2.3.3 点到直线的距离公式（十四大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式 题型一 求点到直线的距离 1．已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 2．在平面直角坐标系中，已知点在直线上，PQ (→)=(1,0)，则|PQ (→)|的最小值为 ． 3．已知△ABC的三个顶点为，，，D为的中点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)求△ABC的面积. 题型二 直线围成图形的面积问题 4．直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 6．已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值. 题型三 已知点到直线的距离求参数 7．已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 8．已知，两点到直线的距离相等，则 . 9．在平面直角坐标系中，已知三个顶点、、. (1)求边所在直线的方程. (2)若边上高所在的直线方程为，且△ABC的面积为，求点的坐标. 题型四 求到两点距离相等的直线方程 10．已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 12．已知△ABC的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 题型五 求点关于直线的对称点 13．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．若点与点关于直线对称，则的坐标为 . 15．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 题型六 求两点的对称轴 16．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 17．点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 18．如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 题型七 光线反射问题（2）——直线关于直线对称 19．如图所示，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 20．一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ． 21．已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 题型八 坐标法的应用——点到直线的距离 22．与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（    ） A． B． C．或 D．或 23．已知点在直线上,则的最小值为 . 24．在△ABC中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求AD的长； (2)求角的平分线与直线的交点坐标． 题型九 求平行线间的距离 25．直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 26．两直线与之间的距离为 . 27．已知直线的方程为. (1)若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程. 题型十 由距离求已知直线的平行线 28．已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 29．已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为 . 30．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 题型十一 求关于平行直线对称的直线 31．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 32．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 33．已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 题型十二 求直线关于点对称直线 34．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 35．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 . 36．已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 题型十三 将军饮马问题求最值 37．已知点，点在轴上，点在直线上，则△ABC周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为 . 39．（1）求函数的最小值． （2）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程． 题型十四 直线关于直线对称问题 40．与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 41．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 42．已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 点到直线的距离公式 题型一 求点到直线的距离 1．已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 2．在平面直角坐标系中，已知点在直线上，PQ (→)=(1,0)，则|PQ (→)|的最小值为 ． 【答案】 【分析】设点坐标，由向量求得点坐标，由点横纵坐标的关系得到其轨迹方程，由点到直线的距离求得的最小值. 【详解】设，∵PQ (→)=(1,0)，∴， ∵，即点在直线上， 当时，最小， . 故答案为： 3．已知△ABC的三个顶点为，，，D为的中点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)求△ABC的面积. 【答案】(1)； (2)； (3)17. 【分析】（1）求出点的坐标及直线斜率，再利用直线的点斜式方程求解. （2）求出直线的斜率，再利用垂直关系及直线的点斜式方程求解. （3）求出点到直线的距离及边长，进而求出三角形面积. 【详解】（1）依题意，点，直线斜率，方程为， 所以边上中线所在直线的方程为. （2）直线的斜率，边的垂直平分线斜率为， 直线方程为，即， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为. （3）由（2）得直线的方程为，即， 点到直线的距离，而， 所以△ABC的面积. 题型二 直线围成图形的面积问题 4．直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线与x轴的交点M坐标，直线与y轴的交点N坐标，及直线和的交点P坐标，则可求和由两点式可得直线MN的方程为，即可求P点到直线MN的距离，即可求 【详解】直线与x轴的交点为，直线与y轴的交点为， 则． 如图所示： 则由两点式可得直线MN的方程为，即， 由解得， 此为两直线的交点， 根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为 ， 故 ． 故选：B 5．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】6 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且， 则由题意可知，点关于点的对称点在上, 可得，解得， 即，则，且直线， 联立的方程得，解得，即的交点坐标为， 则点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：6． 6．已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以△AOB的面积的最小值是4. 题型三 已知点到直线的距离求参数 7．已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 8．已知，两点到直线的距离相等，则 . 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】因为，两点到直线的距离相等， 所以有或， 解得或. 故答案为：或 9．在平面直角坐标系中，已知三个顶点、、. (1)求边所在直线的方程. (2)若边上高所在的直线方程为，且△ABC的面积为，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出，结合三角形的面积公式可求出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式以及点在直线可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）由题意可知，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）因为边上高所在的直线方程为，则①， 设点到直线的距离为，且， 因为，可得， 由点到直线的距离公式可得，故②， 所以或，解得或， 故点的坐标为或. 题型四 求到两点距离相等的直线方程 10．已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 11．若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】解法1：设出直线方程，利用两点到直线的距离相等，列出方程并求解，需要根据斜率是否存在进行讨论；解法2：由题意数形结合，可推得直线或直线经过线段的中点，分别求解即可． 【详解】解法1：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 由题意知，解得．故直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 解法2：如图，当时，，的方程为，即． 当直线经过线段的中点时，又直线过点，故其方程为. 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或.    12．已知△ABC的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. 【详解】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为． 由于直线过点，所以的直线方程为，即． （2）因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点． ①当直线与平行时，因为，且过点， 所以的直线方程为，即． ②直线过线段的中点时，有， 所以的直线方程为，即． 综上所述：直线方程为或． 题型五 求点关于直线的对称点 13．点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 14．若点与点关于直线对称，则的坐标为 . 【答案】 【分析】由两点关于直线的性质可求得的坐标. 【详解】设，则，解得. 所以的坐标为. 故答案为： 15．已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用过两直线交点的直线系求解； （2）求出点关于直线的对称点，则即为所求. 【详解】（1）设所求直线方程为，即， 由其与直线垂直可得，解得， 所以所求直线方程为，化简得：. （2）因为，所以两点在直线同侧， 由已知可知， 设点关于直线的对称点为，则，解得， 即，因为，所以， 当且仅当动点位于与交点时取等号， 所以的最小值为. 题型六 求两点的对称轴 16．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 17．点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 18．如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【答案】 【分析】利用点与关于直线对称，求直线的方程，再与直线方程联立，求点的坐标，即可求点到的距离. 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 题型七 光线反射问题（2）——直线关于直线对称 19．如图所示，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性求得正确答案. 【详解】点关于轴的对称点为， 直线的方程为，斜率为， 设点关于对称点为， 则，解得， 即点关于对称点为， 与的距离为， 所以光线所经过的路程是. 故选：A 20．一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程. 【详解】设关于直线的对称点， 所以，所以， 所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． 故答案为：． 21．已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)： (2) 【分析】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. 【详解】（1）因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. （2）设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 题型八 坐标法的应用——点到直线的距离 22．与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】结合各选项中直线解析式，应用点线距、直线与轴交点即可得到正确选项. 【详解】与的距离为2，在轴上的截距为4，故符合要求； 对于直线，有且时，故也符合要求； 与的距离为3且轴无交点，不符合要求. ∴、都是与点距离为2且在轴上的截距为4的直线. 故选：C 【点睛】本题考查了点线距离公式及直线的截距，属于简单题. 23．已知点在直线上,则的最小值为 . 【答案】4 【分析】据题意可知，表示原点到直线上的点的距离，求出原点到直线的距离为4，从而可得出的最小值． 【详解】根据题意知，表示原点到直线上的点的距离， 大于等于原点到直线的距离， 原点到直线的距离为， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查点到直线的距离、两点间的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意几何意义的应用. 24．在△ABC中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求AD的长； (2)求角的平分线与直线的交点坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，由边BC的中点在轴上，点在轴上，可得D坐标，据此可得答案； （2）设角的平分线与直线的交点为，由到直线AB，BC的距离相等，验证后可得答案. 【详解】（1）设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得． 因为点在轴上，且，所以，解得． 所以，所以．则． （2）设角的平分线与直线的交点为，则易知． 直线BC的方程为，即． 直线AB的方程为，即． 由到直线AB，BC的距离相等，可得，即． 即，解得或． 则交点可能为或， 将坐标代入，，可得， 将坐标代入，，可得， 则在BC，AB 之间满足题意，在BC，AB 同侧，不满足题意. 所以角的平分线与直线的交点坐标为． 题型九 求平行线间的距离 25．直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，求出平移后直线的方法，利用平行线之间的距离可计算原直线的斜率． 【详解】由题可知直线斜率存在，设直线的方程为，即， 向左平移3个单位后，得到直线， 即， 所以两条直线间的距离，解得． 故选：B． 26．两直线与之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据平行线距离公式直接计算即可. 【详解】两直线与之间的距离， 即两条直线与之间的距离， 为． 故答案为：. 27．已知直线的方程为. (1)若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由垂直关系可得直线的斜率，结合斜截式方程求解即可； （2）利用平行关系可设直线的方程为，由两条平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】（1）由直线的斜率为，又由，可得直线的斜率为，     又由直线在轴上的截距为，可得直线过点，     可得直线的方程为，整理为. 故直线的方程为. （2）由直线，可设直线的方程为，     又由直线与直线之间的距离为3，有，解得或-16.     故直线的方程为或. 题型十 由距离求已知直线的平行线 28．已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 【答案】D 【分析】根据平行线间的距离公式即可求解. 【详解】解：直线可化为， 因为直线与直线间的距离为1， 所以，解得或. 故选：D 29．已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】设与直线平行的直线的方程为，再根据两平行线距离公式求出的值即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 所以 解得或. 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 30．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. （2）直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 题型十一 求关于平行直线对称的直线 31．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解. 【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线， 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0， 根据平行线间的距离公式得 所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6， 即l：x＋y－6＝0. 根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 32．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 33．已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）的中点的运动轨迹为与、平行且在它们中间的直线得其斜率，再求两直线在y轴中点的坐标可得答案.   （2）设的直线方程，分别于、联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得斜率，然后根据点斜式方程求得答案. 【详解】（1）因为、两点分别在直线、上运动， 所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线， 设其方程为， 、与y轴的交点分别为、，两点的中点为， 且中点在直线，所以，所以， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为. （2）过点且与x轴垂直的直线方程为， 与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意， 所以设的斜率为，直线方程为， 由直线与 即，交点为为， 由直线与 即，交点为（，） 所以两交点之间的距离为=3， 解得，或， 所求直线方程为，或， 即或. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系，两条平行直线之间的距离的问题. 题型十二 求直线关于点对称直线 34．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 35．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 36．已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出关于点的对称点，利用在直线上，即得解； （2）先求解关于直线的对称点的坐标，再求解与的交点N，由两点式得到直线方程 【详解】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 则在直线上，， 即． （2）在直线上取一点， 则关于直线的对称点必在上． 设对称点为， 则解得． 设与的交点为，则由得， 则经过点， 直线的方程为，即． 题型十三 将军饮马问题求最值 37．已知点，点在轴上，点在直线上，则△ABC周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 由对称性可知，， 所以△ABC的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故△ABC周长的最小值为. 故选：D. 38．已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，分析可知当、、三点共线时，最小，设点，求出点的坐标，进而可得出直线的方程，再将该直线方程与直线的方程联立，即可得出点的坐标. 【详解】易知，均在直线的同侧； 作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则， 所以， 当、、三点共线时取等号，即、、三点共线时，最小. 设，则，解得，即. 因为，所以直线为， 由，得，即. 故答案为：. 39．（1）求函数的最小值． （2）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）问题转化为求x轴上点到两点的距离之和的最小值，应用将军饮马模型求最小值，注意取值条件； （2）设直线相关交点为，根据是的中点，列方程求参数，应用点斜式求直线方程. 【详解】（1）由，表示x轴上点到两点的距离之和， 又关于x轴对称点为，显然，    如上图，，仅当与原点重合时等号成立， 所以函数最小值为. （2）若直线与和分别交于，      则是的中点，故，即，可得， 所以，则， 故直线的方程为，即. 题型十四 直线关于直线对称问题 40．与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 41．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 42．已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. 【详解】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $