专题09 中心对称 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题09 中心对称 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础概念：中心对称、中心对称图形的定义与核心本质 2.核心性质：中心对称的三大几何必考性质 3.实操作图：中心对称图形的标准化作图步骤 4.概念辨析：中心对称与中心对称图形的区别与联系 5.坐标应用：平面直角坐标系中原点对称的坐标规律 ✅本节以“图形旋转180°后重合”为核心主线，涵盖概念、性质、作图、坐标应用四大核心模块。学习重点为区分“两个图形的位置关系”与“单个图形的固有属性”，衔接几何变换与平面直角坐标系知识，是中考几何基础的高频考点。 ✺学习目标 1.准确理解并掌握中心对称、中心对称图形的定义，厘清二者的区别与联系，能够熟练识别、判定常见的中心对称图形。 2.熟练掌握并运用中心对称的几何性质，求解线段长度、角度大小，完成图形判定等基础题型。 3.掌握中心对称的规范作图流程，严格贴合中考答题标准，完成作图、标注及结论书写。 4.熟记平面内关于原点对称的点的坐标规律，可快速求解对称点坐标、完成图形对称变换作图。 ✺题型归纳 题型1.成中心对称 题型2.画已知图形关于某点对称的图形 题型3.画两个图形的对称中心 题型4.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型5.中心对称图形的识别 题型6.判断中心对称图形的对称中心 题型7.在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型8.中心对称图形规律问题 题型9.求关于原点对称的点的坐标 题型10.已知两点关于原点对称求参数 题型11.判断两个点是否关于原点对称 题型12.说出一个图形到另一个图形的运动过程 题型13.按图形的变换要求画出另一个图形 题型14.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、中心对称的定义 把一个图形绕着某一个定点旋转180°，若能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点中心对称。其中，固定的定点为对称中心，旋转后相互重合的点为对称点。如下图。点O为对称点，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点，点A和点C是关于点O的对称点。 核心本质：中心对称是旋转角为180°的特殊旋转变换，属于全等变换，仅改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 知识点二、中心对称的基本性质 1.全等性：关于中心对称的两个图形全等，对应边相等、对应角相等。 2.中点性：任意一组对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，对称中心是所有对称点连线的中点。 3.平行性：两组对应线段互相平行（或在同一条直线上），且长度相等。 知识点三、中心对称作图步骤 ▲已知图形和对称中心，作原图形关于该中心对称的图形，步骤如下： 1.取关键点：找出原图形的顶点、端点等所有核心关键点； 2.连线延长：依次连接各关键点与对称中心，并向对称中心另一侧延长； 3.截取对称点：在延长线上截取线段，使其长度等于关键点到对称中心的距离，得到各点的对称点； 4.顺次连线：按照原图形的顺序，依次连接所有对称点，形成新图形； 5.规范收尾：标注对应点字母，书写作图结论：所得图形即为原图形关于该点中心对称的图形。 ▲如下左图，选择点O为对称中心，画出△ABC 关于点O对称的△。 如下右图，作出A,B,C三点关于点O的对称点,,,依次连接,,,就可以得到与△ABC关于点O对称的△. 知识点四、中心对称图形的定义 ▲把一个图形绕着某一个定点旋转180°，若旋转后的图形能够与自身完全重合，则该图形为中心对称图形，这个定点为图形的对称中心。 常见典型图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆都是中心对称图形。 核心性质：经过中心对称图形对称中心的任意一条直线，都可将该图形分成两个全等的部分，两部分形状、面积完全相等。 知识点五、中心对称与中心对称图形的区别与联系知识点六、关于原点对称的点的坐标规律 1.在平面直角坐标系中，任意一点 (x,y)关于原点对称的点的坐标为 (-x,-y)。 规律口诀：原点对称，横纵皆变号。 2. 关于原点对称的点的坐标特征： 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数；反过来，如果两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称。 核心应用：快速求解对称点坐标、绘制几何图形及函数图像的中心对称图形。 ✺题型精讲 题型1.成中心对称 1．在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 2．若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有__________．（填序号） 3．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 题型2.画已知图形关于某点对称的图形 1．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．  B．  C．  D．     2．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 3．如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都为，请用无刻度直尺按要求在方格纸中作图． (1)在图中画出关于点成中心对称的图形，点、的对应点分别为点、； (2)在图中画出以为边，面积为的菱形，点、均在格点上． 题型3.画两个图形的对称中心 1．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 3．如图，四边形与四边形是成中心对称的两个图形．请试着确定其对称中心的位置． 题型4.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．小明和小辉两家所在的位置关于学校成中心对称．如果小明家与学校的距离是公里，那么他们两家的距离为_______公里． 3．一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 题型5.中心对称图形的识别 1．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．平行四边形的性质：①边：对边______且__________．②角：对角______；③对角线：对角线互相_________；④对称性：平行四边形是________对称图形，它的对称中心是两条____________的交点． 3．如图，长方形的顶点都在方格纸的格点上． (1)如图，将长方形平移，使得点与点重合，请画出平移后的长方形，并判断平移前后的两个长方形构成________图形（填写“轴对称”或“中心对称”）； (2)如图，请作出一个与长方形关于某条直线成轴对称的图形，且所有顶点均在格点上．（画出一种即可） 题型6.判断中心对称图形的对称中心 1．如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 2．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点坐标为，请在坐标系中画出； (2)在（1）的条件下，以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得， ①请在坐标系中画出； ②与关于某点成中心对称，请直接写出该对称中心坐标__________． 题型7.在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 1．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 2．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 题型8.中心对称图形规律问题 1．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 2．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 3．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 题型9.求关于原点对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．坐标轴上的点的坐标特征：轴上的点的______坐标为0；轴上的点的______坐标为0；点关于原点对称的点的坐标为（______，_______）． 3．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)P，Q是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 题型10.已知两点关于原点对称求参数 1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 2．若点与点关于原点对称，则的值为______________． 3．已知点与关于原点对称，求的值． 题型11.判断两个点是否关于原点对称 1．点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 2．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 3．把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点______，再向左平移6个单位长度可以得到对应点_______，则点与点A关于________对称，点与点A关于_________对称，点与点关于_______对称． 题型12.说出一个图形到另一个图形的运动过程 1．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 2．主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 3．如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 题型13.按图形的变换要求画出另一个图形 1．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)画出； (2)画出关于原点对称的； (3)画出绕原点O顺时针旋转后的． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．设点A的坐标为，将点A绕坐标原点旋转得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 7．点和点关于原点对称，则______． 8．如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标________； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为______． 9．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________） 三、解答题 10．如图，已知平面直角坐标系内有三点，分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)直接写出把绕点顺时针旋转后，点旋转后对应点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）． （1）请画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2． 12．（1）解方程：； （2）已知点与点关于原点对称，求a、b的值． 13．如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，请按下列要求作格点四边形． (1)在图1中以，为顶点作一个四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． (2)在图2中以为边作一个四边形，使该四边形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10，并有一个内角为直角． 14．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． (1)试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标________； (3)请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为________，若直线平分的面积，则________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 中心对称 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础概念：中心对称、中心对称图形的定义与核心本质 2.核心性质：中心对称的三大几何必考性质 3.实操作图：中心对称图形的标准化作图步骤 4.概念辨析：中心对称与中心对称图形的区别与联系 5.坐标应用：平面直角坐标系中原点对称的坐标规律 ✅本节以“图形旋转180°后重合”为核心主线，涵盖概念、性质、作图、坐标应用四大核心模块。学习重点为区分“两个图形的位置关系”与“单个图形的固有属性”，衔接几何变换与平面直角坐标系知识，是中考几何基础的高频考点。 ✺学习目标 1.准确理解并掌握中心对称、中心对称图形的定义，厘清二者的区别与联系，能够熟练识别、判定常见的中心对称图形。 2.熟练掌握并运用中心对称的几何性质，求解线段长度、角度大小，完成图形判定等基础题型。 3.掌握中心对称的规范作图流程，严格贴合中考答题标准，完成作图、标注及结论书写。 4.熟记平面内关于原点对称的点的坐标规律，可快速求解对称点坐标、完成图形对称变换作图。 ✺题型归纳 题型1.成中心对称 题型2.画已知图形关于某点对称的图形 题型3.画两个图形的对称中心 题型4.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型5.中心对称图形的识别 题型6.判断中心对称图形的对称中心 题型7.在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型8.中心对称图形规律问题 题型9.求关于原点对称的点的坐标 题型10.已知两点关于原点对称求参数 题型11.判断两个点是否关于原点对称 题型12.说出一个图形到另一个图形的运动过程 题型13.按图形的变换要求画出另一个图形 题型14.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、中心对称的定义 把一个图形绕着某一个定点旋转180°，若能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点中心对称。其中，固定的定点为对称中心，旋转后相互重合的点为对称点。如下图。点O为对称点，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点，点A和点C是关于点O的对称点。 核心本质：中心对称是旋转角为180°的特殊旋转变换，属于全等变换，仅改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 知识点二、中心对称的基本性质 1.全等性：关于中心对称的两个图形全等，对应边相等、对应角相等。 2.中点性：任意一组对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，对称中心是所有对称点连线的中点。 3.平行性：两组对应线段互相平行（或在同一条直线上），且长度相等。 知识点三、中心对称作图步骤 ▲已知图形和对称中心，作原图形关于该中心对称的图形，步骤如下： 1.取关键点：找出原图形的顶点、端点等所有核心关键点； 2.连线延长：依次连接各关键点与对称中心，并向对称中心另一侧延长； 3.截取对称点：在延长线上截取线段，使其长度等于关键点到对称中心的距离，得到各点的对称点； 4.顺次连线：按照原图形的顺序，依次连接所有对称点，形成新图形； 5.规范收尾：标注对应点字母，书写作图结论：所得图形即为原图形关于该点中心对称的图形。 ▲如下左图，选择点O为对称中心，画出△ABC 关于点O对称的△。 如下右图，作出A,B,C三点关于点O的对称点,,,依次连接,,,就可以得到与△ABC关于点O对称的△. 知识点四、中心对称图形的定义 ▲把一个图形绕着某一个定点旋转180°，若旋转后的图形能够与自身完全重合，则该图形为中心对称图形，这个定点为图形的对称中心。 常见典型图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆都是中心对称图形。 核心性质：经过中心对称图形对称中心的任意一条直线，都可将该图形分成两个全等的部分，两部分形状、面积完全相等。 知识点五、中心对称与中心对称图形的区别与联系知识点六、关于原点对称的点的坐标规律 1.在平面直角坐标系中，任意一点 (x,y)关于原点对称的点的坐标为 (-x,-y)。 规律口诀：原点对称，横纵皆变号。 2. 关于原点对称的点的坐标特征： 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数；反过来，如果两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称。 核心应用：快速求解对称点坐标、绘制几何图形及函数图像的中心对称图形。 ✺题型精讲 题型1.成中心对称 1．在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可得出结果，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【详解】解：根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， 点与点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ，两点关于原点对称． 故选：A． 2．若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有__________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了中心对称图形的定义及性质，理解并掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点称为对称中心；成中心对称的两个图形全等；连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分；由此即可求解． 【详解】解：①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确． ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ ． 3．如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心对称． 【答案】 证明：点与点关于点中心对称， 是线段的中点，即， ， ， 在与中， ， ， ，， 点A与点F关于点E成中心对称． 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明得，，即可得证． 【详解】略 题型2.画已知图形关于某点对称的图形 1．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．  B．  C．  D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 2．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 3．如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都为，请用无刻度直尺按要求在方格纸中作图． (1)在图中画出关于点成中心对称的图形，点、的对应点分别为点、； (2)在图中画出以为边，面积为的菱形，点、均在格点上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中心对称的意义，作图即可； （2）根据菱形的判定和性质，结合题意，画图即可； 【详解】（1）略 （2） 略 题型3.画两个图形的对称中心 1．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 2．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 3．如图，四边形与四边形是成中心对称的两个图形．请试着确定其对称中心的位置． 【答案】 解：连接，交点O即为所求的对称中心． 如图所示： 【分析】此题考查对称中心的确定方法，成中心对称图形的性质：成中心对称的两个图形的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分，掌握成中心对称的图形的性质是解题的关键． 连接两对对应点，交点即为所求的对称中心． 【详解】略 题型4.根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，， ∴， 但不一定正确， 故选：D． 2．小明和小辉两家所在的位置关于学校成中心对称．如果小明家与学校的距离是公里，那么他们两家的距离为_______公里． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，可得小明家和小辉家到学校的距离相等，且两家分别在学校的两侧，将两家到学校的距离相加即可得到两家的距离． 【详解】解：∵小明和小辉两家所在位置关于学校成中心对称， ∴小明、小辉两家到学校的距离相等， ∵小明家到学校的距离是公里， ∴他们两家的距离为公里． 3．一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 【答案】 如图所示． 【分析】此题主要考查了矩形的中心对称性，解决此题的关键是找到对称中心． 先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心作直线即可． 【详解】略 题型5.中心对称图形的识别 1．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】A. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．平行四边形的性质：①边：对边______且__________．②角：对角______；③对角线：对角线互相_________；④对称性：平行四边形是________对称图形，它的对称中心是两条____________的交点． 【答案】 平行 相等 相等 平分 中心 对角线 【分析】本题考查平行四边形的性质定理，熟记平行四边形的基本性质即可作答． 【详解】解：根据平行四边形的性质定理，依次可得结论： ①边：平行四边形的对边平行且相等； ②角：平行四边形的对角相等； ③对角线：平行四边形的对角线互相平分； ④对称性：平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点． 3．如图，长方形的顶点都在方格纸的格点上． (1)如图，将长方形平移，使得点与点重合，请画出平移后的长方形，并判断平移前后的两个长方形构成________图形（填写“轴对称”或“中心对称”）； (2)如图，请作出一个与长方形关于某条直线成轴对称的图形，且所有顶点均在格点上．（画出一种即可） 【答案】(1)；中心对称 (2) 【分析】（1）将点移动到与点重合后，根据原来点的位置可画出平移后的长方形，且可知平移后点与点重合，故平移前后的两个长方形中心对称；（2）可以以为对称轴作长方形，也可以以过点的水平线为对称轴作长方形． 【详解】（1）略 （3） 略 题型6.判断中心对称图形的对称中心 1．如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 【答案】D 【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 故选D． 【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置． 2．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】 【分析】取的中点，连接、、．根据勾股定理可得，在点与之间总有（如图1），、、、四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段取最大值． 【详解】解：如图1，，，取的中点，连接、、． ． 同理． 正方形，为中点，， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 如图1，在点与之间总有， 由于的大小为定值，只有，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立，如图2， 线段取最大值， 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点坐标为，请在坐标系中画出； (2)在（1）的条件下，以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得， ①请在坐标系中画出； ②与关于某点成中心对称，请直接写出该对称中心坐标__________． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)①如图，即为所求；② 【分析】（1）利用点A和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到的位置，然后顺次连接即可； （2）①根据关于原点对称点的性质分别得到的位置，然后顺次连接即可； ②如图，连接，则都经过点P，故可知点P为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：① 略 ②解：如图，可知与关于点成中心对称， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键． 题型7.在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 1．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【答案】C 【详解】解：把正方形添加在区域3处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形． 2．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 【答案】(1) 如图①，四边形即为所求． (2) 如图②，四边形即为所求． 【分析】考查作图-中心对称变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画图即可． （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画图即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型8.中心对称图形规律问题 1．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 3．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)、的坐标分别为，； (3)；或或或． 【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标； （2）根据题目所给公式求出，，的坐标，依此类推即可求出的坐标； （3）根据所求出的坐标可得的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，利用这个规律即可求出点的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， 同理可得：，，，， 即点、的坐标分别为，， 故答案为：，； （3）解：，，，，，，，； 的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环， ， 的坐标与的坐标相同，即； ∴， 设轴上与点、点构成等腰三角形的点为点D， 当时，点D坐标为或； 当时， ∵， ∴，点D坐标为； 当时，点D在的垂直平分线上， ∴点D与原点重合，点D坐标为； 综上，在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键． 题型9.求关于原点对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标都互为相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． 2．坐标轴上的点的坐标特征：轴上的点的______坐标为0；轴上的点的______坐标为0；点关于原点对称的点的坐标为（______，_______）． 【答案】 纵 横 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征，以及关于原点对称的点的坐标规律，直接根据相关知识点填空即可． 【详解】解：根据平面直角坐标系的定义，可得：轴上的点的纵坐标为，轴上的点的横坐标为； 关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此坐标关于原点对称的点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)P，Q是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)， 【分析】（1）图形旋转180度时，对应点关于原点对称，因此作点A，B，C关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，由此可直接写出点的坐标； （3）根据成中心对称图形的特点求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意得，线段与线段关于原点对称， 故，． 题型10.已知两点关于原点对称求参数 1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，正确掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：A． 2．若点与点关于原点对称，则的值为______________． 【答案】 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 3．已知点与关于原点对称，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解一元二次方程，代数式的值，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数可得，，解方程可得的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴，， 解得，， ∴． 题型11.判断两个点是否关于原点对称 1．点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【答案】C 【分析】根据点的横坐标和纵坐标均互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点和点的横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点和点在坐标平面内的关系是关于原点对称． 故选：C 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的特征，熟知关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数是解题的关键． 2．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 【答案】 原点 二 【分析】（1）根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称； （2）先根据A在第三象限即可确定，从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对称的点的特点进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴A、B两点的横纵坐标互为相反数， ∴A、B两点关于原点对称； （2）∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第四象限， ∴点B关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：原点，二． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 3．把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点______，再向左平移6个单位长度可以得到对应点_______，则点与点A关于________对称，点与点A关于_________对称，点与点关于_______对称． 【答案】 x轴 原点 y轴 【分析】根据点的坐标平移特点：左减右加，上加下减，以及关于x轴，关于y轴对称和关于原点点的坐标特征进行求解即可． 【详解】解：把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点(3，2-4)即(3，-2)； 再向左平移6个单位长度可以得到对应点(3-6，-2)即(-3，-2)；则点与点A关于x轴对称；点与点A关于原点对称；点与点关于y轴对称， 故答案为：(3，-2)；(-3，-2)；x轴；原点；y轴． 【点睛】本题主要考查了点的坐标平移，关于x轴，关于y轴对称和关于原点点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 题型12.说出一个图形到另一个图形的运动过程 1．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 2．主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)解：如图所示，三角形②，③即为所求； (2)解：三角形③能由三角形①通过一次旋转变换所得到，且以点O为中心，逆时针旋转． 【分析】（1）根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图，解答即可； （2）根据旋转的定义判断解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 【答案】图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的 【分析】把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【详解】解：把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），在平面直角坐标系中画出图形，如图所示： 所得的三角形和原三角形大小和形状不变，△A′OB′可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换的知识，体现了数形结合的数学思想． 题型13.按图形的变换要求画出另一个图形 1．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)画出； (2)画出关于原点对称的； (3)画出绕原点O顺时针旋转后的． 【答案】(1)解：如图，即为所求；    (2) 如图，即为所求； (3) 如图，即为所求． 【分析】本题考查了坐标系中的作图——旋转变换，熟练掌握坐标系中的旋转变换，根据题意准确画出图形是解题的关键． （1）依据点A、B、C的坐标，画出即可； （2）依据中心对称的性质，即可画出关于原点对称的； （3）依据旋转的性质，即可画出绕原点O顺时针旋转后的． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ✺巩固测试 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； C选项是中心对称图形而不是轴对称图形； D选项既是轴对称图形也是中心对称图形． 2．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称；坐标与图形性质；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点．    观察图形知，． 故选：C． 3．如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】先找到网格的对称中心，也就是第2行第2列、第2行第3列、第3行第2列、第3行第3列这四个小正方形的公共顶点；再找原阴影中列的中点作为旋转中心．依次将每个白色小正方形作为涂黑候选，将涂黑后的整体图形绕对称中心旋转，判断旋转后的图形是否和原图形完全重合，统计符合条件的候选数量． 【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方形①或选取小正方形②，这样的涂法共2种． 4．设点A的坐标为，将点A绕坐标原点旋转得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，点A和点关于原点中心对称，由点A坐标求出点的坐标即可． 【详解】解：∵ 点是点绕坐标原点旋转得到的， ∴点与点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 5．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、坐标求出长，结合及勾股定理求出点坐标；根据旋转角度和次数确定旋转后的位置关系，利用中心对称性质求解. 【详解】解：，， ，轴， ， ； 在中，， ， 点在轴负半轴， ， 每次顺时针旋转， 每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点的位置相当于绕点顺时针旋转， 点与旋转后的对应点关于点中心对称，设旋转后点的坐标为， 则，， 解得，， 点的坐标为. 二、填空题 6．如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 7．点和点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，两点关于原点对称时横纵坐标分别互为相反数，求出和的值，再计算． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴． 8．如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标________； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． （1）画出图形，观察坐标系即可得点D坐标； （2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：（1）如图， 观察图象可知，点D的坐标为， 故答案为：； （2）点A与C对应，点B与D对应时，如图： 此时这个旋转中心的坐标为； 故答案为：． 9．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________） 【答案】 / 【分析】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：如图，作轴于点C， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， …， ∵，，，，…， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴顶点的纵坐标是， ∴顶点的坐标是． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化-中心对称，等边三角形的性质，含30度角的等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少． 三、解答题 10．如图，已知平面直角坐标系内有三点，分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)直接写出把绕点顺时针旋转后，点旋转后对应点的坐标． 【答案】(1)如图所示 (2) 【分析】（1）根据网格结构找出点、、旋转后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点绕点顺时针旋转后的位置，然后写出坐标即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由旋转的性质及网格特征可得，点的坐标为． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）． （1）请画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）找到△ABC各顶点关于原点O对称的对应点，再顺次连接即可； （2）找到△A1B1C1各顶点关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）如图所示△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示△A2B2C2，即为所求． 【点睛】此题主要考查坐标与图形的作图，解题的关键是熟知坐标关于原点O对称和关于y轴对称的坐标变化特点． 12．（1）解方程：； （2）已知点与点关于原点对称，求a、b的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，坐标与中心对称，掌握一元二次方程的解法，关于原点对称的两点的坐标特征是解题的关键； （1）利用因式分解法求解即可； （2）由题意得，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， ∴，； （2）∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， ∴，． 13．如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，请按下列要求作格点四边形． (1)在图1中以，为顶点作一个四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． (2)在图2中以为边作一个四边形，使该四边形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10，并有一个内角为直角． 【答案】(1)答案不唯一， (2)答案不唯一， 【分析】（1）以为对角线，作矩形即可； （2）根据勾股定理可判断直角，根据割补法可判断面积，再根据题意画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． (1)试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标________； (3)请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为________，若直线平分的面积，则________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求；点的坐标为 (3)如图，点D即为所求；点D的坐标为， 【分析】（1）分别作出点A、B以点C为中心，顺时针旋转后的对应点、，即可解答； （2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数，求得、、的坐标，再依次连接即可； （3）点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点，求出平行四边形的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线经过中心坐标，进而求得b． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点D， ∴可由平移得到，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，平行四边形是中心对称图形， ∴平行四边形的中心坐标为， 当直线经过平行四边形的中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等， ∴将代入直线， ∴，解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $