专题01 球的切接问题（五大题型）（专项训练）高二数学沪教版2020必修第三册

专题01 球的切接问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、棱柱的外接球与内切球（重难点） 1 题型二、圆柱的外接球与内切球（重难点） 5 题型三、棱锥的外接球与内切球（重难点） 8 题型四、圆锥的外接球与内切球（重难点） 14 题型五、外接球与内切球实际应用题（新考法） 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、棱柱的外接球与内切球 1．（23-24高二上·上海·期中）一个正方体的八个顶点都在同一球面上，已知这个球的表面积是，则这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，则，可得， 因为，解得， 所以，这个正方体的体积为. 故选：C. 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】B 【详解】设球的半径为，则， 又正三棱柱的高为， 设底面正三角形的外接圆半径为， ，故，解得， 由正弦定理得底面等边三角形的边长为， 则这个正三棱柱的体积为. 故选：B. 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）记一个正方体的表面积为，正方体的内切球的表面积为，则 . 【答案】 【详解】设正方体的棱长为，则， 正方体的内切球的半径为，则， . 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【详解】正方体的对角线就是球的直径，即，则， 则. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期末）球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 . 【答案】 【详解】 如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球， 即球O是棱长为 1 的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球， 因为正方体棱长为1，则体积为1， 可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积， 即球O的内接正四面体体积为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海·期末）半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图所示， 设正三棱柱上下底面的中心分别为. 底面边长与高分别为，则， 在中，，化为， 因为，， 当且仅当时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海·期中）圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 ． 【答案】 【详解】    如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为，正方体的外接球的直径为 ， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海·期末）如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 【详解】（1）依题意，半球内接正方体下底面正方形中心为半球底面圆圆心， 而正方体下底面正方形外接圆半径为， 因此半球的半径， 所以半球表面积，体积. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b， 依题意，，即，令，， 该正四棱柱的表面积 ，其中锐角由确定， 则当，即时，， 所以正四棱柱表面积的最大值. 题型二、圆柱的外接球与内切球 9．（24-25高二上·上海·期中）一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，则母线长为，外接球的半径为， 由题有，则，解得， 所以圆柱的底面面积为， 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为则圆柱的表面积为 ． 【答案】 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于球的直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得： ． 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·单元测试）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 【详解】（1）由题意可得：，， 所以圆柱内空余部分的体积为． （2）垂直底面截面如图．所示， ，，， 在中，，． 因为，所以， 即，解得． 平行底面截面如图所示，． ，所以， 所以下方空余位置可以放，因为为整数，所以， 所以整个空余空间最多可以放个． 12．（24-25高二上·上海·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 【详解】（1）因为正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点， 所以. 因为平面，平面， 所以. 因为平面， 所以平面. 因为平面, 所以. （2）由（1）可得平面， 所以直线和平面所成的角为，即. 因为正方形的边长为4， 所以， 所以,， 所以. （3）过作，垂足为， 因为, 所以. 由等面积法可得， 所以. 易知圆柱的外接球的半径为，即, 所以, 所以直线与球的两个交点间的距离为. 题型三、棱锥的外接球与内切球 13．（24-25高二下·上海·期中）如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为四边形为正方形，且边长为2. 所以正方形外接圆半径为：，即为已知半球的半径. 所以半球的表面积为：. 故选：C 14．（23-24高二上·上海普陀·期中）在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正四面体棱长为，外接球球心是，外接球半径为，如图，是底面三角形的外心，则，， 由得，解得， 该四面体可以在正方体内任意转动，由四面体外接球最大是正方体的内切球， 所以最大时，，， 故选：B． 15．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为： 16．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 【答案】 【详解】 如图，设正四面体的外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，过点作于，连接, 则必过的中心，， 则又，联立解得. 由题意，两球相交形成的图形为圆面， 如图，在中，，故， 所以交线所在圆的半径为，所以交线长度为． 故答案为： 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是 . 【答案】② 【详解】对于①：如图，由条件可知，，点是直径的两个端点， ，所以是钝角， ， 所以当时，的面积最大，最大值是，故①错误； 对于②：， ，当时，的最大值是， 所有三棱锥的最大值是，故②正确； 对于③：设外接圆的半径为，四面体SOPQ外接球的半径， 中，根据正弦定理可得，得， ，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故③错误.    故答案为：② 18．（24-25高二上·上海·期中）已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点分别在其内切球和外接球上，则线段长度的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可作图如下：    在正三棱锥中，是边长为12的正三角形，取中点并连接， 取，连接， 则，， 在正三棱锥中，平面，则， 由正三棱锥的对称可知：内切球和外接球的球心均在直线上， 设内切球球心为，外接球球心为， 设内切球的半径为，外接球的半径为， ∵,∴在的延长线上， 连接，则， 设，则，， ∴，解得，则， 取中点，连接，过点作于点，    在等边三角形中，为中点，∴， 在等腰三角形中，为中点，∴， 平面，平面， ∴平面，又∵平面， ∴平面平面，且平面平面， ∵，∴平面， ∴内切球半径，则， ∵，则， ∵，∴，即，解得， ∴， ∴，即， 故答案为： 19．（23-24高二下·上海·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 【详解】（1）由于E是的中点，结合正四面体的性质可得, 又因为，所以平面； （2）因为，所以， 在三角形ACE中，由余弦定理可得， 同理， 在三角形ABE中，E到AB的距离为， 所以由等面积法可得，代入数据得， 所以， 因为，所以F到底面BCD的距离为A到底面BCD的距离的， 三角形BCE的面积是三角形BCD面积的， 所以， 如图，取CD中点记为H，AG为棱锥的高， ，， 所以， 则， 所以. （3）∵， ∴点在以为直径的球面上，取的中点为， ∵点在中， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面， ∴点的轨迹为一段圆弧， 取的中点为，连接，在上取一点，使得， 在等边中，易得点为的中心， ∴在正四面体中，易得平面， 取的中点为，连接，则，则平面， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直， ∴点的轨迹是以点为圆心的一段圆弧， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴圆的半径， 而， ∴， 故长度的最小值为． 题型四、圆锥的外接球与内切球 20．（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 21．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    【答案】 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得.    故答案为： 22．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在中，，斜边是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且． (1)求圆锥的表面积； (2)若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值． 【详解】（1），，则，圆锥的表面积为. （2）设圆锥展开扇形的圆心角为，，故，如图所示： ，，故. 动点从点出发运动到点所经过的最短距离为. （3）正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时最大，球心在上，作于， 设球半径为，，则在中，，解得， ，解得，即的最大值为. 题型五、外接球与内切球实际应用题 23．（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 【答案】19 【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为cm. 故答案为：. 24．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则 .      【答案】 【详解】设储物盒所在球的半径为，如图，    小球最大半径满足，所以， 正方体的最大棱长满足，解得：， ∴， 故答案为： 25．（24-25高二上·上海徐汇·期中）（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？ （2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1； 假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上； 假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直； 假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上． ①求“十字”捆扎中彩带的总长度； ②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 【详解】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，正方体礼盒、圆柱形礼盒的总造价分别为， 显然都是正数，所以， 所以工厂应选择圆柱体礼盒更经济实惠； （2）①采用“十字”捆扎中彩带的总长度为； ② 由于，因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带. 一、单选题 1．（2023·上海嘉定·二模）已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，所以， 所以，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选：C. 2．（2023·上海徐汇·二模）如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（    ） ①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】当为中点时，， ， 平面，平面， 平面平面，平面，，同理，，平面, 所以平面，即平面，故①正确； 当与重合时，在平面上，在平面外，故②不正确； 如图，点是线段的中点，由对称性可知， 由勾股定理可知易知， 球心到距离为， 则被球截得的弦长为 故③正确； 当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是， 面积为，故④正确. 故选：D. 3．（2024·上海徐汇·二模）三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【详解】由题意知，故, 设外心为，则为BC的中点，设外心为，当P、O位于平面ABC同侧时，如图， 则平面，平面， 平面，平面， ，， ，平面，平面， 又因为，则平面，即，，，四点共面， 则平面， 连接，则为二面角的平面角， 二面角的大小为，， 而，，因为平面，平面， 故，而，则， 在中，， 则，故，即三点共线， 且是的中点； 则，故①是真命题； 又， 点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截的优弧， 同理，当P、O位于平面ABC异侧时，点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截的劣弧， 轨迹长度为，故②真命题． 故选：A． 二、填空题 4．（2023·上海浦东新·三模）一个正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的表面积为 . 【答案】 【详解】如图所示： 设为正三角形ABC的中心，连接，则⊥平面，正三棱锥的外接球的球心在上， 设球的半径为，连接，， ∵的边长为， ∴， 又∵， ∴在中，， 在中，，，， ∴，解得， 此时说明球心在点的下方，即如下图所示： ∴球的表面积为． 故答案为：． 5．（2023·上海徐汇·一模）已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为 ． 【答案】2 【详解】圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的高， 设圆锥的内切球半径， 由，可得， 即，解之得， 棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为， 令，解之得. 则实数的最大值为2. 故答案为：2 6．（2024·上海杨浦·一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 【答案】 【详解】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，， 则圆柱形工件的侧面积为， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 7．（2025·上海浦东新·模拟预测）将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ． 【答案】 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，， 易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，，且点为边上的中点， 设内切圆的圆心为，由于， 故， 设内切圆半径为，则， 解得，其表面积为. 故答案为：. 8．（2025·上海嘉定·二模）某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）． 【答案】 【详解】若球的半径为，则，可得，又， 对于正四棱锥，设底面边长为，高为， 则，所以，即， 又，则，故，即， 纪念碑体积，令， 对于，则在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， 所以，故，此时米. 故答案为： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 球的切接问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、棱柱的外接球与内切球（重难点） 1 题型二、圆柱的外接球与内切球（重难点） 2 题型三、棱锥的外接球与内切球（重难点） 3 题型四、圆锥的外接球与内切球（重难点） 5 题型五、外接球与内切球实际应用题（新考法） 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、棱柱的外接球与内切球 1．（23-24高二上·上海·期中）一个正方体的八个顶点都在同一球面上，已知这个球的表面积是，则这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（    ） A． B． C．6 D．4 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）记一个正方体的表面积为，正方体的内切球的表面积为，则 . 4．（23-24高二下·上海·期中）设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 5．（24-25高二上·上海·期末）球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 . 6．（23-24高二上·上海·期末）半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为 ． 7．（24-25高二下·上海·期中）圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 ． 8．（24-25高二上·上海·期末）如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 题型二、圆柱的外接球与内切球 9．（24-25高二上·上海·期中）一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ． 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为则圆柱的表面积为 ． 11．（24-25高二上·上海·单元测试）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 12．（24-25高二上·上海·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 题型三、棱锥的外接球与内切球 13．（24-25高二下·上海·期中）如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·上海普陀·期中）在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 16．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是 . 18．（24-25高二上·上海·期中）已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点分别在其内切球和外接球上，则线段长度的取值范围是 . 19．（23-24高二下·上海·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 题型四、圆锥的外接球与内切球 20．（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 21．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    22．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在中，，斜边是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且． (1)求圆锥的表面积； (2)若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值． 题型五、外接球与内切球实际应用题 23．（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 24．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则 .      25．（24-25高二上·上海徐汇·期中）（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？ （2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1； 假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上； 假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直； 假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上． ①求“十字”捆扎中彩带的总长度； ②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 一、单选题 1．（2023·上海嘉定·二模）已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海徐汇·二模）如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（    ） ①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·上海徐汇·二模）三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 二、填空题 4．（2023·上海浦东新·三模）一个正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的表面积为 . 5．（2023·上海徐汇·一模）已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为 ． 6．（2024·上海杨浦·一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 7．（2025·上海浦东新·模拟预测）将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ． 8．（2025·上海嘉定·二模）某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$