微专题 例析不等式的求解种种教材解读与拓展讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学复习讲义以“等价变形”为核心，系统梳理一元一次、一元二次、分式、绝对值四类不等式的求解体系，通过表格对比呈现一元二次不等式与函数方程的关系，框架图展示分式不等式同解变形步骤，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础求解（例1一元一次不等式）到含参数分类讨论（例13）再到恒成立问题（例17），培养数学思维与推理能力。解析版附方法总结如“大于取两边”口诀，帮助学生规范用集合区间表达解集，支持教师实施分层教学与学生自主复习。

【原卷版】 微专题 例析不等式的求解种种 沪教版必修第一册 “不等式的求解” 包含四类核心不等式，求解核心是等价变形，化繁为简；一元一次不等式与不等式组依托不等式性质求解，不等式组解集取各不等式解集的交集。一元二次不等式是重点，结合二次函数图像，先把二次项系数化为正数，求出对应方程的根，依据 “大于取两边，小于取中间” 写出解集，同时学习含参数一元二次不等式的分类讨论。 分式不等式先移项通分，右侧化为 0，再等价转化为整式不等式，切记分母不能为零。含绝对值不等式依靠绝对值定义去绝对值；简单型直接套用结论，多重绝对值不等式采用零点分段讨论法。 所有变形必须保证同解，避免随意乘除含未知数代数式造成增根、失根。求解结果统一用集合或区间表示。本节渗透数形结合、分类讨论思想，是后续函数、数列解题的重要工具。 1、不等式的解集与不等式组的解集 （1）在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解； （2）一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； （3）求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； （4）将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组； （5）对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 2、一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 （1）一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式； 一元一次不等式的一般形式：或；（或或）； 求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式； （2）一元一次不等式组的求解 几个含有一个未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组；一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集； 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组；解一元一次不等式组的一般步骤为： ①分别解不等式组中的每一个不等式；②将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分； ③根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解)；④用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈； 【注意】含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全； 3、一元二次不等式的概念 定义：设，，为实数，且 ，形如 （ 或 ）的不等式统称为一元二次不等式； 【说明】（1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如：，， 等，这里的，，为系数，即为常数； （2）＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次；注意二次项系数不为 0 ，即 ；若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）；在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集； 4、一元二次不等式的基本求解方法 （1）用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果， 则不等式的解集是，不等式的解集是； （2）用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式（）通过配方总是可以变为或的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集； 5、依据一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 （或 ），其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 6、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式且 二次函数的图像 一元二次方程的根 有两相异实根， () 有两相等实根 没有实数根 的解集 或 的解集 7、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 8、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 9、绝对值不等式 （1）绝对值的概念 （2）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （3）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段，的长为，线段的中点对应的数； 【说明】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 10、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 11、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）； （2）； （3）； （4）； ②几种主要的基本类型 （1）（平方法）； （2）； （3）； （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解； 题型1、一元一次不等式求解 例1、不等式的解集为__________． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、关于的不等式的正整数解有________个. 题型2、一元一次不等式组的求解 例3、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 例4、不等式组 的解集为 题型3、有参数的一元一次不等式（组）的求解 例5、设为实数，求一元一次不等式的解集. 例6、已知关于x的不等式组的解集是(5，22)，则a＝________，b＝________. 题型4、一元二次不等式的概念及辨析 例7、若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 例8、若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为________． 题型5、一元二次不等式的求解 例9、解下列不等式：； 例10、解下列不等式：； 题型6、可以转化为一元二次不等式进行求解 例11、解下列不等式： 例12、在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型7、解含有参数的一元二次不等式 例13、解下列不等式：，其中是常数. 例14、若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式 的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 题型8、三个“二次”关系的应用 例15、已知不等式的解集为则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 例16、已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|3＜x＜6}，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（ ） A． B． C．＜x＜ D．或x＞ 题型9、与一元二次不等式相关的恒成立问题 例17、若不等式对取一切正数恒成立，求实数的取值范围是________ 例18、若不等式对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为____________． 题型10、分式不等式的求解 例19、解不等式：； 例20、解不等式：. 题型11、含参数的分式不等式的求解 例21、关于的不等式的解集是，求，的值。 例22、当为何值时，关于的不等式的解是：（1）正数？（2）是负数？ 题型12、绝对值不等式的求解 例23、设、，且，求下列不等式的解集； （1）；（2）；（3）； 例24、解不等式： 1、解一元一次不等式的步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1； 2、解一元一次不等式组的步骤： 分别求出不等式组中每一个不等式的解集；找出它们的公共部分，就得到不等式组的解集； 【注意】1、求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分； 2、解不等式的过程中要注意：（1）未知数的系数化为1时，如果不等式两边乘或除以的是负数，不等号的方向要改变；（2）用数轴表示不等式(组)的解集要注意，大于向右画，小于向左画；要注意空心圆圈与实心点的区别。 3、一元二次不等式概念的理解 （1）可以这样理解：形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c为常数； （2）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． （3）“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制． 4、从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 （1）从函数的角度看(以a>0的二次函数为例) 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c>0(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标． （2）从方程的角度看 设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则有即不等式的解集的端点值是相应方程的根．当一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c>0恒成立，由图象可知，关于这类问题只需考虑开口方向和判别式即可，而不必利用最值转化的思路求解． 5、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 6、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 7、绝对值不等式的解法 表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离. 因此，求不等式的解集就是求在数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合. 的解集 的解集 8、含有绝对值不等式的解法 （1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于x的一次多项式）. （2）的解集为；的解集为. （3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法. （4）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式． 1．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 5．不等式组无实数解，则的取值范围是______. 6．已知，若关于的不等式的解集为，则______________. 7．若，则不等式的解集为 8．不等式： 的解集为 9．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________ 10．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式的解集为_________. 11．（1）设为实数，求关于的一元一次不等式的解集； （2）设为实数，解关于的一元一次不等式组. 12．已知. （1）若的解集为，求关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式. 【解析版】 微专题 例析不等式的求解种种 沪教版必修第一册 “不等式的求解” 包含四类核心不等式，求解核心是等价变形，化繁为简；一元一次不等式与不等式组依托不等式性质求解，不等式组解集取各不等式解集的交集。一元二次不等式是重点，结合二次函数图像，先把二次项系数化为正数，求出对应方程的根，依据 “大于取两边，小于取中间” 写出解集，同时学习含参数一元二次不等式的分类讨论。 分式不等式先移项通分，右侧化为 0，再等价转化为整式不等式，切记分母不能为零。含绝对值不等式依靠绝对值定义去绝对值；简单型直接套用结论，多重绝对值不等式采用零点分段讨论法。 所有变形必须保证同解，避免随意乘除含未知数代数式造成增根、失根。求解结果统一用集合或区间表示。本节渗透数形结合、分类讨论思想，是后续函数、数列解题的重要工具。 1、不等式的解集与不等式组的解集 （1）在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解； （2）一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集； （3）求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式； （4）将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组； （5）对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集； 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 2、一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 （1）一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式； 一元一次不等式的一般形式：或；（或或）； 求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式； （2）一元一次不等式组的求解 几个含有一个未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组；一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集； 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组；解一元一次不等式组的一般步骤为： ①分别解不等式组中的每一个不等式；②将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分； ③根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解)；④用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈； 【注意】含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全； 3、一元二次不等式的概念 定义：设，，为实数，且 ，形如 （ 或 ）的不等式统称为一元二次不等式； 【说明】（1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如：，， 等，这里的，，为系数，即为常数； （2）＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次；注意二次项系数不为 0 ，即 ；若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）；在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集； 4、一元二次不等式的基本求解方法 （1）用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果， 则不等式的解集是，不等式的解集是； （2）用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式（）通过配方总是可以变为或的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集； 5、依据一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 （或 ），其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 6、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式且 二次函数的图像 一元二次方程的根 有两相异实根， () 有两相等实根 没有实数根 的解集 或 的解集 7、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 8、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 9、绝对值不等式 （1）绝对值的概念 （2）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （3）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段，的长为，线段的中点对应的数； 【说明】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 10、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 11、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1）； （2）； （3）； （4）； ②几种主要的基本类型 （1）（平方法）； （2）； （3）； （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解； 题型1、一元一次不等式求解 例1、不等式的解集为__________． 【提示】解一元一次不等式，将结果写成集合的形式即可得出答案； 【答案】； 【解析】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 【说明】本题考查了解不含参数的一元一次不等式、描述法表示集合； 例2、关于的不等式的正整数解有________个. 【提示】注意本题是关于的一元一次不等式； 【答案】2； 【详解】由题，，正整数解只有1和2； 【说明】本题考查了解不含参数的一元一次不等式； 题型2、一元一次不等式组的求解 例3、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【提示】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可； 【答案】，数轴见详解； 【解析】因为，解得，可得， 解集在数轴上表示如下图所示： 【说明】本题主要考查了解不等式组的基本方法； 例4、不等式组 的解集为 【提示】分别求出一元一次不等式的解集，再求其交集即可； 【答案】； 【解析】由，得；由，得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【说明】本题考查了解不含参数的一元一次不等式及其不等式组的解集； 题型3、有参数的一元一次不等式（组）的求解 例5、设为实数，求一元一次不等式的解集. 【提示】分析的不同取值即可求出一元一次不等式的解集； 【解析】由题意， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【说明】本题主要考查了利用不等式性质解含参数的一元一次不等式； 例6、已知关于x的不等式组的解集是(5，22)，则a＝________，b＝________. 【提示】根据一元一次不等式的解集列方程组，解方程组求得的值； 【答案】3；5； 【解析】记原不等式组为， 解不等式①，得. 解不等式②，得. 因为原不等式组的解集为(5，22)， 所以， 解这个关于a，b的二元一次方程组，得. 故答案为：3；5 【说明】本题考查了依据解不等式组，求参数值； 题型4、一元二次不等式的概念及辨析 例7、若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 【提示】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果； 【答案】； 【解析】根据一元二次不等式的定义可得，解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 【说明】本题主要考查了一元二次不等式的概念及辨析； 例8、若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为________． 【提示】直接根据二次不等式的解与方程的关系可得解； 【答案】－2，3； 【解析】不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}， 所以方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别－2，3. 故答案为：－2，3； 【说明】本题考查了一元二次不等式的概念及辨析； 题型5、一元二次不等式的求解 例9、解下列不等式：； 【提示】令，求得或，可得不等式的解集； 【答案】或； 【解析】（1）令，解得或 ， 故不等式的解集为或； 【说明】本题考查利用因式分解解一元二次不等式； 例10、解下列不等式：； 【提示】利用一元二次不等式的解法来求解即可； 【答案】； 【解析】不等式可化为，所以，不等式的解集是． 【说明】本题主要考查了解不含参数的一元二次不等式；解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：（1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；（2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；（5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 题型6、可以转化为一元二次不等式进行求解 例11、解下列不等式： 【提示】不等式等价于，由此求得此不等式的解集； 【答案】或； 【解析】由可得，求得或 ， 故此不等式的解集为或； 【说明】本题考查了将分式不等式等价转化为一元二次不等式解之； 例12、在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【提示】应用新定义及一元二次不等式计算求解； 【答案】B； 【解析】因为，， 所以，化简得，即， 所以，． 故选：B； 【说明】本题考查了通过理解新定义，然后等价转化为解不含参数的一元二次不等式； 题型7、解含有参数的一元二次不等式 例13、解下列不等式：，其中是常数. 【提示】利用因式分解法，结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论进行求解即可； 【答案】当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 【解析】， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【说明】本题考查了解一元二次不等式的基本方法与结合参数进行分类讨论； 例14、若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式 的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 【提示】依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可； 【答案】B； 【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B； 【说明】本题考查了由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式； 题型8、三个“二次”关系的应用 例15、已知不等式的解集为则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【提示】由不等式的解集为，结合根与系数的关系，求得，代入得到，即可求解； 【答案】A； 【解析】由题意，不等式的解集为， 可得， 解得且， 所以不等式， 可化为为， 即， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【说明】本题考查了利用一元二次不等式、一元二次方程间的相互联系解不含参数的一元二次不等式； 例16、已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|3＜x＜6}，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（ ） A． B． C．＜x＜ D．或x＞ 【提示】由题可得3和6是方程的两个根，且，由韦达定理可得，代入不等式可化为，解出即可； 【答案】D； 【解析】因为，不等式的解集为， 所以，3和6是方程的两个根，且， 所以，，解得， 则不等式化为， 则，解得或， 所以，不等式的解集为或x＞. 故选：D； 【说明】本题考查了利用一元二次不等式、一元二次方程间的相互联系解不含参数的一元二次不等式； 应用三个“二次”之间关系解题的策略：（1）当已知某一元二次不等式的解集时，首先应注意判断该一元二次不等式对应的二次函数的图象的开口方向、与x轴的交点坐标等信息；然后根据一元二次不等式的解集，确定对应一元二次方程根的情况；最后由根的情况列出参数所满足的等式(或不等式)，进而求值(或范围)；（2）解决这类问题一般情况是灵活运用根与系数的关系。　 题型9、与一元二次不等式相关的恒成立问题 例17、若不等式对取一切正数恒成立，求实数的取值范围是________ 【提示】对对称轴进行讨论，分和两种情况，即可的到实数的取值范围； 【答案】； 【解析】令函数，则函数的对称轴为， 因为， 不等式对取一切正数恒成立， 所以，在上恒成立， 所以， ，或， 解得：. 故答案为：. 【说明】本题综合考查了依据一元二次函数、一元二次不等式之间的联系，解答一元二次不等式在某区间上的恒成立问题； 例18、若不等式对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为____________． 【提示】由分子恒大于零，问题转化为“对一切x∈R恒成立”，再根据系数分类讨论即可； 【答案】； 【解析】因为，， 所以，要使不等式对一切x∈R恒成立，只需恒成立． 当时，恒成立. 当时，由，解得. 综上，. 故答案为：. 【说明】本题综合考查了一元二次不等式在实数集上恒成立问题；解决这类问题时，先把已知条件等价转化为一元二次不等式的形式，再利用不等式的解集为R(或恒成立)的条件求解。　 题型10、分式不等式的求解 例19、解不等式：； 【提示】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可； 【答案】或； 【解析】，或， 所以原不等式的解集为或； 【说明】本题考查了分式不等式的求解； 例20、解不等式：. 【提示】移项通分转化为解一元二次不等式可得答案； 【答案】 【解析】由得， 即，可得， 令解得或， 所以原不等式的解集为； 【说明】本题综合考查了分式不等式、解不含参数的一元二次不等式； 题型11、含参数的分式不等式的求解 例21、关于的不等式的解集是，求，的值。 【提示】注意：等价变形； 【答案】，； 【解析】因为，， 所以原不等式等价于， 整理得 ① 由已知可得当时，， 即 ② 比较①②可知；故，； 【说明】本题综合考查了代数性质，分数不等式的恒等变形与不等式解的定义； 例22、当为何值时，关于的不等式的解是：（1）正数？（2）是负数？ 【提示】注意：等价变形； 【解析】 （*） 当时，（*）不存在. 当时，（*）. （1）原方程的解为正数或. （2）原方程的解为负数. 所以，当时，原方程的解为正数.当时，原方程的解为负数； 【说明】本题主要考查了不等式的等价变形与分式不等式的简单应用； 题型12、绝对值不等式的求解 例23、设、，且，求下列不等式的解集； （1）；（2）；（3）； 【提示】注意：依据不等式性质通过等价变换推导； 【解析】（1）或或，或， 所以，原不等式的解集为； 另解：或， 所以，原不等式的解集为. （2）或或或，. 所以，原不等式的解集为； 另解：，所以，原不等式的解集为. （3），又 所以，原不等式的解集为； 【说明】设，则 （1）. （2）. （3）. 上述结论的几何意义是比较明显的. 【说明】以上结论对于、均成立，即 （1）. （2）. 例24、解不等式： 【提示】注意去绝对值的不同方法； 【解析】解法1：等价于：，两边同时加上3：，同时乘以有： 所以，原不等式的解集为； 解法2：两边同时平方：，化简得： 这里可以因式分解：， ，从而原不等式的解集为； 解法3：还有没有其它方法？ 前面有同学提到绝对值里面正的、负的。 注意观察绝对值的定义，想到什么？ ——分类讨论 ① （当时，我们有。注意到这两个不等式要同时成立） ② （当时，我们有。一样，这两个不等式也要同时成立） 综上，原不等式的解集为. 【说明】含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 （1）形如|f(x)|＜a(a＞0)和|f(x)|＞a(a＞0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解． （2）形如|f(x)|＜g(x)和|f(x)|＞g(x)型不等式的解法如下： ①等价转化法：|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)，|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)．(这里g(x)可正也可负) ②分类讨论法：|f(x)|＜g(x)⇔或， |f(x)|＞g(x)⇔或 1、解一元一次不等式的步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1； 2、解一元一次不等式组的步骤： 分别求出不等式组中每一个不等式的解集；找出它们的公共部分，就得到不等式组的解集； 【注意】1、求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分； 2、解不等式的过程中要注意：（1）未知数的系数化为1时，如果不等式两边乘或除以的是负数，不等号的方向要改变；（2）用数轴表示不等式(组)的解集要注意，大于向右画，小于向左画；要注意空心圆圈与实心点的区别。 3、一元二次不等式概念的理解 （1）可以这样理解：形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c为常数； （2）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． （3）“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制． 4、从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 （1）从函数的角度看(以a>0的二次函数为例) 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c>0(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标． （2）从方程的角度看 设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则有即不等式的解集的端点值是相应方程的根．当一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c>0恒成立，由图象可知，关于这类问题只需考虑开口方向和判别式即可，而不必利用最值转化的思路求解． 5、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 6、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 7、绝对值不等式的解法 表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离. 因此，求不等式的解集就是求在数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合. 的解集 的解集 8、含有绝对值不等式的解法 （1）掌握可化为，的绝对值不等式的解法（其中是关于x的一次多项式）. （2）的解集为；的解集为. （3）两边平方是解形如的绝对值不等式的常用方法. （4）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式． 1．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】，得，，得， 因为不等式组无解，所以，得. 故选：C 2．已知关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】由题得、为方程的根， 将代入，得， 即， 故选：A 3．若，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】由于，所以,所以不等式的解集， 故选：D 4．在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B； 【解析】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 5．不等式组无实数解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】对于， 当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解， 综上，. 故答案为： 6．已知，若关于的不等式的解集为，则______________. 【答案】1； 【解析】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 7．若，则不等式的解集为 【答案】； 【详解】因为，所以, 所以由，得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 8．不等式： 的解集为 【答案】； 【解析】因为，所以， 所以，所以， 所以不等式的解集为. 9．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________ 【答案】 【解析】将不等式 移项整理： ， 因为不等式的解集为， 所以， 所以， 代入中可得：， 又因为， 所以. 故答案为： 10．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式的解集为_________. 【答案】； 【解析】由得，所以. 所以，所以的取值范围是. 故答案为： 11．（1）设为实数，求关于的一元一次不等式的解集； （2）设为实数，解关于的一元一次不等式组. 【提示】（1）分类讨论求解一元一次不等式； （2）解含参的一元一次不等式组； 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】（1）当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为． （2）解，得；解，得． 显然，因此， 所以原不等式组的解集为． 12．已知. （1）若的解集为，求关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式. 【提示】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答案； （2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别求解即可； 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】（1）因为的解集为，所以为方程的两个根， 所以，解得， 所以不等式可化为，移项通分得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. （2）即，可化为， 令，解得，， 函数开口向上， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 第20页，共34页 学科网（北京）股份有限公司 $