§1生活中的变量 2.1函 白题基础过关 题组1函数关系与依赖关系 1.*易错题下列说法不正确的是 A.依赖关系不一定是函数关系 B.函数关系是依赖关系 C.如果变量m是变量n的函数，那么变量n 也是变量m的函数 D.如果变量m是变量n的函数，那么变量n 不一定是变量m的函数 2.*下列变量间为函数关系的是 ( A.匀速行驶的客车2小时行驶的路程 B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C.一盏60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量 与时间t的关系 D.生活质量与人的身体状况间的关系 3.*(2026·江西九江高一期中)下列各量之 间不存在依赖关系的是 ( ) A.某种介质中，质量与体积的关系 B.房屋的地理位置与房屋价格的关系 C.一个人的体重与智力的关系 D.树木的高度与土壤的关系 题组2函数概念的理解 4.多选(2026·安徽安庆高一月考)下列 说法正确的是 () A.函数值域中的每一个数都有定义域中的 一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集 C.若函数的定义域只有一个元素，则值域也 只有一个元素 D.对于任何一个函数，如果x的值不同，那么 y的值也不同 函数 第二章 关系田§2 函数 数概念 限时40min 5.·(2026·福建厦门高一月考)下列不是函 数图象的是 D 6.*多选(2026·江苏徐州高一期中)下列 从集合A到集合B的对应关系中，y是x的函 数的是 () A.A=B=R,对应关系f:x→y=x2-2x+1 BA=B=N,对应关系f:=之 C.A=[0,+∞)，B=R,对应关系f:xy2=x D.A=R,B={1},对应关系f:xy=1 题组3函数的定义域 7.*|人A教材变式（2026·安徽六安高一期 木)函致的定义战是 () A.[0,5)U(5,+∞) B.(-∞，5)U(5,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞，-5)U(-5,+∞) 8.*(2026·河北保定高一月考)函数f(x)= +(2x-1)°的定义域为 3x2 31 学霸黑白题数学·必修第一册·BS A.(-0,1) B.(-∞，1] c(-,u(2 D.(2)u(分) 题组4函数值与函数的值域 9.·(2026·吉林长春高一月考)已知函数 f(x)=3x2+2x-1,则f(-2)= () A.15 B.7 C.4 D.0 10.*★(2026·天津红桥区高一期中)已知函 数x)=x若a)=2,则a=（) A.-1 B.-4C.2 D.0 11.*★多选(2026·黑龙江哈尔滨高一月考) 下列函数值域是(0，+0)的为() A.y=x+1,x∈（-1，+∞) B.y=x2,x∈(0，+∞) C.y=√x2-x+1 D.y=+2 x+1x∈(0，+0) 12.*新定义多选(2026·山东青岛高一期 中)若一个函数的定义域与值域相同，则称 这个函数为同域函数，则下列函数为同域函 数的是 () A.y=1- 3 B.y=-10 2x+1 C.y=√x-1 D.y= x-2 13.*(2026·河北邯郸高一月考)函数y= 3x2-3x+4的值域为 ( x2-x+1 A(←号] B6,号] c.(o.] D,] 14.*写出一个定义域为{x|x≠5}，值域为 {yly≠-1}的函数f(x)= 32 15.*★(2026·江西抚州高一期末)已知函数 f(元-1)=x2-2x+1,则f(1)的值 是 16.*★(2026·山东枣庄滕州一中高一月考) 已知m∈R,若函数y=√mx2-2mx+3的值域 为[0，+∞)，则m的取值范围是 题组5判断是否为同一个函数 17.*(2026·安徽芜湖高一期中)下列函数 中，与函数y=x+2是同一个函数的是 A.y=(√x+2)2 B.y=√x2+2 C.y=2 D.y=/x+2 18.★多选(2026·河南周口高一月考)下列 各组函数是同一个函数的是 （) A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1 B.f(x)=Vx与g(x)=(x)2 C.fx)="与g(x)=x D.f(x)=Ix1与f(x)=e 重难聚焦1 讲解 重难点复合函数、抽象函数定义域问题 19.*若函数f(x)的定义域为[-1,3]，则 函数f(x2-1)的定义域为 A.[-2,2] B.[0,8] C.[-1,8] D.[0,2] 20.*(2026·山东泰安高一期末)函数 y=f(x+2)的定义域为[0,2]，则函数y= f(2x)的定义域为 () A.[-4,0] B.[-1,0] C.[1,2] D.[4,8] 21.*已知函数f(x)=√4-x2,g(x)=2x+ 1,则函数y=f[g（x)]的定义域 为 黑题 能力提升 1.*★数学文化多选(2026·广西崇左高一 月考)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖 冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国 乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确 推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周 率”，简称“祖率”.已知圆周率π= 3.1415926535897932384…,如果记圆周 率π小数点后第n位数字为f(n),则下列说 法正确的是 A.y=f(n),n∈N是一个函数 B.当n=5时，f(n)=3.14159 C.f(4)=f(8) D.f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2.*(2026·山东泰安二中高一月考)下列四 组函数中，表示同一个函数的一组是（) A.fx)=√x+1·√x-1,g(x)=√x2-1 B.f爪x)=（x-1)(x+3) ,g(x)=x+3 x-1 C.f(x)=x2-1,g(t)=t2-1 D.f(x)=/x2,g(x)=x 3.*(2026·海南文昌高一月考)已知函数 f(x)=√-x2+4x+5的定义域为集合A,函数 g(x)=x2-2x+5的值域为集合B,则A∩B= () A.[4,5] B.[-1,5] C.[2,5] D.[2,+o) 4.**易错题(2026·湖北随州高一月考)已 知函数f(x+2)的定义域为(-3,4)，则函数 g()=）的定义域为 √/3x-1 A.(兮4) B.(2 c.(g,6) D.(31 第二章函数黑白题学霸 限时30min1答案P24 5.*新定义(2026·山东青岛高一月考)对 于函数f(x),若存在两个常数a,b,使得 f(a+x)f(a-x)=b,则称f(x)是“平方差关联 函数”.已知函数f(x)= 3+“是“平方差关联 x 函数”，则a+b= 6.禁(2025·湖南邵阳高一月考)函数f(x)= √/(1-a2)x2+3(1-a)x+6. (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值 范围； (2)若f(x)的定义域为[-2,1]，求实数 a的值. 压轴挑战1 7.禁(2026·江苏南京高一 八a+b)=fa)·fb)且f1)=2,则1) f(0) f3).f5) f(2025) 的值 f(2) f(4) f(2024) 为 338.A解析：因为整数集Z={x|x=3k,k∈Z引U{x|x=3k+1,k∈Z}U {xlx=3k+2,k∈Z},U=Z,所以0(MUN)={xlx=3k,k∈Z. 9.B解析：由题意，A∩B={5,7,11,故A∩B中元素的个数为3. 10.C解析：由题意，AnB中的元素满足≥x,。且x,y∈N,由x+ (x+y=8, y=8≥2x,得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)， (4,4),故A∩B中元素的个数为4. 11.B解析：由a2=b2得a=±b,当a=-b≠0时，a2+b2=2ab不成立， 充分性不成立； 由a2+b2=2ab得(a-b)2=0,即a=b,显然a2=b2成立，必要性 成立， 所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件 12.C解析：存在量词命题的否定是全称量词命题. 13.B解析：对于p而言，取x=-1,则有1x+11=0<1,故p是假命题， p是真命题； 对于g而言，取x=1,则有x3=13=1=x,故g是真命题，g是假 命题 综上，p和g都是真命题. 14.-1,-2,-3(答案不唯一)解析：因为-1>-2>-3，-1+(-2)= -3,所以-1，-2，-3可验证该命题是假命题.（答案不唯一） 15.C解析：对于A,当a=b时，a2+b2=2ab,故A错误； 对于即，取a=宁6=分此时分+-24=6c 1 1 =8= a b 11 ab' 24 a6=2+4=6> 1.1 2=42=2 ，故BD错误； 11 ab 2×4 对于C,由基本不等式可得a+b≥2ab>√ab,故C正确： 16BC解折：图为≤(2)广 2-(a,bER), 由y=1可变形为(*)-13≤3（停），解得-25 x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2,当且仅当x=y=1时，x+ y=2,所以A错误，B正确； 2+y-y=1可变形为(+)-1=y≤，解得+y≤ 当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确； 时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D 3 错误 .号解析5yy=1,y0且2=1， +y2-1+ 5y2 ys142、 行=2，√分·背-子当且仅当=背 1.4y4 52三，px2=0, 第二章 s1生活中的变量关系⊕s2函数 2.1函数概念 白题 基础过关 1.C解析：根据依赖关系与函数关系的区别可知A,B正确若变 量m是变量n的函数，因为满足函数关系的自变量n对因变量m 可以是多对一，此时若把m换成自变量，n换成因变量，显然对 于m的每一个取值，会有多个n与之对应，所以变量n不是变量m 的函数.故C错误，D正确. 易错提醒依赖关系是有关系但不确定的，函数关系是确定的. 22学霸黑白题数学·必修第一册·BS =时，等号成立+的最小值为号 18.45解析：×*>0，y>0,x+2y=5,(+1)(2+1 y 2y++241-2y46=2+6 √xy y xy 由基本不等式得2√例+ 6≥22·6=43，当且仅 √x 当2√=6，即y=3时，等号成立 y x=2, 又+2三5，所以当或 3时等号成立，故 y=2 (x+1)(2y+1)的最小值为43. xy 1925保标o>06>0合总+6≥2日京40=号6≥ 2侣6=22，当且仅当。会号=6，即a6=时，等号 2 成立小+是6的及小值为22 20.C解析：方法一：因为N={x|x2-x-6≥0}={xx≤-2或x≥3}， 而M={-2,-1,0,1,2},所以MnN={-2}. 方法二：因为M={-2,-1,0,1,2},将-2，-1,0,1,2代入不等式 x2-x-6≥0，只有-2使不等式成立，所以MnN={-2}. ≥2即为*+2s 21.C解析：-4 为子0.等价于20年 得-2≤x<1,故解集为{xl-2≤x<1. 2{✉-1<号}解析：由3x+-2<0得(+1)(3-2)<0，即 3(+1)(-号)<0，解得-1<号 2 23.证明：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0, 六a6+6ctau=(a6e abc=1,a,b,c均不为0，a2+b2+c2>0,.ab+bc+ca= -c6e0 (2)不妨设max{a,b,c}=a,由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b< 0,c<0. a=-b-e,aa(b)he ebe 1 bc 4,当且仅当b=c时，等号成立， .a≥4，即maxa,b,c}≥4. 函数 2.C解析：A是常量，B,D是依赖关系，C是确定的函数关系 3.C解析：对于A,给定的介质下，质量=密度×体积，密度为定值， 即两者有关系，故A不符合题意； 对于B,房屋的地理位置越好，房屋价格越高，两者有关系，故B不 符合题意； 对于C,一个人的体重与智力没有关系，故C符合题意； 对于D,土壤越好树木越容易长高，即两者有关系，故D不符合 题意 4.AC解析：A正确，函数值域中的每一个数一定有定义域中的一 个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应； B错误，函数的定义域和值域不一定是无限集，也可以是有限集， 但一定不是空集，如函数f(x)=1,x=1的定义域为{1}，值域 为{1}； C正确，根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找 到唯一元素与之对应； D错误，当x的值不同时，y的值可能相同，如函数y=x2,当x=1或 x=-1时，y=1. 5.C解析：由函数的定义可知，函数的每一个自变量对应唯一的函 数值. 选项C中，当x>0时，x的任一取值，y都有两个值与之对应，不符 合函数的概念，所以C选项不是函数的图象； 选项AB中，x的任一取值，y都有唯一的值与之对应，所以AB 选项是函数的图象； 选项D中，对x在给定范围内的任一取值，y都有唯一的值与之对 应，所以D选项是函数图象. 6.AD解析：A:因为y=x2-2x+1=(x-1)2≥0，所以对于A中任何一 个元素，在集合B中都有相对应的一个元素，即y是x的函数，故 A正确； B:因为1EA,但2gB,所以y不是x的函数，故B错误： C:当x=4时，由y2=4,解得y=±2，即y不是x的函数，故C错误； D:当集合A中任取一个元素时，集合B中都有唯一元素1与之对 应，即y是x的函数，故D正确！ 7、A解析要使函数)5有意义，只需满足0，解得 (x-5≠0， *≥0且≠5，所以函数)=7压的定义域是[0,5)U(5,+m)。 x-5 从.D解折：由题意可得0。解得<1且≠分，即函数) (2x-1≠0， 的定义域为(-x,2)U(分，1)故选D 重难点拨求给定解析式的函数定义域的方法： 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含 式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解：对于实际 问题，定义域应使实际问题有意义 9.B解析：f(-2)=3×(-2)2+2×(-2)-1=7. 10A解折：根据题位得。2a=-1 11.AB解析：对于A,因为x>-1,所以y=x+1>0,A正确； 对于B,因为x>0,所以y=x2>0,B正确； 对于c==√+号≥咨c错误 对于D,y=+2 x+1 1中中因为xe0,+).所以1e1,+a). x+2 7(0,1),所以y-1+(1,2,D错误 1 12ABD解析：对于A,因为y=1-的定义线与值线均为R,所 以y=1-了是同域函数，A选项正确； 对于B,因为y=0的定义域与值域均为(-的，0)U(O,+∞)，所 以y=是同城两数B进项正确： 对于C,函数y=√x-1的定义域为[1，+∞)，当x=1时，y=0,所 以y=√x-I不是同域函数，C选项错误； 对于D,因为y--2252气向0得2. x-2x-2 所以y= 上)的定义域与值域均为(-0,2)U(2,+∞)，所以y= 2x+1是同域函数，D选项正确 x-2 13.B解析：由题意可得y=3+2 1 x2-x+1 11123、3 因为函数fx)=-x+1=(x2)+4≥4， 14名1（等案不唤-）解折：因为上的定义域为≠ 0},值域为{yly≠0}，关于(0,0)对称，所以结合反比例函数模型 可得所求的函数可以为八)=1微答案为，1（本案不 唯一) 15.9解析：因为函数f(Wx-1)=x2-2x+1,取x=4,可得f(1)= f(4-1)=42-2×4+1=9. 16.[3,+0）解析：由函数y三√mx-2mx+3的值域为[0，t0): y=mx2-2mx+3的值域包含[0，+0) 则/m>0, 解得m≥3， (4=4m2-12m≥0， 所以m的取值范围是[3，+∞). 17.D解析：对于A,y三(x+2)2的定义域为[-2，+0)， 判断是否为同一个函数，需要先判断定义域是否相同 y=x+2的定义域为R,故A错误； 对于B,y=√+2=Ix1+2,故B错误： 于C,y=+2的定义域为(-0,0)U(0,+∞)，故C错 对于D,y=x+2=x+2,故D正确. 18.AC解析：A选项，f八x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1定义域相 同、对应关系相同、值域也相同，A选项是同一个函数. B选项，f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0，+∞)，不是同一 个函数. C选项，f(x)和g(x)的定义域都为{x|x≠0}，f(x)=1(x≠0)， g(x)=1(x≠0)，对应关系相同，值域也相同，C选项是同一个 函数. D选项f(x)的值域为[0，+∞)，g(x)的值域为R,不是同一个 函数 ⊙重难聚焦 19.A解析：因为函数f(x)的定义域为[-1,3]，所以-1≤x2-1≤3， 若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x)的定义域由a≤g(x)≤b求出 解得-2≤x≤2，即f代x2-1)的定义域是[-2,2].故选A. 20.C解析：因为函数y=f(x+2)的定义域为[02 若f(g(x)的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在xe [a,b]上的值域 所以x+2∈[2,4]，即函数y=f(x)的定义域为[2,4]，令2≤2x≤ 4,解得1≤x≤2，即函数y=f2x)的定义域为[1,2].故选C 2L【号】解折：由函数)=V4,则端足4=0，可 得-2≤x≤2，即函数f(x)的定义域为[-2,2]，对于函数y= 参考答案黑白题学霸23 f[g(x)],令-2≤g(x)≤2，即-2≤2x+1≤2，解得-2≤x≤2， 3 即函数y=1g(幻]的定义镀为[-了，] 一题多解由f代x)=√4-x,g(x)=2x+1, 可得f[g(x)]=√4-(2x+1)=V-4x2-4x+3, 令-42-4松+3≥0，解得-) -≤x≤ 2,所以f[g(x)]的定义城为 【] 黑题 能力提升 1.ACD解析：对于A,对于任意n∈N,均存在唯一的f(n)与之对 应，符合函数的定义，可知y=f(n),n∈N是一个函数，故A正确； 对于B,C,因为f4)=5,5)=9,8)=5,故B错误，C正确； 对于D,由定义可知f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D正确. 2.C解析：对于A,f(x)的定义域为[L,+∞)，g(x)的定义域为 (-9,1U[1+0 先分析定义域，定义域不同，则不是同一个函数 定义域不同，所以不是同一个函数： 对于B,f(x)的定义域为(-∞，1)U(1,+∞)，g(x)的定义域为R, 定义域不同，所以不是同一个函数： 对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,定义域相同，对应 关系也相同，所以是同一个函数； 对于D,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,定义域相同， f代x)=√=1x,对应关系不同，所以不是同一个函数 3.A解析：-x2+4x+5≥0得-1≤x≤5，故集合A=[-1,5], g(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4≥4，故集合B=[4,+∞)， 故A∩B=[4,5]. 4.C解析：因为函数f(x+2)的定义域为(-3,4)， 所以f(x)的定义域为(-1,6) 由-3<x<4推出-1<x+2<6,即f代x)的定义域 又因为3x-1>0,即”3 所以函数()的定义域为（行，6）】 易错提醒复合函数代g(x)的定义域也是解析式中x的范围，不 要和f(x)的定义域相混. 1 5.2 解新：因为八x)=√B于是平方差关联函数， 3+a+x 所以。 a+x 3ta-=b,化简得、 /9+6a a-x 1=6, 存在两个常数a,b使该式恒成立，所以9+6a=0,此时b=1 3 则9+6a=0,解得 1 1b=1, a=-2’故a+b=-2 (b=1, 6.解：(1)①若1-a2=0,则a=±1， 当a=1时，f(x)=√6，定义域为R,满足题意； 当a=-1时，f(x)=√6x+6,定义域不为R,不满足题意 ②若1-a2≠0，则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数， f(x)的定义域为R,g(x)≥0对x∈R恒成立， （1-a2>0, (-1<a<1, 5 {4=901-a2-241-o2)s0(a-101a+5)s07≤a<1 综合①@，得实数。的取值粒周为[] 24学霸黑白题数学·必修第一册·BS (2)命题等价于不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2,1]， 显然1-a2≠0，.1-a2<0且x1=-2,x2=1是方程(1-a2)x2+3(1- a)x+6=0的两根， +,=3(a-1 1-a2 =-1,（a2-3a+2=0, 解得a=2. 6 x1·F1- =-2 1a2=4, 念压轴挑战 7.2026解析：因为f(a+b)=fa)·f(b), 所以a+D_fa1)-1), f(a) f(a) 又f1)=2,所以a+1D-2, f(a) 则0/3)5)+…+2025）-2+2++2=2x2026-2026. f0)f(2)f(4)f(2024) 2 22函数的表示法 白题 基础过关 1.C 解析：已知正方形的周长为x,则对角线长为万。 74,从而外接圆 1√2√2 的半径为y=2×4x=8(>0）, 2.D解析：首先一开始离自己家的距离最小，则A,B错误： 开始是走，所以在前段的时间内离家的距离增加较慢，而后是跑， 所以后面这段时间内离家的距离增加较快，故C错误，D正确. 3.A解析：由表中数据可知，f(12)=10, 所以ff(12))=f(10)=12. 4.D解析：.f(2x-1)=4x+6 令2x-1=,则x=4 29 0=拟6=2 ∴.f(x)=2x+8. 5.C解析：令x-1=t,则x=t+1, f()=(+1)2+(t+1)-2=2+3, 所以fx+1)=(x+1)2+3(x+1)=x2+5x+4. 6.A解析：因为f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1, 所以f3x+1)=9x+3=3(3x+1),则f(x)=3x. 7.AC解析：设f(x)=kx+b, f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b. 因为ff代x))=4x-21, 所以公4：解得=2，安2， b+b=-21, 1b=-7(b=21, 所以f(x)=2x-7或f(x)=-2x+21. 8.f(x)=x2-2x(x≥1)8解析：令t=√x+1,t≥1，则x=(t-1)2, 所以f(√x+1)=f(t)=(t-1)2-1, 所以f(x)=(x-1)2-1=x2-2x(x≥1)， 则f4)=42-2×4=8. 9.解：(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=0,得c=0,则f(x)= ax2+bx. 由f(x+1)-fx)=2x-3,得a(x+1)2+b(x+1)-(ax2+bx)=2x-3, 即2ao6-23.周比d2部 所以二次函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4x. (2)因为对于任意的x都有2g(x)+g(-x)=2x-3, 将x替换为-x,得2g(-x)+g(x)=-2x-3,