第18讲 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第18讲 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 【核心考点一 圆柱中的最短路径模型】 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【答案】每一根这样的竹条的长度最少是 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．将圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示， 圆柱底面周长为，高为， ， 即每一根这样的竹条的长度最少是． 2．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．李成是一名滑板爱好者，有一次他滑了一段时间后，感觉有些累，想从点处滑到边缘上离点的点处休息，请问他最短滑行多少米可以到达点（边缘部分的厚度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理解答即可． 【详解】解∶如图是其侧面展开图∶ ． ， ． 在中， 故他最短滑行可以到达点E． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】25尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先将葛藤缠绕的状态展开（见解析），再根据题意可得尺，尺，，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：将葛藤缠绕的状态展开如图所示： 则一条直角边（即枯木的高）尺，另一条直角边（尺）． 由勾股定理，得， 所以， 所以尺（负值已舍）． 答：葛藤的最短长度为25尺． 4．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）    (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 【答案】(1)方案2爬行距离更近 (2)方案1爬行距离更近 (3)，两种方式的爬行距离同样远 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）方案1：爬行距离，方案：爬行距离=， ∴方案爬行距离更近； （2）方案1：爬行距离，方案2：爬行距离， ∴方案爬行距离更近； （3）根据题意得， 解得： ∴，两种方式的爬行距离同样远． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意画出示意图是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算即可； （2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可； ②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 6．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 【答案】（1）①，，1；②，，2；（2）当时，；（3）当时，此时选择路线1路程最短；当时，此时选择路线2路程最短 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、圆柱的侧面展开图及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题关键， （1）①根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案；②根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案； （2）根据勾股定理分别求出，根据即可得出答案； （3）结合（1）（2）结论得出答案即可； 【详解】解：（1）①当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线1路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线2路程最短； （2）由题意得：，，， 当时，， 解得：， 当时，； （3）由题意得：当时，； 此时选择路线1路程最短； 当时，； 此时选择路线2路程最短． 7．（24-25八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 【核心考点二 长方体中的最短路径模型】 8．（24-25八年级上·福建漳州·课后作业）如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，边长为2厘米，现有一小虫从A出发，沿长方体表面到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米？ 【答案】5cm． 【分析】根据题意画出长方体的侧面展开图，连接AC，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， 将长方体右边的表面翻折90°（展开）， 连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离， 由勾股定理知：， ∴AC=5cm． 即小虫走的路程最短为5cm． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理的应用，还利用了两点之间线段最短的性质．将立体图形展开，由立体图形转化成平面图形求解是解题的关键． 9．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，长方体木箱，一只蚂蚁在A处想吃到E处的食物，沿外表面爬过去，求最短路径的长． 【答案】 【分析】本题考查最短路径的求法，考查勾股定理运用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题； 由题意展开长方体，能求出结果； 【详解】如图1， 如图2， 如图3， ∴的最小值为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 【答案】10 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，把长方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为10． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程． 【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长； （2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直． 【详解】解：（1）如图，连接BG． 在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm）， 即线段BG的长度为5dm； （2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝ ②把ABEF展开，如图 此时的总路程为＝＝ ③如图所示，把BCFGF展开， 此时的总路程为＝ 由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 12．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践：测雕塑      (1)如图，雕塑底座正面是四边形，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边是否垂直于底边？并说明理由． (2)若雕塑底座是个长方体，量得边长50cm，边长40cm，边长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)是，见解析 (2)cm 【分析】（1）分别测量、和的长度，利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）将长方体展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）分别测量、和的长度，若，则是直角三角形，，即． （2）将长方体展开，如图，    由勾股定理，得：， ∴． 答：蚂蚁爬行的最短路程是cm． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2)见解析 (3) 【分析】（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）利用等面积建立等式进行解答； （3）把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）解：若选图1，则由图形可知：， 整理得：； 选择图2，则由图形可知：． 整理，得； 若选图3，则由图形可知：， 整理得：． （3）解：把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出． 当展开图形为①：当展开图为②：当展开图为③： ①② ③ ∵， ∴蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键． 14．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 【核心考点三 将军饮马型最短路径问题】 15．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 【答案】(1)见解析，最短路径的长度米 (2)米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． （1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求，利用勾股定理求出可得结论； （2）利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B． 过点作交的延长线于点T， ∵米，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴最短路径的长（米）； （2）∵（米）， （米）， ∴行走路程比（1）中的最短路径长：米． 16．（24-25八年级下·广东深圳·期末）龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小． 解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B． 请利用上述模型解决下列问题： (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直线l上一动点，则PA+PB的最小值为　 　； (2)几何应用：如图3，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　 　； (3)代数应用：代数式（0≤x≤6）的最小值为　 　； 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）连接交于，则的值最小，再由勾股定理求出的长即可； （2）作点关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案； （3）由勾股定理构造图形，再由轴对称最短路线问题得到最小值就是求的值，然后由勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图2，连接交于， 则的值最小， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）如图3，作点关于直线的对称点，连接， 则与直线的交点即为所求的，且的最小值为， 过作交的延长线于， 由题意得：，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （3）构造图形如图4，，，，于，于， 则， 代数式的最小值就是求的值， 作点关于的对称点，过作交的延长线于． 则，，， ， 代数式的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了轴对称最短路线问题、勾股定理以及最小值问题，本题综合性强，解题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 17．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离． 问题提出： (1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接与，使的值最小．    问题探究： (2)如图2所示，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接和，则的最小值是___________；    问题解决： (3)某地有一如图3所示的三角形空地，已知，P是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点分别是边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作点关于的对称点，连接得到交点即为所求， （2）利用正方形的性质，得到，从而得到答案， （3）利用等腰三角形的性质，作两次轴对称，得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，当P点在如图所示的位置时，的值最小；    （2）解：如下图所示，    ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∴， 由题意易得：， 当D、P、E共线时，在中，根据勾股定理得，． （3）解：如下图所示，分别作点P关于，的对称点，连接，交，于点，连接，此时周长的最小值等于．    由轴对称性质可得，， ∴， 在中， 即周长的最小值等于． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键． 18．（2025·山东济南·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)的最小值为． 【分析】（）根据正方形面积公式求出面积即可； （）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，当三点共线时； （）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，得，从而证明，当三点共线时，； 本题主要考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）由图得，正方形的面积为或， ∴， 故答案为：； （2）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∴， ∴， ∴最小值为，即最小值为； （3）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）【问题发现】 （1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于C，点C就是所求位置． ∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“ ”可得的最小值是． 【问题探究】 （2）如图3，在等边中，，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值； 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点G，且点G到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）的周长最小值是；（3）存在；的周长最小值为 【分析】（1）根据两点之间线段最短可得答案； （2）如图，过作于，连接，当三点共线时，，此时的周长最短，再结合等边三角形的性质与勾股定理计算即可； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，过作于，交于，证明，在直线上运动，当三点共线时，，此时线段和最小，可得的周长最小，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是． （2）如图，过作于，连接， ∵等边，，， ， ∴，，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当三点共线时，， 此时的周长最短， 而， ∴的周长最小值是； （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，在直线上运动， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 当三点共线时， ，此时线段和最小， ∴的周长最小， 而此时， ， ， ∴， ∴的周长最小值为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的性质，平行线间的距离处处相等，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的化简，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决： 如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考： 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值； (2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，则的长度即为与的和的最小值，再求出的长度，得到，即可得到答案； （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值． 【详解】（1）解：如图5，连接交于点P，此时最小，    ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴，， 即就是的最小值， ∵，E为的中点，， ∴． ∴的最小值是12． ∵， ∴， 解得， ∴ ∴的最小值是，即周长的最小值是． （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值，    ∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴是边上的高线，即垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 21．（24-25八年级上·山西晋中·月考）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【分析】由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； 把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，由【归纳总结】可得出最短路程为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质） ∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系）， ∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，    ∴． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵， ∴， ∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为， ∴， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． 故答案为：17． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，勾股定理．理解题意，掌握轴对称的性质是解题关键． 【核心考点四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 22．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理可得的值，再根据翻折的性质，可得，设，，利用勾股定理列出方程求解x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． ∴的长为． 23．（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，即，根据勾股定理即可求出的长； （2）设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠至处， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵将沿折叠至处， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 24．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)14 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，然后结合已知条件得到，再根据角平分线的逆定理即可证明； （2）过点作于点，先由直角三角形全等的判定定理证明，则，同理可证明，可得，同理可证明，由勾股定理求解，则，即可求解四边形的周长； （3）由翻折可得，，先证明，则，由（2）知，则，然后证明，再代入证明即可． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：过点作于点， 在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， 同理可证明， ∴， ∵，，， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：，理由如下： 由翻折可得，， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理） ∴ 由（2）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 26．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，为边上的动点，将沿所在直线翻折，得到，点的对应点为． (1)如图，若，与边交于点． ①填空：点到边的距离为_________． ②求证：． ③若点与点的距离为，求的长． (2)若是边的中点，与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；②见解析；③ (2)或 【分析】（1）①过点作于点，根据三线合一可得，进而根据正切的定义，即可求解； ②根据等边对等角以及折叠的性质即可得证； ③证明得出，，过点作于点，于点，由，得，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求得，代入比例式即可求解． （2）分两种情况讨论，①当在的下方时，证明四边形是平行四边形，过点作于点，根据，设则，在中，，建立方程解方程，进而根据三角形的面积公式即可求解；②当在的上方时，同理可得四边形是平行四边形，进而根据，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， ∵，， ∴ 又∵， ∴，即点到边的距离为 故答案为：． ②证明：∵， ∴, ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴ ∴ ∵ ∴ ③∵， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ 过点作于点，于点 ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， 由，得 ∴ 解得： （2）解：①如图1，当在的下方时， ∵与重合部分的面积等于面积的， ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ 由折叠，知， ∴ 过点作于点 设则， 在中， ∴ 解得：（舍去） ∴ ∴ ②如图2，当在的上方时， 同理可得四边形是平行四边形 ∴，， 过点作于点 ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．（2025·广西玉林·模拟预测）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 28．（25-26九年级上·广东深圳·期末）【综合与探究】 (1)小紫发现其新购入的一副三角尺套装中两个三角板的斜边相等（如图1），于是便将其拼接起来并抽象成如图2所示的四边形．连接对角线，经测量，小紫尝试用已学知识证明，以下是其思路与方法，请完成填空： 证明：如图3，作，，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴____________________， 且在与中，，， ∴， ∴____________________， ∴平分， ∴． (2)爱钻研的小紫发现，当四边形满足一定的条件时，就会有类似的性质，如图4，在四边形中，，，对角线与交于点． ①图4中存在多对相似三角形，如：，请按上述格式直接写出图中其余所有的相似三角形； ②在图4中，若，，则求出的值； 【变式拓展】 (3)如图4，若在（2）的四边形中有，为边上一动点，将沿翻折，点对应点为，射线交于点，其中，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)①，，，，；②； (3)或 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质补全证明过程即可； （2）①根据可知、、、四点共圆，作出四边形的外接圆，根据圆周角定理及相似三角形的判定定理找出所有相似三角形即可； ②分别过点、作的垂线，垂足为、，根据勾股定理计算出，由三角形面积公式得出．容易判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可求出．容易证明，则． （3）根据（2）中的相似三角形可以得出，，从而求出和．根据点在上方或下方，分两类讨论．当点在下方时，作，垂足为，容易证明，从而求出和．在直角中，使用勾股定理构造方程，求出；点在上方时，使用同样的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：证明：如图3，作，，垂足分别为， ∵， ∴， ， ∴， 且在与中，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴． 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， 即、、、四点共圆， 如图，作出四边形的外接圆， ∵，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，，，，； ②如图，分别过点、作的垂线，垂足为、， ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解： 由（2）可知，，， ∴， ∵ ∴，变形得，， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴， ①当点在下方时，如图，作，垂足为，设， 由折叠的性质可知，，，， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在直角中，，，， 由勾股定理可得，， 解得，， ∴； ②当点在上方时，如图，作，垂足为，设， 在直角中，， ∴， 同理①可得，，， 在直角中，，，， 由勾股定理可得，， 解得，， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 【核心考点五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 29．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 【答案】10厘米 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意可得，厘米，，由折叠的性质可得厘米，，利用勾股定理求出的长，设厘米，则厘米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，厘米，， 厘米， 厘米， 由折叠知厘米，， 在中，由勾股定理得厘米 设厘米，则厘米， 在中，由勾股定理得 ， 解得， 的长为10厘米． 30．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质找边之间的关系． (1)设，由折叠的性质可知，利用勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度； (2)根据矩形的性质和折叠的性质可知，利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：设，由折叠的性质可知， 长方形中，，． ，， ， ， 解得：， ； （2）解：如下图所示， 四边形是矩形， ，， ，， 由折叠可知， ， ， 31．（2025·江苏无锡·二模）如图1，矩形中，，，点为线段上一动点，过点作，交于点，将沿折叠得． (1)若点落在边上，__________； (2)若点到的距离为2，求的面积； (3)如图2，若点为的中点，连接、，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)3 (2)的面积为3或9； (3)的长为或． 【分析】（1）延长交于点，设，则，，，证明，求得，，根据，列式计算即可求解； （2）分两种情况讨论，当点在矩形内时，当点在矩形外时，利用相似三角形的判定和性质列式计算求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，当时，同理，利用相似三角形的判定和性质列式计算求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （2）解：当点在矩形内时，如图，延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， 同（1），，， ， ，，， 同理， ∴，即， ∴，，即，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点在矩形外时，如图，延长交于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，则四边形是矩形， 同（1），，， ， ，，， 同理， ∴，即， ∴，，即，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上，的面积为3或9； （3）解：如图，当时，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，，，， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得（舍去）或， 则的长为； 如图，当时，延长交于点，过点作于点，记与交于点， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 同（1），，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， 则的长为； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 32．（2026·四川巴中·模拟预测）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 (3)的长为5或3 【分析】（1）利用折叠的性质和勾股定理即可求解； （2）利用折叠的性质得出，，利用证得，得到，利用等边对等角得到，然后证得，得到，即可证得； （3）分①当在的延长线上时，②当在线段时，两种情况讨论，根据折叠的性质．利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 由折叠的性质可知， 在中，， ∴， 解得， ∴； （2）证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当在的延长线上时，如图①， 由，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②当在线段时，如图②， 设，则， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，的长为5或3． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 33．（24-25八年级下·河北邯郸·月考）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2或8 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 34．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【答案】(1) (2)6 (3)或3或 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可； （3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E． ， ∵四边形是长方形， ． ， ， ； 设，则， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴的面积为， 故答案为：6； （3）解：①若， ， ； ②若，作于点， ，，， ， ， ； ③若，则，，， ，， ， ； 综上所述，或3或． 35．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）（1）如图1，将长方形折叠，使落在对角线上，折痕为，点C落在点处，若，则的度数为__________°； （2）小明手中有一张长方形纸片，，． 【画一画】如图2，点E在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为（点M，N分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； 【算一算】如图3，点F在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点A，B分别落在点，处，若，求的长． 【答案】（1）23；（2）见解析， 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题； （2）【画一画】，如图2中，延长交的延长线由G，作的角平分线交于M，交于N，直线即为所求； 算一算：首先求出，由矩形的性质得出，，由平行线的性质得出，由翻折不变性可知，，证出，由等腰三角形的判定定理证出，再由勾股定理求出，可得，再利用翻折不变性，可知，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 故答案为：23． （2）【画一画】如图所示： （3）∵，，∴， ∵将纸片折叠，使落在射线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【核心考点六 勾股定理中的线段的平方和模型】 36．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 37．（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要运用勾股定理求解三角形的边长以及通过勾股定理和线段关系证明等式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，过点作，交于点，在直角三角形中利用勾股定理求出两条直角边，进而得到的长； （2）连接，过点作，交于点．根据等腰三角形三线合一可证明，根据勾股定理可证、，两式相减可得到，根据线段的和差关系结合平方差公式即可证明． 【详解】（1）解：如图①，在中，过点作，交于点． 在中，． 在中，， ． （2）证明：如图②，连接，过点作，交于点． ，， ， 在中，． 同理，， ． 又，， ， ． 【点睛】 38．（24-25八年级上·陕西西安·期中）爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等． (1)请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算器材放置点到处的距离． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）连接，作线段的垂直平分线交于点连接，点E即为所求； （2）设,根据，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求． （2）设， ， ， ， ， ， 点到处的距离． 39．（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1)猜想：．理由见解析； (2)73 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 40．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析，② 【分析】（1）由“商高定理”得出； （2）由“商高定理”得出，，则，，即可得出结论； （3）①连接，设交于交于，由正方形的性质得出，证出，由证得； ②由，得出，则，得出，由（2）可得，由勾股定理得出，推出，代入 ，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：在中，， ∴， 同理：， ∴， ∴； （3）①证明：连接，设交于，交于，如图所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握全等三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． 41．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质： （1）根据面积的不同算法即可得乘法公式； （2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答； （3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 由面积的不同算法可得乘法公式：； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 【核心考点七 勾股定理中的旋转模型】 43．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，摆动臂可绕点D旋转，，． (1)在旋转过程中，当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，的长为 ； (2)若摆动臂顺时针旋转，点D的位置由外的点，转到其内的点处，即满足，，连接、、，如图，此时，，求的长． 【答案】(1)4或 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键． （1）分两种情况，由勾股定理求解即可； （2）连接，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，然后证明，可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：当为斜边时，在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， 当为斜边时，在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， ∴的长为4或， 故答案为：4或； （2）解：连接，如图： 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 即，， ∴， ∴； 44．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1：以为中心，作正方形，正方形，此时点、、在同一直线上，其中小正方形边长，此时，现将外部大正方形进行旋转，现对旋转过程中的性质展开研究： (1)请计算并直接写出大正方形边长______． (2)在旋转过程中，当点、、旋转到同一直线上时，得到正方形，形状类似“赵爽弦图”的模型（如图2），求此时线段的长度． (3)继续旋转正方形（如图3），在此过程中，线段和满足什么关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】1）根据勾股定理先求出的长度，再根据得，代入计算即可； （2）先求出，再利用，解答即可； （3）连结，证明即可． 【详解】（1）解：如下图，连结， 是正方形的中心，在同一直线上， 也在同一直线上， ， ， ， ， ， ，即， ； （2）， ， ， ， 同理， ， ，即 解得：； （3）如下图，连结， 是正方形的中心， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判断与性质，三角形全等的判定与性质，一元二次方程的解法，旋转的性质，解题的关键是证明三角形全等． 45．（2025·宁夏银川·模拟预测）综合与实践 问题情景：在中，，，直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： （1）如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出线段的长为______ ． 【答案】（1）四边形是矩形； （2）； （3） 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解； （3）由，推导出，用（2）的方法解答即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形，理由如下： 点是的中点，点是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）如图，过点作于， ，，， ， 点是的中点， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）如图，过点作于， ，，， ， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 46．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 （1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点D，在三角板斜边上取一点F，使，线段上取点E，使，连接． ①证明：． ②证明：． （2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），在三角板另一直角边上取一点H，使，在线段AB上取点G，使，连接，请直接写出线段之间的数量关系．    【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形证明即可；通过条件证明即可证明； （2）同（1）可得：，，再根据为等腰直角三角形，全等三角形的性质可得即可求解． 【详解】解：（1）①证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴； ②证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴； 解：（2）同（1）可得：，， ∴，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质勾股定理，看到旋转要想到旋转的性质，对应边相等，对应角相等，以此来证明三角形全等． 47．（2025·山东·模拟预测）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题．某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点D为的中点，绕点D旋转，连接． 观察猜想：（1）在旋转过程中，猜想与的数量关系并证明； 实践发现：（2）当点M，N在内且C，M，N三点共线时，如图2，求证：； 解决问题：（3）若在中，，在旋转过程中，当且C，M，N三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点C、M、N三点共线，分类讨论，根据（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图所示，连接，      由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：已知，，C、M、N三点共线， ①由（2）可知，，      由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故这种情况不存在； ②如图所示，由（1）可知，，，，        ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ③如图，      ∵是等腰直角三角形， ∴， 同法可证， ∴， ∴，即是直角三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合,勾股定理，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 48．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． (1)正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为_____． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，可证明_____，从而得出结论．请你完成之间的数量关系的证明． (2)如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____．小杰同学的思路是：设法将、、相对集中，于是将绕点顺时针旋转得到，连接，确定与的形状分别为：_____，问题得以解决． (3)等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，点是等边三角形内一点，若，请你直接写出：以线段、、的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为_____． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)，等腰直角三角形、直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）将绕点顺时针旋转，得到，通过证明，从而得出结论． （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明为等腰直角三角形，为直角三角形即可解决问题． （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，证明为等边三角形，再利用角的等量关系，和差关系及三角形的内角和为即可求出各个角的度数． 【详解】（1），，理由如下 证明：在正方形中，， 绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴点G、点B、点F三点共线； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即 故答案为： （2）将绕点顺时针旋转得到，连接， 为等腰直角三角形，， ，， 有：， 为直角三角形，． ． 故答案为：，等腰直角三角形、直角三角形， （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接， ， 为等边三角形，， 以线段、、的长度为边长的三角形为 ， ， 又， ， ， 故答案为： 49．（2025·江苏淮安·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②；（3）能，或或12或． 【分析】（1）连接，证明 ，即可证明结论； （2）①由是中线，得，根据等边对等角得，，进而得，即可证明结论；②连接，证明， 得，可求得，证明，进而可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可得，由此建立方程即可求解； （3）分情况讨论：根据，画出图形结合图形分别求解． 【详解】（1）解：； 理由：连接，当点E落在边上时，， ， 都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：∵在中，是中线， ， ， ，     ， ， ， ； ②连接， ，，， ， ， ， ， ，    ∴， ∴， ， ∵在和中， ， ， ，， ，即， ， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， 解得，即， ， （3）① 如图，当点在边上，此时， ； ②如图，当点在边的延长线上，此时， ； ③如图，当时，作于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； ④如图，当时，作，垂足为F，，垂足为G， 同③可证四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ∴， ， 在中，， ， ， ． 综上所述， 或或12或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 50．（24-25八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】本题考查含锐角直角三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定，中位线，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）根据锐角直角三角形的性质可得，，即可解答； （2） ①先证明，继而证明，即可解答； ②根据题意可得和是的中位线，则， 即可解答； （3）分类讨论：①当顺时针旋转时位于；②当△DEF顺时针旋转时位于，逐一分析，即可解答． 【详解】解：(1)根据题意，由锐角直角三角形的性质可得： ， ． ∴四边形的周长为： ． (2)①证明：∵平移前，，A、F两点重合，C、D两点重合， ∴， ∴， ∵， ∴根据平移的性质，， ∴四边形为平行四边形． ②根据题意可得和是的中位线，则， 由平行线四边形的性质，四边形的周长为： ． 故答案为：9． (3)如图， 当顺时针旋转时位于；当△DEF顺时针旋转时位于． ①当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ． ， 为等边三角形，符合题意． ②当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ∴为等腰三角形，符合题意． 故旋转角为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 【核心考点一 圆柱中的最短路径模型】 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 2．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．李成是一名滑板爱好者，有一次他滑了一段时间后，感觉有些累，想从点处滑到边缘上离点的点处休息，请问他最短滑行多少米可以到达点（边缘部分的厚度忽略不计）． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 4．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）    (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 6．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 7．（24-25八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【核心考点二 长方体中的最短路径模型】 8．（24-25八年级上·福建漳州·课后作业）如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，边长为2厘米，现有一小虫从A出发，沿长方体表面到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米？ 9．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，长方体木箱，一只蚂蚁在A处想吃到E处的食物，沿外表面爬过去，求最短路径的长． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 12．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践：测雕塑      (1)如图，雕塑底座正面是四边形，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边是否垂直于底边？并说明理由． (2)若雕塑底座是个长方体，量得边长50cm，边长40cm，边长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 13．（24-25八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 14．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【核心考点三 将军饮马型最短路径问题】 15．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 16．（24-25八年级下·广东深圳·期末）龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小． 解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B． 请利用上述模型解决下列问题： (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直线l上一动点，则PA+PB的最小值为　 　； (2)几何应用：如图3，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　 　； (3)代数应用：代数式（0≤x≤6）的最小值为　 　； 17．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离． 问题提出： (1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接与，使的值最小．    问题探究： (2)如图2所示，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接和，则的最小值是___________；    问题解决： (3)某地有一如图3所示的三角形空地，已知，P是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点分别是边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    18．（2025·山东济南·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）【问题发现】 （1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于C，点C就是所求位置． ∵直线l是点B，的对称轴， ∴ ∴ 根据“ ”可得的最小值是． 【问题探究】 （2）如图3，在等边中，，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值； 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点G，且点G到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决： 如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考： 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值； (2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 21．（24-25八年级上·山西晋中·月考）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【核心考点四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 22．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 23．（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 24．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 25．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 26．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，为边上的动点，将沿所在直线翻折，得到，点的对应点为． (1)如图，若，与边交于点． ①填空：点到边的距离为_________． ②求证：． ③若点与点的距离为，求的长． (2)若是边的中点，与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 27．（2025·广西玉林·模拟预测）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 28．（25-26九年级上·广东深圳·期末）【综合与探究】 (1)小紫发现其新购入的一副三角尺套装中两个三角板的斜边相等（如图1），于是便将其拼接起来并抽象成如图2所示的四边形．连接对角线，经测量，小紫尝试用已学知识证明，以下是其思路与方法，请完成填空： 证明：如图3，作，，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴____________________， 且在与中，，， ∴， ∴____________________， ∴平分， ∴． (2)爱钻研的小紫发现，当四边形满足一定的条件时，就会有类似的性质，如图4，在四边形中，，，对角线与交于点． ①图4中存在多对相似三角形，如：，请按上述格式直接写出图中其余所有的相似三角形； ②在图4中，若，，则求出的值； 【变式拓展】 (3)如图4，若在（2）的四边形中有，为边上一动点，将沿翻折，点对应点为，射线交于点，其中，，请直接写出线段的长． 【核心考点五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 29．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 30．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 (1)求的长； (2)求的面积． 31．（2025·江苏无锡·二模）如图1，矩形中，，，点为线段上一动点，过点作，交于点，将沿折叠得． (1)若点落在边上，__________； (2)若点到的距离为2，求的面积； (3)如图2，若点为的中点，连接、，当为直角三角形时，请直接写出的长． 32．（2026·四川巴中·模拟预测）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 33．（24-25八年级下·河北邯郸·月考）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 34．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 35．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）（1）如图1，将长方形折叠，使落在对角线上，折痕为，点C落在点处，若，则的度数为__________°； （2）小明手中有一张长方形纸片，，． 【画一画】如图2，点E在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为（点M，N分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； 【算一算】如图3，点F在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点A，B分别落在点，处，若，求的长． 【核心考点六 勾股定理中的线段的平方和模型】 36．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 37．（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 38．（24-25八年级上·陕西西安·期中）爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等． (1)请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算器材放置点到处的距离． 39．（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 40．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 41．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 42．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【核心考点七 勾股定理中的旋转模型】 43．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，摆动臂可绕点D旋转，，． (1)在旋转过程中，当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，的长为 ； (2)若摆动臂顺时针旋转，点D的位置由外的点，转到其内的点处，即满足，，连接、、，如图，此时，，求的长． 44．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1：以为中心，作正方形，正方形，此时点、、在同一直线上，其中小正方形边长，此时，现将外部大正方形进行旋转，现对旋转过程中的性质展开研究： (1)请计算并直接写出大正方形边长______． (2)在旋转过程中，当点、、旋转到同一直线上时，得到正方形，形状类似“赵爽弦图”的模型（如图2），求此时线段的长度． (3)继续旋转正方形（如图3），在此过程中，线段和满足什么关系． 45．（2025·宁夏银川·模拟预测）综合与实践 问题情景：在中，，，直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： （1）如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出线段的长为______ ． 46．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 （1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点D，在三角板斜边上取一点F，使，线段上取点E，使，连接． ①证明：． ②证明：． （2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），在三角板另一直角边上取一点H，使，在线段AB上取点G，使，连接，请直接写出线段之间的数量关系．    47．（2025·山东·模拟预测）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题．某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点D为的中点，绕点D旋转，连接． 观察猜想：（1）在旋转过程中，猜想与的数量关系并证明； 实践发现：（2）当点M，N在内且C，M，N三点共线时，如图2，求证：； 解决问题：（3）若在中，，在旋转过程中，当且C，M，N三点共线时，直接写出的长． 48．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． (1)正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为_____． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，可证明_____，从而得出结论．请你完成之间的数量关系的证明． (2)如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____．小杰同学的思路是：设法将、、相对集中，于是将绕点顺时针旋转得到，连接，确定与的形状分别为：_____，问题得以解决． (3)等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，点是等边三角形内一点，若，请你直接写出：以线段、、的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为_____． 49．（2025·江苏淮安·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 50．（24-25八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $