2.3.2 两点间的距离公式专项训练【5大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦两点间距离公式的5大考点，从直接应用到新定义拓展，构建递进式知识应用体系，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求平面两点间的距离|4题|直接应用公式计算距离（含中线长、定点距离）|公式基础应用，巩固坐标运算| |由距离求点的坐标|4题|已知距离列方程求坐标（含多选、解答题）|逆向应用公式，强化方程思想| |判断三角形形状|7题|计算边长判断形状（含选择、多选、解答）|结合几何性质，发展推理意识| |求函数最值|6题|数形转化为距离最值（含竞赛题、应用题）|渗透数形结合，提升数学思维| |距离新定义|4题|应用曼哈顿/切比雪夫距离（含轨迹问题）|拓展数学抽象，培养创新意识|

2.3.2 两点间的距离公式 5大考点汇总 考点01 求平面两点间的距离 考点02 由距离求点的坐标 考点03 由顶点坐标判断三角形的形状 考点04 用两点间的距离公式求函数最值 考点05 距离新定义 题型专练 考点01 求平面两点间的距离 1．（25-26高二上·福建福州·期中）已知、、三点，且，则的值为__________. 【答案】 【分析】应用两点间距离公式计算求参. 【详解】因为、、三点，且， 则 则. 故答案为：. 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解. 【详解】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为， 则边上的中线长即为CD长度， 根据两点间距离公式可知：， 故边上的中线长为. 故选：C. 3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 【答案】5 【分析】先求得中点的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 考点02 由距离求点的坐标 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 6．（25-26高二上·全国·专题训练）（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为且，所以， 解得 故选：CD 7．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析，直线的方程为； (2)或或. 【分析】（1）利用坐标代换法求出方程即可得证. （2）求出过点与直线垂直的直线方程及垂足的坐标，再按直角顶点情况分类求解. 【详解】（1）设点，由点，得，消去得， 所以点在定直线上，直线的方程为. （2）当为等腰的直角顶点时，，设， 直线的方程为，则，解得，于是； 由，解得或，则点或； 当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点， 因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点， 所以点的坐标是或或. 8．（25-26高二上·贵州黔西南·期中）已知直线和点． (1)过点作直线与已知直线平行，求直线的方程； (2)过点作直线与已知直线相交于点，且使，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出直线的方程，再代入求出参数值即得. （2）由直线的方程设出点的坐标，利用两点间距离公式得解. 【详解】（1）由直线，设直线的方程为，而直线过， 因此，解得， 所以直线的方程为. （2）由于直线与直线相交于点，设，而，， 因此，整理得，解得或， 于是点或，所以直线的方程为或. 考点03 由顶点坐标判断三角形的形状 9．（2026高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【答案】是等腰直角三角形，. 【分析】根据两点间的距离公式求出的三边的长，然后根据三边的关系判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式求三角形的面积． 【详解】解法一  因为， ， 又， 所以，且， 所以是等腰直角三角形， ． 解法二  因为，， 则， 所以． 又， ， 所以， 所以是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，通过三角形的三边之长判断三角形的形状. 10．（25-26高二上·广西玉林·阶段检测）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 11．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程， （2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率. 【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率， 所以，所以， 故所求直线方程为，即. （2）由题意得，， 所以，则为等腰三角形， 的中点为，故， 由等腰三角形的性质知，为的平分线， 故所求直线方程为，即.    12．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 13．（25-26高一下·浙江·阶段检测）（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【答案】AB 【分析】画出图像，逐一分析，即可. 【详解】解：如图所示， 当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对， 当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对， 当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误， 当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误， 故选：AB. 14．（25-26高二上·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 【答案】D 【解析】计算出三边边长，结合勾股定理可判断出该三角形的形状. 【详解】由已知可得，， ，所以，. 因此，为直角三角形. 故选：D. 考点04 用两点间的距离公式求函数最值 15．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 16．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 17．（25-26高二上·全国·专题训练）求函数的值域. 【答案】 【分析】将函数的解析式中两个根式理解为动点到定点的距离，数形结合即可求解. 【详解】因， 可将函数的值域理解为动点到两定点的距离之和的取值范围. 如图，    因点在轴上，故当且仅当点与点重合时， ， 故函数的值域为. 18．（25-26高二上·北京·阶段检测）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 19．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 20．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，的最小值为___________； 【答案】 【分析】应用两点间距离公式结合三角形旋转转化边长，最后结合距离和得出最小值即可. 【详解】设，设， 把以为旋转中心逆时针旋转时，得出，则， 所以， 当且仅当四点共线时取最小值 则的最小值为. 故答案为：.      考点05 距离新定义 21．（25-26高二上·安徽亳州·期中）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先设，并根据定义将写成分段函数的形式，再分段求函数的范围，即可求得函数的最小值. 【详解】设，， ， 当时，取等号， 当时，， 当时，，所以． 所以的最小值是3. 故选：C 22．（25-26高二上·青海·阶段检测）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 【答案】 【分析】先应用新定义列式结合绝对值不等式计算得，再应用直线弦长公式计算求解. 【详解】设，则， 即， 所以或或， 解得， 则点的运动轨迹的长度为. 故答案为：. 23．（25-26高二上·北京·阶段检测）曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过定点的求法和直线垂直关系判定可知，大致锁定两直线位置，并验证出可过点；根据曼哈顿距离的几何意义，结合直线位置关系可确定当过，即重合时，所求曼哈顿距离和取最小值，由此可得结果. 【详解】记直线，则， 由得：，恒过定点； 记直线，则， 由得：，恒过定点； ，； 若过点，则，解得：，与矛盾，不过点； 若过点，则，解得：，符合题意，可过点； 设曼哈顿距离，其中，则点到定点的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形，该正方形以为中心，其中一条对角线在轴上，另一条对角线平行于轴，且对角线长的一半为定值，如下图所示， ，，， ，可知轨迹为该正方形； 当正方形与相交于一点时，；当正方形与相交于一点时，， （当过，即重合时取等号）， 当过时，，此时，则， 的最小值为. 故选：A. 24．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（   ） A．，，则 B．O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C．对任意三点A、B、C，都有 D．已知点和直线：，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B：设，分析可得，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D：设点可得，讨论可得距离，再由函数的性质，求得最小值即可. 【详解】对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设，若，则，且等号至少有一个成立，故轨迹不是直线，B错误； 对于选项C：设， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线上一点， 则， 当，即时，则， 可知当时，取得最小值； 当，即或，则，无最小值， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2 两点间的距离公式 5大考点汇总 考点01 求平面两点间的距离 考点02 由距离求点的坐标 考点03 由顶点坐标判断三角形的形状 考点04 用两点间的距离公式求函数最值 考点05 距离新定义 题型专练 考点01 求平面两点间的距离 1．（25-26高二上·福建福州·期中）已知、、三点，且，则的值为__________. 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 考点02 由距离求点的坐标 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·专题训练）（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 8．（25-26高二上·贵州黔西南·期中）已知直线和点． (1)过点作直线与已知直线平行，求直线的方程； (2)过点作直线与已知直线相交于点，且使，求直线的方程． 考点03 由顶点坐标判断三角形的形状 9．（2026高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 10．（25-26高二上·广西玉林·阶段检测）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 11．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 12．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 13．（25-26高一下·浙江·阶段检测）（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 14．（25-26高二上·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 考点04 用两点间的距离公式求函数最值 15．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 16．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·全国·专题训练）求函数的值域. 18．（25-26高二上·北京·阶段检测）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 19．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为_______． 20．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，的最小值为___________； 考点05 距离新定义 21．（25-26高二上·安徽亳州·期中）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（25-26高二上·青海·阶段检测）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 23．（25-26高二上·北京·阶段检测）曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（   ） A．，，则 B．O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C．对任意三点A、B、C，都有 D．已知点和直线：，则 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $