1.1.3 集合的基本运算-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

1.3集合 、白题 基础过关 题组1并集的运算 1.*(2026·江苏无锡高一月考)设集合A= {x|x<2},B={x|-2<x<3},则AUB=() A.xlx<3 B.xlx<2 C.{xlx>-2} D.{x|-2<x<2 2.*多选(2026·江苏南京高一月考)满足 {1,2,3}UA={1,2,3,4}的集合A可能是 A.{4} B.{2,4} C.{1,3} D.{1,2,4} 3.*(2026·河北石家庄高一月考)定义A-B ={x|x∈A且xB},若A={x∈NI1≤x<6}, B={x∈NI2<x<8},则(A-B)U(B-A) 题组2交集的运算 4.*(2026·福建厦门高一期末)已知集 合A={xlx2=2x},B={-1,0,1,2},则A∩B= () A.{2}B.{0}C.{0,2}D.{1,2} 5.*已知集合A={x||x|≤2，x∈R},B={xl √x≤4，x∈Z},则A∩B= A.{x0<x<2} B.{xI0≤x≤2} C.{0,2} D.{0,1,2} 6.*★(2026·江苏盐城高一月考)已知集 合A={1,3,4,7},B={xlx=2k-1,k∈Z},则 集合A∩B的真子集个数为 () A.16 B.15 C.8 D.7 题组3补集的运算 7.*(全国高考)设全集U={0,1,2,4,6,8}, 集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUCN= A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U 第一章 的基本运算 8.★(2026·山东烟台高一月考)如图，全集 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,4, 5},则图中阴影部分所表示的集合为() A.{1,2,4} B.{4,5} C.{1,5} D.{3,4,5} 9.*(2026·山东潍坊高一月考)已知集合 U={x∈Z11≤x≤4}，C,A={1,2},则集合A= A.{3,4} B.{1,2} C.{x|3≤x≤4} D.{x|1≤x≤2} 10.*(2025·江苏苏州高一月考)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2},AU(CB)=U, 试写出一个符合要求的集合B: 重难聚焦山 重难点根据集合间的运算结果求参数 11.(2026·陕西宝鸡高三期中)已知集 合A={1,m},B={2,m-3,4},AUB= {1,2,4},则m= A.1 B.2 C.7 D.4 12.*（2026·江苏徐州高一期末)已 知A={x|a≤x≤a+3},B={xlx<-1或 x>5},若AUB=B,则实数a的取值范 围是 13.(2026·福建龙岩高一月考)已知集 合A={0,a+1,a2},B={a-3,1-a,4},且 4∈(A∩B),则a= 5 学霸黑白题数学·必修第一册·BS 黑题能力提升 1.*(2026·辽宁盘锦高一月考)已知数 集A,B满足：A∩B={1,2,3},AUB={1,2, 3,4,5},若4A,则一定有 () A.5∈AB.5年AC.4∈BD.4B 2.*多选(2026·江苏无锡高一月考)已知集 合A,B均为R的子集，若A∩B=O,则() A.ACCRB B.CRACB C.AUB=R D.(CgA)U(CgB)=R 3.多选(2026·福建莆田高一期中)图中 阴影部分用集合符号可以表示为 A.B∩(AUC) B.CBn(AUC) C.BnC(AUC) D.(A∩B)U(B∩C) 4.**易错题(2026·广东中山高一月考)集 合A={x-1<x<4},B={x|-1≤x≤3}，集合 C={xlm≤x≤m+2},若CnCR(AUB)=☑， 则以下m的取值不满足题意的是（) A.m=-1B.m=0C.m=1D.m=2 5.*多选(2026·广东深圳高一期中)已知 全集U={x|1x|<4,x∈Z},集合M={-1,2, a2},N={-1,1,2,a},P={-3,-1,2,3},若 MCN,则 () A.a的取值有3个 B.M∩P={-1,2} C.PUN={-3,-1,0,1,2,3} D.(C,M)n(C,P)所有子集的个数为4 6.禁新定义(2026·浙江嘉兴高一期中)定义 集合运第：4@B={(x,)7eA,子eB若 集合A=B={x∈NI1<x<4},C={(x,y)y= 名+}期(4@)nc A.☑ B.{(4,1)} c{,子} D.{4,1,(6,号)} 6 限时35min|答案P6 7.*(2026·江西赣州高一月考)为了增强凝 聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项 比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球 比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名， 参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、 乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网 球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比 赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人 数是 8.整(2026·福建厦门高一月考)已知全集 U={x|x为不大于20的质数}，A,B是U的 两个子集，且A∩(CB)={3,5},B∩(CA)= {7,19},(CA)∩(CB)={2,17},则集合 A= ,B= 9.整已知集合A={x|1<x<8},B={x|a-1<x< 2a+5}. (1)若a=1,求AnB,(CRA)UB. (2)是否存在实数a,使得A∩B=AUB?若 存在，求a的值：若不存在，说明理由. 压轴挑战1 10.装（2026·湖北十堰高- 集 合M={✉m≤≤m+},N={ 了≤x≤m,且，N都是集合10≤ x≤1}的子集，若把b-a叫做集合{x|a≤ x≤b}的长度，那么集合M∩N的长度的 最小值为 A号 B 1 C.3 D. 5 12 第一章 §1阶段综合 黑题 阶段强化 1.*多选(2026·四川达州高一月考)给出6.**(2026·云南丽江高一期中)已知集合 下列说法，其中不正确的是 A={x11x-21≤5}，B={xl3-4a≤x≤4a-5}. A.集合{x∈NIx3=x}用列举法表示为{0,1} (若a=,求AUB和An(:B): B.实数集可以表示为{x|x为所有实数}或 R (2)若A∩B=B,求a的取值范围， x+y=0 C.方程组 x-y=- 的解组成的集合为{x= 22) 1 D.{yly=x2}与{(x,y)Iy=x2}是同一个集合 2.**(2026·天津和平区高一月考)下列六个 写法：①11}∈{1,2,3}；②0.3Q;③{a,b}C {b,a};④0e☑；⑤A∩☑=A;⑥☑手{0}.其 7.(2026·浙江宁波高一期中)设集合A= 中正确写法的个数为 {xlx2-8x+12=0},B={xlx2+2(a+1)x+a2- A.4 B.3 13=0}. C.2 D.1 (1)若A∩B={2},求a的值及集合A,B; 3.*多选(2026·河南平顶山高一月考)设 (2)若R为实数集，且(C.A)∩B=☑，求实数 全集为U,非空真子集A,B,C满足：A∩B=A, a的取值范围. BUC=B,则 A.A∩C≠☑ B.CuBECvA C.C(AUC)≠☑ D.C,BCC(A∩C) 4.整(2026·四川巴中高一月考)已知全集 压轴挑战 频讲解 U=N,集合A={xIx=2k,k∈N},B={x|x= 4h,k∈N},则 () 8.禁已知集合A1,A2,A3满足：A1UA2UA3= A.A∩B=A B.AnCB=☑ {x∈N*I1≤x≤9}，且每个集合恰有3个 C.AUC,B=U D.CAUCB=U 元素，记A:(i=1,2,3)中元素的最大值与 5.**易错题(2026·湖北鄂北六校高一期中 最小值之和为M(i=1,2,3),则M1+ 联考)已知集合B={xlmx2+4x+1=0,x∈R} M2+M3的最小值为 ( 的所有子集只有两个，则实数m的 A.21 B.24 C.27 D.30 值为 7当a0时，=侣} 因为BcA,所以。3或。=5，得a=亏或a=了 1 1 综上，实数a取值的集合为{0,3,5)： 11) 所以实数a取值集合的真子集的个数为2-1=7. 易错提醒解决含参数集合的子集问题时，需要优先考虑参数使集 合为空集的情形 11.C解析：当B=O时，满足B为A的真子集， 此时m+1>2m-1,解得m<2. (m+1≤2m-l,（m+1≤2m-1, 当B≠0时，则m+1≥-2，或m+1>-2,解得2≤m≤3. 2m-1<5 (2m-1≤5， 综上，m≤3，即m的取值范围是{mlm≤3}. 易错提醒对于含端点的连续型集合，讨论包含关系时容易忽略端 点能否取等.本题需特别注意：当B≠☑且m=3时，B={ml4≤m≤ 5},是A的真子集，端点可取 黑题 能力提升 1.AD解析：由题得A={0,1,2,3},则1∈A,故A正确； A有24-1=15（个）真子集，故B错误 A中有4个元素，故C错误； {2,3}二A,故D正确. 2.B解析：对于A,Z二Q,A错误； 对于B,NCQ,B正确： 对于C,0中不含任何元素，C错误； 对于D,☑不是R的元素，因此{☑}不是R的子集，D错误 3.D解析：因为A={x|x2-3x+2=0}={1,2}.由题图可知A军B,所 以a>2. 4.D解析：当a+2=3时，即a=1,此时a2=1,集合A中元素不满足 互异性，舍去； 当a+2=a2时，即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1, 若a=-1,此时a2=1,集合A中元素不满足互异性，舍去； 若a=2,可得a2=4,此时A={1,3,4},B={1,4},符合题意. 综上，可得实数a的取值集合为{2 5.C解析：任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3,k1∈Z 所以a∈P,所以MCP, 任取b∈P,则b=5n1+3=5(n1+1)-2,n1∈Z, 所以b∈M,所以P二M, 所以M=P； 任取c∈S,则c=10m1+3=5·(2m1)+3,m1∈Z, 所以c∈P,所以SCP. 又8eP,8年S, 所以S≠P,所以SCP=M. 6.72解析：.ACBCC,∴.{1,2}CBC{1,2,3,4,5}, .集合B可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}， {1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}, 所有元素之和为3+6+7+8+10+11+12+15=-72. 7.{ala<0或a=1} 1 4 解析：由B={xlx2=a可知，当a<0 时，B=☑，此时BCA; 当a=0时，B={0},此时A和B没有公共元素； 当a>0时，B={-Va,Wa}; 又A={-1,2,1},若A与B构成“全食”，则BcA, 当a<0时，满足题意：当a=0时，不合题意； 当a>0时，要使B二A,则B={-1,1},即a=1,解得a=1. 综上，A与B构成“全食”时，a的取值范围是{ala<0或a=1; 若A与B构成“偏食”，显然a≤0时，不满足题意； 当a>0时，由A和B有公共元素且B不是A的子集， (11) 所以B={22 职，后=子解得a=子此时0的取位范强是（任}。 8.解：(1)因为AC0,所以A=0, 当a=0时，则A(},与题意矛盾； 当a≠0时，则4=36-12a<0,解得a>3. 综上所述，实数a的取值集合为{ala>3}, (2)因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个元素， 当=0时则4{}，符合慧意： 当a≠0时，则△=36-12a=0,解得a=3. 综上所述，实数a的取值集合为0,3. (3)因为1∈A,所以a+6+3=0,解得a=-9, 所以4=-9x+63=01={号 当b=0时，B=0CA; 当60时，8={} 因为BCA,所以-号成-1.解得6=3或6=-1 综上所述，实数b的取值集合为{0，-1,3. 易错提醒若BCA,应分B=☑和B≠O两种情况讨论. ◆压轴挑战 9.{3,5,6,7,8,9,10解析：因为21=2048>2024 20=1024<2024,减去得2024-1024=1000，包含元素10； 2°=512<1000，减去得1000-512=488，包含元素9； 2=256<488,减去得488-256=232，包含元素8； 27=128<232,减去得232-128=104，包含元素7； 2=64<104,减去得104-64=40，包含元素6； 25=32<40,减去得40-32=8，包含元素5： 23=8,减去得8-8=0，包含元素3. 所以2024=23+2+26+2+2+2°+210，所以E的第2024个子集是 {3,5,6,7,8,9,10 故答案为{3,5,6,7,8,9,10}. 1.3集合的基本运算 白题 基础过关 1.A解析：因为A={xx<2},B={x-2<x<3}, 所以AUB={x|x<3} 2.ABD解析：因为{1,2,3}UA={1,2,3,4}, 所以4∈A,1,2,3是否属于A,不影响{1,2,3}UA={1,2,3,4, 所以ABD符合： 3.{1,2,6,7}解析：A={x∈N11≤x<6}={1,2,3,4,5},B= {x∈NI2<x<8}={3,4,5,6,7, 参考答案黑白题学霸t5○ A-B={1,2},B-A={6,7}, 所以(A-B)U(B-A)={1,2,6,7} 4.C解析：已知集合A=x|x2=2x},则A={0,2},则A∩B={0,2}. 5.D解析：|xl≤2，.-2≤x≤2，即A={x|-2≤x≤2}. .√x≤4，.0≤x≤16. 又x∈Z,.B={0,1,2,3,…,16}, .A∩B={0,1,2}. 6.D解析：因为A={1,3,4,7},B={x|x=2k-1,k∈Z}, 所以A∩B={1,3,7}, 所以集合A∩B的真子集个数为2-1=7. 7.A解析：由题意可得N={2,4,8},则MU0uN={0,2,4,6,8} 8.B解析：根据已知条件知，题图中阴影部分表示(CA)∩B, (CA)={4,5,6,所以(CA)nB={4,5}, 所以图中阴影部分所表示的集合为：{4,5}. 9.A解析：集合U={x∈Z11≤x≤4}={1,2,3,4}， 又CA={1,2},则集合A={3,4}. 10.2(答案不唯一）解析：U={1,2,3,4,5},A={1,2},AU (CB)=U,则{3,4,5}cBCU,∴.B={1}或{2}或{1,2}或0. 故答案可以为{2（答案不唯一） ⊙重难聚焦 11.D解析：由AUB=1,2,4},B={2,m-3,4},A={1,m}, 所以m-3=1,即m=4,此时A={1,4},B={1,2,4},满足题设. 12.{ala<-4或a>5}解析：已知集合A={x|a≤x≤a+3},B= {xlx<-1或x>5}. 若AUB=B,则ACB, ∴.a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5. 13.3或-2解析：4∈(A∩B),B={a-3,1-a,4}, ∴.a-3≠4,1-a≠4，.a≠7，a≠-3. 又A={0,a+1,a2},若a+1=4,则a=3,若a2=4,则a=±2； 当a=3时，A={0,4,9},B={0,-2,4},符合题意； 当a=2时，A=10,3,4},B={-1,-1,4},不合题意； 当a=-2时，A={0,-1,4},B={-5,3,4},符合题意 故a=3或a=-2. 方法总结1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集 合元素的互异性能顺利找到解题的切入点：另一方面，在解答完毕 之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化：对已知连 续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意等号能否取到， 黑题 能力提升 1.C解析：由A∩B={1,2,3},AUB={1,2,3,4,5}, 故4∈A,4B或4∈B,4A, 由4A,得4∈B,故C正确，D错误； 同理，5∈A,5B或5∈B,5A,故A,B错误 2.AD解析：因为集合A,B均为R的子集，且A∩B=⑦， 画出Venn图，如图所示： R 结合图象，由ACCxB,所以A正确； 由BCCRA,所以B错误； 由AUBCR,所以C错误； 由(CRA)U(C.B)=C(A∩B)=R,所以D正确. 6学霸黑白题数学·必修第一册·BS 3.AD解析：在阴影部分区域内任取一个元素x,则x∈A∩B或x∈ B∩C,所以阴影部分所表示的集合为(AnB)U(B∩C),再根据集 合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为B∩(AUC), 所以选项A,D正确，选项B,C不正确. 4.D解析：由集合A={xl-1<x<4},B={x|-1≤x≤3}， 可得AUB={x-1≤x<4},则CR(AUB)={xx<-1或x≥4. 因为COL(AUR)=2,则满足%24解得-1≤m<2, 结合选项，可得选项D不满足题意 易错提醒处理连续数集包含关系时，要特别注意端点能否取等. 5.BCD解析：对于A选项，因为M={-1,2,a2},N={-1,1,2,a, 且MCN, 则a2=1或a2=a,且a≠±1，a≠2，解得a=0,故a的取值只有1个， 故A错误； 对于B选项，M={-1,2,0},P={-3,-1,2,3},所以M∩P= {-1,2,故B正确； 对于C选项，N=-1,1,2,0},PUN={-3,-1,0,1,2,3引，故C正确； 对于D选项，U={x11x1<4,x∈Z}={x1-4<x<4,x∈Z}= {-3,-2,-1,0,1,2,3}, 所以CM={-3,-2,1,3},CP={-2,0,1},则(CM)n(CP)= {-2,1}, 其(CM)∩(CP)的所有子集的个数为2=4，故D正确. 6D解标：由题设可得A=B=2,3引，4©B={(4,),（4,子）， (6,0,(6,子)} 因为1= 64 5,2- 5 3’3 6×4+ 33 6 6+,故4@B)nc={4,),(6,号)} 7.10解析：设三项比赛都参加的员工为x人，结合已知条件可知， 只同时参加乒乓球、网球比赛的员工为(15-x)人， 只同时参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为(20-x)人，只同时参加 羽毛球、网球比赛的员工为(10-x)人， 只参加乒乓球比赛的员工为45-(15-x)-x-(20-x)=(10+x)人， 只参加网球比赛的员工为30-(15-x)-x-(10-x)=(5+x)人，只参 加羽毛球比赛的员工为40-(20-x)-x-(10-x)=(10+x)人， 如图所示： 网球 乓球{5 5+x 10+x 小10- 20-x 10+x 羽毛球 故(10+x)+(10+x)+(5+x)+(15-x)+(10-x)+(20-x)+x=80,解 得x=10, 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 8.3,5,11,13{7,11,13,19解析：将已知条件An(CB)={3, 5},Bn(CA)=17,19},(CA)n(CB)=C(AUB)=2,17填入 如图所示的Venn图， U A/11 B 2 351371917 由图可知A={3,5,11,13},B={7,11,13,19. 一题多解也可直接进行分析.由题可知U={2,3,5,7,11,13,17, 19}, 由An(CuB)=13,5},得3∈A,5eA,且3B,5B, 由B∩(CmA)={7,19},得7∈B,19∈B,且7年A,19A, 由(CA)∩(C,B)=C(AUB)={2,17},得2年A,17使A,且2EB, 17年B. 下面讨论集合U中剩余元素11和13. 情形一：11∈A,但11年B,与An(CB)={3,5}矛盾； 情形二：11A,但11∈B,与Bn(CA)=17,19}矛盾； 情形三：11A,且11B,与(CA)∩(CB)={2,17}矛盾： 情形四：11∈A,且11∈B,经检验符合题意. 同理可得13∈A,且13∈B. 综上可得，A={3,5,11,13},B={7,19,11,13} 9.解：(1)因为a=1,所以B=xl0<x<7},则AnB={x11<x<7}, 由A={xl1<x<8},得nA={xlx≤1或x≥8}， 则(CRA)UB={xlx<7或x≥8. (2)假设存在实数a,使得A∩B=AUB,由A∩B=AUB,得A=B, 则-1，方程组无解，从而假设不成立， 2a+5=8, 故不存在实数a,使得A∩B=AUB. ©压轴挑战 10.B解析：根据新定义可知集合M的长度为}，集合N的长度为 3,当集合MnN的长度最小时，M与N应分别在{x10≤xs 左右两端，故MnN的长度的最小值是3，】 1 431= 12 s1阶段综合 黑题 阶段强化 1.BCD解析：对于A,集合{x∈NIx3=x}中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为{0,1，故A正确： 对于B,R就表示实数集，故B错误； 对于c,解集应为{（宁行）}，原表不错误，放c错误： 对于D,集合{yly=x2}为y的取值集合，集合{(x,y)ly=x2}表示y= x2的图象上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误 2.C解析：①两个集合之间的关系是包含、被包含关系，不能是属 于、不属于关系，故错误； ②0.3是有理数，即0.3∈Q,故错误： ③{a,b,{b,a}所含元素相同，所以{a,b}二{b,a}正确； ④空集没有任何元素，故错误； ⑤任意集合与空集的交集为空集，故错误； ⑥空集是任意非空集合的真子集，故正确， 所以正确的有③⑥. 3.BCD解析：由AQB=A,可知ASB;由BUC=B,得CSB 先判断出集合之间的关系 A选项，由题意可知，集合A,C都是集合B的子集，但是它们两个 的关系无法确定； B选项，由ACB,得BCA; C选项，由A二B和CCB,知(AUC)CB,又因为集合B是全集U 的非空真子集，C(AUC)≠☑； D选项，由ACB和CCB,知(A∩C)CB,所以心，BCC(A∩C). 一题多解A选项，根据题意，可画出如下符合题意的Venn图，由 图可知，可能A∩C=☑ U C B,C,D选项，由题可知ACB,且CCB.集合A,C间的关系不确定， 可分A∩C=☑和A∩C≠☑两种情况，但不论哪种情况，结合Venn 图均可得BCA,C(AUC)≠O,CB CC(AnC). 4.C解析：对于A,因为A={xlx=2k,keN}, 当k是偶数时，令k=2n,neN,此时A={xlx=4n,neN}, 当k是奇数时，令k=2n-1,neN',此时A={xlx=4n-2,neN·}, 所以B手A,所以A∩B=B,故A错误； 对于B,因为集合A表示非负偶数的集合，集合B表示能被4整除 的非负整数，C,B表示自然数中除去被4整除的数，所以A∩CB≠ ☑，故B错误； 对于C,因为B手A,所以AUCB=U,故C正确； 对于D,因为A不含偶数，C,B不含被4整除的数，所以0AUC,B 不含被4整除的数，故D错误 5.0或4解析：已知集合B的所有子集只有两个， 所以集合B中的元素只有1个， 当m=0时，解方程m2+4+1=0可得x=子，符合题意； 当m≠0时，要想该集合的元素只有一个，只需一元二次方程mx2+ 4x+1=0的判别式△=0， 即42-4m=0→m=4,显然m≠0，符合题意。 综上所述，实数m的值为0或4. 易错提醒含参方程首先要讨论二次项系数是否为零，再考虑判 别式 解：(1)当a=)时，B=x-7≤x≤5引，而A=x-3≤x≤7 所以AUB={x-7≤x≤7}，B={xx<-7或x>5}, An(B)={xl5<x≤7. (2)由A∩B=B,得BCA, 当B=☑时，3-4a>4a-5,即a<1; a≥1， 当B≠0时， 4a-5≤7，解得1≤a≤2， 3 3-4a≥-3 3 所以实数a的取值范围是a≤2 7.解：(1)A={xlx2-8x+12=0}={2,6},B={xlx2+2(a+1)x+a2- 13=0. 因为AnB={2},所以2eB,则22+2(a+1)×2+a2-13=0, 即a2+4a-5=0,解得a=1或a=-5. 验证：当a=1时，B={xx2+4x-12=0}={-6,2}, 则A∩B={2},满足题意： 当a=-5时，B={x|x2-8x+12=0}=A, 则A∩B=2,6,不满足题意 综上可知，若A∩B={2},则a=1,此时A={2,6},B={-6,2}. (2)若(A)∩B=⑦，则B二A,又A={2,6}, ①当B=☑时， 空集是任何集合的子集，先验证B是否为空集 则关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-13=0没有实数根，则△= 4(a+1)2-4(a2-13)=8(a+7)<0,解得a<-7, 参考答案黑白题学霸7○ 故当a<-7时，B=☑二A满足题意； ②当B≠⑦，即a≥-7时. 若集合B中只有一个元素，则△=8(a+7)=0,解得a=-7, 即当a=-7时，B={xx2-12x+36=0}={6}二{2,6}，BCA,满足 题意； 若集合B中有两个元素，则△=8(a+7)>0,解得a>-7, 即当a>-7时，要使BCA,则B=A={2,6}, 所以2和6是方程x2+2(a+1)x+a2-13=0的两个根， 则由韦达定理得2+6=-2(a+1),解得a=-5,满足条件o>-7。 (2×6=a2-13, 综上所述，a≤-7或a=-5. 方法总结解决含参集合的包含关系时，需分步进行： ①将已知元素代入求出参数的可能值； ②验证互异性及集合相等条件； ③讨论子集关系时，注意空集是任何集合的子集，需单独考虑 念压轴挑战 8.C解析：由题意可知，A1UA2UA={x∈N11≤x≤9}=1,2,3， 4,5,6,7,8,9},A1,A2,A3各有3个元素且不重复， 先考虑最小值为1,2,3，不妨设1∈A1,2∈A2,3∈A3,9∈A3,则剩 余数中最大为8， 所以可以令8∈A3,所以A1={1,4,5},A2={2,6,7}或者A1={1, 6,7},A2=2,4,5},此时M1+M2+M3取得最小值，此时最小值为 1+2+3+5+7+9=27, S2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 白题 基础过关 1.C解析：由x=5,得√=√5；由√=√5，得x=5;所以“x=5”是 “√x=√5”的充要条件 2.D解析：充分性：取x=e,y=2符合“x,y为无理数”，但是y=2 e 不符合“y为无理数”，故充分性不满足； 必要性：当“y为无理数”时，可以取x=e,y=2,但是不符合“x,y 为无理数”，故必要性不满足 故“x,y为无理数”是“y为无理数”的既不充分也不必要条件. 3.B解析：“卧龙凤维，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏 中的任意一个，就可以安天下， 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件： 可将日常语言转化为“若p则g”的形式，即若得卧龙凤雏之一， 则可安天下 但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能 通过其他途径实现， 则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件： 则“得到卧龙或风雏”是“安天下”的充分不必要条件 4.A解析：若[x]=9,则9≤x<10,所以“9<x<10”是“[x]=9”的充 分不必要条件 5.B解析：首先，判断g对p的推出关系：若A,B至少一个是空集 则AnB必为空集，即q→P; 若A∩B为空集，未必有A,B至少一个是空集（如A={1},B= {2),即pPg 所以p是g的必要不充分条件， 6.证明：必要性：若ax2+bx+c=0有一个根为2，则x=2满足方程，即 4a+2b+c=0: 充分性：若4a+2b+c=0,则a×22+b×2+c=0,即x=2满足方程ax2+ 8学霸黑白题数学·必修第一册·BS bx+c=0,则关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2. 综上，命题得证 7.证明：充分性： 因为a=b=c,且a,b,c均为正实数， 所以a+b+c=3a,√ab+/ac+√bc=3a, 所以a+b+c=√ab+√ac+√bc,充分性得证 必要性：因为a,b,c均为正实数，且a+b+c=√ab+√ac+√bc, 所以a+b+c-√Jab-√ac-√bc=0, 即2a-6)a-)2+c-6)]-0, 所以a-b=0,√a-√c=0,√c-√b=0, 所以a=b=c,必要性得证. 综上，a+b+c=ab+√ac+√bc的充要条件是a=b=c. 8.D解析：对于A,,a=2→a∈A,a∈Aa=2,∴.a=2是a∈A的 充分不必要条件； 对于B,,a>1→a∈A,a∈Aa>1,∴.a>1是a∈A的充分不必要 条件： 对于C,∴.∵0<a<1→a∈A,a∈A0<a<1,∴.0<a<1是a∈A的充分 不必要条件： 对于D,.a=0Pa∈A,a∈A→a≥0， .a≥0是a∈A的必要不充分条件. 9.BD解析：对于A,开关S与另一个开关是并联电路，灯泡L亮，S 不一定闭合，故A不符合题意： 对于B,开关S与灯泡L是串联电路，当灯泡L亮时，S一定闭合， 当开关S闭合时，灯泡L亮，故B符合题意； 对于C,开关$与灯泡L以及另一个开关三者串联，当开关$闭合 时，灯泡L不一定亮，故C不符合题意； 对于D,开关S与灯泡L是串联，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯 泡L亮时，开关S闭合，故D符合题意. 10.B解析：方程x2+mx+4=0有两个不相等的正实数根，当且仅当 △=m2-16>0, 且两根之和-m>0时取得，解得m<-4. 易忽略正实数根的验证 故其一个充分不必要条件是m<-5. 11.m=-2解析：由于二次函数的对称轴为直线x=-m,所以函数 2 =+m+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是-7=1， 即m=-2. 12.A解析：x∈A是x∈B成立的一个必要不充分条件， .B是A的真子集； 当B=0,即m+1≤-1时，m≤-2，满足题意； 当B≠☑时，需满足-1<m+1<2,解得-2<m<1: 综上所述，实数m的取值范围为{mlm<1}. 方法总结充分、必要条件与集合的关系： P,9成立的对象构成的集合分别为A和B. (1)若ACB,则p是g的充分条件，9是p的必要条件. (2)若A手B,则p是q的充分不必要条件，9是p的必要不充 分条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件。 13.D解析：x∈A是x∈B的充分条件，.ACB, 则：①x2=4,解得x=±2； ②x2=x,解得x=0或x=1(舍去). 综上，x=0或x=±2.