2.3.1 两条直线的交点坐标 专项训练【6大考点】-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦两条直线交点坐标6大考点，以题型专练构建从基础计算到综合应用的递进式训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求直线交点坐标|4题|直接求解、含垂直条件、截距相等、象限判断|从代数求解到几何意义应用| |判断直线位置关系|4题|方程组解的个数、多选辨析、分类讨论|方程解与几何位置的转化| |由交点个数求参数|4题|相交/平行/垂直条件、图象交点、三线交点|参数对直线位置的影响分析| |由交点坐标求参数|4题|象限条件、三线共点、中点问题|坐标特征转化为参数不等式| |三线围三角形问题|4题|共点条件、不能围成三角形的参数、直角三角形顶点|三线位置关系的综合判断| |交点系方程及应用|4题|过交点求直线、截距条件、垂直关系|交点系方程的构建与应用|

2.3.1 两条直线的交点坐标 6大考点汇总 考点01 求直线交点坐标 考点02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 考点03 由直线交点个数求参数 考点04 由直线交点坐标求参数 考点05 三线能围成三角形的问题 考点06 直线交点系方程及应用 题型专练 考点01 求直线交点坐标 1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 5．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 7．（25-26高二上·全国·专题训练）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 8．（25-26高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 考点03 由直线交点个数求参数 9．（25-26高二上·全国·专题训练）已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 10．（25-26高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 12．（2026·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 考点04 由直线交点坐标求参数 13．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·全国·专题训练）已知三条直线，，相交于一点，则____________. 15．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 16．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 考点05 三线能围成三角形的问题 17．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 18．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 19．（25-26高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 20．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 考点06 直线交点系方程及应用 21．（25-26高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 22．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 23．（25-26高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 24．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1 两条直线的交点坐标 6大考点汇总 考点01 求直线交点坐标 考点02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 考点03 由直线交点个数求参数 考点04 由直线交点坐标求参数 考点05 三线能围成三角形的问题 考点06 直线交点系方程及应用 题型专练 考点01 求直线交点坐标 1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用方程组求解交点即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为： 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 3．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程. 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 考点02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 5．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标. 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 7．（25-26高二上·全国·专题训练）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交， (2)重合 【分析】（1）联立方程求出交点坐标； （2）化简得到，可得两直线重合. 【详解】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合， 8．（25-26高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)重合 (3)平行 【分析】分别联立方程组的，解方程组即可判断直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，且交点坐标为． （2）联立直线与的方程得方程组， 因为整理得，即方程②可以化为方程①， 所以方程组有无数组解， 所以与重合． （3）联立直线与的方程得方程组 由得（不成立），可知该方程组无解． 所以与无公共点，即． 考点03 由直线交点个数求参数 9．（25-26高二上·全国·专题训练）已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 【答案】(1)m≠1且m≠－5 (2)－5 (3) 【详解】解：（1） 由（3＋m）（1＋m）≠4×2，得m≠1且m≠－5. （2） 由（3＋m）（1＋m）＝4×2，得m＝1（舍）或m＝－5. （3） 由2（3＋m）＋4（1＋m）＝0，得m＝－. 10．（25-26高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 11．（25-26高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 12．（2026·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 考点04 由直线交点坐标求参数 13．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 14．（25-26高二上·全国·专题训练）已知三条直线，，相交于一点，则____________. 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 由点在直线上，得，所以. 故答案为：3 15．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 16．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 【答案】(1)直线恒过定点 (2) 【分析】（1）把直线的方程化为即可求出恒过的定点； （2）设出点A的坐标，利用P是AB中点表示出点B的坐标，再根据A、B分别在直线上求出A点坐标，最后将A点坐标代入直线的方程求出m. 【详解】（1）证明：可化为， 由于，则，解得， 即直线恒过定点．所以直线恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 因为恰为的中点，所以． 因为分别在直线和直线上， 所以，解得，所以． 将代入直线的方程得：，解得. 考点05 三线能围成三角形的问题 17．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 18．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 19．（25-26高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 20．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【详解】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 考点06 直线交点系方程及应用 21．（25-26高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 22．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 23．（25-26高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程. 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 24．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）法1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法2：设直线系方程，再利用垂直关系求出； （2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可. 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $