1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系专项训练【5大考点】-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具性应用，构建“向量求解-位置证明-探究应用”递进式训练体系，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求平面法向量|6题|选择/多选题，含坐标法与几何法|从基础向量运算到平面法向量求解，奠定空间关系证明基础| |求直线方向向量|6题|选择/多选题与解答题，涉及中点、折叠问题|与法向量形成空间向量基本工具，构建空间坐标系应用能力| |证明平行关系|6题|解答题，含线面平行、面面平行|应用方向向量与法向量判定平行，体现向量工具的转化价值| |证明垂直关系|6题|解答题，含线线垂直、线面垂直|通过向量数量积运算实现垂直判定，强化逻辑推理| |解决探究性问题|5题|综合解答题，涉及存在性与位置确定|整合前四考点，培养用数学语言表达空间问题的能力|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 5大考点汇总 考点01 求平面法向量 考点02 求直线的方向向量 考点03 利用空间向量证明平行关系 考点04 利用空间向量证明垂直关系 考点05 利用空间向量解决探究性问题 题型专练 考点01 求平面法向量 1．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西百色·阶段检测）（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 考点02 求直线的方向向量 7．（25-26高二上·广东江门·期末）（多选）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（   ） A．，，，四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 8．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 9．（25-26高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 11．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将三角形ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则（    ） A．BF平面 B．⊥平面 C．若平面⊥平面ABC，则在某个特定的坐标系下，的一个方向向量可以为 D．若，则在某个特定的坐标系下，平面的一个法向量可以为 12．（25-26高二上·湖北孝感·期末）如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 考点03 利用空间向量证明平行关系 13．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 16．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 17．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    18．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    考点04 利用空间向量证明垂直关系 19．（25-26高一下·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长. 20．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 21．（2026·河北沧州·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，.    (1)求三棱锥的体积； (2)若平面，求的值. 22．（25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 23．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 24．（2026高三·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点为的中点，点为上的点，，，平面与棱交于点．求证：异面直线与垂直． 考点05 利用空间向量解决探究性问题 25．（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 26．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 27．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 28．（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，已知正四棱柱中，是的中点. (1)证明：平面； (2)设，若在线段上存在点，使得平面平面，试确定点的位置. 29．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 30．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 5大考点汇总 考点01 求平面法向量 考点02 求直线的方向向量 考点03 利用空间向量证明平行关系 考点04 利用空间向量证明垂直关系 考点05 利用空间向量解决探究性问题 题型专练 考点01 求平面法向量 1．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 2．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的法向量为，结合法向量计算方法计算即可. 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C.    3．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 4．（25-26高二上·广西百色·阶段检测）（多选）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 5．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 6．（25-26高二上·山东·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】根据题意可得， 化简得， 故选：B 考点02 求直线的方向向量 7．（25-26高二上·广东江门·期末）（多选）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（   ） A．，，，四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 【答案】AC 【分析】证明四边形是平行四边形即可判断A和B；利用方向向量的概念即可判断C；利用向量加法运算计算判断D作答. 【详解】在四面体中，，，，分别是，，，的中点， 则，， 于是得四边形是平行四边形，故，，，四点共面，即A正确； 因平行四边形两条对角线不一定垂直，即不一定垂直，则不一定成立，B不正确； 因，，则为直线的方向向量，C正确； 平行四边形中，是和的交点，则是中点，对空间任意一点， 则，D不正确. 故选：AC. 8．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 【答案】ABC 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D。 【详解】对A，由题意得，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 故选：ABC. 9．（25-26高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 10．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 11．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将三角形ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则（    ） A．BF平面 B．⊥平面 C．若平面⊥平面ABC，则在某个特定的坐标系下，的一个方向向量可以为 D．若，则在某个特定的坐标系下，平面的一个法向量可以为 【答案】BCD 【分析】结合面面平行的判定及性质，利用反证法判断A；根据线面垂直的判定定理判断B；建立空间坐标系，求出向量坐标判断C；求出平面的法向量判断D. 【详解】对于A，假设平面，由，平面，平面， 得平面，又平面，则平面平面， 而平面与平面相交于点，即假设不成立，因此不平行平面，A不正确； 对于B，由，，得，， 又平面，则平面，B正确； 对于C，将沿折起，使到，且平面平面， 取的中点，连接，由，得，平面， 又平面平面，因此平面， 在平面内过作，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正的边长为2，则， 于是，C正确； 对于D，过点作平面，由选项C知，设， 由，得，则， 即，，，由， 得，即，解得，点， 则，设平面的法向量， 则，取，得，D正确． 故选：BCD 12．（25-26高二上·湖北孝感·期末）如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 考点03 利用空间向量证明平行关系 13．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面平面，证明见解析 【分析】（1）分别连接、、、交对边于、、、点，推导出四边形为平行四边形，推导出，可得，即可证得结论成立； （2）推导出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）分别连接、、、交对边于、、、点． 因为、、、分别是所在三角形的重心． 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且，所以，， 故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面． （2）由（1）得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面. 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 16．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】（1）在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 17．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】以为原点建系，设，计算的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. 【详解】因，则以为原点，所在直线为轴、轴，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因AD⊥平面BCD，则轴， 设，， 因M是AD的中点，P是BM的中点，则，， 因，则，则， 则， 又平面的一个法向量为，则，即， 又平面，则平面. 18．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【答案】存在，1，理由见解析. 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，看是否有解，若有解求出点坐标. 【详解】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， ，，，， ，. 假设在线段上存在点（），使得平面， 则. 设平面的法向量为，则令，得，， 是平面的一个法向量. ，解得，，为线段的中点. 综上可知，在线段上存在点，满足，使得平面. 考点04 利用空间向量证明垂直关系 19．（25-26高一下·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明：因为，，， 所以，. 由（1）得 ， 所以，即． (3) 【分析】（1）利用空间向量的加减法，将目标向量分解为基底向量的线性组合； （2）将两向量表达式代入数量积，利用已知边长和夹角展开计算，由点积为零证明垂直； （3）计算目标向量模的平方，展开后代入已知数据，开方得长度． 【详解】（1）在中，由空间向量的减法运算，得.    ． （2）略． （3）由（1）知， 所以 ，         所以． 20．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 21．（2026·河北沧州·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，.    (1)求三棱锥的体积； (2)若平面，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由线面垂直推，结合等腰三角形得，证出垂直侧面，再利用等体积法转换顶点，代入棱长数值套用棱锥体积公式算出结果. （2）先证垂直平面得线线垂直，再建空间直角坐标系写出对应点与向量坐标，由线面垂直推出向量点积为零，列方程求解得出的值. 【详解】（1）由题可知，平面，平面，所以. 又，所以. 因为，，平面，所以平面. 易得，， 所以. （2）如图，过点作平面，交于点，所以. 由（1）得平面，平面，所以 所以分，，两两垂直. 所以分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，， 可得，， 因为平面，所以. 即，所以，解得， 检验可知符合题意. 22．（25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接菱形对角线、交于中点，利用三角形中位线得，由线面平行判定定理证平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再设上的点并表示出平面的法向量，根据面面垂直的法向量点积为零列方程，解得参数后算出的长度为. 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. 23．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法可得，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即可. （2）结合向量的数量积得到，，可得，，再利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. （2），，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 24．（2026高三·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点为的中点，点为上的点，，，平面与棱交于点．求证：异面直线与垂直． 【答案】证明见解析. 【分析】建立空间直角坐标系，求出，计算求出，从而证明结论. 【详解】已知四边形是菱形，则，设，则是的中点， ，， ，. ，且平面， 平面. 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系： ，. 则，. 可知. F为的中点，. 点E为上的点，，， . 则，. ， ，即. 因此异面直线与垂直． 考点05 利用空间向量解决探究性问题 25．（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定定理证明平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）令，，分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直求出参数，即可得答案. 【详解】（1）因为，即, 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，，平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 所以. （2）因为平面，，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， 假设存在线段上存在一点，使得平面平面，设点，，则，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，所以， 若平面平面，则，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 26．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，证明，由此可得结论. （2）求平面的法向量，由条件可得，由方程求得. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 27．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． (2) 由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． 即平面平面． (3) 假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，分别写出的坐标，计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，证明两法向量垂直即可； （3）假设存在，由，结合点的位置，即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 28．（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，已知正四棱柱中，是的中点. (1)证明：平面； (2)设，若在线段上存在点，使得平面平面，试确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2)点与点重合 【分析】（1）取中点，连接，利用正四标柱的性质得，再利用几何关系可得平面，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接，因为，且， 所以是平行四边形，则， 又，且，所以为平行四边形，则与相交， 且交点为线段与的中点，记， 又，且，所以为平行四边形，则与相交， 且交点为线段与的中点，所以，则平面， 平面，所以平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，设， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 因为平面平面，则，所以， 解得，所以点与重合. 29．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 30．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，使得，理由见解析，. 【分析】（1）以为基底，表示表示，结合向量运算性质证明，由此证明结论； （2）利用基底表示，结合数量积性质求其模，可得结论； （3）设存在点，满足条件，且，利用基底表示，结合假设及数量积性质求，可得结论. 【详解】（1）由已知不共面，故为一组基底， 由已知， ， 所以， 由已知， 因为为的重心，所以， 所以， ， 所以，，即， 又平面，， 所以平面； （2）因为，， 又为的中点， 所以， 所以， 所以， 所以线段的长为；    （3）设存在点，使得，且，， 则， ， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以存在点，使得，此时. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $