1.1.1 空间向量及其线性运算 专项训练【6大考点】-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量线性运算核心考点，以概念辨析为基础、运算推理为纽带、几何应用为目标，构建从基础到综合的递进式训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量概念|6题|多选为主，辨析向量性质、共线共面向量|从向量基本属性切入，建立空间向量与平面向量的关联| |线性运算|6题|正方体/四面体中向量加减，结合中点等分点|运算规则→几何意义→复杂图形中的向量分解| |几何表示|6题|三棱柱/台体中向量线性表示，用基底表达|从简单几何体到复杂组合体，强化空间构图能力| |共线判断|6题|参数求解、三点共线证明，含综合证明题|向量共线定理→参数计算→实际问题应用| |共面判断|6题|基底判断、四点共面证明，含开放参数题|共面向量定理→充要条件→空间点面位置关系| |数乘运算|6题|重心/分点问题，多面体中向量表示|数乘几何意义→比例关系→复杂几何体中向量合成|

1.1.1 空间向量及其线性运算 6大考点汇总 考点01 空间向量的有关概念 考点02 空间向量的加减运算 考点03 空间向量加减运算的几何表示 考点04 利用空间向量判断共线以及求参数或值 考点05 利用空间向量判断共面以及求参数或值 考点06 空间向量的数乘运算及其几何运算 题型专练 考点01 空间向量的有关概念 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 2．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 3．（25-26高二上·全国·期末）（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项, 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 5．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 6．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的性质及相反向量的定义，再结合选项，即可求解. 【详解】如图连接，因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以与向量相反的向量是，    故选：A. 考点02 空间向量的加减运算 7．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 8．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 9．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 10．（25-26高二下·上海·阶段检测）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 【答案】 【详解】因为为的中点，根据向量加法的平行四边形法则， 所以. 则根据向量减法的三角形法则可知， 得到. 11．（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则和数乘运算可得． 【详解】． 故选：B. 12．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 考点03 空间向量加减运算的几何表示 13．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 14．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 15．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 16．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 17．（25-26高二上·四川泸州·期末）三棱锥中，点，分别为，的中点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】因为点 是 的中点，所以， 又因为点 是 的中点，所以， 因此：. 故选：A    18．（25-26高二上·安徽·阶段检测）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解． 【详解】 ，分别是线段，上靠近，的三等分点， ，， ，， 又，， ，即 ，故A正确． 故选：A． 考点04 利用空间向量判断共线以及求参数或值 19．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【答案】共线 【分析】根据空间向量的线性运算法则，化简得到，即可得到结论. 【详解】由空间向量的线性运算法则，可得 ，即， 又由向量的共线定理，可得与共线． 20．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意，，转化，代入结合题干条件运算即得证； （2）由题意，，又，运算即得证 【详解】证明：（1） ∴. （2）. 21．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 22．（25-26高一下·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 23．（25-26高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 24．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 考点05 利用空间向量判断共面以及求参数或值 25．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D，假设，，共面， 则存在实数，，使得， 因为，，不共面，所以， 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确. 26．（25-26高二下·全国·阶段检测）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【详解】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 27．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 28．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 29．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形给定向量移动式，再利用共面向量定理的推论列式计算得解. 【详解】由，得， 则，由在所在平面内，得， 所以. 故选：B 30．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 考点06 空间向量的数乘运算及其几何运算 31．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 32．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 33．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    【答案】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】是的重心， ， . 故答案为：. 34．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 35．（25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱的特征及空间向量线性运算的几何意义计算即可. 【详解】易知. 故选：C 36．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得 ，故A正确. 故选：A 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其线性运算 6大考点汇总 考点01 空间向量的有关概念 考点02 空间向量的加减运算 考点03 空间向量加减运算的几何表示 考点04 利用空间向量判断共线以及求参数或值 考点05 利用空间向量判断共面以及求参数或值 考点06 空间向量的数乘运算及其几何运算 题型专练 考点01 空间向量的有关概念 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 3．（25-26高二上·全国·期末）（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 5．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 6．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 考点02 空间向量的加减运算 7．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·上海·阶段检测）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 11．（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 考点03 空间向量加减运算的几何表示 13．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·四川泸州·期末）三棱锥中，点，分别为，的中点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·安徽·阶段检测）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 考点04 利用空间向量判断共线以及求参数或值 19．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 20．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，. 求证：（1）； （2）. 21．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 22．（25-26高一下·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 23．（25-26高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 24．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 考点05 利用空间向量判断共面以及求参数或值 25．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 26．（25-26高二下·全国·阶段检测）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 27．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 28．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 29．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 考点06 空间向量的数乘运算及其几何运算 31．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 33．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    34．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $