2.3.4 两条平行直线间的距离专项训练【7大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦平行直线距离及应用，构建从基础计算到对称变换再到最值应用的完整知识链，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求平行线间的距离|6题|选择填空为主，直接应用距离公式|基础计算，距离公式的直接应用| |由距离求已知直线的平行线|6题|解答题与多选题，逆向求参数或方程|公式逆用，体现方程思想| |直线关于点/平行直线/直线对称|12题|对称问题三类，含选择填空与解答|从点对称到线对称，逐步深化变换逻辑| |直线间距离的最值问题|6题|结合参数与动点，含多选与选择|距离公式与函数思想结合，提升综合应用| |将军饮马问题求最值|4题|实际情境应用题，含选择与填空|模型应用，体现数学眼光与模型意识|

2.3.4 两条平行直线间的距离 7大考点汇总 考点01 求平行线间的距离 考点02 由距离求已知直线的平行线 考点03 求直线关于点的对称直线 考点04 求关于平行直线对称的直线 考点05 直线关于直线对称问题 考点06 直线间距离的最值问题 考点07 将军饮马问题求最值 题型专练 考点01 求平行线间的距离 1．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 2．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】/ 【分析】 先由两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果． 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为． 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，直线平行， 则直线与间的距离为. 4．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 5．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，可得a值，代入两平行线间距离公式，即可得答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 6．（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两条平行直线间的距离求解. 【详解】变形为， 与之间的距离. 故选：D. 考点02 由距离求已知直线的平行线 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 8．（25-26高二·全国·寒假作业）（多选）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出该直线方程后，利用平行线间距离公式计算即可得. 【详解】设该直线为， 则有，化简得，则或， 故该直线为或. 故选：AC. 9．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 10．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 【答案】D 【分析】根据平行线间的距离公式即可求解. 【详解】解：直线可化为， 因为直线与直线间的距离为1， 所以，解得或. 故选：D 11．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知两条平行直线与间的距离为4，则的值为___________ 【答案】-2 【分析】由两平行线间的距离公式计算求解. 【详解】由已知得，所以，解得或， 又，所以. 故答案为：. 12．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 考点03 求直线关于点的对称直线 13．（25-26高二上·全国·专题训练）已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 14．（25-26高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为________． 【答案】 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 16.（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 考点04 求关于平行直线对称的直线 17．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 19．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解. 【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线， 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0， 根据平行线间的距离公式得 所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6， 即l：x＋y－6＝0. 根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．（25-26高二下·上海宝山·期中）直线关于直线对称的直线方程为________ 【答案】 【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为，由直线与直线间的距离，求得b的值，得直线方程. 【详解】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 考点05 直线关于直线对称问题 21．（2026·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 22．（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）已知直线的方程为. （1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程__________； （2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程__________. 【答案】 . 【分析】根据题意，由点关于点对称的点在直线上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线与直线的交点，求出关于直线对称的点为，即可得到直线方程. 【详解】因为直线和直线关于点对称， 在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上， 将点代入直线可得， 所以直线的方程为； 设直线与直线的交点为， 所以，解得，则， 在直线上取点，设关于直线对称的点为， 则① 因为与的中点坐标为， 所以② 由①②可得，所以 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线经过点和点， 所以直线的两点式方程为， 整理得直线的一般式方程为. 故答案为: ;. 23．（25-26高二·全国·课后作业）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】联立方程求两条直线的交点P，取直线上一点A，求其关于直线对称的对称点，则过P，的直线即为所求直线. 【详解】联立两直线方程，解得，即两直线的交点为， 取直线：上一点，设其关于直线：的对称点， 则，解得，即， 因为所求直线过，，方程为， 即. 24．（25-26高二·全国·课后作业）如果直线与直线关于直线对称，那么______，______． 【答案】 6 【分析】根据特殊点求得、的值. 【详解】解：直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得， 直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得. 故答案为：； 考点06 直线间距离的最值问题 25．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）（多选）直线（ ） A．或重合 B．可能都平行y 轴 C．分别过定点和 D．之间的距离最大值为 【答案】ACD 【分析】将方程化为斜截式方程即可判断位置关系判断A；根据斜率存在判断B；根据直线过定点判断C，根据两直线平行，且均过定点，即可求解距离最大值判断D. 【详解】直线即，斜率为，纵截距为， 直线即，斜率为，纵截距为， 所以的斜率相等，当即时，与重合，当时，故A正确； 由于的斜率为，存在，故直线不可能都平行y 轴，故B错误； ， 令，解得，故过定点， ， 令，解得，故过定点，故C正确； 由C可知分别过定点和，且两直线或重合，重合时两直线距离为0， 当与两定点所在直线垂直时，之间的距离最大，最大值为，故D正确. 故选：ACD 26．（25-26高二上·云南临沧·阶段检测）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________. 【答案】5 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 27．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 28．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：D. 29．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】实数满足，， 即实数满足，， 则在直线上，在直线上， 直线与直线平行， 所以、两点间的最短距离为， 所以的最小值为. 故选：B 30．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 考点07 将军饮马问题求最值 31．（25-26高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 32．（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______. 【答案】4 【分析】利用“将军饮马”模型，应用点关于直线对称求对称点，再由两点距离最短求最短总路程. 【详解】如图，    设点关于直线对称的点为， 则，解得， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故答案为：4 33．（25-26高二上·山西·开学考试）（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（    ） A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 【答案】AC 【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D； 【详解】由关于，的对称点分别为，而，    从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对； 从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错； 由关于，的对称点分别为，    从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对； 从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错. 故选：AC 34．（25-26高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案. 【详解】， ， 设，，， 则为点分别到点，的距离之和， 点关于轴的对称点的坐标为， 连接， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故选：B. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4 两条平行直线间的距离 7大考点汇总 考点01 求平行线间的距离 考点02 由距离求已知直线的平行线 考点03 求直线关于点的对称直线 考点04 求关于平行直线对称的直线 考点05 直线关于直线对称问题 考点06 直线间距离的最值问题 考点07 将军饮马问题求最值 题型专练 考点01 求平行线间的距离 1．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 5．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． 考点02 由距离求已知直线的平行线 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 8．（25-26高二·全国·寒假作业）（多选）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 11．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知两条平行直线与间的距离为4，则的值为___________ 12．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 考点03 求直线关于点的对称直线 13．（25-26高二上·全国·专题训练）已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 14．（25-26高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 15．（25-26高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为________． 16.（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 考点04 求关于平行直线对称的直线 17．（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 19．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 20．（25-26高二下·上海宝山·期中）直线关于直线对称的直线方程为________ 考点05 直线关于直线对称问题 21．（2026·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）已知直线的方程为. （1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程__________； （2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程__________. 23．（25-26高二·全国·课后作业）求直线关于直线对称的直线的方程． 24．（25-26高二·全国·课后作业）如果直线与直线关于直线对称，那么______，______． 考点06 直线间距离的最值问题 25．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）（多选）直线（ ） A．或重合 B．可能都平行y 轴 C．分别过定点和 D．之间的距离最大值为 26．（25-26高二上·云南临沧·阶段检测）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________. 27．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 28．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 30．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点07 将军饮马问题求最值 31．（25-26高二上·湖南益阳·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 32．（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______. 33．（25-26高二上·山西·开学考试）（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（    ） A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 34．（25-26高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $