专题07相似三角形的性质、图形的位似（暑假预习讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册.

专题07相似三角形的性质、图形的位似 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 学习主线:先掌握相似三角形线段、周长、面积的比例计算规律，再系统学习位似图形的定义、性质、作图方法及平面直角坐标系中的位似坐标变换。 两大核心:1.相似求值：掌握相似三角形边角、对应线段、周长、面积的比例规律，解决各类相似几何计算问题。 2.位似变换：掌握位似图形的定义、特征、性质与标准作图，熟练运用坐标系位似缩放规律，区分相似与位似的从属关系。 解题准则:① 比例准则：边长、线段、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，二者不可混淆；② 从属准则：位似是带位置约束的特殊相似，位似必相似，相似不一定位似；③ 变换准则：位似图形满足连线共点、对应边平行、对应线段成比例三大特征，坐标位置遵循正比例缩放规律。 ✅本节由「相似数量计算」和「位似位置变换」两大核心板块构成，前者解决相似图形的数值计算问题，后者解决相似图形的位置缩放问题，完整覆盖本节全部课内考点。 ✺学习目标 知识熟记：熟记相似三角形边角、对应线段、周长、面积的核心比例性质。理解位似图形、位似中心、位似比的定义，厘清相似与位似的区别与联系。掌握位似图形性质、标准作图步骤及平面直角坐标系位似坐标变换规律。 能力提升：能利用相似三角形比例性质，独立完成边长、周长、面积等常规几何计算。能准确识别位似图形、找准位似中心与位似比。能规范完成位似作图，实现图形的放大与缩小变换。能熟练运用坐标缩放规律，求解位似变换后的对应点坐标。 综合素养：建立图形变换几何直观，理解相似、位似变换中的图形不变性。运用数形结合思想，解决几何图形与平面坐标综合问题。养成严谨审题、规范计算、标准作图的几何解题素养。 ✺题型归纳 题型1.证明三角形的对应线段成比例 题型2.利用相似三角形的性质求解 题型3.相似三角形的判定与性质综合 题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型5.相似三角形——动点问题 题型6.相似三角形实际应用 题型7.位似图形相关概念辨析 题型8.位似图形的识别 题型9.判断位似中心 题型10.求两个位似图形的相似比 题型11.画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型12.求位似图形的对应坐标 题型13.在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型14.在坐标系中画位似图形 题型15.在坐标系中画位似中心 题型16.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、相似三角形的性质 1.边角性质：若两个三角形相似，则对应角相等，对应边成比例。 2.对应线段性质：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比值，均等于相似比。 3.周长性质：相似三角形的周长比等于相似比。 4.面积性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 知识点二、位似图形 1. 位似图形的定义：对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这个点与对应顶点所连线段成比例，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，也称这两个图形关于这点位似。 ★位似图形必须满足三个条件： (1)两个图形是相似图形； (2)两个相似图形，每组对应点所在的直线都经过同一个点； (3)对应边互相平行或在同一条直线上。 2.位似图形的性质 ◆ 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 ◆ 位似图形各组对应点的连线相交于同一点（位似中心）。 ◆  位似图形的对应边互相平行，或者在同一条直线上。 ◆ 位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比，等于相似比。 3.位似图形的画法 ◆ 确定位似中心； ◆ 分别连接位似中心和原图的关键点，并延长； ◆ 按照相似比，确定新图形的关键点； ◆ 顺次连接各个关键点，得到放大或者缩小后的位似图形。 知识点三、位似变换与坐标 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或者(-kx,-ky)。 规律方法：利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 ✺题型◆精讲 题型1.证明三角形的对应线段成比例 1．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ________． 3．如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 题型2.利用相似三角形的性质求解 1．若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则_______． 3．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 题型3.相似三角形的判定与性质综合 1．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中的虚线相互平行，若，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D．5 2．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 3．如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，点D为的中点，求的长． 题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 2．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 题型5.相似三角形——动点问题 1．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 3．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 题型6.相似三角形实际应用 1．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 2．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 3．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 题型7.位似图形相关概念辨析 1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 2．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为_________．    3．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 题型8.位似图形的识别 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 3．平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，． 【初步感知】 (1)如图1，连接，，则 度； 【变化探寻】 (2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等． 【深入探究】 (3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点． ①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示） 题型9.判断位似中心 1．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 2．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    3．画出图（）、（）中的位似中心． 题型10.求两个位似图形的相似比 1．如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 3．如图，是经过位似变换得到的，位似中心是点O．请在图中找出点O的位置．如果，求的长． 题型11.画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 1．如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 2．总结画位似图形的一般步骤： （1）确定______； （2）分别连接并延长______和能代表原图的关键点； （3）根据______，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 3．在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 题型12.求位似图形的对应坐标 1．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 2．是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 3．如图，在的正方形网格中每个小正方形的边长均为1．建立坐标系后，的顶点的坐标为． (1)把绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标； (2)以为位似中心把各边放大，使放大前后对应边长的比为，在所给网格中画出放大后的，并写出的坐标； (3)利用相似知识，找到线段的一个三等分点． 题型13.在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 2．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 题型14.在坐标系中画位似图形 1．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或C． D．或 2．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 3．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 题型15.在坐标系中画位似中心 1．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为________． 3．在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 3．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 5．如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．，3 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 7．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 8．如图，在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F，若的周长为9，则的周长为______． 9．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是____（用图中字母表示），与该三角形的位似比为___． ​ 三、解答题 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 11．我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”． (1)等边三角形的“半似位线”的条数为_____条． (2)一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是________． (3)若一个三角形的三边长之比为，则这个三角形的“半似位线”的条数为_______条． (4)如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线向终点运动．设运动时间为秒． ①用含的代数式表示的长为_______． ②当为的“半似位线”时，直接写出的值． 12．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 13．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 14．综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． (1)求的长． (2)当的面积为时，求此时的值． (3)当是等腰三角形时，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相似三角形的性质、图形的位似 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 学习主线:先掌握相似三角形线段、周长、面积的比例计算规律，再系统学习位似图形的定义、性质、作图方法及平面直角坐标系中的位似坐标变换。 两大核心:1.相似求值：掌握相似三角形边角、对应线段、周长、面积的比例规律，解决各类相似几何计算问题。 2.位似变换：掌握位似图形的定义、特征、性质与标准作图，熟练运用坐标系位似缩放规律，区分相似与位似的从属关系。 解题准则:① 比例准则：边长、线段、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，二者不可混淆；② 从属准则：位似是带位置约束的特殊相似，位似必相似，相似不一定位似；③ 变换准则：位似图形满足连线共点、对应边平行、对应线段成比例三大特征，坐标位置遵循正比例缩放规律。 ✅本节由「相似数量计算」和「位似位置变换」两大核心板块构成，前者解决相似图形的数值计算问题，后者解决相似图形的位置缩放问题，完整覆盖本节全部课内考点。 ✺学习目标 知识熟记：熟记相似三角形边角、对应线段、周长、面积的核心比例性质。理解位似图形、位似中心、位似比的定义，厘清相似与位似的区别与联系。掌握位似图形性质、标准作图步骤及平面直角坐标系位似坐标变换规律。 能力提升：能利用相似三角形比例性质，独立完成边长、周长、面积等常规几何计算。能准确识别位似图形、找准位似中心与位似比。能规范完成位似作图，实现图形的放大与缩小变换。能熟练运用坐标缩放规律，求解位似变换后的对应点坐标。 综合素养：建立图形变换几何直观，理解相似、位似变换中的图形不变性。运用数形结合思想，解决几何图形与平面坐标综合问题。养成严谨审题、规范计算、标准作图的几何解题素养。 ✺题型归纳 题型1.证明三角形的对应线段成比例 题型2.利用相似三角形的性质求解 题型3.相似三角形的判定与性质综合 题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型5.相似三角形——动点问题 题型6.相似三角形实际应用 题型7.位似图形相关概念辨析 题型8.位似图形的识别 题型9.判断位似中心 题型10.求两个位似图形的相似比 题型11.画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型12.求位似图形的对应坐标 题型13.在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型14.在坐标系中画位似图形 题型15.在坐标系中画位似中心 题型16.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、相似三角形的性质 1.边角性质：若两个三角形相似，则对应角相等，对应边成比例。 2.对应线段性质：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比值，均等于相似比。 3.周长性质：相似三角形的周长比等于相似比。 4.面积性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 知识点二、位似图形 1. 位似图形的定义：对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这个点与对应顶点所连线段成比例，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，也称这两个图形关于这点位似。 ★位似图形必须满足三个条件： (1)两个图形是相似图形； (2)两个相似图形，每组对应点所在的直线都经过同一个点； (3)对应边互相平行或在同一条直线上。 2.位似图形的性质 ◆ 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 ◆ 位似图形各组对应点的连线相交于同一点（位似中心）。 ◆  位似图形的对应边互相平行，或者在同一条直线上。 ◆ 位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比，等于相似比。 3.位似图形的画法 ◆ 确定位似中心； ◆ 分别连接位似中心和原图的关键点，并延长； ◆ 按照相似比，确定新图形的关键点； ◆ 顺次连接各个关键点，得到放大或者缩小后的位似图形。 知识点三、位似变换与坐标 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或者(-kx,-ky)。 规律方法：利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 ✺题型◆精讲 题型1.证明三角形的对应线段成比例 1．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 2．如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ________． 【答案】 【分析】本题考查直角平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． 连接交于O，证明四边形是平行四边形，再根据得出，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：如图，连接交于O． ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ， ， 在中，，，， ． 故答案为：． 3．如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】(1)这四条线段是成比例线段 (2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 示例：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 题型2.利用相似三角形的性质求解 1．若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 2．如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 3．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 题型3.相似三角形的判定与性质综合 1．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中的虚线相互平行，若，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：由图可得，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 2．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 3．如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，点D为的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； (2) 【分析】（1）证明，结合平行线的性质解题； （2）推出，根据面积法计算． 【详解】（1）略 （2）解：如图，∵，，点D为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 2．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形． （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 题型5.相似三角形——动点问题 1．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 2．如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 【答案】2或/2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质时解题的关键． 设运动时间为，由题意可得，，，分与这两种情况，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可． 【详解】解：当动点、同时运动时间为时，则有，，， 是公共角， ①当时，， 有，即， 解得：； ②当时，， 有，即， 解得：； 故答案为：2或． 3．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 【答案】运动时间t为秒时， 【分析】本题考查动点相似三角形，根据题意先表示出，由，则，代入数据计算即可解答． 【详解】解：根据题意：，，，， 则， ∵点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动， ∴（秒）即， ∵， ∴，即， ∴， 解得：（符合题意）， ∴运动时间t为秒时，． 题型6.相似三角形实际应用 1．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 【答案】/ 【分析】同一时刻阳光下的平行投影中，物体高度与影长成比例，据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 3．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 题型7.位似图形相关概念辨析 1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为_________．    【答案】16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 3．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【分析】四边形与四边形位似，可得四边形四边形，，，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， ，， ，解得， 即的长是． 题型8.位似图形的识别 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 2．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 3．平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，． 【初步感知】 (1)如图1，连接，，则 度； 【变化探寻】 (2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等． 【深入探究】 (3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点． ①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)①，，理由如下： 如图，连接， 同（1）可得 ∴，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， ∴，； ②． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据可得，进而证，可得，又，可得； （2）设，，则，，证明，得出，证明得出，即可求解； （3）①连接，证明，，根据相似三角形的性质，即可得出结论； ②依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为，求得的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，在移动点的过程中，始终有与相等． （3）①略 ②由①可得， 依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为， ∵等腰直角三角形的边长为，面积为， ∴图形的面积为． 题型9.判断位似中心 1．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 2．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 3．画出图（）、（）中的位似中心． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了作位似中心，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，据此作图即可，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 题型10.求两个位似图形的相似比 1．如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵与是位似图形，位似中心为点O， ∴ ∴ ∴ ∴与的周长比为． 2．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为． 3．如图，是经过位似变换得到的，位似中心是点O．请在图中找出点O的位置．如果，求的长． 【答案】 【分析】根据位似变换的性质、相似比的概念解答即可． 【详解】解：如图，连接与交于点O，则点O 即为所求． ， 与的相似比为， ． 【点睛】本题考查了位似变换的概念，解题的关键是利用位似的定义找到位似中心，并运用相似比求解． 题型11.画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 1．如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的放大，三角形放大时，各角的度数不变，各边的长度变大，则周长和面积也变大，据此可得答案． 【详解】解：用放大镜观察一个三角形，看到的三角形的各边的长度扩大，各角的度数不变，则三角形的周长扩大，面积也扩大， ∴只有A选项的说法错误， 故选：A． 2．总结画位似图形的一般步骤： （1）确定______； （2）分别连接并延长______和能代表原图的关键点； （3）根据______，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【答案】 位似中心 位似中心 相似比 【解析】略 3．在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2（或）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可． 【详解】解：如图1，如图2所示，即为所求作． 题型12.求位似图形的对应坐标 1．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 2．是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 【答案】或/或 【分析】利用位似变换的坐标性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，位似中心为原点，点是点在位似变换后的对应点，位似比为， 已知点坐标为，根据以原点为位似中心的位似变换的坐标规律， 有，， 或者，， ∴点的坐标为或． 3．如图，在的正方形网格中每个小正方形的边长均为1．建立坐标系后，的顶点的坐标为． (1)把绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标； (2)以为位似中心把各边放大，使放大前后对应边长的比为，在所给网格中画出放大后的，并写出的坐标； (3)利用相似知识，找到线段的一个三等分点． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，画图解答即可． （2）根据位似比，确定坐标后，画图即可； （3）构造，，连接交于点，则，，故，即点N是线段的一个三等分点． 本题考查了旋转作图，位似作图，构造三角形相似解题，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键． 【详解】（1）解：的三个顶点坐标分别是，，． 把绕点C顺时针旋转后得到，则，，画图如下： 则即为所求． （2）解：的三个顶点坐标分别是，，． 以O为位似中心把各边放大，使放大前后对应边长的比为，得到，则，，画图如下： 则即为所求． （3）解：构造，，连接交于点， 则点N是线段的一个三等分点． 理由如下：∵，，，， 则，，， ∴， ∴， ∴点N是线段的一个三等分点． 题型13.在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 2．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 【答案】 【分析】根据A，的坐标求出位似比，即可求出的长． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为， ∴五边形，的位似比为， ∴， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，把绕点逆时针方向旋转得到，即为所求； （2）如图，在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； （3） 的面积为． 题型14.在坐标系中画位似图形 1．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 2．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【详解】平面直角坐标系中位似图形的作法：位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心两侧；②位似图形在位似中心同侧． 3．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】(1)解：如图，则即为所求． (2) 【分析】（1）根据，原点O为位似中心，相似比是，确定，画图即可； （2）根据位似的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2） 根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 题型15.在坐标系中画位似中心 1．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：A． 2．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解： 由位似图形的概念可知：与的位似中心是直线与直线的交点， 位似中心的坐标为． 故答案为： 3．在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． 【答案】(1) 点的位置如图所示，； (2)如图，即为所求． 【分析】本题考查坐标与位似图形，掌握位似图形的性质，是解题的关键． （1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的对应坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可． 【详解】（1）略 （2）略 ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 2．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 3．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 4．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 5．如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，那么位似中心的坐标和的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．，3 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 故选：B． 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标为原对应点坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心，把按相似比为放大得到，点的坐标为， 的坐标为或， 即或． 7．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 8．如图，在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F，若的周长为9，则的周长为______． 【答案】 【分析】证明，可得，即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 根据相似三角形周长比等于对应边之比可得， E是边上的中点， ， ． 9．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是____（用图中字母表示），与该三角形的位似比为___． ​ 【答案】 / 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 三、解答题 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图为所求： (2)解：如图为所求： (3)和是位似图形； 点M的坐标为． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解． （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解． （3）根据位似图形的定义即可判断，连接对应点的交点即为位似中心点，写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：和是位似图形；图略， 由图可得点M的坐标为． 11．我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”． (1)等边三角形的“半似位线”的条数为_____条． (2)一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是________． (3)若一个三角形的三边长之比为，则这个三角形的“半似位线”的条数为_______条． (4)如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线向终点运动．设运动时间为秒． ①用含的代数式表示的长为_______． ②当为的“半似位线”时，直接写出的值． 【答案】(1)3条 (2) (3)4条 (4)①；②或4或或12 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，理解“半似位线”的定义，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）作出图形，根据“半似位线”的定义求解即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可； （3）根据“半似位线”的定义，作出图形，分别求解即可； （4）①当运动t秒时，，则． ②根据勾股定理求出．分两种情况讨论：（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，，，若为的“半似位线”时，则或，分别根据相似三角形的对应边成比例求解；（Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，，若为的“半似位线”时，则或，同（Ⅰ）求解即可． 【详解】（1）解：如图，在等边中，取各边中点，连接，，． ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴，相似比为， ∴是等边三角形的“半似位线”． 同理可得，是等边三角形的“半似位线”． ∴等边三角形的“半似位线”的条数为3条． 故答案为：3． （2）解：如图，是的“半似位线”， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∴一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是． 故答案为：． （3）解：∵一个三角形的三边长之比为， ∴如图，不妨设，，（） 取各边的中点，连接，，， ∴，， ∴，且相似比为， ∴是的 “半似位线”， 同理可得，，是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴，， 此时，点G与点A重合， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴， 此时，点N不在边上， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴，， 符合“半似位线”的定义，即是的 “半似位线”． 综上所述，这个三角形的“半似位线”的条数为4条． 故答案为：4． （4）解：①当运动t秒时，， ∴． 故答案为：． ②∵在中，，， ∴． （Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则， ∴， ， ∴，解得． 当，则， ∴， ， ∴，解得． （Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则， ∴， ， ∴，解得． 当，则， ∴， ， ∴，解得． 综上所述，a的值为或4或或12． 12．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 13．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 14．综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． (1)求的长． (2)当的面积为时，求此时的值． (3)当是等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)的长为 (2)此时的值为4或9 (3)或或 【分析】（1）设，则，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，过点Q作于点E，由是边上的高，得到，根据相似三角形的性质得到，根据题意得到cm，， 求得，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）①当时，，②当时，过P作于H，③，如图，过Q作于G，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）设，则， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， 的长为； （2）如图，过点Q作于点E， 是边上的高， ， ， ， 根据题意，得， ，的面积为， ， 解得， 答：此时t的值为4或9； （3）是等腰三角形， 或或， ①当时，， 解得， ②当时，过P作于H， ， ， ， ， ， 解得，， ③，如图，过Q作于G， 则，， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $