1.2.1 必要条件与充分条件-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

学霸黑白题数学·必修第一册·BS s2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 白题 基础过关 限时25min 题组1充分条件、必要条件与充要条件的判定 A.充分不必要条件 1.★(2026·吉林长春高一期中)“x=5”是 B.必要不充分条件 “x=√/5”的 C.充要条件 A.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 题组2充要条件的证明 B.必要不充分条件 6.*苏教教材变式(2025·江苏南京高一月 C.充要条件 考)求证：“关于x的方程ax2+bx+c=0有一 D.既不充分也不必要条件 个根为2”的充要条件是“4a+2b+c=0”. 2.(2026·广东中山高一月考)“x,y为无 理数”是“y为无理数”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.*(2026·重庆长寿区高一期末)《三国演 义》是中国古典四大名著之一.《三国演义》中 曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析 “得到卧龙或凤维”是“安天下”的 ( A.充要条件 B.充分不必要条件 7.*(2026·河北石家庄高一月考)设a,b,c C.必要不充分条件 均为正实数，证明：a+b+c=√ab+√ac+√bc的 D.既不充分也不必要条件 充要条件是a=b=c. 4.*(2026·辽宁辽阳高一期末)[x]表示不 超过x的最大整数，如[1.1]=1，则“9<x<10” 是“[x]=9”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.*★(2026·重庆渝中区高一期末)p:A∩B 为空集，9：A,B至少一个是空集，则p是q的 () 8 第一章预备知识黑白题学霸 题组3充分条件、必要条件与充要条件的探索 14.已知集合M={xlx<-3或x>5},P={xl 8.★(2025·广东广州高一期中)若集合A= a≤x≤8}. {xlx>0},下列各式不是“a∈A”的充分不必 (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= 要条件的是 {x5<x≤8}的充要条件； A.a=2 B.a>1 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P= C.0<a<1 D.a≥0 {x|5<x≤8}的一个充分不必要条件； 9.★多选(2026·湖南长沙高一月考)如图 (3)求实数a的一个取值范围，使它成为 所示的电路中，“开关S闭合”是“灯泡L亮” M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分 的充要条件的电路图是 条件. B C D 10.*(2026·广东湛江高一月考)方程x2+ mx+4=0有两个不相等的正实数根的一个 充分不必要条件是 A.m>4或m<-4 B.m<-5 C.m>4 D.m<-4 11.*函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1 对称的充要条件是 易错聚焦心 视 题组4充分条件、必要条件与充要条件的应用 讲解 12.*(2026·四川成都高一月考)已知集 易错点混淆充分条件和必要条件 合A={xl-1<x<2},B={x|-1<x<m+1},若 15.学科融合(2026·广东揭阳高一月 x∈A是x∈B成立的一个必要不充分条件， 考)荀子曰：“故不积眭步，无以至千里； 则实数m的取值范围是 不积小流，无以成江海.”这句来自先秦 A.mlm<1 B.{mlm≤1} 时期的名言阐述了做事情不一点一点积 C.mlm>1 D.{mlm≥1} 累，就永远无法达成目标的哲理由此可 13.(2026·江苏扬州高一月考)集合A= 得，“积跬步”是“至千里”的( {1,x2},B={1,4,x},若x∈A是xeB的充 A.充分不必要条件 分条件，则x为 B.必要不充分条件 A.0 B.-2 C.充要条件 C.0或-2或1 D.0或±2 D.既不充分也不必要条件 9 学霸黑白题数学·必修第一册·BS 黑题能力提升 限时25min1答案P9 1.*(天津高考)“x为整数”是“2x+1为整 6.*人A教材变式在△ABC中，角A,B,C所 数”的 ( ) 对的边分别为a,b,c,则“a2+b2>c2”是 A.充分不必要条件 “△ABC是锐角三角形”的 () B.必要不充分条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.充要条件 2.多选(2026·江苏苏州高一期中)“-5< D.既不充分也不必要条件 7.*当地月连线和日地连线正好成直角时， x<2”是“x<k或x>k+4”的充分不必要条件， 若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆 则实数k的值可以是 ( 形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看 A.-9 B.-6 到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下 C.1 D.4 弦月”根据以上信息可知“地月连线和日地 3.*(2026·浙江杭州二中高三月考)“集 连线正好成直角”是“下弦月”的 条 合A,B满足A∩B=B”的一个充要条件是 件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要” 或“既不充分也不必要”) A.ACB 8.*若a,b都是实数，试从①ab=0;②a+b= B.AC(A∩B) 0:③a(a2+b)=0;④ab>0中选出满足下列 C.AUB=B 条件的式子，用序号填空： D.AUB=A (1)使a,b都不为0的充分条件是 4.*(2026·山东菏泽高一月考)已知p是t (2)使a,b至少有一个为0的充要条件 的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是 是 的必要条件，g是s的必要条件，下列命题正 9.整设x为任一实数，[x]表示不超过x的最 确的是 大整数，〈x)表示不小于x的最小整数，例如 A.r是g的充分不必要条件 [2.1]=2,[-2.1]=-3,〈0.5〉=1，〈-0.5〉= 0,那么“[a]=〈b〉”是“a≥b”的 B.p是g的充分不必要条件 条件 C.r是g的必要不充分条件 D.r是s的充分不必要条件 压轴挑战 5.*(2026·黑龙江哈尔滨师大附中高一月考) 已知集合A={xI3ax-2≤0}，则使得“1∈A且 10.接(2026·江西南昌高一月考)已知集 2A”成立的一个充分不必要条件是( 合A={x∈Z引点(x-1,x-a)不在第一、三 2 象限}，集合B={t|1≤t<3},若“y∈B” B.a<0 是“yeA”的必要条件，则实数a的取值 egas D.a23 1 范围是 10故当a<-7时，B=☑二A满足题意； ②当B≠⑦，即a≥-7时. 若集合B中只有一个元素，则△=8(a+7)=0,解得a=-7, 即当a=-7时，B={xx2-12x+36=0}={6}二{2,6}，BCA,满足 题意； 若集合B中有两个元素，则△=8(a+7)>0,解得a>-7, 即当a>-7时，要使BCA,则B=A={2,6}, 所以2和6是方程x2+2(a+1)x+a2-13=0的两个根， 则由韦达定理得2+6=-2(a+1),解得a=-5,满足条件o>-7。 (2×6=a2-13, 综上所述，a≤-7或a=-5. 方法总结解决含参集合的包含关系时，需分步进行： ①将已知元素代入求出参数的可能值； ②验证互异性及集合相等条件； ③讨论子集关系时，注意空集是任何集合的子集，需单独考虑 念压轴挑战 8.C解析：由题意可知，A1UA2UA={x∈N11≤x≤9}=1,2,3， 4,5,6,7,8,9},A1,A2,A3各有3个元素且不重复， 先考虑最小值为1,2,3，不妨设1∈A1,2∈A2,3∈A3,9∈A3,则剩 余数中最大为8， 所以可以令8∈A3,所以A1={1,4,5},A2={2,6,7}或者A1={1, 6,7},A2=2,4,5},此时M1+M2+M3取得最小值，此时最小值为 1+2+3+5+7+9=27, S2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 白题 基础过关 1.C解析：由x=5,得√=√5；由√=√5，得x=5;所以“x=5”是 “√x=√5”的充要条件 2.D解析：充分性：取x=e,y=2符合“x,y为无理数”，但是y=2 e 不符合“y为无理数”，故充分性不满足； 必要性：当“y为无理数”时，可以取x=e,y=2,但是不符合“x,y 为无理数”，故必要性不满足 故“x,y为无理数”是“y为无理数”的既不充分也不必要条件. 3.B解析：“卧龙凤维，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏 中的任意一个，就可以安天下， 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件： 可将日常语言转化为“若p则g”的形式，即若得卧龙凤雏之一， 则可安天下 但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能 通过其他途径实现， 则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件： 则“得到卧龙或风雏”是“安天下”的充分不必要条件 4.A解析：若[x]=9,则9≤x<10,所以“9<x<10”是“[x]=9”的充 分不必要条件 5.B解析：首先，判断g对p的推出关系：若A,B至少一个是空集 则AnB必为空集，即q→P; 若A∩B为空集，未必有A,B至少一个是空集（如A={1},B= {2),即pPg 所以p是g的必要不充分条件， 6.证明：必要性：若ax2+bx+c=0有一个根为2，则x=2满足方程，即 4a+2b+c=0: 充分性：若4a+2b+c=0,则a×22+b×2+c=0,即x=2满足方程ax2+ 8学霸黑白题数学·必修第一册·BS bx+c=0,则关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2. 综上，命题得证 7.证明：充分性： 因为a=b=c,且a,b,c均为正实数， 所以a+b+c=3a,√ab+/ac+√bc=3a, 所以a+b+c=√ab+√ac+√bc,充分性得证 必要性：因为a,b,c均为正实数，且a+b+c=√ab+√ac+√bc, 所以a+b+c-√Jab-√ac-√bc=0, 即2a-6)a-)2+c-6)]-0, 所以a-b=0,√a-√c=0,√c-√b=0, 所以a=b=c,必要性得证. 综上，a+b+c=ab+√ac+√bc的充要条件是a=b=c. 8.D解析：对于A,,a=2→a∈A,a∈Aa=2,∴.a=2是a∈A的 充分不必要条件； 对于B,,a>1→a∈A,a∈Aa>1,∴.a>1是a∈A的充分不必要 条件： 对于C,∴.∵0<a<1→a∈A,a∈A0<a<1,∴.0<a<1是a∈A的充分 不必要条件： 对于D,.a=0Pa∈A,a∈A→a≥0， .a≥0是a∈A的必要不充分条件. 9.BD解析：对于A,开关S与另一个开关是并联电路，灯泡L亮，S 不一定闭合，故A不符合题意： 对于B,开关S与灯泡L是串联电路，当灯泡L亮时，S一定闭合， 当开关S闭合时，灯泡L亮，故B符合题意； 对于C,开关$与灯泡L以及另一个开关三者串联，当开关$闭合 时，灯泡L不一定亮，故C不符合题意； 对于D,开关S与灯泡L是串联，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯 泡L亮时，开关S闭合，故D符合题意. 10.B解析：方程x2+mx+4=0有两个不相等的正实数根，当且仅当 △=m2-16>0, 且两根之和-m>0时取得，解得m<-4. 易忽略正实数根的验证 故其一个充分不必要条件是m<-5. 11.m=-2解析：由于二次函数的对称轴为直线x=-m,所以函数 2 =+m+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是-7=1， 即m=-2. 12.A解析：x∈A是x∈B成立的一个必要不充分条件， .B是A的真子集； 当B=0,即m+1≤-1时，m≤-2，满足题意； 当B≠☑时，需满足-1<m+1<2,解得-2<m<1: 综上所述，实数m的取值范围为{mlm<1}. 方法总结充分、必要条件与集合的关系： P,9成立的对象构成的集合分别为A和B. (1)若ACB,则p是g的充分条件，9是p的必要条件. (2)若A手B,则p是q的充分不必要条件，9是p的必要不充 分条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件。 13.D解析：x∈A是x∈B的充分条件，.ACB, 则：①x2=4,解得x=±2； ②x2=x,解得x=0或x=1(舍去). 综上，x=0或x=±2. 14.解：(1)M∩P={x15<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5，所以实数a 的取值范围是al-3≤a≤5}. (2)显然，满足-3≤a≤5的任意一个a的值都是M∩P={x5< x≤8}的充分不必要条件 如：a=-3.(答案不唯一) (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={xI5<x≤8}的一个必 要不充分条件就是另求一个集合，故{aI-3≤a≤5是它的一个 真子集. 当a≤5时，未必有M∩P={xl5<x≤8}，但是M∩P={xI5<x≤8} 时，必有a≤5，故{ala≤5}是所求的实数a的一个取值范围.（答 案不唯一) 重难点拔充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求 解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解. (2)要注意端点的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数 的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点的取舍，处理不当 容易出现漏解或多解的现象 。易错聚焦 15.B解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必 须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件 易错提醒处理逻辑语句时，可将日常语言转化为“若p则q”的形 式，再根据箭头方向判断充分必要性。 黑题 能力提升 1.A解析：当x为整数时，2x+1必为整数； 当2x+1为整数时，x不一定为整数， 、1 例如当2x+1=2时，x=2 所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件 2.AD解析：由“-5<x<2”是“x<k或x>k+4”的充分不必要条件， 则{x|-5<x<2}是{x|x<k或x>k+4的真子集， 所以有k≥2或k+4≤-5，即k≥2或k≤-9. 即A,D正确，B,C错误 3.D解析：由A∩B=B曰BCA台AUB=A. 4.B解析：由已知有p→r,r种p,q→r,→s,s→9， 由此得r→g且g→r,故A,C不正确； p→q,qp,故B正确； T→s且s→r,故D不正确。 }a≤号 5A解析：由题可知1cA耳2gA2八0，解得a 所以使得“1∈A且2使A”成立的一个充分不必要条件是集合 {e日a≤号}的-个真子巢， 只有选项A中的{a}a号}是（写a号}的真子实 6.B解析：必要性：在锐角三角形ABC中，作AD⊥BC,D为垂足， 如图， AB2 AD2 +DB2 =AC2-CD2+(CB-CD)2=AC2+CB2-2CB. CD<AC2+CB,所以必要性成立；充分性：在△ABC中， 取三角形边长a=4,b=5,c=3, 要证明不成立，只要找出一组反例 则根据a2+c2=b2可知△ABC为直角三角形，且满足a2+b2>c2,但 此时△ABC不为锐角三角形，充分性不成立； 所以“a2+b2>c2”是“△ABC是锐角三角形”必要不充分条件 7.必要不充分解析：充分性：地月连线和日地连线正好成直角时， 我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立： 必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要 性成立，故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要 不充分条件. 8.（1)④(2)①解析：由题意有：①ab=0→a=0或b=0,即a,b至 少有一个为0：②a+b=0台a,b互为相反数，则a,b可能均为0，也 可能为一正数一负数： ③a(a2+b2)=0曰a=0,b为任意实数： ④ab>03 >0或a<0即a,b都不为0. b>0b<0. 综上可知，(1)使a,b都不为0的充分条件是④； (2)使a,b至少有一个为0的充要条件是①. 9.充分不必要解析：对于实数a,b,依题意，a≥[a],〈b〉≥b,而 [a]=(b〉，因此a≥b, 1 1 若a≥b,如取a=2,6=2,有[a]=0,(b)=1, 显然[a]<〈b〉，所以“[a]=〈b)”是“a≥b”的充分不必要条件. 念压轴桃战 10.0<a<3解析：由“y∈B”是“y∈A”的必要条件，得ACB, 由A中元素为整数，故A只可能为{1}，{2}，{1,2}， 由点不在第一、三象限，得-1≥0或-1≤0， (x-a≤0(x-a≥0， 即≥1，①或≤1，® (x≤a (x≥a 当a<1时，①无解，由②得a≤x≤1， 此时A={x∈Zla≤x≤1}，故A={1},有0<a<1; 当a≥1时，由①②得1≤x≤a, 此时A={x∈Zl1≤x≤a,因为1∈A,只须3A,有1≤a<3: 综上，实数a的取值范围是{al0<a<3}. 2.2全称量词与存在量词 第1课时全称量词命题与存在量词命题 白题 基础过关 1.C解析：对于A,含有量词所有，为全称量词命题，故A不符合题意； 对于B,含有量词每一个，为全称量词命题，故B不符合题意； 对于C,含有量词有的，为存在量词命题，故C符合题意； 对于D,含有量词任意，为全称量词命题，故D不符合题意， 2.AC解析：根据全称量词命题和存在量词命题的定义可以判断 选项A,C是全称量词命题，B,D是存在量词命题」 3.C解析：与“Hx∈R,x2+1≥1”表述一致的是“不存在实数x,使 得x2+1<1成立”. 4.Hx∈R,x2+1≠0解析：由已知，“方程x2+1=0无实根”是全称量 词命题，故可改写为Vx∈R,x2+1≠0. 5.AD解析：对于A选项，取x=0,则1-x2=1-0>0,A中的命题为假 命题； 对于B选项，当x≥0时，|x|=x;当x<0时，|x|=-x>x. 综上所述，Hx∈R,lxl≥x,B中的命题为真命题； 对于C选项，取x=-1,则x3=(-1)3--1<1,C中的命题为真 命题； 对于D选项，若x2=2,则x=±√瓦Q,D中的命题为假命题 易错提醒判断全称量词命题为假只需举一个反例，判断存在量词 命题为真只需找一个实例 参考答案黑白题学霸9○