第一章勾股定理单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 八年级勾股定理单元卷，A卷100分+B卷20分，融合赵爽弦图、《九章算术》等文化素材与台风、婴儿车安全等现实情境，适配单元复习，全面考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|直角三角形判定（如第3题角关系判断）、赵爽弦图面积（第4题2024眉山真题）|基础巩固，结合中考真题| |填空题|5题20分|象棋盘马走日最短距离（第9题）、古算诗方程建模（第11题）|文化情境，空间观念| |解答题|5题48分|婴儿车安全判定（第16题）、台风影响时间计算（第18题）|现实应用，推理与运算能力|

2026—2027学年度上期八年级数学质量监测题参考答案 第一章 勾股定理 A卷 100分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1.D 2.B 3. B 4. D 5. C 6. C 7. C 8. C 。 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 2；　　10.225；　11. x2+22＝（x+0.5）2；　12. 13 ；　13.1 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14.（9分）解：如图，由题意知AB=3，CD=14﹣1=13，BD=24． 过A作AE⊥CD于E．则CE=13﹣3=10，AE=24 ∴在Rt△AEC中 AC2=CE2+AE2=102+242． ∴AC=26，26÷5=5.2（s）． 15.（9分）解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a， 较长的直角边＝2a+3， ∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3； （2）小正方形的面积＝（a+3）2， 当a＝3时，面积＝（3+3）2＝36． 16.（10分）解：该车符合安全标准，理由如下： 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+BD2＝AD2， ∴BD2＝AD2﹣AB2＝172﹣82＝225， ∵BC2+CD2＝92+122＝225， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． 17.（10分）解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下： ∵AC＝6.5千米，DC＝2.5千米，AD＝6千米， ∴AD2+DC2＝62+2.52＝42.25，AC2＝6.52＝42.25， ∴AD2+DC2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形； （2）由（1）可知AD⊥BC， 设BD＝x千米，则BA＝BC＝（x+2.5）千米， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2， ∴62+x2＝（x+2.5）2， 解得x＝5.95千米， ∴AB＝8.45千米． 18．（10分）解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km ∴AC2+BC2＝AB2 ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB于D ∵△ABC是直角三角形 ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD＝240（km） ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域 ∴海港C受台风影响； （3）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口 ∵（km） ∴ED=100km ∴EF＝2ED＝200km ∵台风的速度为28千米/小时 ∴200÷28＝（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． B卷 20分 一、填空题（本大题共3个小题，每小题2分，共6分） 19. 96；　　20. 5；　21. 二、解答题（本大题共2个小题，共14分） 22.（6分）解：（1）不是， 理由如下： ∵AH＝4，HK＝6，KB＝5， ∴AH2+KB2≠HK2， ∴以AH，HK，KB为边的三角形不是一个直角三角形， ∴点H，K不是线段AB的勾股分割点； （2）设BK＝x，则H K＝24﹣8﹣x＝16﹣x， ①当BK为最长线段时，根据题意得，A H2+H K2＝B K2，即82+（16﹣x）2＝x2，解得x＝10， ②当HK为最长线段时，根据题意得，A H2+B K2＝H K2，即82+x2＝（16﹣x）2，解得x＝6， 综上所述，BK的长为10或6． 23.（8分）解：（1）连接PB， ∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC＝＝8（cm）， ∵CP2+BC2＝PB2， ∵PA＝PB＝2t cm， ∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2， ∴t＝； （2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E， 此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm）， 在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2， 即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2， 解得：t＝， 当t＝12时，点P与A重合，也符合条件， ∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上． 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上期八年级单元质量检测题（一） 第一章 勾股定理 A卷 100分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A．4，5，6 B．11，8，4 C．7，25，26 D．9，15，12 2．如图，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（ 　 ） A．6 B．8 　　 C．10 D．12 3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A﹣∠B＝∠C D．a2﹣b2＝c2 ( 第5题 )4．（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） ( 第4题 ) A．24 B．36 C．40 D．44 5．（2024•巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 6．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b， c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 7．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ） ( 第 8 题 )A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 ( 第 7 题 ) 8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9.如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离的平方为 　 　． ( 第10题 ) ( 第9题 ) 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 　 　． ( 第12题 )11.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 　 　． 12.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 　 　米． ( 第14题 ) ( 第13题 ) 13．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提 出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　 　． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（9分）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？ 15．（9分）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． （2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？ 16．（10分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测AB＝8dm，BC＝9dm，CD＝12dm，AD＝17dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（∠ABD＝90°即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 17．（10分）汉江是长江最大的一条支流，源头在秦岭南麓，从西向东流经多个县域后出陕西进入湖北十堰，如图，在汉江笔直的河流一侧有一旅游地A，江边有两个景点B，C．其中BA＝BC，由于某种原因，从A到B的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在江边新建一个景点D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条公路AD，测得AC＝6.5千米，DC＝2.5千米，AD＝6千米． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求原路线AB的长． 18．（10分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ B卷 20分 一、填空题（本大题共3个小题，每小题2分，共6分） ( 第 1 9 题 )19．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 　 　． ( 第 20 题 ) 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　 　． 21．若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为　 　． 二、解答题（本大题共2个小题，共14分） 22．（6分）定义：如图，点H，K把线段AB分割成AH，HK，KB，若以AH，HK，KB为边的三角形是一个直角三角形，则称点H，K是线段AB的勾股分割点． （1）已知H，K把线段AB分割成AH，HK，NB，若AH＝4，HK＝6，KB＝5，点H，K是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点H，K是线段AB的勾股分割点，且AH为直角边，若AH＝8，AB＝24，求BK的长． 23．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值． ( 八年级数学（一） 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $