1.3-&1.4 阶段综合&专题探究1集合的综合问题-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

18.D解析：肖m=0时，不等式为-3x+2≤0，即≥2 先考虑二次项系数是否为0 显然-3x+2≤0在x∈R有解，符合题意； 当m≠0时，命题“3x∈R,mx2+2(m-3)x+4≤0”为真命题， 当m<0时，对于y=mx2+2(m-3)x+4,图象开口向下， 显然mx2+2(m-3)x+4≤0在x∈R有解，符合题意； 当m>0时，对于y=mx2+2(m-3)x+4,图象开口向上， 只需4=[2(m-3)]2-4×4×m≥0，解得m≤1或m≥9， 又m>0,所以0<m≤1或m≥9. 综上，实数m的取值范围是m≤1或m≥9. 黑题 能力提升 1.C 解析：不等式组：-1<0，① 不等式①的解集为 x2-3x≥0，② {xl-1<x<1},不等式②的解集为{xlx≤0或x≥3. 因此不等式组的解集为{x1-1<x≤0. 2.B解析：由题意得c<0,-1,为c2+a+6=0的两个根， y=ax2+bx-c的图象开口向下，AC错误， 1 -2c1 b 对称轴为直线x=2a。2>0,D错误 所以B正确。 重难点拔1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析， “三，点”中有一个点是顶点，另两个点是二次函数图象上关于对称 轴对称的两个点，常取与x轴的交点：“一线”是指对称轴这条直 线：“一开口”是指开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特 征，分析不等关系成立的条件： 3.A解析：当a=0时，不等式即为0>0，此时不等式的解集为⑦，故 D不符合题意； 当a>0时，不等式的解集为{xlx<-1或x>a}; 当-1<a<0时，不等式的解集为{xl-1<x<a},故B不符合题意 当a=-1时，不等式即为-(x+1)2>0,此时不等式的解集为0； 当a<-1时，不等式的解集为{xla<x<-1},故C不符合题意 综上所述，不等式的解集可能为BCD,不可能为A. 4.A解析：当k=0时，不等式x2-6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立； 当k<0时，不等式x2-6kx+k+8≥0不能恒成立； 当k>0时，要使不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立，需4=36k2- 4(k2+8k)≤0，解得0<k≤1. 综上所述，不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，k的取值范 围是0≤k≤1. 4解析=++1-x+1+1≥2：·1+1=3，当且仅当2 士即=1时取得最小值3。 1 由题意可知2≤x≤2时，y=+bx+(b,ceR)在x=1时取得最 小值3，则有b=-2,c=4, 则关于x的不等式ax2-(c+b)x+3a<0在0<x≤2上有解，可转化 为关于x的不等式ax2-2x+3a<0在0<x≤2上有解， 因为0<x≤2时，不等式可转化为ax+30<2,当a=0时，不等式为 3 2,满足题意当>0时，不等式化为x+<,则片>x 2一-2，当且仅当=月时取等号.所以o<写即0<a x+3,2,此时不等式恒成立 3:当a<0时，不等式化为+x7a 综上可知，实数a的取值范围是a<兮 3 610 引≤1≤10解析：由题可知，提价后每年可销售衬衫(8-0.62) 万件，因为8-0.62r>0,所以0<<311-% 40080 ·(8-0.62r）·r%≥ 16,整里得31P-41+100<0,解0≤≤10 7.{x1x≤1或2<x≤3或x>4}解析：由题意可得， 3x2-14x+14-(x-6x+8）≥0， x2-6x+8 即2-8x+6≥0，即x-x-3》≥0， x2-6x+8 (x-2)(x-4) 1(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)≥0， 所以{x-2≠0， (x-4≠0， 解得x≤1或2<x≤3或x>4. 所以解集为{x|x≤1或2<x≤3或x>4}. 8.解：(1)易知△BEGD△BDA,△DFH∽△DBA,所以EG=2BG=2x, DH=2FH=2EG=4x 又因为BD=√AB2+AD2=√(45)2+(85)2=20，所以GH=BD BG-DH=20-x-4x=20-5x, 所以S=2EG·GH=4x(20-5x)=-20x2+80x 又因为S=ax2+bx,则a=-20,b=80. a(a可知，0年得0cac4 因为蓝莓至多能铺满30cm2,若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不 小于35cm2, 1-10x2+40x≤30， x2-4x+3≥0， 则-20+80x≥35，整理可得42-16x+7≤0，解得 2≤x≤1或 0<x<4, 0<x<4, 7 3≤x≤2 因为EF=GH=20-5x, 当}←≤1时，15<30-5：当3：≤号时，≤05≤ 所以≤EF≤5或15≤B≤（单位，om). 35 专压轴挑战 9.0或1解析：由已知可得(x-a+2)(x-a)(x-a2)≥0，易知该不等 式对应方程的三个根为x1=a-2<x2=a,x3=a2≥0，且a2>a-2恒 成立： 已知x≥0时，不等式(x-a+2)[x2-(a+a2)x+a3]≥0恒成立，则需 满足当a2=0时，解得a=0成立； 当a2>0时，则需满足a=a2,a-2≤0，解得a=1成立. 53-s4阶段综合 黑题 阶段强化 1c解析a+=a+4+=4+(a+日)≥4+2a日 1 a 4+2=6, 当且仅当a=。即a=1时取等号，放a的最小值为6 a 参考答案黑白题学霸17○ 2.B解析：因为不等式-2-m<0在2≤x≤2上有解， 所以不等式心-2z在≤<2上有解， 分离参数 令t=x2-2x=(x-1)2-1,则tn=-1,所以m>-1. 图多用因为不等式-2x-m<0在7≤2上有解，且委数 x2-2x-m图象的对称轴为直线x=1,所以1-2-m<0,解得m>-1. 3.A解析：原式=(a+2b)2+2a6≤1+（a+2b)2_5 4 4 1 当且仅当=26，即 =2' 时，等号成立 (a+2b=1, b=4 4.B解析：由20，>0，且1+=1，可得y=+y x y 所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y. 又因为xt4=(*4)(）=5红之≥9. x y x y 当且仅当红=，即x=3,y=之时取等号，所以4切3x≥9 5.AC解析：由题意可知 a>0, b -2+1= a’则/a=6, \-2a=c, (-2x1= 对于A,所以b>0且c<0,故A正确， 对于B,4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0,故B错误； 对于C,不等式bx+c>0台ax-2a=a(x-2)>0→x>2,故C正确； 对于D,不等式cx2-bx+a<0曰-2ax2-ax+a=-a(2x-1)(x+1)<0, 又a>0, 可得(2x-1)(x+1)>0,所以或x<-1,故D错误 312*2 《人解析：引得 1=-30,所以2+2)(x-3)≤0， (x-3≠0， 解得-1≤x<3,A={x|-1≤x<3}; 由x2-(a+3)x+3a<0得(x-3)(x-a)<0. “xEA”是“x∈B”的充分不必要条件，则A是B的真子集， 当a>3时，B={xl3<x<a},不满足题意； 当a=3时，B={xl(x-3)2<0}=0,不满足题意； 当a<3时，B={xla<x<3},则需满足a<-1. 综上所述a<-1. 7.A解析：x2-x-2>0的解集为{x|x<-1或x>2}, 2x2+(5+2k)x+5k=(2x+5)(x+k)<0, 当x时，2+(5+2)x+3<0的解集为{-<-4. 因为关于x的不等式组：-2少0， 2x2+(5+2k)x+5k<0 的整数解只有-2， 所以-2<-k≤3，即-3≤k<2; 当：=三时，2x+(5+2)x+56<0的解集为空集，不满足题意； 当时，2r4(5+2)+5<0的解架为{x-k<},不满 足题意. 综上，k的取值范围为-3≤k<2, 18学霸黑白题数学·必修第一册·BS 8.xx≤-3或x=-1或1<x≤2}解析：原不等式等价于 1(x+3)(x+1)2(x-1)2匹(x-2)(x-4)2≤0， x-1≠0， (x-4≠0， 如图所示： 由高次不等式“奇穿偶不穿”的原则可知，原不等式的解集为 {xx≤-3或x=-1或1<x≤2}. k 9.≥9解析：方程41x|+ 1 可转化为=(41+） 当o0时，方程为=(4+士)(+）=4+5： 当0时=(4)(）=4+中即方程=4+ +5有解， 又0,4+52，+5=9，当且仅当即2 1 时，等号成立，所以≥9 1到 解析：因为y=x2-2ax+a的图象开口向上，对 称轴为直线x=a, 不等式有唯一解的充要条件是y=x2-2ax+a的最小值为-1， 所以a2-a-1=0,解得a=1±5 21 11.解：(1)关于x的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解集为M, 若M中的一个元素是0，把x=0代入不等式，有3+a-2a2<0,解 得a<-1或a>2 (2)关于x的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解集为M, 若M={xl-7<x<3,则-7和3是方程2x2+(3a-7)x+3+a-2a2= -7+3=-3a-7 2 0的两根，则有 -7x3=3+a-2a 解得a=5,所以实数a的值 2 为5 12.解：(1)由AB为直径，得AC⊥BC,所以BC2=400-x2, 1,K 由已知得y=字40-2(0<x20）, 又当污水处理厂是AB的中点时，对学校A和学校B的总影响度 为0.085， 1 K 即x=102时，y=0.085,代入上式得0.085=20+400-200解得 K=16, 所以y数n设：的压致为y中0a20 如子)小如(n@·） /400-x2,16x2 名气仅-用45时等9立 所以AB上存在一点，该点到学校A的距离为4V5km时，建在此 处的污水处理厂对学校4和学校B的总影响度最小，最小为6 13.解：(1)根据题意，①当m+1=0,即m=-1时，y=2x-2,不符合 题意； ②当m+1≠0，即m≠-1时，y<1的解集为R,即(m+1)x2-(m- 1)x+m-2<0的解集为R, (m+1<0, 即/m<-1, 4=(m-1)2-4(m+1)(m-2)<0,3m2-2m-9>0, 条微m<子7 (2)y≥(m+1)x,即(m+1)x2-2mx+m-1≥0，即[(m+1)x-(m- 1)](x-1)≥0， ①当m+1=0,即m=-1时，解集为xx≥1}； ②当a+10,周m>-1时，()(x-10≥0，时1 m+1 m子<1解集为{ x≤m-1或x≥1}： m+1 ③当m+1<0,即m<-1时，x- m-1=1- m+1 n子>1新集为{1≤≤} m+i' 综上所述：当m<-1时，解集为{✉1≤x≤ m+1/; 当m=-1时，解集为xx≥1}； 当m心1时，解集为{：≤或≥} (3)(m+1)x2-(m-1)x+m-1≥0，即m(x2-x+1)≥-x2-x+1, -x+1>0恒成立m≥+1-142(1-) x2-x+1 x2-x+1 3 设11，则3≤ 2=1-t, 1-x t t 1 2+1(1-)2-(1-)+1B-+1 .:t+一≥2，当且仅当t=1时取等号， t 1-x -x+1 ≤1，当且仅当x=0时取等号，.当x=0时， -x2-x+1 =1,.m≥1. x2-x+1 专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强化 1.C解析：因为A∩(C.B)={2},所以2∈A,所以4+2p-6=0,得到 p=1.当p=1时，由x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以-3eB,故 9-3*2=0,得到g号所以p+9=1+号号 .1114 2.[-1,0)U(2,3]解析：由x2-3x-4<0,即(x+1)(x-4)<0,解得 -1<x<4,.A={xlx2-3x-4<0={xl-1<x<4}. 由x2-(2a+1)x+a2+a-2≤0，即x2-(2a+1)x+(a+2)(a-1)≤0， 即[x-(a+2)][x-(-1)]≤0，解得a-1≤x≤a+2, .∴.B={x|x2-(2a+1)x+a2+a-2≤0}={xla-1≤x≤a+2}. :(a+2)-(a-1)=3,.集合AnB中的两个整数是0,1或2,3. 若集合An8中的两个整数是0，L,则1≤a+22,解得-1≤a<0: (a-1≤0， 若架合An8中的两个整数是2,3，则22解得2<a≤3一 综上可得，实数a的取值范围是[-1,0)U(2,3]. 3.解：(1)由题意知A={x-3≤x≤7}， 因为(A)UB=A,故BC(CA). ①当B=0,即m+1>2m-1时，满足BC(CA),此时m<2; (m+1≤2m-1, ②当B≠0时，若B二(A),则m+1≥-3，解得2≤m≤4. 2m-1≤7， 综上所述，m的取值范围为{mm≤4}. (2)因为(CA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1，故B≠0，即m+ 1≤2m-1,解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. ①当2m-1≤7，即m≤4时，(CA)∩B=B={x|m+1≤x≤2m-1}, 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； 2m-1>7即4<m≤6时，(GA)nB=B=xm+1≤x≤7， ②当 m+1≤7， 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； ③当m+1>7,即m>6时，(CA)∩B=☑，不符合题意， 综上所述，实数m的取值范围为{m3≤m≤5. 4.ACD解析：用crad(M)表示有限集M的元素个数， 由题意知非空集合A,B满足crad(AUB)=10,crad(AnB)≤1， 对于A,由crad(A∩B)≤1，得crad(A∩B)=0或1， crad(A)+crad(B)=crad(AUB)+crad(AnB), 当crad(AnB)=0时，crad(A)+crad(B)=10; 当crad(AnB)=1时，crad(A)+crad(B)=11,故A正确； 对于B,当A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={1,10}时，A-B={-9, -8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8},则 crad(A-B)=18,故B不正确； 对于C,A+B中元素最大为10+10=20，最小为1+1=2，.A+BC {2,3,4,…,20},crad(A+B)≤19，当取等号时，必有{2,20}CA+ B,而2只能为1+1,20只能为10+10，故{1,10}CA∩B,这与 crad(AnB)≤1矛盾.crad(A+B)≤l8,即crad(A+B)的最大值 为18，故C正确； 对于D,B非空，且合=1EA#B,…合cAUB=1,2 3,,10且1,2,3，，10中至少有1个元素不在合中， cm(日)≤9，当4=1,23，，10，B=1时取等号，放 D正确， 瓦(1①解：若集合4=(？m,；是二元和谐袋 则子a+子m=(?加）(？每得m=±子 9, 3 (2)证明：集合A={a1,a2}是“二元和谐集”，设a1+a2=a1a2=t>0, 则a1,a3可以看成一元二次方程x之-x+=0的两正根， 一元二次方程x2+x+q=0的根为x1,x2,则x1+x2=-P,x1x2=q 则A=2-4>0,解得t<0(舍)或>4，即a1a2>4,所以a1,a2中至少 有一个大于2. (3)解：设正整数集A={a1,a2,a3}为“三元和谐集”，则a1a2a3= a1+a2+a3,不妨设a1<a2<a,则a1a2a3=a1+a2+a3<33,解得a1a2< 3.因为a1,a2∈N”,故只有a1=1,a2=2满足要求，所以1×2a= 1+2+a3,解得a,=3.综上，A={1,2,3}满足要求，其他均不合要求， 故存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即A= {1,2,3}. 参考答案黑白题学霸19s3-54 黑题 阶段强化 1.*(2026·河南洛阳高三月考)设a>0,则 a+4a+l的最小值为 () a A.2a+1 B.2√/4a+1 C.6 D.3 2.(2026·江苏南京高一月考)若不等式 x-2x-m<0在2≤x≤2上有解，则实数m的 取值范围是 A.m≥-1 B.m>-1 3 C.m>- D.m>0 4 3.*(2025·江苏无锡高一期末)已知正数a, b满足a+2b=1,则a2+6ab+4b2的最大值为 B.1 C.3 4 0、3 4.*(2026·湖南邵阳高一月考)已知正实数 ,y满足+1=1，则4y-3x的最小值为 x Y A.8 B.9 C.10 D.11 5.*★*多选(2026·安徽合肥高一月考)已知 关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解 集为{xx≤-2或x≥1}，则 A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2} D.不等式e2-br+n<0的解集为{x-1r<} 6.禁（2026·湖北武汉高一月考)已知集 合4={✉写1，集合8=1-(@+ 第一章 阶段综合 3)x+3a<0},若“xeA”是“x∈B”的充分不必 要条件，则实数a的取值范围为 A.a<-1 B.a≤-1 C.a≥-1 D.a>-1 7.禁(2026·广东广州高一期中)若关于x的 (x2-x-2>0, 不等式组 的整数解只 2x2+(5+2k)x+5k<0 有-2，则k的取值范围为 A.-3≤k<2 B.1≤k≤2 C.1<k≤2 D.1<k<2 8.关于x的不等式x+3)(x-2)(x+1) ≤0 (x-1)2025(x-4)2026 的解集为 1 k 9.*若关于x的方程4|x|+ 有 11 解，则飞的取值范围为 10.(2026·江苏苏州高一月考)若不等式 -2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解，则实数a的 取值集合为 11.**(2025·江苏无锡高一月考)已知关于 x的不等式2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0的解 集为M. (1)若M中的一个元素是0，求实数a的取 值范围； (2)若M={x|-7<x<3},求实数a的值. 23 学霸黑白题数学·必修第一册·BS 12.(2026·河南郑州高一月考)如图，学 校A和学校B相距20km,现计划在学校外 以AB为直径的半圆弧（不含A,B两点）上 选择一点C建造一家污水处理厂.其对学校 的影响度与所选地点到学校的距离有关，对 学校A的影响度与所选地点到学校A的距 离的平方成反比，比例系数为1：对学校B 的影响度与所选地点到学校B的距离的平 方成反比，比例系数为K对学校A和学校B 的总影响度为学校A和学校B的影响度之 和.记C点到学校A的距离为xkm,建在 C处的污水处理厂对学校A和学校B的总 影响度为y.统计调查表明：当C在AB的中 点时，对学校A和学校B的总影响度 为0.085 (1)将y表示成x的函数 (2)判断半圆弧AB(不含A,B两点)上是否 存在一点，使得建在此处的污水处理厂 对学校A和学校B的总影响度最小？ 若存在，求出该点到学校A的距离，以 及总影响度的最小值；若不存在，说明 理由。 24 13.接(2026·福建泉州高一月考)已知函数 y=(m+1)x2-(m-1)x+m-1. (1)若不等式y<1的解集为R,求m的取值 范围； (2)解关于x的不等式y≥(m+1)x; (3)若不等式)≥0对-切x∈{x2≤x≤ }恒成立，求m的取值范围 第一章 专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强化 题组1集合中的参数问题 题组2集合中的新定义问题 1.*(2025·福建福州高一月考)已知A= 4.*多选(2026·江西九江高一月考)非空 {xlx2+px-6=0},B={xlx2+qx+2=0},且A∩ 集合A,B满足AUB={1,2,…,10},且A∩B (C.B)={2},则p+g的值为 中元素个数不大于1.定义集合A±B={x±y川 A.4 EA,yeB,合xEA,g,则() c片 A.集合A,B中元素个数之和为10或11 D.5 B.集合A-B中元素个数最多为17 2.*★*(2026·四川成都高一月考)已知集 C.集合A+B中元素个数最多为18 合A={xlx2-3x-4<0},B={x|x2-(2a+1)x+ a2+a-2≤0}，若集合A∩B中恰好只有两个 D.集合分中元素个数最多为9 整数，则实数a的取值范围是 5.接(2026·江西新余高一月考)已知n元有 3.**已知集合A={xIx<-3或x>7},B= 限集A={a1,a2,a3,…,an}(n≥2，n∈Z),若 {xlm+1≤x≤2m-1}. a1+a2+a3+…+an=a1×a2×a3×…×an,则称集 (1)若(CRA)UB=CRA,求实数m的取值 合A为“n元和谐集”. 范围； (2)若(RA)∩B={xla≤x≤b},且b-a≥1， (1)若集合4=骨n,}是二元和谐 9 求实数m的取值范围. 集”，求m的值 (2)若正数集A={a1,a2}是“二元和谐集”， 试证明：元素a1,a2中至少有一个大于2. (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三 元和谐集”？如果有，有几个？请说明 理由. 25