14.3 角平分线专题训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以角平分线性质为核心，系统梳理四种辅助线作法，构建从性质应用到构造全等的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |过角平分线上的点向角的一边作垂线段|7题|利用角平分线性质得垂线段相等，求距离/面积|从单一垂线段应用切入，强化性质直接应用| |过角平分线上的点向角的两边作垂线段|5题|双垂线段构造全等，证线段/角相等|拓展至两边垂线段，深化对称性质应用| |垂直于角平分线的线段延长相交|5题|延长垂线构造等腰三角形，转化线段关系|结合垂线与角平分线，培养构造转化思维| |利用对称性构造全等（截长补短）|4题|截长或补短构造全等，证线段和差关系|综合对称性与全等，提升复杂推理能力|

角平分线四种常见辅助线的专题 目录 专题1 过角平分线上的点向角的一边作垂线段 1 专题2 过角平分线上的点向角的两边作垂线段 3 专题3 把垂直于角平分线的线段延长与角的另一边相交（角平分线+垂线） 6 专题4 利用角平分线的对称性构造全等三角形（截长补短） 8 专题1 过角平分线上的点向角的一边作垂线段 1.如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数； （2）若DE＝8，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝16.8，DE＝2.8，AC＝5，则AB的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 4．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 5．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝18，DE＝3，求AB的长． 6．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB，∠ABC+∠ADC＝180°．求证：AB+AD＝2AE． 7．已知，如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DB＝DC，DE＝3，AB＝4，∠BDC＝α，则△ABD的面积为 　 　 ，∠BAC＝ 　 　 ． 专题2 过角平分线上的点向角的两边作垂线段 8．△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，请你求出∠CAP＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 9．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求证：BC＝CD． 10．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，求∠BDC的度数； （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积． 11．教材回顾：证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图①，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P． 求证：点P在∠C的平分线上． 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N． ∵AD平分∠BAC，PF⊥AB，PN⊥AC， ∴　 　 ． 同理 　 　 ． ∴　 　 ． ∴点P在∠C的平分线上． 拓展研究 如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠ADC的平分线相交于点O． 求证：（Ⅰ）点O在∠BCD的平分线上； （Ⅱ）AB+CD＝AD+BC． 逆向思考 满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图③，在四边形ABCD中，如果AB+CD＝AD+BC，那么它的四条角平分线交于一点吗？说明理由． 12．学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： （1）【基础探究】如图（1），点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，AD＝AE，若要使△ABE≌△ACD，需要添加一个条件．请从“条件：①BE＝CD；②∠B＝∠C；③OD＝OE”中选择一个你认为正确的条件，说明：△ABE≌△ACD． （2）【类比迁移】如图（2），在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O．小明发现，图（1）中，若连接AO，则△ABO和△ACO关于线段AO所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点E作BD的对称点F，构造出轴对称图形．得出以下结论：①OD＝OE；②∠BOC＝120°；③AE＝AD；④S△BOE+S△COD＝S△BOC，其中正确的是　 　 （填序号）． （3）【拓展应用】如图（3），点P是∠BAC平分线上的一点，M、N分别是AB、AC边上的动点，若使PM＝PN，请直接写出∠BMP和∠CNP的数量关系． 专题3 把垂直于角平分线的线段延长与角的另一边相交（角平分线+垂线） 13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE． 14．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E． 求证：CE＝BD． 15．如图，△ABC的面积为18，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 16．如图，已知△ADC的面积为6，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为　 　 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、D在y轴上，OA＝OB，点D的坐标为（0，4），过点B作BC⊥AD，交AD的延长线于点C，且2BC＝AD． （1）求BC的延长线与x轴的交点M的坐标； （2）求点D到AB的距离． 专题4 利用角平分线的对称性构造全等三角形（截长补短） 18．如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：OE＝OD． 19．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＝AC+CD．求证：∠C＝2∠B． 20．如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：AE+CD＝AC； （3）求证：OE＝OD． 21．已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：AD＝DC． （1）小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E，连接DE…请按小明的思路进行证明； （2）小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长BA到E，使BE＝BC，连接DE…请按小刚的思路进行证明； （3）如图③，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，探究线段AB、CE、BC之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 角平分线四种常见辅助线的专题 目录 专题1 过角平分线上的点向角的一边作垂线段 1 专题2 过角平分线上的点向角的两边作垂线段 7 专题3 把垂直于角平分线的线段延长与角的另一边相交（角平分线+垂线） 15 专题4 利用角平分线的对称性构造全等三角形（截长补短） 20 专题1 过角平分线上的点向角的一边作垂线段 1．如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数； （2）若DE＝8，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 【分析】（1）先根据三角形内角和计算出∠BAC＝70°，再利用角平分线的定义得到∠BAD＝35°，然后根据三角形外角性质可计算出∠ADC的度数； （2）过D点作DH⊥AC于H点，如图，先根据角平分线的性质得到DH＝DE＝8，然后垂线段最短求解． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠BAC＝35°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+35°＝85°； （2）过D点作DH⊥AC于H点，如图， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC， ∴DH＝DE＝8， ∵点F是AC上的动点， ∴DF的最小值为DH的长， 即DF的最小值为8． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短． 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【分析】过P点作PE⊥OB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到PE＝PC＝3，然后利用三角形面积公式求解． 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD＝×6×3＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝16.8，DE＝2.8，AC＝5，则AB的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】由角平分线的性质推出DF＝DE＝2.8，由三角形的面积公式得到（AB+AC）•DE＝16.8，即可求出AB的长． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DF＝DE＝2.8， ∵△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积， ∴AB•DE+AC•DF＝（AB+AC）•DE＝16.8， ∵DE＝2.8，AC＝5， ∴AB＝7． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出DF＝DE． 4．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据△ADC的面积为14得CF＝4，由此得CF＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE得BE＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE是线段BH的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC和△DAC全等得HC＝CD，据此即可得出结论． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF＝＝＝4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 5．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝18，DE＝3，求AB的长． 【分析】（1）证明△CDE≌△CBF（AAS），推出CE＝CF，可得结论； （2）证明BF＝DE＝3可得结论． 【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠DEC＝∠CFB＝90° ∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180° ∴∠D＝∠CBF， 在△CDE 与△CBF 中， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE＝CF， ∴．AC平分∠DAB； （2）解：∵△CDE≌△CBF， ∴BF＝DE＝3， ∵AC平分∠DAB， ∴∠EAC＝∠FAC， 在△EAC 和△FAC 中， ∴△EAC≌△FAC（AAS）， ∴AE＝AF＝18， ∴AB＝AF﹣BF＝18﹣3＝15． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 6．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB，∠ABC+∠ADC＝180°．求证：AB+AD＝2AE． 【分析】过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，可得AE＝AF，BE＝DF，则可得AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AF＝2AE． 【解答】证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F， ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB， ∴∠BEC＝∠AEC＝∠DFC＝90°，CE＝CF． ∵AC＝AC， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AE＝AF． ∵CD＝CB， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）， ∴BE＝DF． ∴AB+AD＝AE+BE+AD＝AE+DF+AD＝AE+AF＝2AE． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质是解答本题的关键． 7．已知，如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DB＝DC，DE＝3，AB＝4，∠BDC＝α，则△ABD的面积为 　6　 ，∠BAC＝ 　180°﹣α　 ． 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质求出DE＝DF＝3，证出Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），再根据全等三角形的性质及四边形内角和定理求解即可．． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC于E， ∴DE＝DF＝3，∠CED＝∠BFD＝90°， ∴△ABD的面积＝AB•DF＝×4×3＝6， 在Rt△BDF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）， ∴∠BDF＝∠CDE， ∴∠FDE＝∠BDC＝α， ∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣α＝180°﹣α， 故答案为：6，180°﹣α． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 专题2 过角平分线上的点向角的两边作垂线段 8．△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，请你求出∠CAP＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【分析】由△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，得∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，推导出∠BPC＝∠BAC，而∠BPC＝40°，则∠BAC＝2∠BPC＝80°，作PH⊥BC交BC的延长线于点H，PE⊥AC于点E，PF⊥BA交BA的延长线于点F，可证明PE＝PF，进而证明AP平分∠CAF，因为∠CAF＝180°﹣∠BAC＝100°，所以∠CAP＝∠CAF＝50°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P， ∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC， ∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠BAC， ∵∠BPC＝40°， ∴∠BAC＝2∠BPC＝80°， 作PH⊥BC交BC的延长线于点H，PE⊥AC于点E，PF⊥BA交BA的延长线于点F， ∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC， ∴PE＝PH，PF＝PH， ∴PE＝PF， ∴点P在∠CAF的平分线上， ∴AP平分∠CAF， ∴∠CAF＝180°﹣∠BAC＝100°， ∴∠CAP＝∠CAF＝50°， 故选：B． 【点评】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求证：BC＝CD． 【分析】过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，作CF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE＝CF，根据同角的补角相等求出∠D＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，作CF⊥AD于F， ∵AC平分∠BAD， ∴CE＝CF， ∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠ABC+∠D＝180°， ∴∠D＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中，， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴BC＝CD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键． 10．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，求∠BDC的度数； （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和进行计算即可解答； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DH⊥BC，垂足为H，然后根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC ∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ＝180°﹣30°﹣20° ＝130°， ∴∠BDC的度数为130°； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DH⊥BC，垂足为H， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC， ∴DH＝DE＝2， ∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC， ∴DF＝DH＝2， ∴△ADC的面积 ＝DF•AC ＝×2×4 ＝4， ∴△ADC的面积为4． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．教材回顾：证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图①，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P． 求证：点P在∠C的平分线上． 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N． ∵AD平分∠BAC，PF⊥AB，PN⊥AC， ∴PF＝PE ． 同理 PF＝PM ． ∴PM＝PN ． ∴点P在∠C的平分线上． 拓展研究 如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠ADC的平分线相交于点O． 求证：（Ⅰ）点O在∠BCD的平分线上； （Ⅱ）AB+CD＝AD+BC． 逆向思考 满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图③，在四边形ABCD中，如果AB+CD＝AD+BC，那么它的四条角平分线交于一点吗？说明理由． 【分析】（1）过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N，利用角平分线的性质定理及逆定理解答即可； （2）（Ⅰ）连接OC，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，CG⊥BC于G，OH⊥CD于H，利用（1）的方法解答即可； （Ⅱ）利用全等三角形的判定与性质得到AE＝AF，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，再利用等式的性质解答即可； （3）在AB上截取AE＝AD，在CB上截取CF＝CD，连接DE，EF，DF，则△AED，△BEF，△CDF均为等腰三角形，作出△DEF的三边的垂直平分线，设它们交于点O，利用三角形三边的垂直平分线相交于一点和等腰三角形的三线合一的性质得到AO平分∠BAD，BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，利用（1）的方法解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N，如图， ∵AD平分∠BAC，PF⊥AB，PN⊥AC， ∴PF＝PN， 同理：PF＝PM， ∴PM＝PN， ∴点P在∠C的平分线上． 故答案为：PF＝PE；PF＝PM；PM＝PN； （2）证明：（Ⅰ）连接OC，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，CG⊥BC于G，OH⊥CD于H，如图， ∵AO是∠DAB的平分线，OE⊥AD于E，OF⊥AB于F， ∴OF＝OE， 同理，OF＝OG，OH＝OE， ∴OH＝OG， ∴点O在∠BCD的平分线上； （Ⅱ）∵AO是∠DAB的平分线，OE⊥AD于E，OF⊥AB于F， ∴OE＝OF， 在Rt△AEO和Rt△AFO中， ， ∴Rt△AEO≌Rt△AFO（HL）， ∴AE＝AF， 同理：BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE， ∴AE+DE+BG+CG＝AF+BF+CH+DH 即：AD+BC＝AB+CD； （3）解：如果AB+CD＝AD+BC，那么它的四条角平分线交于一点．理由： 在AB上截取AE＝AD，在CB上截取CF＝CD，连接DE，EF，DF，如图， ∵AB+CD＝AD+BC， ∴AE+BE+CD＝AE+CD+BF， ∴BE＝BF． ∴△AED，△BEF，△CDF均为等腰三角形， 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点是三角形的外心， 作出△DEF的三边的垂直平分线，设它们交于点O， ∵等腰三角形的底边的垂直平分线与底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线重合， ∴AO平分∠BAD，BO平分∠ABC，CO平分∠BCD， 过点O作OM⊥AD于M，ON⊥AB于N，CG⊥BC于G，OH⊥CD于H， ∵AO是∠DAB的平分线，OM⊥AD，ON⊥AB， ∴OM＝ON， 同理，ON＝OG，OH＝OG， ∴OH＝OM， ∴点O在∠ADC的平分线上． ∴如果AB+CD＝AD+BC，那么它的四条角平分线交于一点． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线的性质，四边形的性质，全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质，本题是阅读型题目，正确连接题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 12．学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： （1）【基础探究】如图（1），点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，AD＝AE，若要使△ABE≌△ACD，需要添加一个条件．请从“条件：①BE＝CD；②∠B＝∠C；③OD＝OE”中选择一个你认为正确的条件，说明：△ABE≌△ACD． （2）【类比迁移】如图（2），在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O．小明发现，图（1）中，若连接AO，则△ABO和△ACO关于线段AO所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点E作BD的对称点F，构造出轴对称图形．得出以下结论：①OD＝OE；②∠BOC＝120°；③AE＝AD；④S△BOE+S△COD＝S△BOC，其中正确的是　①②④　 （填序号）． （3）【拓展应用】如图（3），点P是∠BAC平分线上的一点，M、N分别是AB、AC边上的动点，若使PM＝PN，请直接写出∠BMP和∠CNP的数量关系． 【分析】（1）选择条件②，利用AAS证明△ABE≌△ACD即可； （2）根据轴对称的性质，得到BE＝BF，OE＝OF，证明△BEO≌△BFO，进而得到∠BOE＝∠BOF，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°，推出∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝60°＝∠COD，再证明△COF≌△COD，进而推出OD＝OE，根据全等三角形的面积相等，推出S△BOE+S△COD＝S△BOC即可； （3）作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，证明△APE≌△APF，得到PE＝PF，分M，N分别与E，F重合以及M，N与E，F不重合，两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）选择条件②； 证明：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD； （2）如图2，过点E作BD的对称点F，则BE＝BF，OE＝OF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△BEO和△BFO中， ， ∴△BEO≌△BFO（SAS）， ∴∠BOE＝∠BOF， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∵BO，CO为△ABC的角平分线， ∴， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°； 故②正确； ∴∠COD＝∠BOE＝180°﹣∠BOC＝60°， ∴∠BOF＝∠BOE＝60°， ∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝60°＝∠COD， 又∵∠BCE＝∠ACE，OC＝OC， ∴△COF≌△COD（ASA）， ∴OD＝OF， ∴OD＝OE， 故①正确； ∵△BEO≌△BFO，△COF≌△COD， ∴S△BEO＝S△BFO，S△COF＝S△COD， ∴S△BOE+S△COD＝S△BOF+S△COF＝S△BOC； 故④正确； 无法得到AE＝AD， 故③错误； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④； （3）∠PMB＝∠CNP或∠BMP+∠CNP＝180°．理由如下： 如图3，作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则∠PEA＝∠PFA＝90°， ∵PA平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠CAP， ∵AP＝AP， ∴△APE≌△APF（AAS）， ∴PE＝PF， 当M，N分别与E，F重合时，满足PM＝PN， 则：∠BMP＝∠CNP＝90°， 当M，N与E，F不重合时， ∵PE＝PF，PM＝PN， ∴Rt△PEM≌Rt△PFN（HL）， ∴∠EMP＝∠PNF， ∴∠BMP+∠CNP＝∠CNP+∠PNF＝180°； 综上所述，∠PMB＝∠PNC或∠PMB+∠PNC＝180°． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 专题3 把垂直于角平分线的线段延长与角的另一边相交（角平分线+垂线） 13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE． 【分析】延长BA，CE交于点F，证△ABD≌△ACF，通过角之间的关系，得到BF＝BC，又由CE⊥BD，进而可求解． 【解答】证明：如图所示，延长BA，CE交于点F， ∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF， 又∵AB＝AC， 在Rt△ABD和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACF（ASA）， ∴BD＝CF， 在Rt△FBE和Rt△CBE中， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBF＝∠EBC， ∵∠BEC＝90°， ∴∠BEF＝∠BEC＝90°， ∴∠BCF＝∠F， ∵BE＝BE， ∴△FBE≌△CBE（AAS）， ∴EF＝EC， ∴CF＝2CE， ∴BD＝2CE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，会利用一些简单的辅助线辅助解题． 14．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E． 求证：CE＝BD． 【分析】延长CE、BA交于点F，利用已知条件证明△ABD≌△ACF，得到BD＝CF，再通过证明△BEC≌△BEF得到CE＝，从而证明CE＝BD． 【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点F． ∵CE⊥BD，∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°． 又∵∠ADB＝∠EDC， ∴∠ABD＝∠ACF． 在△ABD与△ACF中， ∴△ABD≌△ACF（ASA）． ∴BD＝CF． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠FBE． 在△BCE与△BFE中， ∴△BCE≌△BFE（ASA）． ∴CE＝FE，即CE＝CF． ∴CE＝BD． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是通过辅助线证明BD＝CF． 15．如图，△ABC的面积为18，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】延长BD交AC于E，证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质得到S△ADB＝S△ADE，BD＝DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：延长BD交AC于E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ADB和△ADE中， ， ∴△ADB≌△ADE（ASA）， ∴根据全等三角形的性质得S△ADB＝S△ADE，BD＝DE， ∴S△BDC＝S△EDC， ∴S△ADC＝S△ABC＝×18＝9， 所以△ADC的面积是9， 故选：D． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 16．如图，已知△ADC的面积为6，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为　12　 ． 【分析】延长BD交AC于点E，证明△ABD≌△AED，得到S△ABD＝S△ADE，BD＝DE，进而得到S△BCD＝S△CDE，推出S△ABC＝2S△ACD，即可得出结果． 【解答】解：如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，延长BD交AC于点E， ∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（AAS）， ∴BD＝DE，S△ABD＝S△ADE， ∴S△BCD＝S△CDE， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADE+S△BCD+S△CDE＝2（S△ADE+S△CDE）＝2S△ACD， ∵△ADC的面积为6， ∴△ABC的面积为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、D在y轴上，OA＝OB，点D的坐标为（0，4），过点B作BC⊥AD，交AD的延长线于点C，且2BC＝AD． （1）求BC的延长线与x轴的交点M的坐标； （2）求点D到AB的距离． 【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，延长BC与x轴交于点M，根据等角的余角相等求出∠MBO＝∠DAO，然后利用“角边角”证明△BOM和△AOD全等，再根据全等三角形对应边相等可得OM＝OD，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到BM＝AD，然后求出MC＝BC，再利用“边角边”证明△ACM和△ACB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠MAC＝∠BAC，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DN＝OD． 【解答】证明：（1）过点D作DN⊥AB于点N，延长BC与x轴交于点M， ∵BC⊥AD， ∴∠MBO+∠BDC＝90°， 又∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠BDC＝∠ADO， ∴∠MBO＝∠DAO， 在△BOM和△AOD中， ， ∴△BOM≌△AOD（ASA）， ∴OM＝OD＝4， ∴M（﹣4，0）； （2）∵△BOM≌△AOD， ∴BM＝AD＝2BC， ∴MC＝BC， 在△ACM和△ACB中， ， ∴△ACM≌△ACB（SAS）， ∴∠MAC＝∠BAC， ∴DN＝OD＝4， 故点D到AB的距离是4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 专题4 利用角平分线的对称性构造全等三角形（截长补短） 18．如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：OE＝OD． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B，根据角平分线的性质可得，由此即可求解； （2）如图所示，在AC上截取AF＝AE，可证△AOE≌△AOF（SAS），可得∠AOE＝∠AOF＝60°，OE＝OF，再证△COD≌△COF（ASA），由此即可求证． 【解答】（1）解：∵∠B＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°， ∵△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， ∴， ∴， ∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣60°＝120°； （2）证明：在AC上截取AF＝AE， 由（1）可得，∠AOC＝120°， ∴∠AOE＝∠COD＝60°， ∵， ∴△AOE≌△AOF（SAS）， ∴∠AOE＝∠AOF＝60°，OE＝OF， ∴∠COF＝60°＝∠COD， ∵， ∴△COD≌△COF（ASA）， ∴OD＝OF， ∴OE＝OD． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明△AOE≌△AOF（SAS）解答． 19．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＝AC+CD．求证：∠C＝2∠B． 【分析】在AB上取点E，使AE＝AC，证明△DAE≌△DAC（SAS），得出DE＝DC，∠DEA＝∠C，再结合AB＝AC+CD以及三角形外角的性质可推出结论． 【解答】证明：如图，在AB上取点E，使AE＝AC， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠DAE＝∠DAC， 又∵AD＝AD， ∴△DAE≌△DAC（SAS）， ∴DE＝DC，∠DEA＝∠C， 又∵AB＝AC+CD， ∴AE+BE＝AE+DE， ∴BE＝DE， ∴∠B＝∠BDE， 又∵∠DEA＝∠B+∠BDE＝2∠B， ∴∠C＝2∠B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：AE+CD＝AC； （3）求证：OE＝OD． 【分析】（1）根据△ABC中，∠B＝60°，所以∠BAC+∠BCA＝120度．因为AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可求出∠AOC＝120°； （2）求出∠AOE＝60度．在AC上截取AF＝AE，连接OF，易证△AOE≌△AOF，∠AOE＝∠AOF＝60°，可证△COD≌△COF，则CD＝CF．因为AF＝AE，所以AC＝AF+CF＝AE+CD，即AE+CD＝AC； （3）根据全等得出OE＝OF，OD＝OF，即可得出答案． 【解答】（1）解：在△ABC中，∠B＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°． ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC，∠OCD＝∠OCA＝∠ACB， 在△OAC中，∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA） ＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣×120°＝120°； （2）证明：∵∠AOC＝120°， ∴∠AOE＝∠DOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°， 在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图， 在△AOE和△AOF中， ∴△AOE≌△AOF（SAS）， ∴∠AOE＝∠AOF， ∴∠AOF＝60°， ∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝120°﹣60°＝60°， 又∠COD＝60°， ∴∠COD＝∠COF， 在△COD和△COF中， ， ∴△COD≌△COF（ASA）， ∴CD＝CF． 又∵AF＝AE， ∴AC＝AF+CF＝AE+CD， 即AE+CD＝AC； （3）证明：∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF， ∴OE＝OF，OF＝OD， ∴OE＝OD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；解答此题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，把相关的线段划到同一个三角形中找关系． 21．已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：AD＝DC． （1）小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E，连接DE…请按小明的思路进行证明； （2）小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长BA到E，使BE＝BC，连接DE…请按小刚的思路进行证明； （3）如图③，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，探究线段AB、CE、BC之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）小明的证明方法：证出∠BED＝∠A，再证明△ABD≌△EBD（AAS）可得AD＝DE，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出△EBD≌△CBD（SAS）得出DE＝CD，∠E＝∠C，再证明∠DAE＝∠E，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作DM⊥BA于M，先根据角平分线的性质得出DM＝DE，证明Rt△ADM≌Rt△CDE（HL）得出AM＝CE，证明Rt△BDM≌Rt△BDE（HL），得出BM＝BE，再根据线段的和差即可得出答案． 【解答】解：（1）证明：如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E，连接DE， ∵DE＝CD， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°， ∴∠BED＝∠A， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 又∵BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（AAS）， ∴AD＝DE， ∵DE＝DC， ∴AD＝DC； （2）解：小刚的证明思路：如图②，延长BA到E，使BE＝BC，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵BE＝BC，BD＝BD， ∴△EBD≌△CBD（SAS）， ∴DE＝CD，∠E＝∠C， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠DAE＝180°， ∴∠DAE＝∠C， ∴∠DAE＝∠E， ∴DE＝AD， ∴AD＝DC； （3）解：BC＝AB+2CE；理由如下： ∴AM＝CE， 在Rt△BDM和Rt△BDE中， ， ∴Rt△BDM≌Rt△BDE（HL）， ∴BM＝BE， ∴BC＝BE+EC＝BM+EC＝AB+AM+CE＝AB+2CE，即BC＝AB+2CE． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等量代换，等角对等边，角平分线的性质，线段的和差等，掌握其相关知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $