第11章 简单几何体（单元测试·提升卷）高二数学沪教版2020必修第三册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第11章 简单几何体·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若一个圆柱侧面积为，高为 2，则这个圆柱的体积为 . 2．将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 3．在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 4．在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 5．在三棱锥中，有五条棱长均为1，则该三棱锥体积的最大值为 ． 6．如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 7．如图，圆锥中为顶点，底面直径，侧面积为，为的中点.设平面经过直线，则点到平面距离的最大值为 . 8．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 9．在正方体中，已知，点在棱上，且，则正方体表面上到点距离为的点的轨迹的总长度为 . 10．如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有 种. 11．如图，已知．线段为同一圆周上的一段圆弧，某“UFO”可以近似看成将该图形绕轴旋转半周所得的几何体，则该几何体的体积为 ． 12．如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若平面ABCD，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如图，在棱长为3的正方体中，M为线段上的动点，则三棱堆的体积为（    ）（参考结论：若一条直线与一个平面平行，则该直线上的动点到此平面的距离是一个定值）    A．3 B． C．9 D．与M点的位置有关 14．设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则对于下列结论，说法正确的是（    ） ①该圆锥的外接球体积为；②三棱锥的内切球表面积为 A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为假命题 16．如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 18．（14分）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 19．（14分）某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面是矩形，米，米，，腰梁、、、分别与相交的底梁所成角均为. (1)请指出与互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由； (2)若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？ 20．（18分）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的直径长为，点是圆上一点，， 点是劣弧上的一点， 平面平面， 且. (1)证明：. (2)当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离. 21．（18分）如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点. (1)求直三棱柱的全面积； (2)求三棱锥的体积： (3)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第11章 简单几何体·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若一个圆柱侧面积为，高为 2，则这个圆柱的体积为 . 2．将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 3．在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 4．在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 5．在三棱锥中，有五条棱长均为1，则该三棱锥体积的最大值为 ． 6．如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 7．如图，圆锥中为顶点，底面直径，侧面积为，为的中点.设平面经过直线，则点到平面距离的最大值为 . 8．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 9．在正方体中，已知，点在棱上，且，则正方体表面上到点距离为的点的轨迹的总长度为 . 10．如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有 种. 11．如图，已知．线段为同一圆周上的一段圆弧，某“UFO”可以近似看成将该图形绕轴旋转半周所得的几何体，则该几何体的体积为 ． 12．如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若平面ABCD，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如图，在棱长为3的正方体中，M为线段上的动点，则三棱堆的体积为（    ）（参考结论：若一条直线与一个平面平行，则该直线上的动点到此平面的距离是一个定值）    A．3 B． C．9 D．与M点的位置有关 14．设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则对于下列结论，说法正确的是（    ） ①该圆锥的外接球体积为；②三棱锥的内切球表面积为 A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为假命题 16．如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 18．（14分）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 19．（14分）某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面是矩形，米，米，，腰梁、、、分别与相交的底梁所成角均为. (1)请指出与互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由； (2)若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？ 20．（18分）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的直径长为，点是圆上一点，， 点是劣弧上的一点， 平面平面， 且. (1)证明：. (2)当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离. 21．（18分）如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点. (1)求直三棱柱的全面积； (2)求三棱锥的体积： (3)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第11章 简单几何体·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若一个圆柱侧面积为，高为 2，则这个圆柱的体积为 . 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱侧面积为，所以， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 2．将一个棱长为a的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了 . 【答案】 【详解】由题意可知正方体的表面积为， 小正方体的棱长为， 小正方体的表面积为， 64个全等的小正方体的表面积为， 表面积增加了 故答案为： 3．在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 【答案】 【详解】 由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点， 将三棱锥补成正方体，棱长为1， 则该正方体的外接球的直径为， 即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为， 则球O的表面积为. 故答案为：. 4．在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 【答案】 【详解】面，面；. 且，面；. ；. ；； 设点到平面的距离等于. ；；即. 即点到平面的距离等于. 5．在三棱锥中，有五条棱长均为1，则该三棱锥体积的最大值为 ． 【答案】 【详解】 如图所示，设，由题设有， 取中点，连接，则， 又因为为等边三角形，故， ， 当且仅当平面时等号成立，此时， 故答案为： 6．如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 【答案】6 【详解】因为， ， 所以 ,设点到侧面的距离是， 由， 所以 . 故答案为：6. 7．如图，圆锥中为顶点，底面直径，侧面积为，为的中点.设平面经过直线，则点到平面距离的最大值为 . 【答案】 【详解】设母线，则圆锥的侧面积为，则， 故，则， 故, 设点到的距离为，则， 故， 故点到平面距离的最大值即为点到的距离， 故答案为： 8．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】因为平面，又面，则， 又，，面，所以面， 又面，所以，又，是边长为的正方形， 所以，则，， 设点到平面的距离为， 由，得到，解得， 故答案为：. 9．在正方体中，已知，点在棱上，且，则正方体表面上到点距离为的点的轨迹的总长度为 . 【答案】 【详解】依题意，因为，, 故在上必存在点满足，如图所示. ，同理可得， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，即. 在平面内满足条件的点的轨迹为， 该轨迹是以为半径的个圆周，所以长度为； 同理，在平面内满足条件的点轨迹长度为； 在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，长度为； 同理，在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，长度为. 故轨迹的总长度为. 故答案为：. 10．如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有 种. 【答案】13 【详解】正四面体中，设棱长为a，四个面上每个顶点与对边中点的连线长均为， 连接，则，则，同理， 则每组相对棱中点的连线长均为， 当两点取自四面体的顶点时，不妨假设为， 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值，其中有，等， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点取自6条棱的中点时，不妨假设为，同理可计算取等情况时的值； 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点中一个取自四个顶点中，另一个取自6条棱的中点时， 可求得的不同值为： 共13个， 综合以上可得可能取值共有： 共13种， 故答案为：13 11．如图，已知．线段为同一圆周上的一段圆弧，某“UFO”可以近似看成将该图形绕轴旋转半周所得的几何体，则该几何体的体积为 ． 【答案】 【详解】连接，与轴相交于点， 六边形绕轴旋转半周所得的几何体的体积，可看成由直角梯形绕轴旋转一周的几何体体积的二倍， 由绕轴旋转一周的几何体是上下底面半径分别为1和3，高为1的圆台， 其体积为， ，弓形旋转所得几何体为高为的球冠， 以下利用祖暅原理证明球冠体积公式： 下图为半径为的半球和底面半径和高都为的圆柱，在圆柱内部切去一个和圆柱等底等高的倒立圆锥. 用与底面平行，距离为的平面截两个几何体， 则与半球的截面为半径为的圆，面积为， 截图（2）几何体所得截面为圆环，面积为， 因为恒成立，所以截面和底面之间的几何体体积相等， 所以截面截半球所得球冠的体积为， 即球冠的高为，则，即，代入上式整理可得： ， 由球冠体积公式得其体积为， 所以，所求几何体体积为. 故答案为： 12．如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若平面ABCD，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为．其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 【答案】①②③ 【详解】正方体中，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，即点P到平面的距离恒为定值， 又， 也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，①正确； 在正方体中，平面，平面，所以， 在正方形中：， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，②正确； 因为点P在线段上运动， 若，则点P与点A重合， 则三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 又正方体的中心到三棱锥四个顶点距离相等， 所以正方体的中心即为外接球球心，半径为体对角线的一半，为，③正确； 如图所示： 将三角形沿翻折得到该图形，连接与相交于点， 此时取得最小值，延长，过作于点， 在中，， 故的最小值为，④错误. 故答案为：①②③. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如图，在棱长为3的正方体中，M为线段上的动点，则三棱堆的体积为（    ）（参考结论：若一条直线与一个平面平行，则该直线上的动点到此平面的距离是一个定值）    A．3 B． C．9 D．与M点的位置有关 【答案】B 【详解】根据题意，可以用等体积法，. ，. 故选：B． 14．设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】夹在两个平行平面间的两个几何体A、B在同一高处的截面面积总相等，则A、B的体积相等，即， 令是棱长为的正方体，是高为，底面积为的三棱锥，则A、B的体积都为，相等， 而A、B在同一高处的截面面积不全相等，因此不能推， 所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 15．在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则对于下列结论，说法正确的是（    ） ①该圆锥的外接球体积为；②三棱锥的内切球表面积为 A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【详解】 因为为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心， 是底面圆的内接正三角形，， 则， 设圆锥的外接球半径为, 则，解得， 所以圆锥的外接球体积为， 故①为假命题； 因为为线段的中点， 则， 故，则， 同理，且三棱锥是正三棱锥， 又， ， ， 设三棱锥的内切球的半径为， 则， 即，解得，即， 所以三棱锥的内切球的表面积，故②为真命题． 故选：B. 16．如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】对于①，如图，连接． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得． 所以四边形为平行四边形． 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 因为分别是的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以四边形为菱形，故①正确； 对于②，∵由题意得，，， ∴在矩形中，可得， ∴四边形的面积， ∵，∴当时，有最小值1；没有最大值．故②错误； 对于③，如图，连接， ∴四棱锥被分割为三棱锥与三棱锥， ∵平面，平面，∴． 又，平面，， 所以平面， 所以，点到平面的距离等于， 即点到平面的距离等于， ∵，平面，平面， ∴平面． 又，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，为， 同理，点到平面的距离也为， 而， ∴四棱锥的体积 ， 则为常值函数．故③正确． 故选：C． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【详解】（1） 因为，故或其补角为异面直线与所成角的余弦值， 因为平面平面，所以， 而，，故， 故异面直线所成的角为.（7分） （2）.（14分） 18．（14分）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 【详解】（1）由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以；（7分）    （2）由题设，剩下的多面体的体积.（14分） 19．（14分）某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面是矩形，米，米，，腰梁、、、分别与相交的底梁所成角均为. (1)请指出与互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由； (2)若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？ 【详解】（1）腰梁、、、分别与相交的底梁所成角均为，得都是正三角形， 则，过点E作交AB于点K，又， 则，，在矩形中，， 在中，，则，即， 由，得，而平面，平面，直线，又平面， 因此与是异面直线，同理与是异面直线，与都成角， 所以与互为异面的且相互垂直的“梁”是.（7分） （2）过点分别作于点，于点，连接，由，得， 由平面，得平面，而平面， 则平面平面，过点作于点，平面平面， 平面，于是平面，， 又，，，则， 即四棱锥的高为，同理，再过点分别作于点，于点，连接， 原多面体被分割成两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且， 则多面体的体积为， 所以该粮仓可储存立方米的粮食.（14分） 20．（18分）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的直径长为，点是圆上一点，， 点是劣弧上的一点， 平面平面， 且. (1)证明：. (2)当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离. 【详解】（1） 如图，由已知平面平面， 且， 因平面，平面， 则直线平面， 又平面，且平面平面， 则， 又，所以， 即为等腰直角三角形， 即， 又由圆锥性质可得平面,因平面,则， 因，且，平面， 故平面， 又平面， 故；（9分） （2） 由已知圆的直径长为，则， 由（1）得，， 由三棱锥的体积，解得， 如图，取中点，连接，，则,因平面, 因平面,则,因平面，则平面, 又平面，故. 因，， 所以，设点到平面的距离为， 由，解得. 即点到平面的距离为.（18分） 21．（18分）如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点. (1)求直三棱柱的全面积； (2)求三棱锥的体积： (3)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【详解】（1）在直三棱柱中，，， 由，得， 该棱柱的两底面积为，侧面积为， 所以直三棱柱的全面积为.（6分） （2）在直三棱柱中，由分别是的中点，得， 而平面，则平面，由（1）知，， 又，则，而， 所以三棱锥的体积为.（12分） （3）由（2）知，设点到面的距离为， 中，，，， 由，得，设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为.（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第11章 简单几何体·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 6. 7. 8. 9. 10 13 11. 12. ①②③ 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B B B C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1） 因为，故或其补角为异面直线与所成角的余弦值， 因为平面平面，所以， 而，，故， 故异面直线所成的角为.（7分） （2）.（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以；（7分）    （2）由题设，剩下的多面体的体积.（14分） 19．（14分） 【详解】（1）腰梁、、、分别与相交的底梁所成角均为，得都是正三角形， 则，过点E作交AB于点K，又， 则，，在矩形中，， 在中，，则，即， 由，得，而平面，平面，直线，又平面， 因此与是异面直线，同理与是异面直线，与都成角， 所以与互为异面的且相互垂直的“梁”是.（7分） （2）过点分别作于点，于点，连接，由，得， 由平面，得平面，而平面， 则平面平面，过点作于点，平面平面， 平面，于是平面，， 又，，，则， 即四棱锥的高为，同理，再过点分别作于点，于点，连接， 原多面体被分割成两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且， 则多面体的体积为， 所以该粮仓可储存立方米的粮食.（14分） 20．（18分） 【详解】（1） 如图，由已知平面平面， 且， 因平面，平面， 则直线平面， 又平面，且平面平面， 则， 又，所以， 即为等腰直角三角形， 即， 又由圆锥性质可得平面,因平面,则， 因，且，平面， 故平面， 又平面， 故；（9分） （2） 由已知圆的直径长为，则， 由（1）得，， 由三棱锥的体积，解得， 如图，取中点，连接，，则,因平面, 因平面,则,因平面，则平面, 又平面，故. 因，， 所以，设点到平面的距离为， 由，解得. 即点到平面的距离为.（18分） 21．（18分） 【详解】（1）在直三棱柱中，，， 由，得， 该棱柱的两底面积为，侧面积为， 所以直三棱柱的全面积为.（6分） （2）在直三棱柱中，由分别是的中点，得， 而平面，则平面，由（1）知，， 又，则，而， 所以三棱锥的体积为.（12分） （3）由（2）知，设点到面的距离为， 中，，，， 由，得，设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为.（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$