3.2 基本不等式 课堂限时训练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 高一数学基本不等式同步练，通过基础选择、综合多选、情境应用解答的三层设计，实现从概念理解到实际建模的知识巩固，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一不等式求最值|4道单选直接考查基本不等式应用，强化概念理解| |提升层|条件不等式综合判断|2道多选结合多变量关系辨析，发展推理意识| |应用层|实际问题建模应用|解答题设置红旗渠观景台、投资利润情境，提升应用意识|

2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第一章 预备知识 3.2 基本不等式 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值的方法、基本不等式的适用条件，属于中档题． 先表示出，再化解，利用基本不等式可求最小值． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 故选：． 2.若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意，得， 当且仅当时，取等号， 故的最小值为． 故选D． 3.已知实数，则函数的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，解题时，注意的取值范围，本题属于基础题． 整理后结合基本不等式即可求解结论． 【解答】 解：实数， ，当且仅当时等号成立， 函数的最小值为， 故选：． 4.已知，，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查基本不等式的应用，属于基础题． 利用基本不等式求解即可． 【解答】 解：，，， ， ， 当且仅当，即时取等号， 的最大值是． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若实数，，满足，则下列不等式成立的有(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】解：选项A，，故，故A错误； 选项B，由和不等式的性质可得，故B正确； 选项C，由，可得，由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 选项D，由可得，， 所以， 故，D正确． 故选：． 6.已知实数，满足，则下列说法正确的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BCD  【解析】解：已知实数，满足， 因为，当且仅当，即，或，时等号成立， 则的最大值为，故A错误； 因为，所以，， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，故B正确； 因为，当且仅当或时等号成立， 则的最大值为，故C正确； 因为，当且仅当，或，时等号成立， 则的最大值为，故D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若正数，满足，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】解：正数，满足， 则 ， 当且仅当时，上式取得等号， 则的最小值为． 故答案为：． 8.河南省林州市的红旗渠是著名的水利工程和旅游景点景区管理方计划沿渠修建一个矩形观景平台，平台一边紧靠渠岸利用渠的围栏，无需建造围栏，另外三边需设置安全围栏已知围栏的总长度为米，则观景台的最大面积是          平方米． 【答案】  【解析】解：设垂直渠岸的边长为米，平行于渠岸的边长为米， 由题意可知，， 设观景台的面积为，则， 当且仅当时等号成立，又因为， 所以，时，等号成立，即观景台的最大面积是平方米． 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，求的最大值； 已知正实数，满足，求的最大值． 【答案】解：因为， 所以，当且仅当，即时等号成立，取到最大值； 由，解得， 当且仅当，时，取等号， 所以的最大值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 10.本小题分 某公司计划投资，两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为注：利润与投资金额单位：万元现在该公司有万元资金，并全部投入，两种产品中且均有投，其中万元资金投入产品． 请把，两种产品利润总和表示为的函数，并直接写出定义域； 在的条件下，当取何值时才能使公司获得最大利润？ 【答案】解：万元资金投入产品，则剩余的万元资金投入产品， ，； 由得，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故分别用万元和万元资金投资、两种金融产品， 可以使公司获得最大利润，最大利润为万元．  【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于基础题． 由题意得剩余的万元资金投入产品，结合题意，即可列出函数解析式； 由得，，利用基本不等式，即可得出答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第一章 预备知识 3.2 基本不等式 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 2.若，则的最小值是(     ) A. B. C. D. 3.已知实数，则函数的最小值为(     ) A. B. C. D. 4.已知，，，则的最大值是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若实数，，满足，则下列不等式成立的有(     ) A. B. C. D. 6.已知实数，满足，则下列说法正确的是(     ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若正数，满足，则的最小值为           ． 8.河南省林州市的红旗渠是著名的水利工程和旅游景点景区管理方计划沿渠修建一个矩形观景平台，平台一边紧靠渠岸利用渠的围栏，无需建造围栏，另外三边需设置安全围栏已知围栏的总长度为米，则观景台的最大面积是           平方米． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，求的最大值； 已知正实数，满足，求的最大值． 10.本小题分 某公司计划投资，两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为注：利润与投资金额单位：万元现在该公司有万元资金，并全部投入，两种产品中且均有投，其中万元资金投入产品． 请把，两种产品利润总和表示为的函数，并直接写出定义域； 在的条件下，当取何值时才能使公司获得最大利润？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第一章 预备知识 3.2 基本不等式 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 2.若，则的最小值是(     ) A. B. C. D. 3.已知实数，则函数的最小值为(     ) A. B. C. D. 4.已知，，，则的最大值是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若实数，，满足，则下列不等式成立的有(     ) A. B. C. D. 6.已知实数，满足，则下列说法正确的是(     ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若正数，满足，则的最小值为           ． 8.河南省林州市的红旗渠是著名的水利工程和旅游景点景区管理方计划沿渠修建一个矩形观景平台，平台一边紧靠渠岸利用渠的围栏，无需建造围栏，另外三边需设置安全围栏已知围栏的总长度为米，则观景台的最大面积是           平方米． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，求的最大值； 已知正实数，满足，求的最大值． 10.本小题分 某公司计划投资，两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为注：利润与投资金额单位：万元现在该公司有万元资金，并全部投入，两种产品中且均有投，其中万元资金投入产品． 请把，两种产品利润总和表示为的函数，并直接写出定义域； 在的条件下，当取何值时才能使公司获得最大利润？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $