将军饮马专题训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以“两点之间线段最短”为核心，通过“对称找点+连线交点”口诀构建系统性解题方法，覆盖从基础模型到综合应用的将军饮马问题。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型|3题|对称变换转化折线为直线|从单点到直线距离，建立对称思想| |变式应用|18题|口诀指导下的多情境迁移|三角形、角、垂直平分线中线段和最小，深化推理意识| |坐标与实际应用|8题|结合轴对称作图与计算|坐标系中周长最小问题，培养几何直观与应用意识|

将军饮马专题 依据：两点之间，线段最短 口诀：线段和最小，对称找一点，连接对称点，交点是答案 一．选择题（共14小题） 1．如图，将军要牵着马从点P点到水渠l饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（　　） A．PA B．PB C．PC D．PD 【分析】要解决这个问题，我们需要用到“从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短”的几何原理（这条垂线段的长度叫做点到直线的距离）． 【解答】解：观察图形：线段AD可看作一条直线的一部分， 点P在直线AD外， 连线PB垂直于AD（PB⊥AD）， 因此PB是点P到直线AD的垂线段， 根据“垂线段最短”的原理， 点P到线段AD上各点的连线中，垂线段PB最短． 故选：B． 【点评】题目考查了轴对称——最短路线问题，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 2．某区计划在公路m旁修建一座新能源汽车充电站P，使充电站P到A、B两个小区之间的距离之和最短的方案是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，当两个点A、B在直线m的同侧时，要在直线m上找一点P，使得 PA+PB的和最小，正确的操作是：先作其中一个点（比如A）关于直线m的对称点A'，再连接A′B，这条线段与直线m的交点就是所求的点P． 【解答】解：要在直线公路m上找到点P， 使得点P到A、B两点的距离之和PA+PB 最短， 对应的标准作图方法为：作点A关于直线m的对称点A′； 连接A'B，这条线段与直线m的交点就是所求的点P． 此时根据轴对称的性质，PA＝PA'， 因此PA+PB＝PA'+PB， 根据两点之间线段最短， 该路径的总长度就是线段A'B的长度， 是所有可能路径里的最小值． 对比四个选项的作图，只有选项B完全符合上述标准的最短路径作图逻辑． 故选：B． 【点评】题目考查了轴对称——最短路线问题，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 3．如图，在△ABC中，直线m垂直平分BC，点P是直线m上的一个动点，若AB＝12，AC＝8，BC＝16，则△APC周长的最小值为（　　） A．24 B．12 C．20 D．36 【分析】根据题意得到△APC周长的最小值是AB+AC，直接求解即可得到答案． 【解答】解：如图，连接PB， ∵在△ABC中，直线m垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∴AP+CP＝BP+AP， ∴AP+CP≥AB， ∴AB＝12，AC＝8，BC＝16，则△APC周长的最小值＝AB+AC＝20． 故选：C． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，轴对称的最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 4．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，则CF+EF的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】过点C作CH⊥AB交AB与点H，交BD于点F，再过点F作FE⊥BC于点E，先根据角平分线的性质证明EF＝HF，然后根据已知条件利用勾股定理求出CH即可． 【解答】解：如图所示，过点C作CH⊥AB交AB与点H，交BD于点F，再过点F作FE⊥BC于点E， x ∵BD平分∠ABC，CH⊥AB，FE⊥BC， ∴EF＝HF，∠AHC＝90°， ∴CF+EF＝CF+HF＝CH，此时CF+EF的值最小， ∵∠A＝45°，AC＝2， ∴AH＝CH， 在Rt△AHC中，由勾股定理得： AH2+CH2＝AC2， 2CH2＝22＝4， CH2＝2， ， ∴CF+EF的最小值为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，添加辅助线构造直角三角形． 5．如图，△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，点M是BC边的中点，点N是CD上的一个动点，当BN+MN最小时，∠ABN的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】连接AN，由等边三角形的性质，得出AN＝BN，进而得到BN+MN＝AN+MN≥AM，即当A、N、M三点共线时，BN+MN有最小值，再利用三线合一性质，得到AM⊥BC，即可得到∠NAB的度数，然后根据等边对等角求解即可． 【解答】解：连接AN， ∵D是AB中点，即CD垂直平分AB， ∴AN＝BN， ∴BN+MN＝AN+MN≥AM， 即当A、N、M三点共线时，BN+MN有最小值， ∵点M是BC边的中点， ∴AM⊥BC， ∵等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴， ∵AN＝BN， ∴∠NAB＝∠NBA＝30°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝14，AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上的一个动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．7 B．9 C．12 D．14 【分析】连接AM、AD，由AB＝AC，BC＝4，D为BC边的中点，得CD＝BD＝BC＝2，AD⊥BC，由S△ABC＝×4AD＝14，求得AD＝7，由线段的垂直平分线的性质得AM＝CM，因为AM+DM≥AD，所以CM+DM≥7，则CM+DM+CD≥9，所以△CDM周长的最小值为9，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AM、AD， ∵AB＝AC，BC＝4，D为BC边的中点， ∴CD＝BD＝BC＝2，AD⊥BC， ∵S△ABC＝×4AD＝14， ∴AD＝7， ∴EF垂直平分AC，M为线段EF上的动点， ∴AM＝CM， ∵AM+DM≥AD， ∴CM+DM≥7， ∴CM+DM+CD≥7+2， ∴CM+DM+CD≥9， ∴CM+DM+CD的最小值为9， ∴△CDM周长的最小值为9， 故选：B． 【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、两点之间线段最短、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．10 C．15 D．16 【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，连接AD交EF于点M，此时△CDM周长最小，进而可求解． 【解答】解：如图： 连接AD交EF于点M， ∵等腰△ABC的底边BC长为6， 点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝3， ∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM， ∴AM＝CM， 此时△CDM的周长为：CM+DM+CD＝AM+DM+CD＝AD+CD CD的长为3固定， ∴根据两点之间线段最短， △CDM的周长最小． ∵S△ABC＝BC•AD， ∴×6•AD＝36， ∴AD＝12， ∴AD+CD＝12+3＝15． 故选：C． 【点评】本题考查了最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用线段垂直平分线的性质． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（　　） A．12 B．13 C．10 D．14 【分析】连接AG，AD，推出△BDG周长的最小值为AD+3，证明AD⊥BC，再利用三角形的面积公式列方程求出AD即可解决问题． 【解答】解：连接AG，AD， ∵直线EF垂直平分线段AB， ∴AG＝BG， ∵点D为边BC的中点，BC＝6， ∴BD＝BC＝3， ∴△BDG周长＝BG+DG+BD＝AG+DG+3≥AD+3， ∴△BDG周长的最小值为AD+3， ∵AB＝AC，点D为边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵BC＝6，S△ABC＝27， ∴×6AD＝27， 解得AD＝9， ∴△BDG周长的最小值为9+3＝12， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出△BDG周长的最小值为AD+2是解题的关键． 9．如图，钝角三角形ABC的面积是20，最长边BC＝10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】过点A作AE⊥BC交于E点，交DC于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点，此时AP+PQ的值最小，再由三角形的面积求出BC边上的高即为所求． 【解答】解：过点A作AE⊥BC交于E点，交DC于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点， ∵CD平分∠ACB， ∴PE＝PQ， ∴AP+PQ＝AP+PE＝AE， 此时AP+PQ的值最小， ∵△ABC的面积是20，BC＝10， ∴AE＝4， ∴AP+PQ的值最小为4， 故选：C． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，角平分线的性质，三角形面积公式是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，AD⊥BC于点D．P是AD上的一个动点，PE⊥AC于点E，连接CP．若AD＝6，则PC+PE的最小值是（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【分析】作BE′⊥AC于E′，交AD于P′，连接P′C，PB，根据等边三角形的判定与性质可得BE′＝AD＝6，点C关于AD的对称点为点B，从而得出当P、B、E在同一直线上且BE⊥AC时，PC+PE的值最小，为BE′，即可得出答案． 【解答】解：如图，作BE′⊥AC于E′，交AD于P′，连接P′C，PB， ∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AD⊥BC，BE′⊥AC， ∴BE′＝AD＝6，BD＝CD， ∴点C关于AD的对称点为点B， ∴PC＝PB， ∴PC+PE＝PB+PE， ∴当P、B、E在同一直线上且BE⊥AC时，PC+PE的值最小，为BE′， ∴PC+PE的最小值是6， 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，此时BM+MN的值最小，在Rt△ABE中，求出AN即可． 【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM， ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴E点在AC上， ∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小， 由对称性可知，AE＝AB， ∵AB＝4， ∴AE＝4， 在Rt△ABE中，∠EAN＝60°， ∴∠AEN＝30°， ∴AN＝2， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为（　　） A．34° B．68° C．56° D．90° 【分析】在BC上截取BE＝BQ，连接PE，利用SAS可证得△BQP≌△BEP，于是可得PQ＝PE，∠BPQ＝∠BPE，根据垂线段最短可知，当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 【解答】解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示： ∵BD平分∠ABC， ∴， 在△BQP和△BEP中， ， ∴△BQP≌△BEP（SAS）， ∴PQ＝PE， ∴AP+PQ＝AP+PE， ∴当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，∠AEB＝90°， ∵∠CBD＝34°， ∴∠BPE＝90°﹣34°＝56°， ∴∠BPQ＝∠BPE＝56°， ∴∠APQ＝180°﹣∠BPQ﹣∠BPE＝180°﹣56°﹣56°＝68°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了利用垂线段最短解决最短路线问题，涉及角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 13．如图，已知∠AOB＝35°，点P是∠AOB内部一点，点M、N分别是OA、OB上的动点．当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为（　　） A．140° B．110° C．90° D．70° 【分析】分别作点P关于OA的对称点E，关于OB的对称点F，连接EF分别交OA、OB于点L、I，连接EM、FN、PE、PF，由EM＝PM，FN＝PN，可知当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，PM+MN+PN＝EF，此时△PMN的周长最小，连接OE、OF、OP，则OE＝OF＝OP，推导出∠OPL＝∠OEL，∠OPI＝∠OFI，则∠MPN＝∠LPI＝∠OPL+∠OPI＝∠OEL+∠OFI，因为∠EOF＝2∠AOB＝70°，所以∠MPN＝∠OEL+∠OFI＝110°，于是得到问题的答案． 【解答】解：分别作点P关于OA的对称点E，关于OB的对称点F，连接EF分别交OA、OB于点L、I，连接EM、FN、PE、PF， ∵OA垂直平分PE，OB垂直平分PF， ∴EM＝PM，FN＝PN， ∵EM+MN+FH≥EF， ∴PM+MN+PN≥EF， ∴当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，PM+MN+PN＝EF，此时△PMN的周长最小， 连接OE、OF、OP，则OE＝OF＝OP， ∴∠OPE＝∠OEP，∠OPF＝∠OFP， ∵∠LPE＝∠LEP，∠IPF＝∠IFP， ∴∠OPE﹣∠LPE＝∠OEP﹣∠LEP，∠OPF﹣∠IPF＝∠OFP﹣∠IFP， ∴∠OPL＝∠OEL，∠OPI＝∠OFI， ∴∠MPN＝∠LPI＝∠OPL+∠OPI＝∠OEL+∠OFI， ∵∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB， ∴∠EOF＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝2×35°＝70°， ∴∠MPN＝∠OEL+∠OFI＝180°﹣∠EOF＝180°﹣70°＝110°， 故选：B． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路线问题等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．120° B．60° C．30° D．90° 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长最小值等于P1P2的长，然后依据等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠O，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝180°﹣2∠O＝60°． 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N， ∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N， ∴△PMN的周长的最小值＝P1P2， 由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣∠P1OP2＝180°﹣2∠AOB， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N ＝∠OP1P2+∠OP2P1 ＝180°﹣2∠AOB ＝60°， 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出辅助线得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1的度数是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 二．填空题（共7小题） 15．如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝　80°　 ． 【分析】作P点关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM，得ME＝MP，∠MPO＝∠OEM；作P点关于OB的对称点F，连接NF，PF，OF，得PN＝FN，∠OPN＝∠OFN；根据PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF；E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，再根据对称性质，即可求出∠MPN的角度． 【解答】解：作P点关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM； ∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP， 作P点关于OB的对称点F，连接NF，PF，OF， ∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF， ∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF， 当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短， 又∵∠EOF＝∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF， ∠AOB＝∠MOP+∠PON， ∴∠EOF＝2∠AOB， 又∵∠AOB＝50°， ∴∠EOF＝100°， ∴在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF＝180°， ∴∠OEM+∠OFN＝180°﹣100°＝80°， ∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN， ∴∠MPO+∠OPN＝80°， ∵∠MPN＝∠MPO+OPN＝80°， 故答案为：80°． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 16．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 　84　 度． 【分析】P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM，作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，则有PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF，所以当E、M、N、F共线时，△PMN的周长最小，所以∠MPN＝180°﹣∠EOF＝180°﹣96°＝84°． 【解答】解：作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM， ∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM， 作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF， ∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN， ∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF， ∴当E、M、N、F共线时，△PMN的周长最小， 由对称可知，∠EOM＝∠MOP，∠PON＝∠FON， ∴∠EOF＝2∠MOP+2∠PON＝2∠AOB， ∵∠AOB＝48°， ∴∠EOF＝96°， ∴∠MPN＝180°﹣96°＝84°， 故答案为：84． 【点评】本题考查了对称轴求最短距离，通过作P点关于OB与OA的对称点，确定E、M、N、F共线时为所求△PMN的周长最小时是解题的关键． 17．如图，等腰△ABC的底边BC＝4，面积为18，直线EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，点F在边BC上运动，则DF+DC的最小值为　9　 ． 【分析】连接AD，由线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，得到DF+DC＝DF+DA，可知当点A、D、F三点共线且AF⊥BC时，DF+DA的值最小，即等于AF的长，利用三角形的面积求出AF的长即可求解． 【解答】解：在等腰△ABC中，直线EG是腰AC的垂直平分线，如图1，连接AD， ∴DA＝DC， ∴DF+DC＝DF+DA， 当点A、D、F三点共线且AF⊥BC时，DF+DA的值最小，即等于AF的长，如图2， ∵BC＝4，等腰△ABC的面积为18， ∴， ∴AF＝9， ∴DF+DC的最小值为9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　2.4　 ． 【分析】如图作CQ′⊥AB于Q′交AD于点P，作PQ⊥AC此时PC+PQ最短，利用面积法求出CQ′即可解决问题． 【解答】解：如图，作CQ′⊥AB于Q′交AD于点P，作PQ⊥AC此时PC+PQ最短． ∵PQ⊥AC，PQ′⊥AB，AD平分∠CAB， ∴PQ＝PQ′， ∴PQ+CP＝PC+PQ′＝CQ′ ∴此时PC+PQ最短（垂线段最短）． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， ∵•AC•BC＝•AB•CQ′， ∴CQ′＝＝＝2.4． ∴PC+PQ的最小值为2.4． 故答案为2.4． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、角平分线性质、勾股定理等知识，解题的关键是找到点P、Q的位置，灵活应用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，且S△ABC＝6，AD，BE是△ABC的两条高线，P是AD上一动点，则PC+PE的最小值是　3　 ． 【分析】连接PD，由等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线的性质知，PB＝PC；PC+PE＝PB+PE≥BE，当B、P、E三点共线时，PC+PE的值最小，最小值为线段BE的长，由面积相等即可求得． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝4，且S△ABC＝6，AD，BE是△ABC的两条高线，如图，连接PD， ∴AD垂直平分线段BC， ∴PB＝PC； ∵PC+PE＝PB+PE≥BE， ∴当B、P、E三点共线时，PC+PE的值最小，最小值为线段BE的长； ∵BE⊥AC，AC＝4，S△ABC＝6， ∴， ∴BE＝3， 即PC+PE的最小值是3； 故答案为：3． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 20．如图，等腰三角形ABC的边BC为3，面积为12，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为 　8　 ． 【分析】连接AM，由CM+DM＝AM+DM推出当A，M，D三点共线时A M+M D最短，进而通过三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：EF是线段AC的垂直平分线，如图，连接AM， ∴AM＝CM， ∴CM+DM＝AM+DM， ∵△ABC为等腰三角形， ∴当A，M，D三点共线时A M+M D最短，此时AD⊥BC， 又∵， 解得：AD＝8， ∴CM+DM＝AM+DM＝AD＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟悉掌握最短路径的辅助线作法是解题的关键． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　2.4　 ． 【分析】如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H．利用垂线段最短解决问题即可． 【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H． ∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称， ∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC＝•AB•CH， ∴CH＝2.4， ∴CP+PQ≥2.4， ∴PC+PQ的最小值为2.4． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称点，再由垂线段最短是求解的关键． 三．解答题（共8小题） 22．如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？ 【分析】作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短． 【解答】解：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短．理由如下： 在直线l上任取一点E，连接AE、BE、A′E， ∵A、A′关于直线l对称， ∴AP＝A′P， 同理AE＝A′E， ∵AP+BP＝A′P+BP＝A′B， AE+BE＝A′E+BE＞A′B， ∴AP+BP＜A′E+BE， ∵E是任意取的一点， ∴AP+BP最短． 【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题在实际中的应用，能画出符合要求的图形是解题的关键． 23．为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路l单侧铺设，当前需完成公路l同侧农户聚集区A，B的天然气管道接入任务．农户聚集区A，B的位置如图所示，A区到公路l的距离AC＝0.8千米，B区到公路l的距离BD＝0.6千米，且CD＝1.4千米．工程需在主管道l上选择一个接气点P，铺设支线管道PA，PB．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） （1）如图1，若PA＝PB，求P，C两点之间的距离； （2）为节约建设成本，接气点P应满足PA+PB最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 【分析】（1）设CP＝xkm，由CD＝1.4km，得DP＝（1.4﹣x）km，根据∠ACP＝∠BDP＝90°，得 AP2＝0.82+x2，BP2＝0.62+（1.4﹣x）2，由AP＝BP，得0.82+x2＝0.62+（1.4﹣x）2，解方程即可； （2）作B关于l的对称点E，过E作EF⊥AC交AC延长线于点F，连接AE交CD于P，此时AP+BP＝AP+PE＝AE，PA+PB的值最小，根据EF＝CD＝1.4km，AF＝AC+CF＝1.4km，得km，即支线管道最少千米，求出费用为（万元）． 【解答】解：（1）设CP＝xkm， ∵CD＝1.4km，AC＝0.8km，BD＝0.6km， ∴DP＝（1.4﹣x）km， ∵∠ACP＝∠BDP＝90°， ∴BP2＝BD2+DP2＝0.62+（1.4﹣x）2，AP2＝AC2+CP2＝0.82+x2， ∵AP＝BP， ∴AP2＝BP2， ∴0.82+x2＝0.62+（1.4﹣x）2， 解得x＝0.6， 故P，C两点之间的距离为0.6千米； （2）作点B关于直线l的对称点E，过E作EF⊥AC交AC延长线于点F，连接AE交CD于P， 则DE＝BD＝0.6km，BP＝PE， ∴AP+BP＝AP+PE＝AE， ∴此时PA+PB的值最小， ∵∠CDE＝∠DCF＝∠CFE＝90°， ∴四边形CDEF是长方形， ∴EF＝CD＝1.4km，CF＝DE＝0.6km， ∴AF＝AC+CF＝1.4（km）， ∴（千米）， 即支线管道PA+PB最少千米， 费用为（万元）， 故管道费用需要4万元． 【点评】本题考查了最短路径问题．熟练掌握勾股定理，轴对称性质，矩形判定和性质，实数的运算，是解题的关键． 24．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上． （1）△ABC的面积为　8　 ； （2）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1； （3）在直线l上求作一点P，使PB+PA值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接AB1交直线l于点P，则点P即为所求． 【解答】解：（1）△ABC的面积为＝8． 故答案为：8． （2）如图，△A1B1C1即为所求． （3）如图，连接AB1交直线l于点P，连接BP， 此时PB+PA＝PB1+PA＝AB1，为最小值， 则点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，4），C（4，4）． （1）直接写出△ABC的面积； （2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′（点A，B，C关于x轴对称的点分别为A′，B′，C′）； （3）若点P是x轴上一动点，当△B′PC′的周长最小时，点P的坐标为　（3，0）　 ． 【分析】（1）利用三角形的面积公式计算即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接B'C交x轴于点P，即可得点P的坐标． 【解答】解：（1）△ABC的面积为＝2． （2）如图，△A′B′C′即为所求． （3）连接B'C交x轴于点P，连接C'P， 此时△B′PC′的周长为B'C'+B'P+C'P＝B'C'+B'P+CP＝B'C'+B'C，为最小值， ∴点P的坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 26．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）画出△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1，顶点B1坐标为　（﹣4，2）　 ； （2）点Q在y轴上，且S△ACQ＝S△ABC，点Q的坐标为　（0，）或（0，）　 ； （3）在x轴上求一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标是　（2，0）　 ． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）设点Q的坐标为（0，m），当m＞时，根据题意可列方程为＝，求出m的值即可；当m≤时，根据题意可列方程为＝，求出m的值，即可得出答案． （3）取点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P，即可得点P的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，B1（﹣4，2）． 故答案为：（﹣4，2）． （2）设点Q的坐标为（0，m）， 当m＞时， ∵S△ACQ＝S△ABC， ∴＝， 解得m＝， ∴点Q的坐标为（0，）； 当m≤时， ∵S△ACQ＝S△ABC， ∴＝， 解得m＝， ∴点Q的坐标为（0，）， 综上所述，点Q的坐标为（0，）或（0，）． 故答案为：（0，）或（0，）． （3）取点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P，连接AP， 此时PA+PB＝PA'+PB＝A'B，为最小值， 则点P即为所求， ∴点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（1，6），B（﹣3，2），C（3，4）． （1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）写出点C关于y轴的对称点的坐标 　（﹣3，4）　 ； （3）点Q是x轴上的一个动点，当△QBC的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出Q点的坐标为 　（﹣1，0）　 ． 【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案； （2）根据关于y轴对称点的性质得出关于点C关于y轴的对称点的坐标； （3）利用轴对称求最短路径的方法得出答案． 【解答】解：（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案，如图所示，△A′B′C′即为所求． （2）点C关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，4）； 故答案为：（﹣3，4）； （3）如图所示：连接BC′交x轴于点Q， Q点的坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，正确得出对应点的位置是解题的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，﹣2），C（1，3）． （1）点A关于x轴的对称点坐标为　（﹣3，﹣1）　 ； （2）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积是　8　 ； （3）已知P是x轴上一点，当AP+PC最小时，直接写出P点坐标　（﹣2，0）　 ． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论； （2）根据轴对称的性质画出图形，再根据割补法计算三角形的面积即可； （3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C交于x轴于P，则此时AP+PC最小，待定系数法求出直线A′C的解析式，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵A（﹣3，1）， ∴点A关于x轴的对称点坐标为（﹣3，﹣1）； 故答案为：（﹣3，﹣1）； （2）如图所示，△A1B1C1即为所求； △A1B1C1的面积＝4×5﹣×2×4﹣×2×3﹣×5×2＝8， 故答案为：8； （3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C交于x轴于P，则此时AP+PC最小， ∵A（﹣3，1）， ∴A′（﹣3，﹣1）， 设直线A′C的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线A′C的解析式为y＝x+2 当y＝0时，x＝﹣2， ∴P点坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 29．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1为（ 　﹣3　 ，　2　 ）； （2）求出△ABC的面积为 　　 ； （3）在y轴上存在一点P使得AP+BP最小，在图中画出点P的位置，则点P为（ 　0　 ，　2　 ）． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接AB1，交y轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点C1的坐标为（﹣3，2）． 故答案为：﹣3；2． （2）△ABC的面积为＝＝． 故答案为：． （3）如图，连接AB1，交y轴于点P，连接BP， 此时AP+BP＝AP+B1P＝AB1，为最小值， 则点P即为所求． 由图可得，点P的坐标为（0，2）． 故答案为：0；2． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/12 18:41:34；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学号：39141288 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 将军饮马专题 依据：两点之间，线段最短 口诀：线段和最小，对称找一点，连接对称点，交点是答案 一．选择题（共14小题） 1．如图，将军要牵着马从点P点到水渠l饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（　　） A． PA B．PB C．PC D．PD 2．某区计划在公路m旁修建一座新能源汽车充电站P，使充电站P到A、B两个小区之间的距离之和最短的方案是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，直线m垂直平分BC，点P是直线m上的一个动点，若AB＝12，AC＝8，BC＝16，则△APC周长的最小值为（　　） A．24 B．12 C．20 D．36 4．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，则CF+EF的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 5．如图，△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，点M是BC边的中点，点N是CD上的一个动点，当BN+MN最小时，∠ABN的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝14，AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上的一个动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．7 B．9 C．12 D．14 7．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．10 C．15 D．16 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（　　） A．12 B．13 C．10 D．14 9．如图，钝角三角形ABC的面积是20，最长边BC＝10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，AD⊥BC于点D．P是AD上的一个动点，PE⊥AC于点E，连接CP．若AD＝6，则PC+PE的最小值是（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 11．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为（　　） A．34° B．68° C．56° D．90° 13．如图，已知∠AOB＝35°，点P是∠AOB内部一点，点M、N分别是OA、OB上的动点．当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为（　　） A．140° B．110° C．90° D．70° 14．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．120° B．60° C．30° D．90° 二．填空题（共7小题） 15．如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝　 　 ． 16．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 　 　 度． 17．如图，等腰△ABC的底边BC＝4，面积为18，直线EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，点F在边BC上运动，则DF+DC的最小值为　 　 ． 18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　 　 ． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，且S△ABC＝6，AD，BE是△ABC的两条高线，P是AD上一动点，则PC+PE的最小值是　 　 ． 20．如图，等腰三角形ABC的边BC为3，面积为12，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为 　 　 ． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 22．如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？ 23．为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路l单侧铺设，当前需完成公路l同侧农户聚集区A，B的天然气管道接入任务．农户聚集区A，B的位置如图所示，A区到公路l的距离AC＝0.8千米，B区到公路l的距离BD＝0.6千米，且CD＝1.4千米．工程需在主管道l上选择一个接气点P，铺设支线管道PA，PB．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） （1）如图1，若PA＝PB，求P，C两点之间的距离； （2）为节约建设成本，接气点P应满足PA+PB最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 24．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上． （1）△ABC的面积为　 　 ； （2）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1； （3）在直线l上求作一点P，使PB+PA值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，4），C（4，4）． （1）直接写出△ABC的面积； （2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′（点A，B，C关于x轴对称的点分别为A′，B′，C′）； （3）若点P是x轴上一动点，当△B′PC′的周长最小时，点P的坐标为　 　 ． 26．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）画出△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1，顶点B1坐标为　 　 ； （2）点Q在y轴上，且S△ACQ＝S△ABC，点Q的坐标为　 　 ； （3）在x轴上求一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标是　 　 ． 27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（1，6），B（﹣3，2），C（3，4）． （1）在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）写出点C关于y轴的对称点的坐标 　 　 ； （3）点Q是x轴上的一个动点，当△QBC的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出Q点的坐标为 　 　 ． 28．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，﹣2），C（1，3）． （1）点A关于x轴的对称点坐标为　 　 ； （2）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积是　 　 ； （3）已知P是x轴上一点，当AP+PC最小时，直接写出P点坐标　 　 ． 29．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1为（ 　 　 ，　 　 ）； （2）求出△ABC的面积为 　 　 ； （3）在y轴上存在一点P使得AP+BP最小，在图中画出点P的位置，则点P为（ 　 　 ，　 　 ）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $